bai-tap-do-do-tich-phan

1. Bài Tập ToPo-Độ đo-Tích Phân Lebesgue
Học viên :Vũ Duy Thắng
Giữa kì:
* Lý thuyết có CM: Các câu: 4,5,8,13,16
* Các câu không CM: 2,10,12,15,18
Cuối kì:
* Có CM: 20,21,27,34,35,40
* Không CM: 19,26,33,37,39
* Bài tập:
+ Chương 5: Từ BÀI 1 --> BÀI 5
+ Chương 6: Từ BÀI 1 --> BÀI 6
+ Chương 7: Từ BÀI 1 --> BÀI 4
Tài liệu tham khảo
1.Giáo trình Độ đo-Tích phân ĐHKHTN
2.Bài tập Độ đo-Tích phân-Thày Đỗ Đức Thái
3.Bài tập Topo-Độ đo-Tích phân(giáo trình bên ĐHSPHN)
Phần Đề Bài Tập
I.Độ Đo
Bài 1
Giả sử 1 2; ... nA A A là các tập đo được Lebesgue(L) trong đoạn [ ]0;1 thỏa mãn
( )
1
1
n
k
k
A nµ
=
> −∑ .Chứng minh
1
0
n
k
k
Aµ
=
 
> ÷
 
I
Bài 2
Cho 1 2... ...nE E E⊆ ⊆ ⊆ là một dãy tăng các tập đo được L của [ ]0;1 thỏa mãn
( )0 : 1k kE Eε µ ε∀ > ∃ > − .
Chứng minh
1
1k
k
Eµ
∞
=
 
= ÷
 
U
Bài 3
Cho 1 2... ...nE E E⊆ ⊆ ⊆ là dãy tăng các tập đo được với ( )nEµ < +∞ 1n∀ ≥ .
Có thể kết luận
1
k
k
Eµ
∞
=
 
< +∞ ÷
 
U được không?
Giải
Ví dụ [ ]0;nE n= thì ( )nEµ < +∞ song
1
k
k
Eµ
∞
=
 
= +∞ ÷
 
U
Bài 4

2. Nếu E R⊆ là 1 tập đo được L với ( ) 0Eµ > thì trong E có thể tìm được các
điểm có khoảng cách giữa chúng là số vô tỷ.
Giải
Lấy ox E∈ cố định,vì ( ) 0Eµ > nên E ko đếm được.
Xét tập A={ }( ; )od x x với d là khoảng cách thông thường.Do ( ) 0Eµ > nên A
cũng có lực lượng continum(ko đếm được) vì thế ko phải mọi phần tử của A
là số hữu tỷ->đpcm
Bài 5
Cho tập không đếm được X.
Xét { }: Aor c
A X Aℑ = ⊂ ko quá đếm được
Xác định hàm tập trên ℑ như sau
( )
0
1 c
ifAkoquademdc
A
ifA koquademdc
µ

= 

Chứng minh ℑ là một σ -đại số và µ là một độ đo.
Bài 6
Cho A,B là các tập đo được theo độ đo µ .Chứng minh
( ) ( ) ( )( )A B A B A Bµ µ µ µ∪ + ∩ = +
II.Hàm đo được-Tích phân Lebesgue
Bài 1:Cho ví dụ hàm 2
( )f x đo được trên E thì f(x) không nhất thiết đo được
trên E
Bài 2
Cho dãy hàm 0nf ≥ trên A.Chứng minh nếu 0n
A
f dµ →∫ thì 0nf µ
→ .
Cho ví dụ nếu bỏ giả thiết 0nf ≥ thì kết luận ko còn đúng nữa.
Giải
0ε∀ > ta chứng minh ( ): ( ) 0n
nx A f xµ ε →∞
∈ ≥ →
Có ( )n n
A A
f d f d A
ε
εµ µ εµ≥ ≥∫ ∫ với ( ): ( )nA x A f xε ε= ∈ ≥ Vì 0n
A
f dµ →∫ nên
( ): ( ) 0n
nx A f xµ ε →∞
∈ ≥ → (đpcm)
Phản ví dụ (nếu bỏ giả thiết 0nf ≥ thì kết luận ko còn đúng)
Ví dụ

3. Cho
1if-n x<0
( ) 1if0<x n
0if x
nf x
n
− ≤

= ≤
 >
Ta có ( ) 0
n
n n
R n
f d f x dxµ
−
= =∫ ∫ song ko suy ra được 0nf µ
→
Bài 3
Giả sử A là tập đo được có ( )Aµ < +∞ .Chứng minh
0 0
1
n
n
nA
g
d g
g
µ
µ → ⇔ →
+∫ trên A
Cho ví dụ nếu bỏ giả thiết ( )Aµ < +∞ thì kết luận ko còn đúng.
Giải
( )⇒ Nếu 0
1
n
nA
g
d
g
µ →
+∫ theo bài 2 ta có 0 0
1
n
n
n
g
g
g
µ µ
→ ⇒ →
+
( )⇐ Nếu 0ng µ
→ ta có 0
1
n
n
g
g
µ
→
+
hơn nữa 1
1
n
n
g
g
≤
+
và ( )Aµ < +∞ nên
theo định lý Lebesgue hội tụ bị chặn đều ta có 0
1
n
nA
g
d
g
µ →
+∫
Ví dụ
Xét dãy hàm
1
;
( )
0;
n
x n
g x n
x n

≥
= 
 <
thì
0
1/
0,
1 1 1/
n
n
n n
g n
g d d
g n
µ
µ µ
+∞ +∞
→ ≥ = +∞
+ +∫ ∫
Bài 4
Cho 0f ≥ đo được trên A.Chứng minh các điều sau là tương đương
i)f khả tích L trên A
ii) ( )
1
n
n
n Bµ
≥
∑ hội tụ
iii) ( )
1
n
n
Aµ
≥
∑ hội tụ
với { }: ( ) 1nB x A n f x n= ∈ ≤ < +
{ }: ( )nA x A f x n= ∈ ≥
Giải
Bài 5

4. Cho f khả tích L trên A.Đặt { }: ( )nA x A f x n= ∈ ≥ .Chứng minh
( ) 0( )nLim A nµ = →∞
Bài 6
Giả sử ( ), ,X M µ là không gian đo hữu hạn.Đặt
1
( , ) , , ( )
1X
f g
d f g d f g L
f g
µ µ
−
= ∀ ∈
+ −∫
1.Chứng minh nếu
1
, nf f L∈ thì sự hội tụ theo d tương đương sự hôi tụ theo
độ đo
2.Chứng minh không gian ( )1
,L d là không gian metric đầy nếu đồng nhất
các hàm với các lớp tương đương của nó
Giải
1.