RealTEQ Academy

1. ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
————— o0o —————
NGUYỄN PHƯƠNG HẬU
ĐIỀU KHIỂN H∞ TRONG THỜI GIAN HỮU HẠN
CỦA HỆ NƠ RON THẦN KINH PHÂN THỨ
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 8 46 01 12
TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. MAI VIẾT THUẬN
TS. NGUYỄN HỮU SÁU
Thái Nguyên, 11/2020

2. 1
Mục lục
Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 6
1.1. Giải tích phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.1. Tích phân phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2. Đạo hàm phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2. Một số bổ đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3. Bài toán ổn định trong thời gian hữu hạn cho hệ phương trình
vi phân phân thứ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4. Bài toán điều khiển H∞ trong thời gian hữu hạn cho lớp hệ
phương trình vi phân với bậc nguyên . . . . . . . . . . . . . . . 17
Chương 2 Điều khiển H∞ trong thời gian hữu hạn của một lớp
hệ nơ ron thần kinh phân thứ 20
2.1. Phát biểu bài toán và một số tiêu chuẩn . . . . . . . . . . . . . 20
2.2. Ví dụ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3. 2
LỜI NÓI ĐẦU
Mô hình mạng nơ ron mô tả bởi hệ phương trình vi phân với đạo hàm bậc
nguyên được nghiên cứu đầu tiên bởi L.O. Chua và L. Yang vào năm 1988
[10, 11]. Mô hình này đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà
khoa học trong những năm gần đây do những ứng dụng rộng lớn của nó trong
xử lí tín hiệu, xử lí hình ảnh, tối ưu hóa và các lĩnh vực khác [11, 21]. Năm
2008, trong một nghiên cứu của mình, A. Boroomand và M.B. Menhaj [7] lần
đầu tiên mô hình hóa mạng nơ ron bởi hệ phương trình vi phân phân thứ
(Caputo hoặc Riemann–Liouville). So với mạng nơ ron mô tả bởi hệ phương
trình vi phân với đạo hàm bậc nguyên, mạng nơ ron mô tả bởi hệ phương trình
vi phân phân thứ (Caputo hoặc Riemann–Liouville) có thể mô tả các đặc tính
và tính chất của mạng nơ ron một cách chính xác hơn [7, 21]. Do đó hệ phương
trình mạng nơ ron phân thứ đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều
nhà khoa học. Nhiều kết quả hay và thú vị về hệ phương trình mạng nơ ron
phân thứ đã được công bố trong những năm gần đây.
Như chúng ta đã biết, do nhiều lý do như lỗi đo lường, xấp xỉ tuyến tính,
sự không chính xác của việc mô hình hóa, nhiễu loạn thường không thể tránh
khỏi trong các hệ thống mạng thần kinh được mô tả bởi hệ phương trình vi
phân bậc nguyên và bậc không nguyên. Do đó nghiên cứu hiệu suất suy giảm
nhiễu thông qua phương pháp kiểm soát H∞ là một bài toán quan trọng nhận
được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học. Trong những năm gần
đây, bài toán điều khiển H∞ trong thời gian hữu hạn của một số lớp hệ phương
trình vi phân với bậc nguyên đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều
nhà khoa học trong nước cũng như quốc tế [2, 4, 6, 22, 24]. Sử dụng phương
pháp tiếp cận thời gian dừng trung bình, Xiang cùng các cộng sự [24] nghiên

4. 3
cứu bài toán điều khiển H∞ trong thời gian hữu hạn cho lớp hệ chuyển mạch
trung tính. Sau đó kết quả của Xiang cùng các cộng sự [24] được cải tiến bởi
Wang cùng các cộng sự [22] cho lớp hệ chuyển mạch trung tính trong đó các
hệ con không ổn định hữu hạn thời gian. Ali và Saravanan [4] đưa ra vài tiêu
chuẩn cho bài toán điều khiển H∞ trong thời gian hữu hạn của lớp hệ nơ ron
thần kinh không chắc chắn chuyển mạch có trễ hỗn hợp bằng cách sử dụng
phương pháp hàm Lyapunov-Krasovskii và kỹ thuật bất đẳng thức ma trận
tuyến tính. Bài toán điều khiển H∞ trong thời gian hữu hạn cho lớp hệ nơ ron
thần kinh trung tính Markovian được nghiên cứu bởi Baskar cùng các cộng sự
[6]. Chú ý rằng các kết quả nói trên áp dụng cho các lớp hệ phương trình vi
phân với bậc nguyên. Gần đây, M.V. Thuan cùng các cộng sự [20] nghiên cứu
bài toán điều khiển H∞ trong thời gian hữu hạn cho một lớp hệ nơ ron thần
kinh phân thứ bằng cách tiếp cận sử dụng bất đẳng thức ma trận tuyến tính
và một số tính chất của đạo hàm, tích phân phân thứ.
Luận văn tập trung trình bày tính một số tiêu chuẩn cho bài toán điều khiển
H∞ trong thời gian hữu hạn của một lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ dựa
trên cơ sở đọc hiểu và tổng hợp các bài báo đã được công bố trong những năm
gần đây (xem [20]). Luận văn gồm có 2 chương gồm những nội dung chính sau
đây:
Trong chương 1, chúng tôi trình bày một số khái niệm về giải tích phân thứ
như tích phân và đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville, tích phân và đạo hàm
phân thứ Caputo. Ngoài ra, chúng tôi trình bày bài toán ổn định hữu hạn thời
gian cho lớp hệ điều khiển tuyến tính phân thứ. Bài toán điều khiển H∞ trong
thời gian hữu hạn cho lớp hệ điều khiển tuyến tính với bậc nguyên cũng được
chúng tôi trình bày trong chương này. Nội dung chính của chương này được
tham khảo chủ yếu từ các tài liệu [13, 14, 15, 17, 18].
Trong chương 2 của luận văn, chúng tôi trình bày một số tiêu chuẩn cho bài
toán điều khiển H∞ trong thời gian hữu hạn của một lớp hệ nơ ron thần kinh
phân thứ. Nội dung chính của chương này được tham khảo chủ yếu từ tài liệu
[20].
Luận văn này được thực hiện tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái

5. 4
Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Mai Viết Thuận và TS.
Nguyễn Hữu Sáu. Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới
tập thể hướng dẫn khoa học của mình. Những người đã đặt vấn đề nghiên cứu,
dành nhiều thời gian hướng dẫn, tận tình dìu dắt và chỉ bảo tôi trong suốt quá
trình thực hiện đề tài luận văn này.
Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Khoa học - Đại
học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán - Tin cùng các giảng viên đã
tham gia giảng dạy, đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tôi học tập và nghiên
cứu.
Đồng thời tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình thân yêu, cảm ơn những người
bạn thân thiết đã chăm sóc động viên khích lệ tôi trong suốt quá trình nghiên
cứu. Sau cùng tôi xin kính chúc toàn thể quý thầy cô trường Đại học Khoa
học - Đại học Thái Nguyên thật dồi dào sức khỏe, niềm tin để tiếp tục thực
hiện sứ mệnh cao đẹp của mình là truyền đạt tri thức cho thế hệ mai sau. Xin
chân thành cảm ơn.

6. 5
Danh mục ký hiệu
Rn
không gian vec tơ thực Euclide n chiều
A>
ma trận chuyển vị của ma trận A
I ma trận đơn vị
λ(A) tập hợp tất cả giá trị riêng của ma trận A
λmax(A) = max{Reλ : λ ∈ λ(A)}
λmin(A) = min{Reλ : λ ∈ λ(A)}
kAk chuẩn phổ của ma trận A, kAk =
p
λmax(A>A)
A ≥ 0 ma trận A nửa xác định dương, tức là hAx, xi ≥ 0, ∀x ∈ Rn
A ≥ B nghĩa là A − B ≥ 0
A > 0 ma trận A xác định dương, tức là hAx, xi > 0, ∀x ∈ Rn
, x 6= 0
LMIs bất đẳng thức ma trận tuyến tính (Linear matrix inequalities)
kxk chuẩn Euclide của véc tơ x = (x1, x2, ..., xn)>
∈ Rn
Rn×r
không gian các ma trận thực cỡ (n × r)
C([a, b], Rn
) không gian các hàm liên tục trên[a, b] nhận giá trị trong Rn
ACm
[a, b] không gian các hàm liên tục tuyệt đối cấp m trên[a, b]
t0 Iα
t toán tử tích phân phân thứ Riemann - Liouville cấp α
RL
t0
Dα
t toán tử đạo hàm phân thứ Riemann - Liouville cấp α
C
t0
Dα
t toán tử đạo hàm phân thứ Caputo cấp α
Γ(x) hàm Gamma
Eα,β hàm Mittag-Leffler hai tham số
dαe số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α

7. 6
Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết quả về tính
ổn định và ổn định hóa của các hệ phương trình vi phân thường và hệ phương
trình vi phân có trễ. Chúng tôi cũng trình bày một số kết quả bổ trợ sẽ được
sử dụng trong chứng minh các kết quả chính của luận văn cho các chương sau.
Kiến thức sử dụng ở chương này được tham khảo ở [13, 14, 15].
1.1. Giải tích phân thứ
1.1.1. Tích phân phân thứ
Trong mục này, chúng tôi trình bày sơ lược về khái niệm tích phân phân
thứ. Khái niệm tích phân phân thứ là một mở rộng tự nhiên của khái niệm
tích phân lặp thông thường.
Định nghĩa 1.1. ([15]) Cho α > 0 và [a, b] ⊂ R, tích phân phân thứ Riemann-
Liouville cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được cho bởi
t0 Iα
t x(t) :=
1
Γ(α)
Z t
t0
(t − s)α−1
x(s)ds, t ∈ (a, b],
trong đó Γ(.) là hàm Gamma xác định bởi Γ(α) =
+∞
R
0
tα−1
e−t
dt, α > 0.
Trong Định nghĩa 1.1 khi α = 0, chúng ta quy ước t0 Iα
t := I với I là toán
tử đồng nhất. Sự tồn tại của tích phân phân thứ Riemann–Liouville cấp α với
0 < α < 1 được cho bởi định lý sau.
Định lý 1.1. ([15]) Giả sử x : [a, b] −→ R là một hàm khả tích trên [a, b]. Khi

8. 7
đó, tích phân t0 Iα
t x(t) tồn tại với hầu hết t ∈ [a, b]. Hơn nữa, t0 Iα
t x cũng là
một hàm khả tích.
Ví dụ sau đây cho ta tích phân phân thứ của một số hàm cơ bản.
Ví dụ 1.1. ([15])
(i) Cho x(t) = (t − a)β
, ở đây β > −1 và t > a. Với bất kì α > 0, chúng ta có
t0 Iα
t x(t) =
Γ(β + 1)
Γ(α + β + 1)
(t − a)α+β
, t > a.
(ii) Cho x(t) = eλt
, λ > 0. Với bất kì α > 0, chúng ta có
t0 Iα
t x(t) = λ−α
+∞
X
j=0
(λt)α+j
Γ(α + j + 1)
, t > 0.
1.1.2. Đạo hàm phân thứ
Mục này trình bày một cách ngắn gọn về đạo hàm Riemann–Liouville và
đạo hàm Caputo. Đây là hai loại đạo hàm được sử dụng rộng rãi trong nhiều
lĩnh vực.
Định nghĩa 1.2. ([15]) Cho trước một số thực dương α và một khoảng [a, b] ⊂
R. Đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được
cho bởi
RL
t0
Dα
t x(t) :=
dn
dtn
t0 In−α
t x(t)
=
1
Γ(n − α)
dn
dtn
Z t
t0
(t − s)n−α−1
x(s)ds,
trong đó n := dαe là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α và dn
dtn là đạo
hàm thông thường cấp n.
Ví dụ 1.2. Cho hàm bước đơn vị (unit-step function)
f(t) =





1, nếu t ≥ 0
0, nếu t 0.
Bằng cách sử dụng Định nghĩa 1.2, ta tính đạo hàm phân thứ Riemann–
Liouville cấp α của hàm f(t) là
RL
0 Dα
t f(t) =
t−α
Γ(1 − α)
.

9. 8
Trước khi trình bày điều kiện cho sự tồn tại của đạo hàm phân thứ Riemann–
Liouville, chúng tôi nhắc lại một số kết quả sau.
Cho [a, b] là một khoảng hữu hạn trong R. AC[a, b] là không gian các hàm
tuyệt đối liên tục trên [a, b]. Kolmogorov và Fomin đã chỉ ra mối liên hệ giữa
các hàm tuyệt đối liên tục và các hàm khả tích Lebesgue như sau:
f(t) ∈ AC[a, b] ⇔ f(t) = c +
Z t
a
ϕ(s)ds (ϕ(s) ∈ L(a, b)),
do đó một hàm tuyệt đối liên tục f(t) có đạo hàm f0
(t) = ϕ(t) hầu khắp nơi
trên [a, b].
Với n ∈ N, ta định nghĩa lớp hàm ACn
[a, b] như sau:
ACn
[a, b] =
f : [a, b] −→ R, (Dn−1
f)(t) ∈ AC[a, b]
D =
d
dt
.
Mệnh đề sau đây cho ta một số đặc tính của lớp hàm ACn
[a, b].
Mệnh đề 1.1. ([15]) Không gian ACn
[a, b] chứa tất cả các hàm f(t) có dạng
như sau:
f(t) = t0 Iα
t ϕ(t) +
n−1
X
k=0
ck(t − t0)k
,
trong đó ϕ(t) ∈ L(a, b), ck(k = 0, 1, . . . , n − 1) là các hằng số tùy ý và
t0 Iα
t ϕ(t) =
1
(n − 1)!
Z t
t0
(t − s)n−1
ϕ(s)ds.
Ngoài ra, từ các điều kiện trên ta có
ϕ(s) = f(n)
(s), ck =
f(k)
(t0)
k!
(k = 0, 1, . . . , n − 1).
Định lý sau đây cho ta một tiêu chuẩn cho sự tồn tại của đạo hàm phân
thứ Riemann–Liouville.
Định lý 1.2. ([15]) Cho α ≥ 0, n = dαe. Nếu f(t) ∈ ACn
[a, b], khi đó đạo
hàm phân thứ RL
t0
Dα
t f(t) tồn tại hầu khắp nơi trên [a, b] và có thể được biểu
diễn dưới dạng sau
RL
t0
Dα
t f(t) =
n−1
X
k=0
f(k)
(t0)
Γ(1 + k − α)
(t − t0)k−α
+
1
Γ(n − α)
Z t
t0
f(n)
(s)ds
(t − s)α−n+1
.
Kết quả sau đây được suy ra trực tiếp từ Định lý 1.2

10. 9
Hệ quả 1.1. ([15]) Nếu 0 α 1 và f(t) ∈ AC[a, b] thì
RL
t0
Dα
t f(t) =
1
Γ(1 − α)
f(t0)
(t − t0)α
+
Z t
t0
f0
(s)ds
(t − s)α
.
Mệnh đề sau khẳng định toán tử đạo hàm phân thứ Riemann–Liouville là
một toán tử tuyến tính.
Mệnh đề 1.2. ([14]) Cho trước một số thực dương α. Khi đó đạo hàm phân
thứ Riemann–Liouville cấp α là một toán tử tuyến tính, tức là
RL
t0
Dα
t [λf(t) + µg(t)] = λ RL
t0
Dα
t f(t) + µ RL
t0
Dα
t g(t)
trong đó λ, µ ∈ R, f(t), g(t) ∈ ACn
[a, b].
Chứng minh. Ta có
RL
t0
Dα
t [λf(t) + µg(t)]
=
1
Γ(n − α)
dn
dtn
Z t
t0
(t − s)n−α−1
[λf(s) + µg(s)] ds
=
λ
Γ(n − α)
dn
dtn
Z t
t0
(t − s)n−α−1
f(s)ds +
µ
Γ(n − α)
dn
dtn
Z t
t0
(t − s)n−α−1
g(s)ds
= λ RL
t0
Dα
t f(t) + µ RL
t0
Dα
t g(t).
Định nghĩa 1.3. ([14]) Cho trước một số thực dương α và một khoảng [a, b] ⊂
R. Đạo hàm phân thứ Caputo cấp α của hàm x : [a, b] −→ R được cho bởi
C
t0
Dα
t x(t) := t0 In−α
t Dn
x(t),
trong đó n := dαe là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng α và Dn
= dn
dxn là
đạo hàm thông thường cấp n.
Đối với một hàm véc tơ x(t) = (x1(t), x2(t), . . . , xd(t))
T
đạo hàm phân thứ
Caputo của x(t) được định nghĩa theo từng thành phần như sau:
C
t0
Dα
t x(t) := C
t0
Dα
t x1(t), C
t0
Dα
t x2(t), . . . , C
t0
Dα
t xd(t)
T
.
Định lý sau đây cho ta một điều kiện đủ cho sự tồn tại đào hàm Caputo phân
thứ cấp α.

11. 10
Định lý 1.3. ([15]) Cho α ≥ 0, n = dαe. Nếu f(t) ∈ ACn
[a, b], khi đó đạo
hàm phân thứ Caputo C
t0
Dα
t f(t) tồn tại hầu khắp nơi trên [a, b]. Hơn nữa, ta có
(i) Nếu α 6∈ N thì C
t0
Dα
t x(t) biểu diễn dưới dạng sau:
C
t0
Dα
t f(t) =
1
Γ(n − α)
Z t
t0
f(n)
(s)ds
(t − s)α−n+1
.
Đặc biệt, khi 0 α 1 và f(t) ∈ AC[a, b], ta có:
C
t0
Dα
t f(t) =
1
Γ(1 − α)
Z t
t0
f0
(s)ds
(t − s)α
.
(ii) Nếu α = n ∈ N thì C
t0
Dn
t f(t) biểu diễn dưới dạng sau:
C
t0
Dn
t f(t) = f(n)
(t).
Đặc biệt,
C
t0
D0
t f(t) = f(t).
Mệnh đề sau khẳng định toán tử đạo hàm phân thứ Caputo là một toán tử
tuyến tính.
Mệnh đề 1.3. ([14]) Cho trước một số thực dương α. Khi đó đạo hàm phân
thứ Caputo cấp α là một toán tử tuyến tính, tức là
C
t0
Dα
t [λf(t) + µg(t)] = λ C
t0
Dα
t f(t) + µ C
t0
Dα
t g(t),
trong đó λ, µ ∈ R, f(t), g(t) ∈ ACn
[a, b].
Chứng minh. Tương tự như chứng minh Mệnh đề 1.2.
Ta dễ dàng chứng minh được tính chất sau của đạo hàm phân thứ Caputo.
Mệnh đề 1.4. ([14]) Cho trước một số thực dương α. Nếu ξ là hằng số thì
C
t0
Dα
t ξ = 0.
Giống với phép tính vi–tích phân cổ điển, đạo hàm phân thứ Caputo là
nghịch đảo trái của toán tử tích phân phân thứ.
Định lý 1.4. ([15]) Cho α 0 và f(t) ∈ C[a, b]. Khi đó ta có
C
t0
Dα
t ( t0 Iα
t f(t)) = f(t).

12. 11
Tuy nhiên, đạo hàm phân thứ Caputo nói chung không là toán tử nghịch
đảo phải của tích phân phân thứ. Điều này được chỉ rõ trong định lý dưới đây.
Định lý 1.5. ([15]) Cho α 0, n = dαe.. Nếu f(t) ∈ ACn
[a, b] thì
t0 Iα
t
C
t0
Dα
t f(t)
= f(t) −
n−1
X
k=0
f(k)
(t0)
k!
(t − t0)k
.
Đặc biệt, nếu 0 α ≤ 1 và f(t) ∈ AC[a, b] thì
t0 Iα
t
C
t0
Dα
t f(t)
= f(t) − f(t0).
Định lý sau đây cho ta mối quan hệ giữa đạo hàm phân thứ Caputo và đạo
hàm phân thứ Riemann-Liouville.
Định lý 1.6. [15] Cho α 0 và đặt n = dαe . Với bất kì x ∈ ACn
[a, b], chúng
ta có:
C
t0
Dα
t x(t) = RL
t0
Dα
t x(t) −
n−1
X
j=0
(t − t0)j
j!
x(j)
(t0)
!
,
với hầu hết t ∈ [a, b].
Định lý dưới đây có vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu bài toán điều
khiển H∞ cho hệ nơ ron thần kinh phân thứ.
Định lý 1.7. (Bổ đề 2.3, trang 73 trong cuốn sách chuyên khảo của A.A.
Kilbas và các đồng tác giả [15]) Cho các số dương α 0, β 0. Giả sử rằng
f(t) là một hàm liên tục. Khi đó ta có đẳng thức sau đây
t0 Iα
t
t0 Iβ
t f(t)
= t0 Iβ
t ( t0 Iα
t f(t)) = t0 Iα+β
t f(t), ∀t ≥ t0 ≥ 0.
Tiếp theo chúng tôi nhắc lại định nghĩa về hàm Mittag-Leffler.
Định nghĩa 1.4. [14] Cho α ∈ C, một hàm Eα : C −→ C xác định bởi
Eα(z) =
+∞
X
k=0
zk
Γ(αk + 1)
,
được gọi là hàm Mittag-Leffler một tham số.
Nhận xét 1.1. Trong Định nghĩa 1.4, nếu cho α = 1, ta có
E1(z) =
+∞
X
k=0
zk
Γ(k + 1)
=
+∞
X
k=0
zk
k!
= ez
.
Do đó hàm Mittag-Leffler chính là mở rộng của khái niệm hàm mũ.

13. 12
Định nghĩa 1.5. [14] Cho α, β ∈ C, một hàm Eα,β : C −→ C xác định bởi
Eα,β(z) =
+∞
X
k=0
zk
Γ(αk + β)
,
được gọi là hàm Mittag-Leffler hai tham số. Các hàm Mittag-Leffler nhận giá
trị ma trận được định nghĩa hoàn toàn tương tự, tức là
Eα,β(A) =
+∞
X
k=0
Ak
Γ(αk + β)
, ∀A ∈ Rn×n
.
Các tính chất của hàm Mittag-Leffler một tham số, hai tham số đã được
trình bày chi tiết trong cuốn sách chuyên khảo của A.A. Kilbas [15].
1.2. Một số bổ đề bổ trợ
Trong mục này, chúng tôi nhắc lại một số bổ đề được sử dụng để chứng
minh các kết quả chính trong các nội dung tiếp theo của luận văn.
Bổ đề 1.1. (Bất đẳng thức Cauchy ma trận [8]) Cho x, y ∈ Rn
và S ∈ Rn×n
là một ma trận đối xứng, xác định dương. Khi đó ta có đánh giá sau:
±2xT
y ≤ xT
Sx + yT
S−1
y.
Bổ đề 1.2. (Bổ đề Schur [8]) Cho X, Y, Z là các ma trận có số chiều thích
hợp, X, Y là hai ma trận đối xứng, xác định dương. Khi đó X + ZT
Y −1
Z 0
nếu và chỉ nếu 

X ZT
Z −Y

 0.
Bổ đề sau đây có vai trò quan trọng trong việc ước lượng hàm Lyapunov.
Bổ đề 1.3. ([13]) Cho x(t) ∈ Rn
là một véc tơ hàm khả vi liên tục và P ∈ Rn×n
là một ma trận đối xứng, xác định dương. Khi đó ta có ước lượng sau đây:
1
2
C
t0
Dα
t xT
(t)Px(t)
≤ xT
(t)P C
t0
Dα
t x(t), ∀t ≥ t0 ≥ 0.
Bổ đề 1.4. [17] Giả sử x(t) và a(t) là các hàm không âm và khả tích trên đoạn
[0, T], T ≤ +∞, g(t) là hàm không âm, không giảm trên đoạn [0, T], g(t) ≤ M,

14. 13
trong đó M là một hằng số và α 0 sao cho
x(t) ≤ a(t) + g(t)
Z t
0
(t − s)α−1
x(s)ds, t ∈ [0, T].
Nếu a(t) là hàm không giảm trên [0, T] thì x(t) ≤ a(t)Eα(g(t)Γ(α)tα
), t ∈
[0, T].
1.3. Bài toán ổn định trong thời gian hữu hạn cho hệ
phương trình vi phân phân thứ
Bài toán ổn định trong thời gian hữu hạn của lớp hệ phương trình vi phân
phân thứ được nghiên cứu đầu tiên bởi M.P. Lazarević và A.M. Spasić [16].
Sau đó bài toán này được mở rộng sang cho mạng nơ ron thần kinh phân thứ
[23, 26]. Các điều kiện đưa ra trong các kết quả này rất phức tạp và khó để
tính toán. Gần đây, bằng cách tiếp cận sử dụng bất đẳng thức ma trận tuyến
tính kết hợp với phép biến đổi Laplace, Y.J. Ma cùng các cộng sự [17] đã đưa
ra một số tiêu chuẩn cho bài toán ổn định trong thời gian hữu hạn và bị chặn
trong thời gian hữu hạn của lớp hệ phương trình vi phân phân thứ tuyến tính.
Một số bài toán ổn định hóa liên quan cũng được nghiên cứu trong công trình
này. Trong mục này, chúng tôi trình bày lại kết quả của Y.J. Ma cùng các cộng
sự [17].
Xét hệ tuyến tính phân thứ





C
0 Dα
t x(t) = Ax(t), t ≥ 0,
x(0) = x0 ∈ Rn
,
(1.1)
trong đó α ∈ (0, 1), x(t) ∈ Rn
là véc tơ trạng thái, A ∈ Rn×n
là ma trận hằng
số cho trước.
Định nghĩa 1.6. Cho c1, c2 (c1 ≤ c2), T là các số dương, R là một ma trận đối
xứng, xác định dương. Hệ (1.1) được gọi là ổn định trong thời gian hữu hạn
tương ứng với bộ (c1, c2, T, R) nếu xT
0 Rx0 ≤ c1 ta đều có xT
(t)Rx(t) c2, ∀t ∈
[0, T].
Định lý dưới đây cho ta một điều kiện đủ cho tính ổn định trong thời gian
hữu hạn của hệ tuyến tính phân thứ (1.1).

15. 14
Định lý 1.8. [17] Cho trước các số dương c1, c2 (c1 ≤ c2), T và R ∈ Rn×n
là
một ma trận đối xứng, xác định dương. Hệ (1.1) ổn định trong thời gian hữu
hạn tương ứng với bộ (c1, c2, T, R) nếu tồn tại một ma trận đối xứng, xác định
dương Q ∈ Rn×n
và một số dương γ sao cho các điều kiện dưới đây được thỏa
mãn
PA + AT
P − γP 0, (1.2a)
Eα(γTα
)
λmax(Q)
λmin(Q)
c2
c1
, (1.2b)
Chứng minh. Xét hàm Lyapunov V (x(t)) = xT
(t)Px(t). Áp dụng Bổ đề 1.3,
ta thu được ước lượng sau đây
C
0 Dα
t V (x(t)) ≤ 2xT
(t)P C
0 Dα
t x(t) = xT
(t)[PA + AT
P]x(t).
Từ điều kiện (1.2a), ta có
C
0 Dα
t V (x(t)) γV (x(t)). (1.3)
Vì γ 0 nên tồn tại một hàm không âm M(t) sao cho
C
0 Dα
t V (x(t)) + M(t) = γV (x(t)). (1.4)
Áp dụng biến đổi Laplace vào hai vế của đẳng thức trên, ta thu được
sα
V (x(s)) − V (x(0))sα−1
+ M(s) = γV (x(s)).
Đẳng thức bên trên tương đương với
V (x(s)) = (sα
− γ)−1
V (x(0))sα−1
− M(s)
. (1.5)
Áp dụng biến đổi Laplace ngược vào đẳng thức (1.5), ta thu được
V (x(t)) = V (x(0))Eα(γtα
) −
Z t
0
M(τ)[(t − τ)α−1
Eα,α(γ(t − τ)α
)]dτ.
Vì hàm dưới dấu tích phân là dương nên từ đẳng thức trên ta thu được
V (x(t)) Eα(γtα
)V (x(0)).
Bất đẳng thức trên tương đương với xT
(t)Px(t) Eα(γtα
)xT
(0)Px(0). Vì
P = R
1
2 QR
1
2 nên bất đẳng thức bên trên tương đương với
xT
(t)R
1
2 QR
1
2 x(t) Eα(γtα
)xT
(0)R
1
2 QR
1
2 x(0). (1.6)

16. 15
Từ đó suy ra
λmin(Q)xT
(t)Rx(t) λmax(Q)Eα(γtα
)xT
(0)Rx(0).
Kết hợp bất đẳng thức trên với xT
(0)Rx(0) ≤ c1 và điều kiện (1.2b), ta có
xT
(t)Rx(t) c2, ∀t ∈ [0, T]. Định lý được chứng minh hoàn toàn.
Khi có tác động của nhiễu hệ (1.1) trở thành hệ sau đây.





C
0 Dα
t x(t) = Ax(t) + Dω(t), t ≥ 0,
x(0) = x0 ∈ Rn
,
(1.7)
trong đó α ∈ (0, 1), x(t) ∈ Rn
là véc tơ trạng thái, A ∈ Rn×n
, D ∈ Rn×m
là
các ma trận hằng số cho trước. Nhiễu ω(t) ∈ Rm
thỏa mãn điều kiện tồn tại
số d 0 sao cho
sup
t≥0
ωT
(t)ω(t) ≤ d. (1.8)
Định nghĩa 1.7. Cho c1, c2 (c1 ≤ c2), T, d là các số dương, R là một ma trận
đối xứng, xác định dương. Hệ (1.7) được gọi là bị chặn trong thời gian hữu
hạn tương ứng với bộ (c1, c2, T, R, d) nếu xT
0 Rx0 ≤ c1 ta đều có xT
(t)Rx(t)
c2, ∀t ∈ [0, T] và nhiễu ω(t) thỏa mãn điều kiện (1.8).
Định lý dưới đây cho ta một điều kiện đủ cho tính bị chặn trong thời gian
hữu hạn của hệ tuyến tính phân thứ (1.7).
Định lý 1.9. [17] Cho trước các số dương c1, c2 (c1 ≤ c2), T, d và R ∈ Rn×n
là
một ma trận đối xứng, xác định dương. Hệ (1.7) bị chặn trong thời gian hữu
hạn tương ứng với bộ (c1, c2, T, R, d) nếu tồn tại một số dương γ, các ma trận
đối xứng xác định dương P1 ∈ Rn×n
, P2 ∈ Rm×m
sao cho các điều kiện dưới
đây được thỏa mãn


AP + PAT
− γP DP2
P2DT
−γP2

 0, (1.9a)
Eα(γTα
)
γdTα
λmin(P2)Γ(α + 1)
+
c1
λmin(P1)
c2
λmax(P1)
, (1.9b)
trong đó P = R−1
2 P1R−1
2 .

17. 16
Chứng minh. Xét hàm Lyapunov V (x(t)) = xT
(t)P−1
x(t). Áp dụng Bổ đề 1.3,
ta thu được ước lượng sau đây
C
0 Dα
t V (x(t)) ≤ 2xT
(t)P C
0 Dα
t x(t)
xT
(t)P−1
(Ax(t) + Dω(t)) + (Ax(t) + Dω(t))
T
P−1
x(t)
=
h
xT
(t) ωT
(t)
i


P−1
A + AT
P−1
P−1
D
DT
P−1
0




x(t)
ω(t)

 .
(1.10)
Nhân bên trái và bên phải của (1.9a) với ma trận đối xứng xác định dương


P−1
0
0 P−1
2

. Khi đó điều kiện (1.9a) tương đương với điều kiện dưới đây


P−1
A + AT
P−1
− γP−1
P−1
D
DT
P−1
−γP−1
2

 0. (1.11)
Kết hợp hai điều kiện (1.10) và (1.11), ta thu được
C
0 Dα
t V (x(t))
h
xT
(t) ωT
(t)
i


γP−1
0
0 γP−1
2




x(t)
ω(t)


= γV (x(t)) + γωT
(t)P−1
2 ω(t).
(1.12)
Kết hợp điều này với các đánh giá ωT
(t)P−1
2 ω(t) ≤ λmax(P−1
2 )ωT
(t)ω(t) ≤
d
λmin(P2), ta thu được
C
0 Dα
t V (x(t)) γV (x(t)) +
γd
λmin(P2)
, t ∈ [0, T]. (1.13)
Lấy tích phân cấp α từ 0 tới t, (t ≤ T), hai vế của (1.13) và áp dụng Định lý
1.5, ta thu được đánh giá sau đây
V (x(t)) V (x(0)) +
γdtα
λmin(P2)γ(α + 1)
+
γ
Γ(α)
Z t
0
(t − τ)α−1
V (x(τ))dτ.
Bây giờ, áp dụng Bổ đề 1.4, ta thu được
V (x(t))
V (x(0)) +
γdtα
λmin(P2)Γ(α + 1)
Eα
γ
Γ(α)
Γ(α)tα
≤
V (x(0)) +
γdTα
λmin(P2)Γ(α + 1)
Eα (γTα
) .
(1.14)

18. 17
Mặt khác, ta có các đánh giá sau đây
V (x(t)) = xT
(t)P−1
x(t) = xT
(t)R
1
2 P−1
1 R
1
2 x(t)
≥ λmin(P−1
1 )xT
(t)Rx(t) =
xT
(t)Rx(t)
λmax(P1)
,
(1.15)
V (x(0)) = xT
(0)P−1
x(0) = xT
(0)R
1
2 P−1
1 R
1
2 x(0)
≤ λmax(P−1
1 )xT
(0)Rx(0) ≤
c1
λmin(P1)
.
(1.16)
Từ các điều kiện (1.14) tới (1.16), ta có
xT
(t)Rx(t)
λmax(P1)
Eα(γTα
)
γdTα
λmin(P2)Γ(α + 1)
+
c1
λmin(P1)
. (1.17)
Từ điều kiện (1.9b) và (1.17), ta có
xT
(t)Rx(t) c2, ∀t ∈ [0, T].
Định lý được chứng minh hoàn toàn.
Nhận xét 1.2. Khi α = 1, các kết quả trong [5] là các trường hợp đặc biệt
của Định lý 1.8, Định lý 1.9.
1.4. Bài toán điều khiển H∞ trong thời gian hữu hạn cho
lớp hệ phương trình vi phân với bậc nguyên
Bài toán điều khiển H∞ trong thời gian hữu hạn cho một số lớp hệ phương
trình vi phân với bậc nguyên đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều
nhà khoa học [6, 18, 22, 24]. Trong mục này, chúng tôi trình bày định nghĩa và
một số tiêu chuẩn cơ bản và quan trọng cho bài toán điều khiển H∞ trong thời
gian hữu hạn cho lớp hệ phương trình vi phân tuyến tính với bậc nguyên [18].
Các định nghĩa về tính ổn định trong thời gian hữu hạn, tính bị chặn trong
thời gian hữu hạn được định nghĩa tương tự Mục 1.3.
Xét hệ điều khiển tuyến tính với bậc nguyên











ẋ(t) = Ax(t) + Gw(t) + Bu(t), t ≥ 0,
z(t) = Cx(t) + D1u(t) + D2w(t), t ≥ 0,
x(0) = x0,
(1.18)

19. 18
trong đó x(t) ∈ Rn
là véc tơ trạng thái, w(t) ∈ Rl
là nhiễu thỏa mãn điều kiện
dưới đây
Z +∞
0
wT
(t)w(t)dt d. (1.19)
với d là một số dương, z(t) ∈ Rq
là véc tơ đầu ra (output vector), u(t) ∈ Rm
là
véc tơ điều khiển, A ∈ Rn×n
, G ∈ Rn×l
, B ∈ Rn×m
, C ∈ Rq×n
, D1 ∈ Rq×m
, D2 ∈
Rq×l
là các ma trận hằng số.
Với điều khiển ngược u(t) = Kx(t), ta thu được hệ đóng sau đây











ẋ(t) = Ax(t) + Gw(t), t ≥ 0,
z(t) = Cx(t) + D2w(t), t ≥ 0,
x(0) = x0,
(1.20)
trong đó A = A + BK, C = C + D1K.
Định nghĩa 1.8. Cho trước các số dương c1, c2 (c1 ≤ c2), T, d và R ∈ Rn×n
là một ma trận đối xứng, xác định dương. Bài toán điều khiển H∞ trong
thời gian hữu hạn cho hệ (1.18) có nghiệm nếu tồn tại một điều khiển ngược
u(t) = Kx(t) sao cho các điều kiện dưới đây được thỏa mãn:
(1) Hệ đóng (1.20) bị chặn trong thời gian hữu hạn tương ứng với bộ (c1, c2, T, R, d),
(2) Với điều kiện ban đầu bằng 0, tức là x0 ≡ 0, bất đẳng thức dưới đây được
thỏa mãn Z t
0
zT
(s)z(s)ds γ2
Z t
0
wT
(s)w(s)ds, (1.21)
trong đó nhiễu w(t) ∈ Rl
thỏa mãn điều kiện (1.19) và γ là một hằng số dương.
Bằng cách sử kỹ thuật biến đổi trên ma trận, Q. Meng và Y. Shen [18] đưa
ra một điều kiện đủ cho bài toán điều khiển H∞ trong thời gian hữu hạn cho
hệ điều khiển tuyến tính với bậc nguyên (1.18).
Định lý 1.10. [18] Cho trước các số dương c1, c2 (c1 ≤ c2), T, d và R ∈ Rn×n
là một ma trận đối xứng, xác định dương. Bài toán điều khiển H∞ trong thời
gian hữu hạn cho hệ (1.18) có nghiệm nếu tồn tại hai số β ≥ 0, γ 0, một
ma trận đối xứng xác định dương Q1 và một ma trận L sao cho các điều kiện

20. 19
dưới đây được thỏa mãn





AQ̃1 + Q̃1AT
− αQ̃1 + BL + LT
BT
G Q̃1CT
+ LT
DT
1
GT
−γI D2
CQ̃1 + D1L DT
2 −I





0, (1.22a)
dγ
c2e−αT
λmax(Q1)
, (1.22b)
trong đó Q̃1 = R−1
2 Q1R−1
2 .
Bài toán điều khiển H∞ trong thời gian hữu hạn được nhiều tác giả nghiên
cứu cho một số lớp hệ nơ ron thần kinh với bậc nguyên [6, 22, 24]. Gần đây,
M.V. Thuan và các cộng sự nghiên cứu bài toán trên cho hệ nơ ron thần kinh
phân thứ. Trong chương tiếp theo của luận văn, chúng tôi trình bày bài toán
điều khiển H∞ trong thời gian hữu hạn cho lớp hệ này.

21. 20
Chương 2
Điều khiển H∞ trong thời gian hữu
hạn của một lớp hệ nơ ron thần
kinh phân thứ
Chương này, chúng tôi trình bày bài toán điều khiển H∞ trong thời gian
hữu hạn cho một lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ trên cơ sở đọc hiểu và trình
bày lại một cách chi tiết kết quả trong [20].
2.1. Phát biểu bài toán và một số tiêu chuẩn
Xét hệ nơ ron thần kinh



















C
0 Dα
t x(t) = − [A + ∆A(t)] x(t) + [D + ∆D(t)]f(x(t)) + [W + ∆W(t)]ω(t)
+[B + ∆B(t)]u(t), t ≥ 0,
z(t) = Cx(t), t ≥ 0,
x(0) = x0 ∈ Rn
,
(2.1)
trong đó 0 α 1, x(t) = (x1(t), . . . , xn(t))
T
∈ Rn
là véc tơ trạng thái, z(t) ∈
Rp
là véc tơ đầu ra (output vector), ω(t) ∈ Rq
là nhiễu, u(t) ∈ Rm
là véc tơ điều
khiển, n là số nơ ron của hệ, f(x(t)) = (f1(x1(t)), f2(x2(t)), . . . , fn(xn(t)))
T
∈
Rn
là hàm kích hoạt, A = diag{a1, a2, . . . , an} ∈ Rn×n
ma trận đường chéo
chính xác định dương, D ∈ Rn×n
là ma trận trọng số liên kết, W ∈ Rn×m
, B ∈
Rm×n
, C ∈ Rp×n
, là các ma trận thực cho trước, x0 là điều kiện ban đầu.

22. 21
Ta cần các giả thiết sau để nghiên cứu bài toán điều khiển H∞ trong thời
gian hữu hạn cho hệ (2.1).
Giả thiết 2.1.
∆A(t) = EaFa(t)Ha, ∆D(t) = EdFd(t)Hd,
∆W(t) = EwFw(t)Hw, ∆B(t) = EbFb(t)Hb,
(2.2)
trong đó Ea, Ed, Ew, Eb, Ha, Hd, Hw, Hb là các ma trận thực hằng số cho trước
có số chiều thích hợp; Fa(t), Fd(t), Fw(t), Fb(t) là các ma trận biến thiên thỏa
mãn FT
a (t)Fa(t) ≤ I, FT
d (t)Fd(t) ≤ I, FT
w (t)Fw(t) ≤ I, FT
b (t)Fb(t) ≤ I, ∀t ≥ 0.
Giả thiết 2.2. Các hàm kích hoạt fi(.) liên tục, fi(0) = 0 (i = 1, . . . , n), và
thỏa mãn điều kiện Lipschitz trên R với hằng số Lipschitz li 0 :
|fi(η1) − fi(η2)| ≤ li|η1 − η2|, ∀η1, η2 ∈ R. (2.3)
Đặc biệt, khi η2 = 0, ta có
kfi(η1)k ≤ li|η1|, ∀η1 ∈ R. (2.4)
Giả thiết 2.3. Nhiễu ω(t) ∈ Rq
thỏa mãn điều kiện sau đây
∃d 0 : ωT
(t)ω(t) d, ∀t ∈ [0, Tf ]. (2.5)
Đối với hệ (2.1) và γ vô hướng dương đã cho, số đo hiệu suất H∞ của hệ
cho bởi
J =
Z Tf
0
zT
(t)z(t) − γ2
ωT
(t)ω(t)
dt.
Khi không có tác động của véc tơ điều khiển hệ (2.1) rút gọn thành



















C
0 Dα
t x(t) = − [A + ∆A(t)] x(t) + [D + ∆D(t)]f(x(t))
+[W + ∆W(t)]ω(t), t ≥ 0,
z(t) = Cx(t), t ≥ 0,
x(0) = x0 ∈ Rn
,
(2.6)
Định nghĩa 2.1. ([17]) Cho trước các số dương Tf , c1, c2(c1 c2), d, và một
ma trận đối xứng xác định dương R ∈ Rn×n
. Hệ (2.6) với véc tơ đầu ra

23. 22
z(t) = 0 bị chặn trong thời gian hữu hạn tương ứng với bộ (c1, c2, Tf , R, d) nếu
xT
0 Rx0 ≤ c1 =⇒ xT
(t)Rx(t) c2, ∀t ∈ [0, Tf ], với mọi nhiễu ω(t) ∈ Rq
thỏa
mãn Giả thiết 2.3.
Định nghĩa 2.2. Hệ (2.6) được gọi là đạt được hiệu suất H∞ tương ứng với
bộ (c1, c2, Tf , R, d) nếu các điều kiện dưới đây được thỏa mãn:
(i) Khi mà z(t) ≡ 0, hệ (2.6) bị chặn trong thời gian hữu hạn tương ứng với
bộ (c1, c2, Tf , R, d);
(ii) Với điều kiện ban đầu bằng không, tức là x0 ≡ 0, bắt đẳng thức dưới đây
được thỏa mãn
J =
Z Tf
0
zT
(t)z(t) − γ2
ωT
(t)ω(t)
dt 0,
với mọi ω(t) ∈ L2
([0, Tf ], Rq
).
Ta thiết kế điều khiển ngược u(t) = Kx(t) sao cho hệ đóng



















C
0 Dα
t x(t) = [−A + BK − ∆A(t) + ∆B(t)K] x(t) + [D + ∆D(t)]f(x(t))
+[W + ∆W(t)]ω(t), t ≥ 0,
z(t) = Cx(t), t ≥ 0,
x(0) = x0 ∈ Rn
(2.7)
đạt được hiệu suất H∞ tương ứng với bộ (c1, c2, Tf , R, d).
Trước hết, chúng tôi trình bày một điều kiện đủ về tính bị chặn trong thời
gian hữu hạn cho hệ đóng (2.7). Ta ký hiệu
L = diag{l1, l2, . . . , ln}, X̂ = R−1
2 X−1
R−1
2 , λ1 = λmin(X̂), λ2 = λmax(X̂),
Ξ11 = −AX − XA + BY + Y T
BT
+ 1EaET
a + 2EbET
b + EdET
d + EwET
w,
Ξ22 = HT
d Hd − I,
Ξ33 = HT
w Hw − I.
Định lý dưới đây cho ta cách thiết kế điều khiển ngược u(t) để hệ đóng (2.7)
bị chặn trong thời gian hữu hạn tương ứng với bộ (c1, c2, Tf , R, d).

24. 23
Định lý 2.1. Giả sử rằng các Giả thiết 2.1, 2.2, 2.3 được thỏa mãn. Cho trước
các số dương c1, c2, d, Tf và một ma trận đối xứng, xác định dương R ∈ Rn×n
.
Hệ đóng (2.7) bị chặn trong thời gian hữu hạn tương ứng với bộ (c1, c2, Tf , R, d)
nếu tồn tại các hằng số dương , 1, 2, ma trận X ∈ S+
n , và ma trận Y ∈ Rm×n
sao cho các điều kiện dưới đây được thỏa mãn













Ξ11 D W XHT
a Y T
HT
b XLT
∗ Ξ22 0 0 0 0
∗ ∗ Ξ33 0 0 0
∗ ∗ ∗ −1I 0 0
∗ ∗ ∗ ∗ −2I 0
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −I













0, (2.8a)
λ2c1 +
d
Γ(α + 1)
Tα
f λ1c2. (2.8b)
Ngoài ra, điều khiển ngược ổn định hóa được cho bởi
u(t) = Y X−1
x(t), t ∈ [0, Tf ].
Chứng minh. Vì X là một ma trận đối xứng xác định dương nên X−1
cũng là
một ma trận đối xứng, xác định dương. Xét hàm Lyapunov sau đây:
V (x(t)) = xT
(t)X−1
x(t).
Sử dụng Bổ đề 1.3, ta tính được đạo hàm Caputo cấp α (0 α 1) của hàm
V (x(t)) dọc theo quỹ đạo của hệ đóng (2.7) như sau
C
0 Dα
t V (x(t))
≤ 2xT
(t)X−1 C
0 Dα
t x(t)
= xT
(t)
−X−1
A − AX−1
+ X−1
BK + KT
BT
X−1
x(t)
− 2xT
(t)X−1
EaFa(t)Hax(t) + 2xT
(t)X−1
EbFb(t)HbKx(t)
+ 2xT
(t)X−1
Df(x(t)) + 2xT
(t)X−1
EdFd(t)Hdf(x(t))
+ 2xT
(t)X−1
Wω(t) + 2xT
(t)X−1
EwFw(t)Hwω(t).
(2.9)
Sử dụng bất đẳng thức ma trận Cauchy và Giả thiết 2.1, ta thu được các ước

25. 24
lượng dưới đây
− 2xT
(t)X−1
EaFa(t)Hax(t) ≤ 1xT
(t)X−1
EaET
a X−1
x(t) + −1
1 xT
(t)HT
a Hax(t),
2xT
(t)X−1
EbFb(t)HbKx(t) ≤ 2xT
(t)X−1
EbET
b X−1
x(t) + −1
2 xT
(t)KT
HT
b HbKx(t),
2xT
(t)X−1
EdFd(t)Hdf(x(t)) ≤ xT
(t)X−1
EdET
d X−1
x(t) + fT
(x(t))HT
d Hdf(x(t)),
2xT
(t)X−1
EwFw(t)Hwω(t) ≤ xT
(t)X−1
EwET
wX−1
x(t) + ωT
(t)HT
w Hwω(t).
(2.10)
Từ Giả thiết 2.2, ta có
0 ≤ −fT
(x(t))f(x(t)) + xT
(t)LT
Lx(t). (2.11)
Đưa các ước lượng (2.10) và (2.11) vào trong (2.9), ta thu được
C
0 Dα
t V (x(t)) ≤ ξT
(t)Ωξ(t) + ωT
(t)ω(t), (2.12)
trong đó
ξ(t) =





x(t)
f(x(t))
ω(t)





, Ω =





Ω11 X−1
D X−1
W
∗ Ω22 0
∗ ∗ Ω33





,
với
Ω11 = −X−1
A − AX−1
+ X−1
BK + KT
BT
X−1
+ 1X−1
EaET
a X−1
+ −1
1 HT
a Ha + 2X−1
EbET
b X−1
+ −1
2 KT
HT
b HbK + X−1
EdET
d X−1
+ X−1
EwET
wX−1
+ LT
L,
Ω22 = HT
d Hd − I,
Ω33 = HT
w Hw − I.
Bây giờ, nhân bên trái và bên phải của Ω bởi X = diag{X, I, I} và đặt K =
Y X−1
, ta thu được
XΩX =





Ω11 D W
∗ Ω22 0
∗ ∗ Ω33





, (2.13)

26. 25
trong đó
Ω11 = −AX − XA + BY + Y T
BT
+ 1EaET
a + −1
1 XHT
a HaX + 2EbET
b
+ −1
2 Y T
HT
b HbY + EdET
d + EwET
w + XLT
LX.
Chú ý rằng điều kiện Ω 0 tương đương với điều kiện XΩX 0. Sử dụng Bổ
đề Schur (Bổ đề 1.2), ta có XΩX 0 tương đương với điều kiện (2.8a). Từ
(2.8a) và (2.12), ta thu được đánh giá sau
C
0 Dα
t V (x(t)) ≤ ωT
(t)ω(t), ∀t ∈ [0, Tf ]. (2.14)
Lấy tích phân phân thứ cấp α hai vế của (2.14) với cận từ 0 tới t (0 t Tf )
và áp dụng Bổ đề 1.3, ta có
xT
(t)X−1
x(t) ≤ xT
(0)X−1
x(0) +
Γ(α)
Z t
0
(t − s)α−1
ωT
(s)ω(s)ds
≤ xT
(0)X−1
x(0) +
d
Γ(α)
Z t
0
(t − s)α−1
ds
≤ xT
(0)X−1
x(0) +
d
Γ(α + 1)
Tα
f .
(2.15)
Mặt khác, bằng các tính toán đơn giản, ta có
xT
(t)X−1
x(t) = xT
(t)R
1
2 X̂R
1
2 x(t)
≥ λmin(X̂)xT
(t)Rx(t) = λ1xT
(t)Rx(t),
(2.16)
xT
(0)X−1
x(0) = xT
(0)R
1
2 X̂R
1
2 x(0)
≤ λmax(X̂)xT
(0)Rx(0) = λ2xT
(0)Rx(0) ≤ λ2c1.
(2.17)
Từ các ước lượng (2.15), (2.16) và (2.17), ta có
λ1xT
(t)Rx(t) ≤ V (x(t)) = xT
(t)X−1
x(t) ≤ λ2c1 +
d
Γ(α + 1)
Tα
f . (2.18)
Kết hợp điều kiện (2.18) với (2.8b), ta suy ra xT
(t)Rx(t) c2. Vậy, hệ đóng
(2.7) với z(t) ≡ 0 bị chặn hữu hạn tương ứng với bộ (c1, c2, Tf , R, d). Định lý
được chứng minh hoàn toàn.
Nhận xét 2.1. Nhiều kết quả đã được công bố trong những năm gần đây về
bài toán nghiên cứu tính ổn định và tính bị chặn trong thời gian hữu hạn của

27. 26
một số lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ (xem trong [9, 12, 25, 26] và các tài
liệu tham khảo trong đó). Phương pháp sử dụng trong các kết quả đã có chủ
yếu dựa trên bất đẳng thức Hölder, bất đẳng thức Bellman-Gronwall và phép
biến đổi laplace [9, 26], định lý giá trị trung bình và nguyên lý anh xạ co [19].
Chú ý rằng các cách tiếp cận trong các công trình đó không áp dụng được cho
bài toán điều khiển. Bằng cách sử dụng phương pháp hàm Lyapunov, Định
lý 2.1 giải bài toán ổn định hóa cho một lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ
dưới dạng bất đẳng thức ma trận tuyến tính. Chú ý rằng các điều kiện dạng
bất đẳng thức ma trận tuyến tính có thể giải hiệu quả trong thời gian đa thức
bằng hộp công cụ LMI Toolbox trong MATLAB.
Tiếp theo, chúng tôi xét một trường hợp đặc biệt của hệ (2.1). Xét hệ điều
khiển tuyến tính phân thứ





C
0 Dα
t x(t) = Ax(t) + Wω(t) + Bu(t), t ≥ 0,
x(0) = x0 ∈ Rn
,
(2.19)
trong đó α ∈ (0, 1), x(t) ∈ Rn
là véc tơ trạng thái, ω(t) ∈ Rp
là véc tơ nhiễu
đầu vào (disturbance input vector), u(t) ∈ Rm
là véc tơ điều khiển, x0 là điều
kiện ban đầu, A ∈ Rn×n
, W ∈ Rn×p
, B ∈ Rn×m
là các ma trận thực cho trước.
Véc tơ nhiễu đầu vào ω(t) thỏa mãn Giả thiết 2.3.
Dưới tác động của điều khiển ngược u(t) = Kx(t), hệ đóng tương ứng của
hệ (2.19) được cho bởi





C
0 Dα
t x(t) = (A + BK)x(t) + Wω(t), t ≥ 0,
x(0) = x0 ∈ Rn
.
(2.20)
Bằng cách sử dụng kỹ thuật chứng minh tương tự như chứng minh Định lý
2.1, ta thu được hệ quả dưới đây.
Hệ quả 2.1. Giả sử rằng Giả thiết 2.3 được thỏa mãn. Cho trước các số dương
c1, c2, d, Tf và R ∈ S+
n . Hệ đóng (2.20) bị chặn trong thời gian hữu hạn tương
ứng với bộ (c1, c2, Tf , R, d) nếu tồn tại một ma trận đối xứng, xác định dương
X ∈ Rn×n
, một ma trận Y ∈ Rm×n
sao cho các điều kiện dưới đây được thỏa

28. 27
mãn


AX + XAT
+ BY + Y T
BT
W
∗ −I

 0, (2.21a)
λ2c1 +
d
Γ(α + 1)
Tα
f λ1c2, (2.21b)
trong đó
X̂ = R−1
2 X−1
R−1
2 , λ1 = λmin(X̂), λ2 = λmax(X̂).
Ngoài ra, điều khiển ngược ổn định hóa được cho bởi
u(t) = Y X−1
x(t), t ∈ [0, Tf ].
Bây giờ, chúng tôi trình bày bài toán điều khiển H∞ trong thời gian hữu
hạn cho hệ (2.1). Ta ký hiệu
L = diag{l1, l2, . . . , ln}, X̂ = R−1
2 X−1
R−1
2 , λ1 = λmin(X̂), λ2 = λmax(X̂),
M11 = −AX − XA + BY + Y T
BT
+ 1EaET
a + 2EbET
b + EdET
d + EwET
w,
M22 = HT
d Hd − I,
M33 = HT
w Hw − I − γ2
I.
Định lý 2.2. Giả sử rằng các Giả thiết 2.1, 2.2, 2.3 được thỏa mãn. Cho trước
các số dương c1, c2, d, Tf và một ma trận đối xứng, xác định dương R ∈ Rn×n
.
Nếu tồn tại một ma trận đối xứng xác định dương X ∈ Rn×n
, một ma trận
Y ∈ Rm×n
, các hằng số dương , 1, 2 sao cho các điều kiện dưới đây được thỏa
mãn
















M11 D W XHT
a Y T
HT
b XLT
XCT
∗ M22 0 0 0 0 0
∗ ∗ M33 0 0 0 0
∗ ∗ ∗ −1I 0 0 0
∗ ∗ ∗ ∗ −2I 0 0
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −I 0
∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −I
















0, (2.22a)
λ2c1 +
d
Γ(α + 1)
Tα
f λ1c2, (2.22b)

29. 28
thì hệ đóng (2.7) đạt được hiệu suất H∞ tương ứng với bộ (c1, c2, Tf , R, d) dưới
tác động của điều khiển ngược u(t) xác định bởi
u(t) = Y X−1
x(t), t ∈ [0, Tf ].
Chứng minh. Khi z(t) ≡ 0, các điều kiện (2.22a) và (2.22b) suy ra các điều
kiện (2.8a) và (2.8b). Do đó, theo Định lý 2.1, hệ đóng tương ứng bị chặn trong
thời gian hữu hạn ứng với bộ (c1, c2, Tf , R, d). Để giải bài toán điều khiển H∞
cho hệ (2.1), ta chọn hàm Lyapunov giống như trong chứng minh Định lý 2.1.
Khi đó, ta thu được ước lượng dưới đây:
C
0 Dα
t V (x(t)) + zT
(t)z(t) − γ2
ωT
(t)ω(t) ≤ ξT
(t)Ψξ(t), (2.23)
trong đó
ξ(t) =





x(t)
f(x(t))
ω(t)





, Ψ =





Ψ11 X−1
D X−1
W
∗ Ψ22 0
∗ ∗ Ψ33





,
Ψ11 = −X−1
A − AX−1
+ X−1
BK + KT
BT
X−1
+ 1X−1
EaET
a X−1
+ −1
1 HT
a Ha
+ 2X−1
EbET
b X−1
+ −1
2 KT
HT
b HbK + X−1
EdET
d X−1
+ X−1
EwET
wX−1
+ LT
L + CT
C,
Ψ22 = HT
d Hd − I,
Ψ33 = HT
w Hw − I − γ2
I.
Bây giờ nhân tương ứng hai vế của Ψ bởi X = diag{X, I, I} và chuyển vị của
nó, đặt K = Y X−1
và sử dụng Bổ đề Schur (Bổ đề 1.2), ta có điều kiện Ψ 0
tương đương với (2.22a). Suy ra
C
0 Dα
t V (x(t)) + zT
(t)z(t) − γ2
ωT
(t)ω(t) 0, ∀t ∈ [0, Tf ]. (2.24)
Lấy tích phân hai vế của (2.24) với cận từ 0 tới Tf , ta có
0I1
Tf
C
0 Dα
Tf
V (x(t)) +
Z Tf
0
zT
(t)z(t)dt −
Z Tf
0
γ2
ωT
(t)ω(t)dt 0. (2.25)
Sử dụng Mệnh đề 1.3 và Định lý 1.7, ta thu được đánh giá dưới đây
0I1
Tf
C
0 Dα
Tf
V (x(t))

30. 29
= 0I1−α
Tf 0Iα
Tf
C
0 Dα
Tf
V (x(t))
= 0I1−α
Tf
0Iα
Tf
C
0 Dα
Tf
V (x(t))
= 0I1−α
Tf
(V (x(t)) − V ((0))) = 0I1−α
Tf
V (x(t)) − 0I1−α
Tf
V (x(0)).
Mặt khác, ta lại có
0I1−α
Tf
V (x(t)) =
1
Γ(1 − α)
Z Tf
0
(Tf − s)−α
xT
(s)X−1
x(s)ds ≥ 0, ∀Tf ≥ 0.
Với điều kiện ban đầu bằng không, ta thu được ước lượng sau đây
0I1−α
Tf
V (x(0)) =
1
Γ(1 − α)
Z Tf
0
(Tf − s)−α
xT
(0)X−1
x(0)ds = 0, ∀Tf ≥ 0.
Suy ra 0I1
Tf
C
0 Dα
Tf
V (x(t)) ≥ 0, ∀Tf ≥ 0 với điều kiện ban đầu bằng không. Từ
đo suy ra
J =
Z Tf
0
zT
(t)z(t) − γ2
ωT
(t)ω(t)
dt 0.
Vậy hệ đóng (2.7) đạt được hiệu suất H∞ tương ứng với bộ (c1, c2, Tf , R, d).
Định lý được chứng minh hoàn toàn.
Nhận xét 2.2. Dựa trên hộp công cụ LMI Control Toolbox trong MATLAB,
ta có các bước sau để giải bài toán điều khiển H∞ trong thời gian hữu hạn cho
hệ (2.1).
Bước 1: Giải bất đẳng thức ma trận tuyến tính (2.22a) và thu được ba hằng
số dương , 1, 2, một ma trận đối xứng xác định dương X ∈ Rn×n
và một ma
trận Y ∈ Rm×n
.
Bước 2: Kiểm tra điều kiện (2.22b) trong Định lý 2.2. Nếu đúng chuyển sang
Bước 3 còn trái lại ta quay lại Bước 1.
Bước 3: Ma trận điều khiển ngược K xác định bởi K = Y X−1
. Bài toán điều
khiển H∞ trong thời gian hữu hạn được giải quyết.
Trong trường hợp hệ (2.1) không có tham số không chắc chắn, tức là
∆A(t) ≡ 0, ∆D(t) ≡ 0, ∆W(t) ≡ 0, ∆B(t) ≡ 0, hệ (2.1) rút gọn thành











C
0 Dα
t x(t) = −Ax(t) + Df(x(t)) + Wω(t) + Bu(t), t ≥ 0,
z(t) = Cx(t), t ≥ 0,
x(0) = x0 ∈ Rn
.
(2.26)

31. 30
Dưới tác động của điều khiển ngược u(t) = Kx(t), hệ đóng tương ứng của hệ
(2.26) miêu tả bởi











C
0 Dα
t x(t) = (−A + BK)x(t) + Df(x(t)) + Wω(t), t ≥ 0,
z(t) = Cx(t), t ≥ 0,
x(0) = x0 ∈ Rn
.
(2.27)
Ta dễ dàng thu được hệ quả sau đây.
Hệ quả 2.2. Giả sử rằng các Giả thiết 2.2, 2.3 được thỏa mãn. Cho trước
các số dương c1, c2, d, Tf và một ma trận đối xứng, xác định dương R ∈ Rn×n
.
Nếu tồn tại một ma trận đối xứng xác định dương X ∈ Rn×n
, một ma trận
Y ∈ Rm×n
, một hằng số dương sao cho các điều kiện dưới đây được thỏa mãn










N11 D W XLT
XCT
∗ −I 0 0 0
∗ ∗ −I − γ2
I 0 0
∗ ∗ ∗ −I 0
∗ ∗ ∗ ∗ −I










0, (2.28a)
λ2c1 +
d
Γ(α + 1)
Tα
f λ1c2, (2.28b)
trong đó
N11 = −AX − XAT
+ BY + Y T
BT
,
thì hệ đóng (2.27) đạt được hiệu suất H∞ tương ứng với bộ (c1, c2, Tf , R, d)
dưới tác động của điều khiển ngược u(t) xác định bởi
u(t) = Y X−1
x(t), t ∈ [0, Tf ].
2.2. Ví dụ số
Trong mục này, chúng tôi trình bày ba ví dụ số để minh họa cho các kết
quả lý thuyết

32. 31
Ví dụ 2.1. Xét hệ điều khiển tuyến tính phân thứ (Ví dụ 2 trong [17])





C
0 D0.8
t x(t) = Ax(t) + Wω(t) + Bu(t),
x(0) = (x1(0), x2(0))T
∈ R2
,
(2.29)
trong đó
A =


7 3
9 6

 , B =


3 0
0 4

 , W =


1
0.6

 ,
x(t) = (x1(t), x2(t))T
∈ R2
, u(t) = (u1(t), u2(t)) ∈ R2
, ω(t) = sin t ∈ R. Với
điều khiển ngược u(t) = Kx(t), hệ đóng tương ứng của hệ (2.29) mô tả bởi





C
0 D0.8
t x(t) = (A + BK)x(t) + Wω(t),
x(0) = (x1(0), x2(0))T
∈ R2
,
(2.30)
Để so sánh kết quả của Định lý 2.1 với kết quả của Y.J. Ma cùng các cộng sự
[17], ta xét hai trường hợp sau đây:
Trường hợp I: Ta chọn c1 = 5, Tf = 0.1, R = I, d = 1. Áp dụng Hệ quả 2.1, hệ
đóng (2.30) bị chặn trong thời gian hữu hạn ứng với bộ (5, c2, 0.1, I, 1) với mọi
c2 ≥ 5.9 bởi điều khiển ngược ổn định hóa cho bởi u(t) =


−2.500 −4.9939
0.7454 −1.6250

 x(t).
Chú ý rằng trong công trình của Y.J. Ma cùng các cộng sự [17], giá trị nhỏ
nhất của c2 để hệ đóng bị chặn trong thời gian hữu hạn là c2 min = 15.
Trường hợp II: Cho c1 = 5, c2 = 15, R = I, d = 1. Áp dụng Hệ quả 2.1, hệ
đóng (2.30) bị chặn trong thời gian hữu hạn ứng với bộ (5, 15, Tf , I, 1) với
khoảng thời gian 0 Tf Tf max = 6 bởi điều khiển ngược ổn định hóa cho
bởi by u(t) =


−2.500 −4.9939
0.7454 −1.6250

 x(t). Chú ý rằng trong công trình của Y.J.
Ma cùng các cộng sự [17], giá trị lớn nhất của Tf để hệ đóng bị chặn trong
thời gian hữu hạn là Tf max = 0.1.
Do đó, Định lý 2.1 hiệu quả hơn kết quả của Y.J. Ma cùng các cộng sự [17].
Kết quả mô phỏng:
• Chọn điều kiện ban đầu x(0) = (2, 2)T
∈ R2
, c1 = 5, c2 = 5.9, Tf =
0.1, R = I, d = 1. Hình 2.1 mô phỏng quỹ đạo của các véc tơ trạng thái

33. 32
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1
2
4
6
8
10
12
14
16
Time(sec)
x
1
(t)
x2
(t)
Hình 2.1: Quỹ đạo của các trạng thái x1(t) và x2(t) của hệ mở trong Ví dụ 2.1
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Time(sec)
x
1
(t)
x
2
(t)
Hình 2.2: Quỹ đạo của các trạng thái x1(t) và x2(t) của hệ đóng trong Ví dụ 2.1
x1(t), x2(t) của hệ mở. Hình 2.2 mô phỏng quỹ đạo của các véc tơ trạng
thái x1(t), x2(t) của hệ đóng. Hình 2.3 và 2.4 lần lượt mô phỏng quỹ đạo
của xT
(t)Rx(t) của hệ mở và hệ đóng. Rõ ràng từ các hình vẽ trên ta thấy
hệ đóng bị chặn trong thời gian hữu hạn ứng với bộ (5, 5.9, 0.1, I, 1).
• Chọn điều kiện ban đầu x(0) = (2, 2)T
∈ R2
, c1 = 5, c2 = 15, Tf = 6, R =
I, d = 1. Hình 2.5 và 2.6 lần lượt mô phỏng quỹ đạo của xT
(t)Rx(t) của
hệ mở và hệ đóng. Rõ ràng, hệ đóng bị chặn trong thời gian hữu hạn ứng
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1
0
50
100
150
200
250
300
Time(sec)
xT
(t)Rx(t)
Hình 2.3: Quỹ đạo của xT (t)Rx(t) của hệ mở trong Ví dụ 2.1

34. 33
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1
0
1
2
3
4
5
6
Time(sec)
x
T
(t)Rx(t)
Hình 2.4: Quỹ đạo của xT (t)Rx(t) của hệ đóng trong Ví dụ 2.1
0 1 2 3 4 5 6
0
1
2
3
4
5
6
7
8
x 10
98
Time(sec)
xT
(t)Rx(t)
Hình 2.5: Quỹ đạo của xT (t)Rx(t) của hệ mở trong Ví dụ 2.1
0 1 2 3 4 5 6
0
1
2
3
4
5
6
Time(sec)
xT
(t)Rx(t)
Hình 2.6: Quỹ đạo của xT (t)Rx(t) của hệ đóng trong Ví dụ 2.1

35. 34
với bộ (5, 15, 6, I, 1)
Ví dụ 2.2. Xét hệ nơ ron thần kinh phân thứ dưới đây











C
0 D0.49
t x(t) = −Ax(t) + Df(x(t)) + Wω(t) + Bu(t), t ≥ 0,
z(t) = Cx(t), t ≥ 0,
x(0) = x0 ∈ R2
,
(2.31)
trong đó x(t) = (x1(t), x2(t))T
∈ R2
, u(t) = (u1(t), u2(t)) ∈ R2
, z(t) ∈ R, ω(t) =
0.01 cos t ∈ R và
A =


2 0
0 1

 , D =


1 0.5
0 9

 , W =


2
3

 , B =


4 0
0 5

 , C =
h
0.5 0.1
i
.
Với điều khiển ngược u(t) = Kx(t), hệ đóng tương ứng của hệ (2.31) mô tả
bởi











C
0 D0.49
t x(t) = (−A + BK)x(t) + Df(x(t)) + Wω(t), t ≥ 0,
z(t) = Cx(t), t ≥ 0,
x(0) = x0 ∈ R2
.
(2.32)
Các hàm kích hoạt được chọn như sau f(x(t)) = (tanh x1(t), tanh x2(t))T
∈ R2
.
Ta thấy hàm kích hoạt f(x(t)) thỏa mãn Giả thiết 2.2 với L = diag{1, 1}. Cho
c1 = 1, c2 = 2, Tf = 5 và ma trận R = I. Bằng cách sử dụng hộp công cụ LMI
Control Toolbox trong MATLAB, các điều kiện (2.28a) và (2.28b) trong Hệ
quả 2.2 được thỏa mãn với = 128.2634 và
X =


7.6032 0.1030
0.1030 8.9494

 , Y =


−29.5516 2.9265
−0.2045 −24.7392

 .
Theo Hệ quả 2.2, hệ đóng (2.32) đạt được hiệu xuất H∞ tương ứng với bộ
(1, 2, 5, I, 0.0001) với hiệu suất γ = 1.2598 dưới tác động của điều khiển ngược
ổn định hóa cho bởi:
u(t) =


−3.8918 0.3718
0.0106 −2.7645

 x(t), t ∈ [0, 5].
Kết quả mô phỏng: chọn điều kiện ban đầu x(0) = (1, 0.9)T
∈ R2
, c1 = 1, c2 =
2, Tf = 5, R = I, d = 0.0001. Hình 2.7 và 2.8 lần lượt mô phỏng quỹ đạo của

36. 35
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
Time(sec)
x
T
(t)Rx(t)
Hình 2.7: Quỹ đạo của xT (t)Rx(t) của hệ mở trong Ví dụ 2.2
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
Time(sec)
x
T
(t)Rx(t)
Hình 2.8: Quỹ đạo của xT (t)Rx(t) của hệ đóng trong Ví dụ 2.2
xT
(t)Rx(t) của hệ mở và hệ đóng. Rõ ràng, hệ đóng bị chặn trong thời gian
hữu hạn ứng với bộ (1, 2, 5, I, 0.0001).
Ví dụ 2.3. Xét hệ nơ ron thần kinh phân thứ sau đây



















C
0 D0.96
t x(t) = − [A + EaFa(t)Ha] x(t) + [D + EdFd(t)Hd]f(x(t))
+[W + EwFw(t)Hw]ω(t) + [B + EbFb(t)Hb]u(t), t ≥ 0,
z(t) = Cx(t), t ≥ 0,
x(0) = x0 ∈ R2
,
(2.33)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
10
20
30
40
50
60
70
Time(sec)
x
T
(t)Rx(t)
Hình 2.9: Quỹ đạo của xT (t)Rx(t) của hệ mở trong Vi dụ 2.3

37. 36
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
Time(sec)
xT
(t)Rx(t)
Hình 2.10: Quỹ đạo của xT (t)Rx(t) của hệ đóng trong Vi dụ 2.3
trong đó x(t) = (x1(t), x2(t))T
∈ R2
và
A =


0.5 0
0 0.6

 , Ea =


0.1
0.1

 , Ha =
h
0.5 0.6
i
, Fa(t) = sin t,
D =


2 1
0 2.5

 , Ed =


0.5
0.8

 , Hd =
h
0.1 0.2
i
, Fd(t) = sin t,
W =


1 0
0 1

 , Ew =


0.2
0.3

 , Hw =
h
0.1 0.3
i
, Fw(t) = cos t,
B =


2 0
0 3

 , Eb =


1
2

 , Hb =
h
0.4 0.5
i
, Fb(t) = sin t, C =
h
1 1
i
.
Với điều khiển ngược u(t) = Kx(t), hệ đóng tương ứng của hệ (2.33) mô tả
bởi



















C
0 D0.96
t x(t) = [−A − EaFa(t)Ha + BK + EbFb(t)HbK] x(t)
+[D + EdFd(t)Hd]f(x(t)) + [W + EwFw(t)Hw]ω(t), t ≥ 0,
z(t) = Cx(t), t ≥ 0,
x(0) = x0 ∈ R2
.
(2.34)
Véc tơ nhiễu đầu vào ω(t) cho bởi ω(t) =


0.01 sin t
0.01 cos t

. Suy ra véc tơ nhiễu
đầu vào thỏa mãn Giả thiết 2.3 với d = 0.0001. Hàm kích hoạt f(x(t)) =
(tanh x1(t), tanh x2(t))T
∈ R2
. Ta quan sát thấy hàm kích hoạt f(x(t)) thỏa
mãn Giả thiết 2.2 với L = diag{1, 1}. Cho c1 = 1, c2 = 1.6, Tf = 10 và ma
trận R = I. Cho trước γ = 1.2391. Sử dụng hộp công cụ LMI Control Toolbox

38. 37
trong MATLAB, ta thấy các điều kiện (2.22a) và (2.22b) trong Định lý 2.2
được thỏa mãn với = 14.1493, 1 = 17.3301, 2 = 14.7246 và
X =


2.0174 −0.4117
−0.4117 1.9908

 , Y =


−10.8208 −2.6891
−10.4999 −14.3833

 .
Theo Định lý 2.2, hệ đóng (2.34) đạt được hiệu xuất H∞ tương ứng với bộ
(1, 1.6, 10, I, 0.0001) với hiệu suất γ = 1.2391 dưới tác động của điều khiển
ngược ổn định hóa cho bởi:
u(t) =


−5.8879 −2.5683
−6.9733 −8.6667

 x(t), t ∈ [0, 10].
Kết quả mô phỏng: Chọn điều kiện ban đầu x(0) = (1, 0.9)T
∈ R2
, c1 =
1, c2 = 1.6, Tf = 10, R = I, d = 0.0001. Hình 2.9 và 2.10 lần lượt mô phỏng
quỹ đạo của xT
(t)Rx(t) của hệ mở và hệ đóng. Rõ ràng, hệ đóng bị chặn trong
thời gian hữu hạn ứng với bộ (1, 1.6, 10, I, 0.0001).

39. 38
Kết luận
Luận văn đã đạt được những kết quả sau:
• Trình bày lại một số khái niệm cơ bản về giải tích phân thứ bao gồm tích
phân Riemann-Liouville, đạo hàm phân thứ Caputo, hệ phương trình vi
phân phân thứ Caputo;
• Giới thiệu và trình bày một số tiêu chuẩn đơn giản cho tính ổn định và
tính bị chặn trong thời gian hữu hạn của lớp hệ điều khiển tuyến tính
phân thứ;
• Giới thiệu bài toán điều khiển H∞ trong thời gian hữu hạn cho lớp hệ
điều khiển tuyến tính với bậc nguyên;
• Trình bày một số tiêu chuẩn cho bài toán điều khiển H∞ trong thời gian
hữu hạn cho lớp hệ nơ ron thần kinh phân thứ;
• Trình bày 03 ví dụ số cùng với mô phỏng để minh họa cho các kết quả lý
thuyết.

40. 39
Tài liệu tham khảo
Tiếng Việt
[1] Hoàng Thế Tuấn, Về một số vấn đề định tính của hệ phương trình vi phân
phân thứ, Luận án tiến sĩ Toán học, Viện Toán học, 2017.
[2] Nguyễn Trường Thanh, Điều khiển H∞ các hệ phương trình vi phân có trễ
biến thiên, Luận án tiến sĩ Toán học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên,
Đại học Quốc gia Hà Nội, 2015.
[3] Bùi Thị Thúy, Dao động phi tuyến yếu của hệ cấp ba có đạo hàm cấp phân
số, Luận án tiến sĩ Cơ học, Học viện Khoa học và Công nghệ, 2017.
Tiếng Anh
[4] M.S. Ali and S. Saravanan (2016), “Robust finite-time H∞ control for
a class of uncertain switched neural networks of neutral-type with dis-
tributed time varying delays”, Neurocomputing, 177, pp. 454–468.
[5] F. Amato, M. Ariola and P. Dorato (2001), “Finite-time control of linear
systems subject to parametric uncertainties and disturbances”, Automat-
ica, 37, pp. 1459–1463.
[6] P. Baskar, S. Padmanabhan S, M.S. Ali (2018), “Finite-time H∞ control
for a class of Markovian jumping neural networks with distributed time
varying delays-LMI approach”, Acta Mathematica Scientia, 38(2), pp. 561–
579.

41. 40
[7] A. Boroomand and M.B. Menhaj (2008), “Fractional-order Hopfield neural
networks”, In: International Conference on Neural Information Processing
(pp. 883-890), Springer.
[8] S. Boyd, L. El Ghaoui, E. Feron, V. Balakrishnan (1994), Linear Matrix
Inequalities in System and Control Theory, SIAM, Philadelphia.
[9] L. Chen, C. Liu, R. Wu, Y. He and Y. Chai (2016), “Finite-time stability
criteria for a class of fractional-order neural networks with delay”, Neural
Computing and Applications, 27(3), pp. 549–556.
[10] L.O. Chua and L. Yang (1998), “Cellular neural networks: Theory”, IEEE
Transactions on Circuits and Systems, 35(10), pp. 1257–1272.
[11] L.O. Chua and L. Yang (1998), “Cellular neural networks: Applications”,
IEEE Transactions on Circuits and Systems, 35(10), pp. 1273–1290.
[12] X. Dinh, J. Cao, X. Zhao and F.E. Alsaadi (2017), “Finite-time stability of
fractional-order complex-valued neural networks with time delays”, Neural
Processing Letters, 46(2), pp. 561–580.
[13] M.A. Duarte-Mermoud, N. Aguila-Camacho, J.A. Gallegos and R. Castro-
Linares (2015), “Using general quadratic Lyapunov functions to prove Lya-
punov uniform stability for fractional order systems”, Communications in
Nonlinear Science and Numerical Simulation, 22(1-3), pp. 650–659.
[14] T. Kaczorek (2011), Selected Problems of Fractional Systems Theory,
Springer.
[15] A.A. Kilbas, H.M. Srivastava and J.J. Trujillo (2006), Theory and Appli-
cations of Fractional Differential Equations, Springer.
[16] M.P. Lazarević and A.M. Spasić (2009), “Finite-time stability analysis of
fractional order time-delay systems: Gronwall’s approach”, Mathematical
and Computer Modelling, 49, pp. 475–481.

42. 41
[17] Y.J. Ma, B.W. Wu and Y.E. Wang (2016), “Finite-time stability and finite-
time boundedness of fractional order linear systems”, Neurocomputing,
173, pp. 2076–2082.
[18] Q. Meng and Y. Shen (2009), “Finite-time H∞ control for linear continuous
system with norm-bounded disturbance”, Communications in Nonlinear
Science and Numerical Simulation, 14, pp. 1043–1049.
[19] C. Rajivganthi, F.A. Rihan, S. Lakshmanan and P. Muthukumar (2018),
“Finite-time stability analysis for fractional-order Cohen–Grossberg BAM
neural networks with time delays”, Neural Computing and Applications,
29(12), pp. 1309–1320.
[20] M.V. Thuan, N.H. Sau and N.T.T. Huyen (2020), “Finite-time H∞ control
of uncertain fractional-order neural networks”, Computational and Applied
Mathematics, 39, pp. 1–19.
[21] Z. Shuo, Y.Q. Chen and Y. Yu (2017), “A Survey of Fractional-Order
Neural Network”, ASME 2017 International Design Engineering Technical
Conferences and Computers and Information in Engineering Conference,
American Society of Mechanical Engineers.
[22] S. Wang, T. Shi, L. Zhang, A. Jasra and M. Zeng (2015), “Extended finite-
time H∞ control for uncertain switched linear neutral systems with time-
varying delays”, Neurocomputing, 152, pp. 377–387.
[23] R.C. Wu, Y.F. Lu and L.P. Chen (2015), “Finite-time stability of fractional
delayed neural networks”, Neurocomputing, 149, pp. 700–707.
[24] Z. Xiang, Y.N. Sun, M.S. Mahmoud (2012), “Robust finite-time H∞ con-
trol for a class of uncertain switched neutral systems”, Communications
in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 17, pp. 1766–1778.
[25] C. Xu and P. Li (2019), “On finite-time stability for fractional-order neural
networks with proportional delays”, Neural Processing Letters, 50(2), pp.
1241–1256.

43. 42
[26] X.J. Yang, Q.K. Song, Y.R. Liu, Z.J. Zhao (2015), “Finite-time stability
analysis of fractional-order neural networks with delay”, Neurocomputing,
152, pp. 19–26.