Đề thi thử Đại học môn Toán

1. Tr−êng THPT lam kinh kiÓm tra chÊt l−îng «n thi §h - c® (LÇn 2)
M«n: To¸n (khèi a), n¨m häc 2009 - 2010
Thêi gian: 180 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò)
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7.0 điểm)
C©u I (2.0 ®iÓm) Cho hàm số 23 23
+−= xxy
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Biện luận số nghiệm của phương trình
1
222
−
=−−
x
m
xx theo tham số m.
C©u II (2.0 ®iÓm )
1. Giải phương trình: ( )2
3 4 2 2 2 1 2sin x cos x sin x− = +
2. Giải phương trình: 2 3
16 4
2
14 40 0x x xlog x log x log x .− + =
C©u III (1.0 ®iÓm) Tính tích phân
3
2
3
x sin x
I dx.
cos x
π
π−
= ∫
C©u IV(1.0®iÓm) Trong không gian Oxyz cho đường thẳng d:
3
2
12
1
−
+
==
− zyx
và mặt phẳng
.Tìm tọa độ giao điểm012:)( =−++ zyxP A của đường thẳng d với mặt phẳng . Viết phương
trình của đường thẳng đi qua điểm
)(P
Δ A vuông góc với d và nằm trong .)(P
C©u V:(1.0®iÓm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho hai điểm , . Tìm quỹ tích các
điểm cách đều hai mặt phẳng và .
)2;1;1(A )2;0;2(B
)(OAB )(Oxy
PHẦN RIÊNG ( 3.0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A.Theo chương trình Chuẩn
C©u VI.a(2.0 ®iÓm)
1. Cho hàm số 3
2
sin)(
2
−+−=
x
xexf x
. Tìm giá trị nhỏ nhất của và chứng minh rằng)(xf 0)( =xf
có đúng hai nghiệm.
2. Giải hệ phương trình sau trong tập hợp số phức:
⎩
⎨
⎧
+−=+
−−=
izz
izz
.25
.55.
2
2
2
1
21
C©u VII.a(1.0 ®iÓm) Trong mặt phẳng choOxy ABCΔ có ( )0 5A ; . Các đường phân giác và trung tuyến
xuất phát từ đỉnh B có phương trình lần lượt là 1 21 0 2 0d : x y ,d : x y .− + = − = Viết phương trình ba cạnh
của tam giác ABC.
B.Theo chương trình Nâng cao
C©u VI.b (2.0 ®iÓm)
1. Giải phương trình 12
9.
4
1
4.69.
3
1
4.3 ++
−=+ xxxx
.
2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: y = x.sin2x, y = 2x, x =
2
π
C©u VII.b (1.0 ®iÓm) Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh bên bằng a và mặt chéo là tam giác
đều. Qua
SABCD SAC
A dựng mặt phẳng vuông góc với SC .Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng
và hình chóp.
)(P )(P
…HÕt ®Ò …
Thi thử Đại học môn Toán toanpt.net

2. ĐÁP ÁN
Câu I 2 điểm
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 3 2
3 2y x x .= − +
• Tập xác định: Hàm số có tập xác định D R.=
• Sự biến thiên: 2
3 6y' x x= − . Ta có
0
0
2
x
y'
x
=⎡
= ⇔ ⎢ =⎣
0,25
• ( ) ( )0 2 2 2CD CTy y ; y y= = = = − . 0,25
• Bảng biến thiên:
x −∞ +∞
y'
0 2
+ 0 − 0 +
y
2 +∞
−∞ 2−
0,25
a)
• Đồ thị: Học sinh tự vẽ hình 0,25
Biện luận số nghiệm của phương trình
1
222
−
=−−
x
m
xx theo tham số m.
• Ta có ( )2 2
2 2 2 2 1 1
1
m
x x x x x
x
− − = ⇔ − − − = ≠
−
m,x . Do đó số nghiệm
của phương trình bằng số giao điểm của ( ) ( )2
2 2 1y x x x , C'= − − − và đường
thẳng 1y m,x .= ≠
0,25
• Vì ( )
( )
( )
2
1
2 2 1
1
f x khi x
y x x x
f x khi x
>⎧⎪
= − − − = ⎨
− <⎪⎩
nên ( )C' bao gồm:
+ Giữ nguyên đồ thị (C) bên phải đường thẳng 1x .=
+ Lấy đối xứng đồ thị (C) bên trái đường thẳng 1x = qua Ox.
0,25
• Học sinh tự vẽ hình 0,25
• Dựa vào đồ thị ta có:
+ Phương trình vô nghiệm;2m < − :
:
0 :
:≥
+ Phương trình có 2 nghiệm kép;2m = −
+ Phương trình có 4 nghiệm phân biệt;2 m− < <
+ m Phương trình có 2 nghiệm phân biệt.0
0,25
b)
0,25
Câu II 2 điểm
Giải phương trình ( )2
3 4 2 2 2 1 2sin x cos x sin x− = +
• Biến đổi phương trình về dạng ( ) ( )2 3 2 1 2 1sin x sin x sin x 0+ − + = 0,75
a)
• Do đó nghiệm của phương trình là
7 2 5
2 2
6 6 18 3 18
k k
x k ;x k ;x ;x
2
3
π π π π π
π π= − + = + = + = +
π
0,25
b) Giải phương trình 2 3
16 4
2
14 40 0x x xlog x log x log x .+ =−
Thi thử Đại học môn Toán toanpt.net

3. • Điều kiện:
1 1
0 2
4 16
x ;x ;x ;x .> ≠ ≠ ≠
• Dễ thấy x = 1 là một nghiệm của pt đã cho
0,25
• Với 1x ≠ . Đặt và biến đổi phương trình về dạng2xt log=
2 42 20
0
1 4 1 2 1t t t
− + =
− + +
0,5
• Giải ra ta được
1
2 4
2 2
t ;t x ;x= = − ⇒ = =
1
. Vậy pt có 3 nghiệm x =1;
1
4
2
x ;x .= =
0,25
Câu III 1.0 điểm
Tính tích phân
3
2
3
x sin x
I dx.
cos x
π
π−
= ∫
• Sử dụng công thức tích phân từng phần ta có
3 33
3
3 3
1 4
3
x dx
I xd J ,
cosx cosx cosx
π ππ
π
π π
π
−
− −
⎛ ⎞
= = − =⎜ ⎟
⎝ ⎠
∫ ∫ − với
3
3
dx
J
cosx
π
π
−
= ∫
0,25
• Để tính J ta đặt t s Khi đóin x= .
3 3
3 2 2
2
3
3
23 2
1 1 2
1 2 1 2 3
dx dt t
J ln
cosx t t
π
π −− −
− −
= = = − = −
− + +∫ ∫
3
ln .
0,5
a)
• Vậy
4 2
3 2 3
3
I ln .
π −
= −
+
0,25
Câu IV 1.0 điểm
Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d với mặt phẳng . Viết phương
trình của đường thẳng Δ đi qua điểm
)(P
A vuông góc với d và nằm trong .)(P
• Tìm giao điểm của d và (P) ta được
1 7
2
2 2
A ; ;
⎛ ⎞
−⎜ ⎟
⎝ ⎠
0,25
• Ta có ( ) ( ) (2 1 3 2 1 1 1 2 0d P d pu ; ; ,n ; ; u u ;n ; ;Δ
⎡ ⎤= − = ⇒ = = −
⎣ ⎦ ) 0,5
• Vậy phương trình đường thẳng Δ là
1 7
2 2
2 2
: x t; y t;z .Δ = + = − = −
0,25
Câu V 1.0 điểm
Trong không gian với hệ toạ độ , cho hai điểm , . Tìm
quỹ tích các điểm cách đều hai mặt phẳng và .
Oxyz )2;1;1(A )2;0;2(B
)(OAB )(Oxy
Thi thử Đại học môn Toán toanpt.net

4. ( ) ( );−, ; ; ;2 2 2 2 1 1 1OA OB⎡ ⎤ = − =⎣ ⎦ ( ): 0OAB x y z⇒ + − = .
( ): 0Oxy z = .
( ); ;N x y z cách đều ( ) vàOAB ( )Oxy
( )( ) ( )( ), ,d N OAB d N Oxy⇔ =
13
x y z z+ −
⇔ =
( )
( ) .
3 1 0
3
3 1 0
x y z
x y z z
x y z
⎡ + − + =
⎢⇔ + − = ± ⇔
⎢ + + − =⎢⎣
Vậy tập hợp các điểm N là hai mặt phẳng có phương trình
( )3 1 0x y z+ − + = và ( )3 1 0x y z+ + − = .
0.25
0.5
0.25
Câu VIa 2.0 điểm
1.
Cho hàm số 3
2
sin)(
2
−+−=
x
xexf x
. Tìm giá trị nhỏ nhất của và chứng
minh rằng có đúng hai nghiệm.
)(xf
0)( =xf
• Ta có x
f ( x ) e x cos x.′ = + − Do đó ( ) 0 x
f ' x e x cos x.= ⇔ = − + 0,25
• Hàm số x
y e= là hàm đồng biến; hàm số y x cosx= − + là hàm nghịch biến
vì . Mặt khác1 0y' sin x , x= − + ≤ ∀ 0=x là nghiệm của phương trình
nên nó là nghiệm duy nhất.x
e x cos= − + x
0,25
• Lập bảng biến thiên của hàm số ( )y f x= (học sinh tự làm) ta đi đến kết
luận phương trình có đúng hai nghiệm.0)( =xf
• Từ bảng biến thiên ta có ( ) 2 0min f x x .= − ⇔ =
0,5
Cho hàm số 3
2
sin)(
2
−+−=
x
xexf x
. Tìm giá trị nhỏ nhất của và chứng
minh rằng có đúng hai nghiệm.
)(xf
0)( =xf
• Ta có x
f ( x ) e x cos x.′ = + − Do đó ( ) 0 x
f ' x e x cos x.= ⇔ = − + 0,25
2.
. Giải hệ phương trình sau trong tập hợp số phức:
⎩
⎨
⎧
+−=+
−−=
izz
izz
.25
.55.
2
2
2
1
21
Đáp số: (2 – i; -1 – 3.i), (-1 – 3i; 2 – i), (-2 + i; 1 + 3i), (1 + 3i; -2 + i)
Câu
VII.a
1.0 điểm
Trong mặt phẳng choOxy ABCΔ có ( )0 5A ; . Các đường phân giác và trung
tuyến xuất phát từ đỉnh B có phương trình lần lượt là
Viết phương trình ba cạnh của tam giác ABC.1 21 0 2 0d : x y ,d : x y .− + = − =
Thi thử Đại học môn Toán toanpt.net

5. • Ta có ( )1 2 2 1 3 5 0B d d B ; AB : x y= ∩ ⇒ − − ⇒ − + = . 0,25
• Gọi A' đối xứng với A qua ( ) ( )1 2 3 4 1d H ; ,A' ;⇒ . 0,25
• Ta có 3 1 0A' BC BC : x y∈ ⇒ − − = . 0,25
• Tìm được .( )28 9 7 35 0C ; AC : x y⇒ − + = 0,25
Câu VI.b 2.0 điểm
Giải phương trình 12
9.
4
1
4.69.
3
1
4.3 ++
−=+ xxxx
• Biến đổi phương trình đã cho về dạng 2 2 2 9
3 2 27 3 6 2 3
4
x x x
. . . .+ = − 2x 0,5
1.
• Từ đó ta thu được 3
2
3 2 2
2 39 39
x
x log
⎛ ⎞
= ⇔ =⎜ ⎟
⎝ ⎠
0,5
2.
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: y = x.sin2x, y = 2x,
x =
2
π
Ta có: x.sin2x = 2x ⇔ x.sin2x – 2x = 0 ⇔ x(sin2x – 2) =0 x = 0⇔
DiÖn tÝch h×nh ph¼ng lμ:
∫∫ −=−= 2
0
2
0
)22(sin)22sin.(
ππ
dxxxdxxxxS
Đặt
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
−
−
=
=
⇒
⎩
⎨
⎧
−=
=
x
x
v
dxdu
dxxdv
xu
2
2
2cos
)22(sin 44424
222
πππππ
−=+−=⇔ S (đvdt)
0.5
0.5
Câu
VII.b
1.0 điểm
Cho chóp tứ giác đều có cạnh bên bằng a và mặt chéo là tam
giác đều. Qua
SABCD SAC
A dựng mặt phẳng vuông góc với .Tính diện tích thiết
diện tạo bởi mặt phẳng và hình chóp.
)(P SC
)(P
• Học sinh tự vẽ hình 0,25
• Để dựng thiết diện, ta kẻ AC' SC.⊥ Gọi I AC' SO.= ∩ 0,25
• Kẻ B' D' // Ta cóBD.
2
1 1 2 3
2 2 3 2
AD' C' B'
a a
S B' D' .AC' . BD. .= = =
3
6
0,5
Thi thử Đại học môn Toán toanpt.net