Semoga Bermanfaat

1. 1
Daryono Budi U.Daryono Budi U.
PrinsipPrinsip InklusiInklusi--EksklusiEksklusi
1
Kekardinalan suatu himpunan P dinyatakan |P | (beberapa referensi
dilambangkan dengan n( P )).
Pernyataan dibawah ini benar.
Prinsip Inklusi‐Eksklusi
1. |||||| QPQP 
2.  ||,||min|| QPQP 
3. ||2|||||| QPQPQP 
4 |||||| QPQP 4. |||||| QPQP 
5. |||||||| QPQPQP 
6. |||||||||||||||| RQPQRRPQPRQPRQP 
2Daryono, Matematika Diskrit : Bab 2 Inklusi - Eksklusi

2. 2
Contoh.
Berapa banyaknya bilangan bulat antara 1 dan 100 yang habis dibagi 3
atau 5?
Penyelesaian:
A = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3,
B = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 5B himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 5,
A  B = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3 dan 5 (yaitu
himpunan bilangan bulat yang habis dibagi oleh KPK –
Kelipatan Persekutuan Terkecil – dari 3 dan 5, yaitu 15),
Yang ditanyakan adalah A  B.
A = 100/3 = 33,
3
,
B = 100/5 = 20,
A  B = 100/15 = 6
A  B = A + B – A  B = 33 + 20 – 6 = 47
Jadi, ada 47 buah bilangan yang habis dibagi 3 atau 5.
Daryono, Matematika Diskrit : Bab 2 Inklusi - Eksklusi
Untuk tiga buah himpunan A, B, dan C, berlaku
A  B  C = A + B + C – A  B –
A  C – B  C + A  B  C
Untuk himpunan A1, A2, …, Ar, berlaku:
A1  A2   Ar =  Ai –  Ai  Aj +
4
A1  A2  …  Ar i
Ai  rji1
Ai  Aj +
 rkji1
Ai  Aj  Ak + … +
(-1)r-1
A1  A2  …  Ar
Daryono, Matematika Diskrit : Bab 2 Inklusi - Eksklusi

3. 3
Latihan:
Di antara bilangan bulat antara 101 – 600
(termasuk 101 dan 600 itu sendiri) berapa(termasuk 101 dan 600 itu sendiri), berapa
banyak bilangan yang tidak habis dibagi oleh 4
atau 5 namun tidak keduanya?
5Daryono, Matematika Diskrit : Bab 2 Inklusi - Eksklusi
ContohContoh
Ada berapa bilangan bulat positif lebih kecil atau sama dengan 100
yang habis dibagi 6 atau 9?
Solusi
Misalkan
A: himpunan bilangan bulat dari 1 sampai 100 yang habis dibagi 6
B: himpunan bilangan bulat dari 1 sampai 100 yang habis dibagi 9.
Dengan menggunakan prinsip inklusi-eksklusi, banyaknya bilangan
bulat dari 1 sampai 100 yang habis dibagi 6 atau 9 adalah :p y g g
     
2251116
18/1009/1006/100
||||||||


 BABABA
6Daryono, Matematika Diskrit : Bab 2 Inklusi - Eksklusi

4. 4
Contoh
Diantara 200 mahasiswa Jurusan Matematika FMIPA ITS 50
mengambil kuliah Matematika Diskrit, 140 Mata kuliah Bahasa
Inggris dan 24 mengambil kedua-duanya. Karena besok akan
di d k ji d i k d k li h b h idiadakan ujian dari kedua mata kuliah tersebut, mahasiswa yang
tidak mengambil salah satu atau kedua mata kuliah tersebut
dapat menghadiri pesta. Berapa mahasiswa yang menghadiri
pesta ?.
7Daryono, Matematika Diskrit : Bab 2 Inklusi - Eksklusi
Jawab
Misalkan:
Himpunan S adalah mahasiswa Jurusan Matematika FMIPA
ITS, maka | S | = 200
Himpunan P adalah Mahasiswa yang mengambil Matematika
Di k it k | P | 50Diskrit, maka | P | = 50
Himpunan Q adalah Mahasiswa yang mengambil Bahasa
Inggris, maka | Q | = 140
Mahasiswa yang mengambil kedua mata kuliah: 24|| QP
Mahasiswa yang mengambil salah satu mata kuliah atau kedua
mata kuliah adalah:
Mahasiswa yang tidak dapat menghadiri Pesta ada :
1662414050|| QP
Jadi yang datang ke Pesta = 200 – 166 = 34 mahasiswa.
8Daryono, Matematika Diskrit : Bab 2 Inklusi - Eksklusi

5. 5
Lanjutan Soal.
Misalkan ada 60 diantara 200 mahasiswa adalah bukan mahasiswa
yang sedang skripsi, 20 diantaranya mengambil Matematika Diskrit,
45 mangambil Bahasa Inggris, dan 16 mengambil kedua-duanya.
B h i k i i d t k t ?Berapa mahasiswa yang skripsi datang ke pesta ?.
9Daryono, Matematika Diskrit : Bab 2 Inklusi - Eksklusi
Jawab
 Himpunan R adalah Mahasiswa yang bukan mahasiswa yang
skripsi, maka | R | = 60
 Mahasiswa yang mengambil mata kuliah Matematika Diskrit
tetapi bukan mahasiswa yang sedang skripsi : 20||  RP
h i bil k li h h i i Mahasiswa yang mengambil mata kuliah Bahasa Inggris tetapi
bukan mahasiswa yang sedang skripsi : 45||  RQ
 Mahasiswa yang mengambil kedua mata kuliah tetapi bukan
mahasiswa yang sedang skripsi : 16||  RQP
Sehingga:
177164520246014050||  RQP
Jadi, banyaknya mahasiswa yang sedang skripsi datang ke pesta =
200 – 177 = 23
10Daryono, Matematika Diskrit : Bab 2 Inklusi - Eksklusi

6. 6
Secara umum,
untuk himpunan – himpunan rAAA ,...,, 21 diperoleh:
rAAA  ...21 =  

rkji
ji
i
i AAA
1
+ rkjii 1


rkji
kji AAA
1
+ . . . +
  r
r
AAA 

...1 21
1
11Daryono, Matematika Diskrit : Bab 2 Inklusi - Eksklusi
Contoh
Berapa banyaknya bilangan bulat antara 1 dan 100 yang habis dibagi 3 atau 5?
Penyelesaian:
A = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3,
B = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 5B = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 5,
n (A  B) = himpunan bilangan bulat yang habis dibagi 3 dan 5
(yaitu himpunan bilangan bulat yang habis dibagi olek KPK / kelipatan
persekutuan terkecil dari 3 dan 5 yaitu 15).
Ditanyakan n (A  B)???
n (A) = 100/3 = 33
n (B) = 100/5 = 20
( ) /n (A  B) = 100/15 = 6
maka n (A  B) = n (A) + n (B) – n (A  B)
= 33 + 20 ‐ 6
= 47
Jadi ada 47 buah bilangan yang habis dibagi 3 dan 5.
12Daryono, Matematika Diskrit : Bab 2 Inklusi - Eksklusi

7. 7
Contoh
Dalam sebuah kelas terdapat 25 mahasiswa yang menyukai matematika diskrit,
13 mahasiswa menyukai aljabar linier dan 8 orang diantaranya menyukai
matematika diskrit dan aljabar linier. Berapa mahasiswa terdapat dalam kelas
tersebut ?
Jawab :Jawab :
• Misalkan A himpunan mahasiswa yang menyukai matematika diskrit dan B
himpunan mahasiswa yang menyukai aljabar linier.
• Himpunan mahasiswa yang menyukai kedua mata kuliah tersebut dapat
dinyatakan sebagai himpunan A  B.
• Banyaknya mahasiswa yang menyukai salah satu dari kedua mata kuliah
tersebut atau keduanya dinyatakan dengan A  B. Dengan demikian
A B A B A BA  B = A+B ‐ A  B
= 25 + 13 – 8
= 30.
• Jadi, terdapat 30 orang mahasiswa dalam kelas tersebut.
13Daryono, Matematika Diskrit : Bab 2 Inklusi - Eksklusi
Latihan
1. Berapa banyak bilangan bulat positif yang tidak melampaui
1000 yang habis dibagi oleh 7 atau 11 ?
2. 3. Pada sebuah sekolah tinggi terdapat 345 siswa yang
mengambil mata kuliah kalkulus, 212 siswa mengambil kuliah
matematika diskrit dan 188 siswa mengambil kedua mata
kuliah tersebut. Berapa siswa yang mengambil kalkulus saja
atau matematika diskrit saja ?
14Daryono, Matematika Diskrit : Bab 2 Inklusi - Eksklusi

8. 8
Penyelesaian
Soal 1
• Misalkan P himpunan bilangan bulat positif tidak melampaui 1000 yang habis
dibagi 7 dan Q himpunan bilangan bulat positif tidak melampaui 1000 yang
habis dibagi 11.
• Dengan demikian P  Q adalah himpunan bilangan bulat positif tidak
melampaui 1000 yang habis dibagi 7 atau habis dibagi 11, dan P  Q
himpunan bilangan bulat positif tidak melampaui 1000 yang habis dibagi 7 dan
habis dibagi 11.
P = 1000/7 = 142
Q = 1000/11 = 90
P  Q = 1000/77 = 12P  Q = 1000/77 = 12
P  Q = P + Q ‐P  Q
= 142 + 90 – 12 = 220.
• Jadi, terdapat 220 bilangan bulat positif tidak melampaui 1000 yang habis
dibagi 7 atau habis dibagi 11.
15Daryono, Matematika Diskrit : Bab 2 Inklusi - Eksklusi
PerluasanPerluasan PrinsipPrinsip InklusiInklusi--EksklusiEksklusi
untukuntuk tigatiga himpunanhimpunan
Angka 1 merah menunjukkan daerah yang terlibat
ketika |A| dihitung,
angka 1 hijau menunjukkan daerah yang terlibat
ketika |B| dihitung danketika |B| dihitung,dan
angka 1 biru menunjukkan daerah yang terlibat
ketika |C| dihitung.
Terlihat bahwa daerah yang beririsan dihitung
berulang-ulang.
|A  B| dikurangkan (dua 1 merah diambil),
|A  C| dikurangkan (dua 1 biru diambil), dan
|B  C| dikurangkan (dua 1 hijau diambil)
Terlihat bahwa penghitungan hampir benar, kecuali
pada daerah di mana ketiga himpunan sama-sama
beririsan.
Maka perlu ditambahkan kembali |A  B  C|.
16Daryono, Matematika Diskrit : Bab 2 Inklusi - Eksklusi

9. 9
Contoh
Sebanyak 115 mahasiswa mengambil mata kuliah
Matematika Diskrit, 71 Kalkulus Peubah Banyak, dan 56
Geometri. Di antaranya, 25 mahasiswa mengambil
Matematika Diskrit dan Kalkulus Peubah Banyak, 14y ,
Matematika Diskrit dan Geometri, serta 9 orang mengambil
Kalkulus Peubah Banyak dan Geometri. Jika terdapat 196
mahasiswa yang mengambil paling sedikit satu dari ketiga
mata kuliah tersebut, berapa orang yang mengambil ketiga
mata kuliah sekaligus ?
17Daryono, Matematika Diskrit : Bab 2 Inklusi - Eksklusi
Jawab
Misalkan MD: himpunan mahasiswa yang mengambil mata kuliah
Matematika Diskrit,
KPB: himpunan mahasiswa yang mengambil mata kuliah
Kalkulus Peubah Banyak, dan
G : himpunan mahasiswa yang mengambil mata kuliahG : himpunan mahasiswa yang mengambil mata kuliah
Geometri.
Maka |MD| = 115, |KPB| = 71, |G| = 56,
|MD  KPB| = 25, |MD  G| = 14, |KPB  G| = 9, dan
|MD  KPB  G| = 196
Dengan mempergunakan prinsip inklusi-eksklusi:
|MDKPBG| = |MD| + |KPB| + |G| - |MDKPB| - |MDG||MDKPBG| = |MD| + |KPB| + |G| - |MDKPB| - |MDG|
- |KPBG| + |MDKPBG|
196 = 115 + 71 + 56 - 25 - 14 - 9 + |MD  KPB  G|
Jadi, |MD  KPB  G| = 2
18Daryono, Matematika Diskrit : Bab 2 Inklusi - Eksklusi

10. 10
Contoh
Dari 120 orang mahasiswa Informatika, 100 orang mengambil
paling sedikit satu mata kuliah pilihan, yaitu logika matematika,
bahasa C, dan pemrograman berbasis web.
k hDiketahui
65 orang mengambil logika matematika
45 orang mengambil bahasa C
42 orang mengmbil pemrograman berbasis web
20 orang mengambil Logika matematika dan bahasa C
25 orang mengambil logika matematika dan pemrograman berbasis
webweb
15 orang mengambil bahasa C dan pemrograman berbasis web
100 orang mengambil paling sedikit 1 mata kuliah
Berapakah orang yang mengambil ketiga‐tiganya?
19Daryono, Matematika Diskrit : Bab 2 Inklusi - Eksklusi
Jawab
Diketahui
n (A) = 65
n (B) = 45
n (C) = 42
n (A  B) = 20
(A C) 25n (A  C) = 25
n (B  C) = 15
n (A  B  C) = 100
n (A  B  C)′ = 120 –100 = 20
maka
n (A  B  C) = n (A) + n (B) + n (C) ‐ n (A  B) ‐ n (A  C) ‐ n (B  C)
+ n (A  B  C)
100 = 65 + 45 + 42 – 20 – 25 – 15 + n (A  B  C)00 65 45 4 0 5 5 n (A C)
100 = 152 – 60 + n (A  B  C)
100 = 92 + n (A  B  C)
n (A  B  C) = 100 – 92
= 8
Jadi mahasiswa yang mengambil mata kuliah ketiganya sebanyak 8 orang.
20Daryono, Matematika Diskrit : Bab 2 Inklusi - Eksklusi

11. 11
Contoh
Sebuah kelas terdiri dari 100 orang siswa. Pada pelajaran olahraga 25
orang siswa mengambil bulu tangkis, 20 orang mengambil basket, 16
orang siswa mengambil renang. Selain itu terdapat 5 siswa orang
yang mengambil ketiganya, 2 oarang siswa mengambil bulu tangkis y g g g y , g g g
dan renang, 3 orang siswa mengambil basket dan renang, dan 58
orang siswa tidak mengambil ketiga‐tiganya.
Ditanya:
a.) Tentukanlah n (A), n (B), n (C), n (A  C), n (B  C),
(A B C) (A B C)!!!n (A  B  C), n (A  B  C)!!!
b.) Hitunglah siswa yang hanya mengambil bulu tangkis dan basket /
n (A  B) !!!
21Daryono, Matematika Diskrit : Bab 2 Inklusi - Eksklusi
Jawab :
a.) n (A) = 25 siswa
n (B) = 20 siswa
n (C) = 16 siswa
n (A  C) = 7 siswa
n (B  C) = 8 siswan (B  C) = 8 siswa
n (A  B  C)′ = 100 – 58 = 42 siswa
n (A  B  C) = 5 siswa
b.) n (A  B  C) = n (A) + n (B) + n (C) ‐ n (A  B) ‐ n (A  C) ‐ n (B  C)
+ n (A  B  C)
42 = 25 + 20 + 16 ‐ n (A  B) – 7 – 8 + 5
42 = 61 ‐ 10 ‐ n (A  B)( )
42 = 51 ‐ n (A  B)
n (A  B) = 51 ‐ 42
= 9 siswa
Jadi banyaknya siswa yang mengambil bulu tangkis dan basket adalah 9 siswa.
22Daryono, Matematika Diskrit : Bab 2 Inklusi - Eksklusi

12. 12
Contoh
Berapa banyak bilangan bulat positif yang tidak
melampaui 1000 yang habis dibagi oleh 5 7 atau 11 ?melampaui 1000 yang habis dibagi oleh 5, 7 atau 11 ?
23Daryono, Matematika Diskrit : Bab 2 Inklusi - Eksklusi
Jawab
• Misalkan P himpunan bilangan bulat positif tidak melampaui 1000
yang habis dibagi 5, Q himpunan bilangan bulat positif tidak
melampaui 1000 yang habis dibagi 7, dan R himpunan bilangan
bulat positif tidak melampaui 1000 yang habis dibagi 11.
• Dengan demikian P  Q  R adalah himpunan bilangan bulat
positif tidak melampaui 1000 yang habis dibagi 5 atau 7 atau 11,
dan himpunan P  Q  R adalah himpunan bilangan bulat positif
tidak melampaui 1000 yang habis dibagi 5, 7 dan 11.
• Himpunan P  Q adalah himpunan bilangan bulat positif tidak
melampaui 1000 yang habis dibagi 5 dan 7, P  R adalah
himpunan bilangan bulat positif tidak melampaui 1000 yang habis
dibagi 5 dan 11, dan Q  R adalah himpunan bilangan bulat
positif tidak melampaui 1000 yang habis dibagi 7 dan 11.
24Daryono, Matematika Diskrit : Bab 2 Inklusi - Eksklusi

13. 13
ilustrasi
P
P = 200 P  Q  R = 2
P  R
QR
P  Q
Q  R
P  Q  R
P  R = 18 P  Q = 28
25
R = 90 Q= 142
Q  R = 12
Daryono, Matematika Diskrit : Bab 2 Inklusi - Eksklusi
P = 1000/5 = 200
Q = 1000/7 = 142
R = 1000/ 11 = 90
P  Q = 1000/ 35 = 28
P  R = 1000/55 = 18P  R = 1000/55 = 18
Q  R = 1000/77 = 12
P  Q  R = 1000/385 = 2
|P Q  R| = |P| + |Q| + |R| ‐ |PQ| ‐ |PR| ‐ |QR|
+ |PQR|
P  Q  R = 200 + 142 + 90 – 28 – 18 – 12 + 2  Q 
= 376.
Jadi, terdapat 376 bilangan bulat positif tidak melampaui 1000
yang habis dibagi 5, 7 atau habis dibagi 11.
26Daryono, Matematika Diskrit : Bab 2 Inklusi - Eksklusi

14. 14
SoalSoal 11
Carilah banyaknya anggota dari |A  B  C| jika
terdapat 100 anggota dalam setiap himpunan dan jika
a. ketiga himpunan tersebut tidak ada yang saling
b riris nberirisan
b. terdapat 50 anggota yang sama dalam setiap pasang
himpunan dan tidak ada anggota yang sama dalam
ketiga himpunan sekaligus
c. terdapat 50 anggota yang sama dalam setiap pasang
himpunan dan 25 anggota yang sama dalam ketigap gg y g g
himpunan sekaligus
d. irisan setiap pasang himpunan dan irisan ketiga
himpunan berukuran sama
27Daryono, Matematika Diskrit : Bab 2 Inklusi - Eksklusi
PrinsipPrinsip InklusiInklusi--EksklusiEksklusi
Teorema 1.
Mi lk A A A hi hiMisalkan A1, A2, …, An himpunan hingga.
Maka :
||)1(||
||||||
21
1
1
11
221
n
n
kj
nkji
i
j
nji
i
ni
i
AAAAAA
AAAAAA









1 nkji 
28Daryono, Matematika Diskrit : Bab 2 Inklusi - Eksklusi

15. 15
Contoh
Carilah banyaknya anggota dari |A  B  C  D| jika setiap
himpunan berukuran 50, setiap irisan dari dua himpunan berukuran
30, setiap irisan dari tiga himpunan berukuran 10, dan irisan dari
keempat himpunan berukuran 2.
Solusi.
|ABCD| = |A| + |B| + |C| + |D| - |AB| -
|AC| - |AD| - |BC| - |BD|-
|CD| + |ABC|+ |ABD|+
|ACD|+ |BCD| -
|A  B  C  D|
= 4 . 50 – 6 . 30 + 4 . 10 – 2 = 58
29
atika Diskrit : Bab 2 Inklusi - Eksklusi
Daryono, Matematika Diskrit : Bab 2 Inklusi - Eksklusi
SoalSoal -- soalsoal
Soal 1.
Ada berapa banyak permutasi dari ke 26 hurufAda berapa banyak permutasi dari ke-26 huruf
dalam alfabet yang memuat paling sedikit satu dari
kata FIGHT, BALKS, MOWER.
Soal 2.
Ada berapa banyak permutasi dari ke-26 hurufAda berapa banyak permutasi dari ke-26 huruf
dalam alfabet yang memuat paling sedikit satu dari
kata CAR, CARE, SCARE, SCARED.
30Daryono, Matematika Diskrit : Bab 2 Inklusi - Eksklusi

16. 16
Peluang gabungan kejadian-kejadian
Teorema 2.
Misalkan E1, E2, E3 tiga kejadian dalam ruang sampel S. Maka :
p(E1  E2  E3) = p(E1) + p( E2 ) + p( E3 ) - p(E1  E2 )p( 1 2 3) p( 1) p( 2 ) p( 3 ) p( 1 2 )
- p(E1  E3 ) - p( E2  E3 ) + p(E1  E2  E3 )





n
)()(
Teorema 3.
Misalkan E1, E2, …, En kejadian-kejadian dalam ruang sampel S.
Maka :






















n
i
i
n
kj
nkji
i
j
nji
i
ni
i
i
i
EpEEEp
EEpEpEp
1
1
1
111
)1()(
)()(
31Daryono, Matematika Diskrit : Bab 2 Inklusi - Eksklusi
SoalSoal 44
Berapakah peluang bahwa ketika empat angka dari 1
sampai 100, dipilih secara acak tanpa pengulangan,
terjadi salah satu dari kejadian-kejadian berikut:j j j
keempatnya angka ganjil, keempatnya habis dibagi tiga,
atau keempatnya habis dibagi 5.
32Daryono, Matematika Diskrit : Bab 2 Inklusi - Eksklusi