Конспекти уроків по темі "Раціональні вирази "(22 уроки)

ВІДДІЛ ОСВІТИ СИХІВСЬКОГО РАЙОНУ М. ЛЬВОВА
ПЛАНИ – КОНСПЕКТИ УРОКІВ
АЛГЕБРА 8 КЛАС
Підготували
вчитель математики
СЗШ № 1 м.Львова
ЛЕВ АЛЛА ЯРОСЛАВІВНА
вчитель математики
СЗШ № 90 м.Львова
СКАБАРА ТЕТЯНА
ВОЛОДИМИРІВНА
ЛЬВІВ – 2012

СЗШ № 1, 90 м.Львова Лев А.Я., Скабара Т.В.
Розробка написана за всіма нормами (методика, критерії оцінювання, результативність), з
дотриманням дидактичних принципів. Новизна і оригінальність розробки полягає в тому, що
показані нестандартні прийоми подачі теоретичного матеріалу, підходи в розв’язку задач. Даються
рекомендації щодо проведення кожного уроку. При цьому розглядаються всі основні етапи уроку:
підготовка класу до вивчення нового матеріалу, вивчення нового, закріплення, розв’язування
задач та завдання додому.
Робота містить проблемно-пошукові задачі, використовується цікава методика викладання
теми, різноманітні форми контролю.
Дана робота цікава і корисна для широкого кола вчителів математики: як для вчителів-
початківців, так і для досвідчених вчителів, і може бути використана вчителями математики при
підготовці уроків.
2

Урок № 1
Тема: Поняття раціонального виразу. Допустимі значення змінної.
Мета: ввести поняття раціонального виразу, цілого та дробового виразу, формувати в учнів
вміння знаходити допустимі значення змінних у дробових виразах.
ХІД УРОКУ
І. Актуалізація опорних знань.
 які вирази називаються цілими?
 навести приклади цілих виразів;
 навести приклади многочленів;
 чи можна будь-який цілий вираз записати у вигляді многочлена?
 навести приклад виразу, який відрізняється від цілого (вираз, який містить дію
ділення на вираз зі змінною.
ІІ. Вивчення нового матеріалу.
1. Цілі вирази, які вивчали у сьомому класі – це вирази, що містять дії додавання,
віднімання, множення, піднесення до степеня, а також ділення на число, відмінне від нуля.
2. Дробові вирази – це вирази, які містять дію ділення на вираз зі змінною.
Цілі і дробові вирази називаються раціональними виразами.
3. Частку від ділення двох виразів A і B можна записати у вигляді дробу
B
A
, де A –
чисельник, B – знаменник, а риска дробу означає дію ділення, наприклад ( )32
:3 baba − є дріб
3
2
3
ba
ba
−
.
4. Розглянемо дробовий вираз 3+y
y
.
Якщо 3−=y , то знаменник 3+y дорівнює нулю, а на нуль ділити не можна. Отже, при
3−=y вираз 3+y
y
не має змісту. При інших значеннях змінної y ( )3≠y даний вираз має зміст.
3
РАЦІОНАЛЬНІ
ВИРАЗИ
ЦІЛІ ДРОБОВІ
32 +a ; 3
5
b
b
+
2
32
+
−
a
a
; 22
b
b
+

Значення змінної, при яких вираз має зміст, називають допустимими значеннями змінної.
Отже, вираз
B
A
має зміст, якщо 0≠B , не має змісту, якщо 0=B .
ІІІ Закріплення нового матеріалу.
Усні вправи.
1. Які вирази є цілими виразами? дробовими?
а)
ba
ba
−
+
; б) 2
3
x
x
+ ; в) 24
x
x
− ; г) ab 





+ 3
2
1
; д)
( )1
5
+yx
; е)
5
xxy +
.
2. Для яких значень змінної вираз не має змісту?
а)
x
5
; б)
1
3
+
−
x
x
; в)
( )5
2
−
+
xx
x
.
3. Назвіть допустимі значення змінної у виразі:
а)
3
x
; б)
3
2
−
+
x
x
; в)
( )xx
x
7
5
+
−
.
4. Знайти значення виразу при .3,0;3;2 −=x
2+
−
x
x
.
ІV. Розв’язування вправ.
Завдання 1. Заповніть таблицю.
x -2 -1 0 1 1,5 2
1+x
x
Завдання 2. Вкажіть допустимі значення змінної у виразі:
а)
2
16 2
−
+
x
x
; б)
( )3
16
−
+
aa
a
; в)
bb
b 1
1
+
+
; г)
2
11
2
+x
x
.
Завдання 3. Автомобіль проїхав 195 км за t год. Запишіть у вигляді виразу швидкість
автомобіля. Знайдіть значення цього виразу, якщо 3=t .
Завдання 4. Для яких значень змінної вираз не має змісту?
а)
4
14
2
−
+
x
x
; б)
aa
a
5
8
2
−
; в)
( )2
6
5
−
−
y
y
Завдання 5. Знайдіть значення виразу:
13
32
+
−
a
a
, якщо 2,0−=a ;
3
2
=a ;
6
1
3=a .
V. Підведення підсумків уроку.
Учитель ще раз виділяє найголовніше, звертає увагу учнів на нові поняття, властивості
дробу, відповідає на запитання учнів.
VІ. Домашнє завдання.
Додаткове завдання. Знайдіть допустимі значення змінної у виразі:
4

а) 3
111
−
−
x
x
б) mm
m
22
−
; в) 11
3
+−
+
a
a
.
Урок № 2
Тема: Тотожно рівні вирази. Тотожності
Мета: визначити поняття тотожно рівних виразів, тотожності, усвідомлення тотожного
перетворення виразу.
ХІД УРОКУ
І. Перевірка домашнього завдання.
Математичний диктант
І варіант ІІ варіант
1) При яких значеннях змінної не має змісту вираз
2−x
x
? 3−y
y
?
2) Вкажіть допустимі значення змінної:
а)
36
2
−x
; а) 62
7
−y
;
б)
2
26 −x
; б)
7
62 −y
;
в)
22
+x
x
. в)
32
+y
y
.
3) При яких значеннях змінної дріб дорівнює нулю
а) y
y
+
−
8
510
; а)
2
26
+
−
x
x
;
б)
( )
yy
yy
2
4
2
+
+
. б)
( )
xx
xx
3
5
2
−
+
.
ІІ. Усне опитування.
 які вирази називаються цілими, дробовими?
 чи будь-який цілий вираз можна назвати раціональним?
 чи будь-який раціональний вираз можна назвати цілим, дробовим?
 навести приклад цілого, дробового, раціонального виразу.
ІІІ Вивчення нового матеріалу.
Два вирази називаються тотожно рівними, якщо для будь-яких допустимих для них
значень змінної їхні відповідні значення дорівнюють одне одному.
Наприклад: 1. Вирази ( )yx +4 і yx 44 + будуть тотожно рівними, тому що з розподільної
властивості множення відносно додавання випливає, що за всіх значень змінних відповідні
значення даних виразів дорівнюють одне одному.
2. Вирази nm 34 ⋅ і mn12 будуть тотожно рівними, бо використавши переставну і
сполучну властивості множення до першого виразу, маємо mnnm 1234 =⋅ , тобто отримали другий
вираз, а це означає, що за всіх значень змінних відповідні значення даних виразів дорівнюють
одне одному, тобто вирази тотожно рівні.
5

Яку рівність називають тотожністю?
Рівність, яка є правильною для всіх допустимих значень змінних, що входять до неї,
називають тотожністю.
Приклади тотожностей.
4
5
62
53 22
b
ba
bab
=
⋅
⋅
;
( )
ba
baba
ba
ba
−
++
=
−
+ 222
2
.
Що називають тотожним перетворенням виразу?
Заміну одного виразу тотожно рівним йому виразом називають тотожним
перетворенням виразу.
Завдання 1. Спростити вираз (виконати тотожне перетворення виразу).
а) ( ) ( ) 22222222
2222 yxyxyxyxyxyxyx +=++++−=++− .
б) ( ) ( ) ( ) ( ) aaaaaaaaaaaaaaaa 3861289661289623 322332232
−=−+−++−=−+−++−=−+− .
Завдання 2. Підкреслити тотожності:
а) 2
5
3
6
a
a
a
a
= ; б) 4
3
6
a
a
a
= ; в)
( )22
2
−
=
− aa
a
a
a
; г)
( )
( )( )22
2
2 +−
−
=
− aa
aa
a
a
.
Завдання 3. Доведіть, що вирази:
а) 5
6
b
b
і b ; б) 2
5
m
m
і 3
m ; в)
x
x
2
6 3
і 2
3x
тотожно рівні.
Завдання 4. Знайти значення виразу
( )( )
1
2
−
+−−
m
mnmnn
, якщо: а) 0=m ; б) 1−=m ; в) 1=m .
Учитель звертає увагу учнів на головне: що таке алгебраїчний дріб, допустимі значення
змінних у дробових виразах, умова, за якою дріб дорівнює нулю, та тотожне перетворення виразів.
Відповідає на запитання учнів.
Додаткове завдання. Знайдіть значення виразу:






−





−





−





− 2
1
1
16
1
1
9
1
1
4
1
1
n
 , якщо 10=n .
6

Урок № 3
Тема: Основна властивість дробу
Мета: вести поняття основної властивості дробу. Формувати вміння скорочувати дроби.
Повторити розкладання многочлена на множники, формули скороченого множення.
ХІД УРОКУ
Завдання на картках
Картка № 1
1. Знайти значення виразу
ba
ba
43
2
−
+
, якщо 6−=a , 3=b .
2. При яких значеннях змінної вираз має зміст
а)
1
2
2
+x
; б) 1
4
−x ; в)
x
x
+
+
3
5
.
3. При якому значенні змінної значення даного
дробу дорівнює нулю:
а)
1
4
−
+
x
x
; б)
3
92
−
−
x
x
.
Картка № 2
18
32
+
−
x
xx
, якщо 6,0=x .
а)
4
5
2
−x
; б) 2
2
−x ; в)
x
x
+
+
5
32
.
а)
2
5
−
+
x
x
; б)
2
42
−
−
x
x
.
Картка № 3
nm
nm
54
3
−
−
, якщо 2−=m , 1=n .
а) 32 −x ; б) 3
1
+
+
x
x
; в)
1
52
−
+
a
a
.
а)
2
2+x
; б)
2
42
+
−
x
x
.
Картка № 4
13
22 2
−
+
y
yy
, якщо 4,0=y .
а)
1
1
2
+x
; б) 2
5
+x ; в)
x
x
−
+
5
5
.
а)
1
3
+
−
x
x
; б)
4
162
−
−
x
x
.
ІІ. Актуалізація опорних знань.
1. Скоротити дроби:
а)
18
4
; б)
40
180
; в)
18
18
; г)
12
8,1
.
2. Розкласти на множники:
а) 124 +a ; б) abb 22
− ; в) 252
−y ; г) ccm 205 − ;
д) 1682
++ aa ; е) 2
yyxxy −+− .
Приклади розв’язуються на дошці. Учні коментують хід розв’язування.
7

ІІІ Вивчення нового матеріалу.
1. Основна властивість дробу.
Питання до класу: в чому полягає основна властивість звичайних дробів?
Якщо a , b , c – натуральні числа, то
bc
ac
b
a
= і
b
a
bc
ac
= .
Аналогічна властивість і для будь-яких дробів:
для будь яких значень a , b , m , де 0≠b , 0≠m , справджується рівність
bm
am
b
a
= або
b
a
bm
am
=
.
Ця рівність і виражає основну властивість дробу.
Ця властивість означає, що чисельник і знаменник дробу можна помножити на вираз, не
тотожно рівний нулю.
Наприклад:
243
4
2
4
1
12
3
1
12
2
4
1
3
1
+
=






+⋅
⋅
=
+ b
a
b
a
b
a
.
2. Скорочення дробів. Що означає “скоротити дріб”?
b
a
bm
am
= де 0≠b , 0≠m . Ділення чисельника та знаменника дробу на їхній спільний
дільник, відмінний від одиниці, називають скороченням дробу.
Увага! Якщо чисельник і знаменник дробу – многочлени, то перед скороченням їх потрібно
розкласти на множники.
Наприклад:
а)
m
a
bm
ba
bm
ab
5
4
55
54
25
20
=
⋅
⋅
= ;
б) 222254
54
76
54
5
3
53
3
15
bababa
ba
ba
ba
=
⋅
⋅
=
в) ( ) xyxx
yx
xyx
yx 1
3
3
3
3
2
=
−
−
=
−
−
;
г)
( )
( )( ) yxyxyx
yx
yx
yx
3
12
33
312
9
3612
22
+
=
+−
−
=
−
−
;
д)
( ) ( ) ( )( ) ba
ba
x
bax
x
baxba
x
bxaxba
+=
+
=
+
++
=
+
+++
=
+
+++
12
2
2
2
2
22
.
3. Зміна знаку перед членами дробу.
а)
b
a
b
a
−
−
= ; б)
b
a
b
a
−
−= ; в)
b
a
b
a −
−=
Завдання 1. Скоротити дроби:
8

а)
63
49
; б) 09,0
03,0
; в)
80
56
; г) 8
5
6
5
a
a
; д) 8
7
a
a
; е)
3
4
30
20
a
a
−
−
;
є) 84
45
13
26
ba
ba
; ж)
ba
ab
6
7
27
18
; з)
( )
( )32
232
8
4
ba
ba
.
Завдання 2. Заповнити пропуски:
а) 32
5
5
abba
a
= ; б)
baa 62
4
= ; в) 7623
2
5
8
baba
ba
= ; г) 824
186
9
bab
a
= .
Завдання 3. Скоротити дріб:
1)
a
ba
4
84 +
; 4)
x
xx
84
36 2
−
−
; 7)
248
273
−
−
a
a
;
2) yx
yx
63
105
−
−
; 5)
168
16
2
2
++
−
mm
m
; 8)
1212
666
3
2
−
++
a
aa
;
3)
102
252
−
−
x
x
; 6) 42
35
bb
bb
−
−
; 9) 2
9
33
a
yxayax
−
+−−
;
Завдання 4. Самостійна робота (учні розв’язують на закритій дошці).
І варіант
Скоротити дріб:
а)
x
x
3
2
; б)
3
6a
;
в)
a
a
24
6
; г)
ac
ca
36
24 22
;
д)
( )
( )abb
aba
−
−
; е)
( )
( )aba
baa
−
−
3
15
;
є)
ab
ba
6
123 +
; ж)
aba
ba
3
3
2
−
−
;
з)
123
162
+
−
y
y
; і)
25
2510
2
2
−
++
a
aa
.
ІІ варіант
Скоротити дріб:
а) y
y
4
3
; б)
4
8x
;
в)
b
b
21
7
; г)
xy
yx
5
10 22
;
д)
( )
( )yxb
yxc
−
−
; е)
( )
( )xyb
yxb
−
−
6
18
;
є) xy
yx
9
312 −
; ж) 126
105
+
+
y
xxy
;
з)
49
142
2
−
+
m
m
; і)
xx
xx
2
44
2
2
−
+−
.
9

 в чому полягає основна властивість дробу;
 що означає “скоротити дріб ”?
 як можна змінити знак перед членами дробу?
 назвіть дроби тотожно рівні даним
а)
( )23
105
−
−
a
a
; б)
( )2
3
186
−
−
n
mmn
; в)
96
9
2
2
+−
−
aa
a
VІ. Домашнє завдання. Повторити формули скороченого множення
Урок № 4
Тема: Скорочення дробів
Мета: навчити учнів застосовувати основну властивість дробу до скорочення дробів, виконувати
тотожні перетворення дробів.
ХІД УРОКУ
Самостійно учні виконують завдання, а результати обговорюються і аналізують помилки.
1. Зведіть дріб до знаменника ba2
5 .
а)
b
11
; б)
ab
3
; в)
5
2 3
a
; г)
a
b7
.
2. Обчислити значення дробу
а) 57
62
18
4
yx
yx
, якщо 1−=x , 9=y ;
б)
2
2
2
3
+
+
x
xx
, якщо 2,0=x .
3. Скоротити дріб:
а)
b
a
12
4
; б)
xz
xy
2
8
; в) 3
2
15
10
m
m
; г) 3
2
18
3
abc
bca
.
 Сформулювати основну властивість дробу;
 навести приклади її застосування;
 що таке “скоротити дріб”?
 сформулювати правило скорочення дробу;
 навести приклади;
 як можна змінити знак перед членами дробу, щоб він не змінився; щоб отримати
протилежний дріб?
ІІІ. Розв’язування вправ.

а) 23
32
20
15
ba
ba
; б) 3
4
4
2
ab
ab
− ; в)
1
33
2
−
−
x
x
; г)
x
x
24
42
+
−
; д)
25
204
2
−
−
x
x
.
Завдання 2. Заповнити пропуски:
а)
abb
a
=
2
4
; б)
baab
a
2
4
2
3
= ; в) 262
4
3
baba
a
= ; г) 42
bab
a
= .
Завдання 3. Обчислити значення дробу
а) 5
72
63
81
ab
ba
, якщо 14=a , 2−=b ;
б)
( )
45
32
4,0
15,0
ba
ba
, якщо 8=a , 1−=b .
Завдання 4.Скоротити дріб:
1)
( )
( )4
32
14
12
−
−
xxy
xyx
; 2)
( )
( )xyx
xyx
+
+
2
2
33
443
; 3)
( )
( )43
422
16
14
−
−
xxy
xyx
;
4)
( ) ( )
( ) ( )43
34
1312
1312
−+
−+
xx
xx
; 5)
( )
aba
baa
−
−
2
2
; 6)
( )
23
3
24
12
aa
aa
+
+
;
7) 22
ba
ba
−
−
; 8) 22
ab
ba
−
+
; 9)
( )
22
3
2 baba
ba
++
+
;
10) 22
22
2 baba
ba
+−
−
; 11)
ccc
cc
+−
−
23
3
2
; 12) 2234
224
2 babaa
baa
++
−
;
13)
a
a
−
−
1
1
; 14)
32
32
+
−−
a
a
; 15) 2
22
aab
ba
−
−
;
16) 22
3
4
4
aab
bab
−
−
; 17)
ab
ba
−
− 22
; 18) 2
2
9
62
a
aa
−
−
;
19)
( )
( )2
2
2
−
−
a
a
; 20)
( )2
2
2
4
a
a
−
−
; 21) cycx
cyaycxax
−
−−+
.
ІV. Підведення підсумків уроку.
Учитель відповідає на запитання учнів, підкреслює головне: основну властивість дробу,
правило скорочення дробу, зміну знаку перед членами дробу, заміна дробу тотожно рівним.
V. Домашнє завдання.
Додаткове завдання.
а) m
m2−
, якщо 0<m ; б)
b
b
8
5
−
, якщо 0>b .
2. Побудувати графік функції заданої формулою:
1
12
−
−
=
x
x
y
3

Урок № 5
Тема: Розв’язування вправ
Мета: формувати вміння та навички скорочувати дроби, виконувати тотожні перетворення
виразів, зводити дроби до нового знаменника.
ХІД УРОКУ
1) Напишіть дріб тотожно рівний дробу
x
2
зі знаменником xy6 .
x
5
зі знаменником xy10 .
2) Скоротити дроби:
а) y
x
15
5
; а) y
x
9
3
;
б)
b
ab
4
; б) y
xy
5
;
в)
( )
( )2
2
+
+
xy
xx
. в)
( )
( )3
3
−
−
ab
aa
.
3) Зведіть дріб
b
15
до знаменника 2
b
y
x
4
5
8y
Усна перевірка з обговореннями і коментарями помилок.
ІІ. Розв’язування вправ.
1) y
x
21
7
; 2)
ac
ab
4
16
; 3) 5
3
15
25
n
n
;
4) 32
23
16
8
bca
cab
; 5) 83
75
32
48
ba
ba
; 6) 74
39
51
34
nm
nm
.
1) 22
2
94
96
ba
bab
−
−
; 2) 22
22
25204
254
xcxc
xc
++
−
; 3)
yxxy
xyyx
22
33
2
82
−
−
;
4)
2
83
+
+
x
x
; 5) 3
3
27
93
z
zz
−
++
; 6) 2
6
1
1
y
y
−
−
;
7)
bxaxaba
aabb
−−+
++
2
22
2
; 8)
bdadbab
ba
−−+
+
22
48
2 ; 9)
x
bxaxba
+
+++
2
22
;
10)
1414
777
3
2
+
+−
m
mm
; 11)
25
55
2
−
−+−
x
xybyxb
.
Завдання 4. Знайдіть значення виразу:
а)
9
93
2
2
−
+
a
aa
, якщо
3
1
−=a ;
4

б)
45305
364
2
2
+−
−
aa
a
, якщо 2=a ;
в) 73
9375
yx
yxyx −
, якщо
3
1
=a ,
6
1
−=b .
Завдання 3. Зведіть дріб:
а) yx +
7
до знаменника xyx +2
; б) yx +
2
2 yxyx ++ ;
в)
ba
c
−
ba − ; г)
nm
n
−
nm − .
Учитель відповідає на запитання учнів, виділяє головне: зведення дробу до нового
знаменника, розкладання чисельника і знаменника на множники, скорочення дробу, заміна дробу
тотожно рівним.
5445
3223
2189
26
nnmmnm
nnmmnm
+−−
−−+
.
2. Побудувати графік функції заданої формулою:
x
x
y =
Урок № 6
Тема: Розв’язування вправ. Самостійна робота
Мета: навчити учнів застосовувати основну властивість дробу до скорочення дробів. Перевірити
їхні знання й уміння за допомогою самостійної роботи
ХІД УРОКУ
Учні розв’язують на дошці вправи, аналогічні домашньому завданню і коментують їх.
1)
( )
( )xa
xa
−
−
23
26
2 ; 2)
cba
cba
24
234
66
30
; 3) 2
32
xax
xax
−
−
;
4)
153
25 2
−
−
a
a
; 5) 22
22
2
88
baba
ab
++
−
; 6) 22
23
2 baba
aba
+−
−
.
 Яким вимогам відповідає спільний (новий знаменник)?
5

o Спільний знаменник ділиться без остачі на знаменник кожного дробу.
 Яку властивість дробу використали при зведенні дробу до нового знаменника?
 У чому полягає метод групування при розкладанні многочлена на множники?
 Що означає термін “допустимі значення змінної”?
 Які вирази називають тотожно рівними?
ІІІ. Самостійна робота.
1) При яких значеннях змінної не має змісту вираз
а)
1
12
+m
; б) 2
6
9
nn
n
−
; в)* 2
1545 xx
x
−
? а)
x−1
18
; б)
yy
y
5
15
2
−
; в)* nn
n
2613
4
2
−
?
2) Скоротити дріб:
а)
a
ab
4
6
−
; б)
( )
( )ba
ba
−
−
5
7
; в)
3
962
−
+−
d
dd
; а)
c
cd
49
14−
; б)
( )
( )nm
nm
+
+
5
4
; в)
4914
7
2
++
+
bb
b
;
г)
xc
xc
64
94 22
−
−
; д)
x
xx
42
144 2
−
+−
; г)
x
x
315
25 2
−
−
; д)
25204
25
2
+−
−
xx
x
;
е)*
14
22
2
2
−
+−−
a
baaba
. е)*
mnnmm
nm
2323 2
22
−+−
−
.
3) Знайти значення виразу:
а) 23
4
20
40
yx
yx
, якщо 2,6−=x ; 4=y ;
б)* 22
22
322
3857
−
−
а) 47
56
42
36
ba
ba
, якщо
7
1
=a ;
6
1
=b ;
б)* 22
22
1332
4055
−
−
4*. Звести дроби до спільного знаменника:
4
3
2
−a
a
;
44
2
2
++
+
aa
ba
;
442
+−
−
aa
ab
96
5
2
++ bb
b
;
92
−b
a
;
962
+−
+
bb
ab
знаменника, розкладання чисельника і знаменника на множники, скорочення дробу, поняття
тотожності.
3222
3222
6666
3333
babbcac
babbcac
−−+
−−+
.
2. Знайти значення виразу:
22
22
cb
bcacab
−
−−+
, якщо 3=a , 6,5=b ; 7,5=c .
Урок № 7
Тема: Додавання і віднімання дробів з однаковими знаменниками.
6

Мета: формувати уміння додавати і віднімати дроби з однаковими знаменниками.
ХІД УРОКУ
І. Аналіз самостійної роботи.
1. Повідомлення статистичних даних.
2. Поелементний аналіз:
1) Скорочення дробів. Проаналізувати, як учні виконали:
 скорочення на числовий множник;
 винесення спільного множника за дужки;
 скорочення дробу на одночлен;
 скорочення дробу на многочлен;
 різниця і сума кубів;
 зміна знаку у членів дробу;
2) Допустимі значення змінної:
 розв’язування рівнянь вигляду 0=+ bax , ( )( ) 0=++ cdxbax .
 запис значень змінної, при якій дріб має зміст.
3) Поняття тотожності:
 тотожно рівні вирази;
 ділення одночленів;
 множення одночленів.
ІІ. Актуалізація .опорних знань.
Питання до класу: як додаються, віднімаються звичайні дроби з однаковими
знаменниками?
Учні усно розв’язують вправи:
а)
5
1
5
3
+ ; б)
24
5
24
17
− ; в)
9
5
9
8
− ; г)
19
7
19
12
+ .
ІІІ. Вивчення нового матеріалу.
1. Дроби з однаковими знаменниками додаються і віднімаються так само, як і звичайні
дроби.
2. Запис у зошитах учнів:
b
ca
b
c
b
a +
=+ ;
b
ca
b
c
b
a −
=− .
3. Учні самостійно формулюють правила додавання і віднімання дробів з однаковими
знаменниками.
4. Звернути увагу на можливість запису дробу у вигляді суми або різниці дробу.
7

b
c
b
a
b
ca
+=
+
;
b
c
b
a
b
ca
−=
−
.
Завдання 1. (усні вправи, попередньо записані на дошці):
1)
aa
27
+ ; 2)
b
a
b
a 132 −
+
+
; 3)
12
2
12
5 bb
+ ; 4)
x
a
x
a
+
2
5)
m
a
m
a
+
+3
; 6)
x
c
x
a
− ; 6)
n
m
n
ma
−
+
; 7) p
k
p
lk
−
+
.
Завдання 2. Подати у вигляді дробу і спростіть:
1)
b
a
b
a 23
+ ; 2)
1
3
1
4 22
+
+
+ b
a
b
a
; 3)
b
b
b
a +
+
23
; 4)
11
2
−
−
+
−
+
a
ba
a
ba
;
5)
baba
a
−
−
−
− 54
; 6)
b
a
b
a
33
2
−
+
; 7)
ba
ba
ba
ba
+
−
−
+
−
22
23
; 8)
ab
a
ab
a
−
+
−
−
434
;
9)
ba
b
ba
a
+
−
+
22
; 10)
ba
b
ba
a
−
−
− 2
4
2
8
; 11)
ba
b
ba
aba
2
4
2
4 22
+
+
+
+
; 12)
ba
ab
ba
a
−
−
−
33 2
;
13)
5
50
5
22
−
−
−
− a
a
a
a
; 14)
16
4
16 2
2
2
2
−
+
−
−
+
a
a
a
aa
; 15)
3
82
3
182
+
−
−
+
++
a
a
a
aa
; 16)
49
1
49
1450
2
2
2
−
−
−
−
−
a
a
a
a
.
Завдання 3. Спростити вираз:
а)
ab
b
ba
a
−
+
+
−
+ 55
; б) xy
x
yx
x
−
−
−
−
+
2
43
2
4
; в)
y
y
y
y
−
−
−
−
−
2
10
2
145 22
.
Завдання 4. Подати у вигляді дробу, спростити і обчислити:
а)
( ) ( )
ab
a
ab
baa
ab
aab
7575
91302
75
51216 222
+
+
+
−−
−
+
−−
, якщо 2−=a , 3−=b .
б)
( )( ) ( )( )
ba
a
ba
baba
ba
abab
34
2
34
5
34
3232 2
−
−
−
+−
−
−
+−
, якщо 2−=a , 5=b .
Учитель ще раз звертає увагу учнів на виконання дій додавання та віднімання алгебраїчних
дробів з однаковими знаменниками; спрощення чисельника і всього дробу.
8

Урок № 8
Тема: Додавання і віднімання дробів з різними знаменниками.
Мета: формування уміння додавати та віднімати дроби з різними знаменниками. Скласти
алгоритм додавання і віднімання дробів.
ХІД УРОКУ
Завдання на картках.
№ 1. Подати у вигляді дробу, спростити і обчислити:
а)
4
32
4
22
−
−
−
− a
a
a
a
, якщо 6=a ;
б)
baba
a
−
−
−
− 45
, якщо 8=a , 6=b .
а)
9
3
9 2
2
2
2
−
−
−
−
+
x
x
x
xx
, якщо 25=x ;
б)
b
a
b
a
55
2
−
+
, якщо 01,0=a , 2=b .
а)
3
83
3
192
+
−
−
+
++
a
a
a
aa
, якщо 2=a ;
б)
ab
a
ab
a
−
+
−
−
645
, якщо 5=a , 6=b .
а)
25
15
25
3
2
2
2
2
−
+
−
−
+
a
a
a
aa
, якщо 10=a ;
б)
a
b
a
b
77
7
−
+
, якщо 5=a , 8=b .
1. Нагадати правило додавання і віднімання дробів з різними знаменниками та пропоную
розв’язати приклади
8
5
7
3
+ ;
8
1
12
7
− ;
2
1
3
2
− ;
5
3
15
8
−
2. Як звести дроби до найпростішого спільного знаменника?
Щоб звести дроби до найпростішого спільного знаменника, потрібно:
 знайти найпростіший спільний знаменник даних дробів;
9

 знайти для кожного дробу додатковий множник. Для цього потрібно спільний
знаменник поділити на знаменники даних дробів;
 помножити чисельник кожного дробу на його додатковий множник;
 записати дроби із знайденими чисельниками та спільним знаменником.
Увага! Якщо знаменники дробів – многочлени, то для знаходження спільного знаменника
знаменник кожного дробу доцільно розкласти на множники.
3. Алгоритм додавання алгебраїчних дробів з різними знаменниками, складений разом з
учнями:
4. Приклад (пояснення вчителя)
1) Виконайте дії: y
y
x
x 4347 −
+
+
.
1 к р о к: знаходимо спільний знаменник xy ;
2 к р о к: визначимо додаткові множники
 до першого дробу: yxxy =:
 до другого дробу: xyxy =:
3 к р о к:
( ) ( )
xy
xy
xy
xyxxyy
xy
yxxy
y
y
x
x 37434743474347 +
=
−++
=
−++
=
−
+
+
.
1) Виконайте дії:
4
8
2
2
2 2
2
−
−
+
−
− a
a
a
a
a
a
.
1 к р о к:
 розкладемо знаменники на множники: ( )( )2242
+−=− aaa ;
 визначимо спільний знаменник: ( )( )22 +− aa .
2 к р о к: визначимо додаткові множники
 до першого дробу: ( )( ) ( ) 22:22 +=−+− aaaa ;
 до другого дробу: ( )( ) ( ) 22:22 −=++− aaaa .
3 к р о к:
( )
( )( )
( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( )
( )
( )( )
( )( )
( )( )
.
22
22
22
4
22
4
22
8422
22
8
22
22
22
2
4
8
2
2
2
23
2232
2
2
a
aa
aaa
aa
aa
aa
aa
aa
aaaaa
aa
a
aa
aa
aa
aa
a
a
a
a
a
a
=
+−
+−
=
+−
−
=
+−
−
=
=
+−
−+−+
=
−+
−
−+
−
−
+−
+
=
−
−
+
−
−
.
10
 знайти спільний знаменник дробів;
 звести дроби до спільного знаменника;
 додати або відняти одержані дроби;
 спростити дріб, якщо це можливо.

Завдання 1. Звести дроби до спільного знаменника:
1) 4
7
4
a
і 3
2
3
a
; 2)
92
−a
x
і
3
2
−a
.
Завдання 2. Виконати додавання і віднімання дробів:
1)
b
a
b
a 23
+ ; 2)
1
3
1
4 22
+
+
+ b
a
b
a
; 3)
b
b
b
a +
+
23
; 4)
11
2
−
−
+
−
+
a
ba
a
ba
;
5)
baba
a
−
−
−
− 54
; 6)
b
a
b
a
33
2
−
+
; 7)
ba
ba
ba
ba
+
−
−
+
−
22
23
; 8)
ab
a
ab
a
−
+
−
−
434
;
9)
ba
b
ba
a
+
−
+
22
; 10)
ba
b
ba
a
−
−
− 2
4
2
8
; 11)
ba
b
ba
aba
2
4
2
4 22
+
+
+
+
; 12)
ba
ab
ba
a
−
−
−
33 2
;
13)
5
50
5
22
−
−
−
− a
a
a
a
; 14)
16
4
16 2
2
2
2
−
+
−
−
+
a
a
a
aa
; 15)
3
82
3
182
+
−
−
+
++
a
a
a
aa
; 16)
49
1
49
1450
2
2
2
−
−
−
−
−
a
a
a
a
.
Завдання 3. Подати у вигляді дробу, спростити і обчислити:
а)
( ) ( )
ab
a
ab
baa
ab
aab
7575
91302
75
51216 222
+
+
+
−−
−
+
−−
, якщо 2−=a , 3−=b .
б)
( )( ) ( )( )
ba
a
ba
baba
ba
abab
34
2
34
5
34
3232 2
−
−
−
+−
−
−
+−
, якщо 2−=a , 5=b
Учитель ще раз звертає увагу учнів на виконання дій додавання та віднімання алгебраїчних
дробів з однаковими знаменниками; спрощення чисельника і всього дробу.
Урок № 9
Мета: навчити учнів виконувати дії додавання і віднімання над алгебраїчними дробами.
Перевірити їхні знання й уміння за допомогою самостійної роботи
ХІД УРОКУ
Завдання 1.Спростити вираз:
1)
11
35
−
−
− a
a
a
a
; 2)
cc
cc
−
−
−
−
1
1
1
22
; 3) y
y
y
−
−2
2
;
4)
nmnm
nm
+
+
−
+ 44
22 ; 5) 1
1
2 2
++
−
−
x
x
x
; 6)
a
a
a
a
a
a
2
1
4
1
8
65 +
−
−
+
+
.
11

Звернути увагу учнів на:
 правила додавання і віднімання дробів з однаковими знаменниками;
 спрощення чисельника одержаного дробу;
 знаходження спільного знаменника і додаткових множників;
 розкладання многочлена на множники;
 ділення степенів.
1) Виконай додавання (віднімання) дробів:
1)
c
ba
c
ba
22
−
+
+
;
2)
5
2510
5
2
−
−
−
− y
y
y
y
;
3)
ab
b
ba
a
−
+
−
55
;
4)
( ) nnn
n
−
+
−
+
5
1
5
1
;
5) 2
2
3
5
xa
x
−
− ;
6) 32
6
125
4
8
x
x
x
x −
−
−
;
7)
aaa
5
4
20
2
−
+
;
8)
392
2
+
−
− m
m
m
m
.
1)
x
m
x
m
2
42
2
4 −
+
+
;
2)
3
96
3
2
−
−
−
− a
a
a
a
;
3)
ab
ba
ba
a
2
3
2 −
−
+
−
;
4)
( ) yyy
y
−
+
−
−
5
1
5
1
;
5) 3
3
2
2
−
−ay
y
;
6) 34
9
715
6
310
x
x
x
x −
−
+
;
7)
bbb 7
426
2
+
− ;
8)
164 2
2
−
−
+ c
c
c
c
.
2) Подати вираз у вигляді дробу:
1) 22
4
3
2
1
2
1
ba
a
baba −
−
−
+
+
;
2)
nm
nm
nm
+
+
−+
22
.
1) yxyxyx
x
3
1
3
1
9
2
22
+
+
−
−
−
;
2) yx
xy
yx
+
−+
2
.
3) Спростити вираз:
1)
96
12
9
8
96
12
222
++
−
−
−
−
+−
+
xx
x
xxx
x
. 1)
xx
x
x
x
xx 82
4
42
1
2
1
3
2
2
−
+
+
−
−
+
−
−
.
4*. Спростити вираз:
1) nnnnnnn
nn
ababbaa
ba 11
2 22
−
+
+
++
+
nnnnnn
bababa −
−
+
+
−
111
22 .
знаменника, розкладання чисельника і знаменника на множники, скорочення дробу, поняття
тотожності.
12

1. Обчислити найраціональнішим способом
3127
36
2723
36
2319
36
1915
36
1511
36
117
36
73
36
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
.
Урок № 10
Тема: Узагальнення і систематизація знань учнів.
Мета: Корекція знань учнів з урахуванням результатів самостійної роботи. Підготовка до
тематичної контрольної роботи.
ХІД УРОКУ
 додавання і віднімання дробів з однаковими знаменниками;
 додавання і віднімання дробів з різними знаменниками;
 знаходження спільного знаменника і додаткових множників;
 розкладання многочлена на множники;
 ділення степенів.
ІІІ. Розв’язування вправ на дошці.
Завдання 1. При яких значеннях змінної має смисл вираз:
а)
( )1
7
−xx
; б) 2+x
x
.
1)
xz
xy
2
8
; 2) 62
43
24
36
nm
nm
; 3) yx
yx
63
105
−
−
; 4)
102
252
−
−
x
x
;
5)
168
16
2
2
++
−
mm
m
; 6)
248
273
−
−
a
a
; 7) 2
9
33
a
yxayax
−
+−−
; 8)
1212
444
3
2
+
+−
m
mm
.
Завдання 3. Подати у вигляді дробу вираз:
1)
z
yx
z
yx
8
133
8
35 −
+
−
; 2)
16
24
16
6
22
−
−
− xx
x
; 3) 22
2
9
94
9
10
m
m
m
mm
−
−
−
−
+
;
4) 4
15
4
73
−
+
+
−
+
y
y
y
y
; 5) xyx
34
− ; 6) yxxy
k
xy
t
22
4
7
3
4
5
6
−+ .
Завдання 4. Виконати дії:
1)
( ) 3
1
32
4
−
+
−
−
+
x
x
x
x
; 2)
55
2
33
3
−
−
+
−
+
a
a
a
a
; 3)
5
1
5
5
+
−
−
−
+
x
x
x
x
;
4)
3
9
3
−
−−
x
x ; 5) 22
2
4129
9
23
3
qpqp
p
qp
p
++
−
+
; 6)
3
1
9 2
−
+
− aa
a
;
13

7)
yx
y
xy
x
yx
xyy
224
52
22
2
+
−
−
−
−
−
; 8)
44
32
4
5
44
32
222
++
−
−
−
−
+−
+
aa
a
aaa
a
.
Завдання 5. Знайти значення виразу:
xx
x
x
x
xx 82
4
42
1
2
1
3
2
2
−
+
+
−
−
+
−
−
, якщо
8
1
−=x .
Завдання 6. Довести тотожність:
( ) ( ) ( )( ) 1
3
11
1
1
1
1
1
2
−
=
−+
+
+
+
− xxxxxxx
.
Завдання 7. Довести, що при будь-яких допустимих значеннях змінної x значення виразу
96
2
9
6
69
2
222
++
−
−
−
−
+−
+
xx
x
xxx
x
є додатним числом.
З метою надання допомоги слабо встигаючим учням при засвоєнні знань, можна
запропонувати їм систему питань:
1. Які вирази називаються цілими виразами?
2. Які вирази називаються дробовими?
3. Який дріб називається раціональним?
4. Які значення змінних називають допустимими значеннями змінних у виразі?
5. Сформулюйте основну властивість дробу.
6. Що називають скороченням дробу?
7. Сформулюйте правила зміни знака перед дробом.
8. Як додати (відняти) дроби з однаковими знаменниками?
9. Як звести дроби до найпростішого спільного знаменника?
10. Як додати (відняти) дроби з різними знаменниками?11.
Учитель відповідає на запитання учнів, а також аналізує успіхи учнів на уроці.
1. Відомо, що 7
4
=
−
b
ba
. Знайти значення виразу:
1)
b
a
; 2)
a
ba 32 +
.
2. Довести тотожність:
842
1
8
1
1
1
2
1
1
1
1
xxxxx −
=
+
+
+
+
+
+
−
.
Урок №11
14

Тема: Тематична контрольна робота № 1: “Раціональні вирази. Додавання і
віднімання дробів”
Мета: За допомогою контрольної роботи перевірити, як засвоєнні поняття: дроби, допустимі
значення дробу, основна властивість дробу і додавання і віднімання дробів.
ХІД УРОКУ
Тематична контрольна робота
І варіант
І рівень
Виберіть правильний варіант відповіді.
1) Значення виразу 2
10
3
3
дорівнює:
а) 5
3 ; б) 5
1 ; в) 8
3 ; г) 8
1 .
2) Результатом скорочення дробу
k
nk
5
4
є вираз:
а)
5
4n
; б)
5
4nk
; в)
5
4 2
nk
; г) 2
5
4
k
n
.
3) Різниця дробів
b
a
b
a 432
−
−
дорівнює:
а) 2
432
b
aa −−
; б)
b
a23 +−
; в)
b
a 32 −−
; г)
b
a 32 −
.
( 3 бали)
ІІ рівень
4) Скоротити дроби: а)
( )
( )mxp
mxk
−
−
; б)
2
42
+
−
a
a
.
5) Додати дроби:
( ) 2
1
2
1
+
+
+
−
xxx
x
.
( ) ( )3332 −
−
− b
a
b
a
( 3 бали)
ІІІ рівень
7) При яких значеннях змінної вираз не має змісту:
( )1
6
−xx
.
8) Спростити вираз: 22
22
2
xy
yxyx
−
++
.
9) Виконати дії:
484
1
33
1
2
++
−
−
+ xx
x
x
15

( 3 бали)
ІV рівень
а) 2
2
25
2
5
5
5
2
x
x
xx
x
−
+
+
−
−
; б) 13
53
9 2
−−
−
x
x
x
.
11) Доведіть, що при будь-яких допустимих значеннях змінної значення виразу
144
13
14
8
144
13
222
+−
+
−
−
+
++
−
xx
x
xxx
x
є від’ємним числом.
( 3 бали)
ІІ варіант
І рівень
9
5
5
дорівнює:
а) 6
5 ; б) 6
1 ; в) 3
5 ; г) 3
1 .
( )2+by
by
є вираз:
а)
b
b 2+
; б)
2+b
b
; в)
2
1
; г)
2
2
+b
by
.
3) Сума дробів
23
15
23
4
−
−
+
− b
k
b
k
дорівнює:
а)
46
19
−
+
b
k
; б)
( )2
23
19
−
−
b
k
; в)
23
19
−
−
b
k
; г)
23
91
−
−
b
k
.
( 3 бали)
ІІ рівень
( )
( )ba
ba
23
25
+
+
; б)
a
a
−
−
12
12 22
.
( )baaba
a
−
+
−
5
.
( ) ( )4342 −
−
− b
a
b
a
( 3 бали)
ІІІ рівень
( )1
8
2
+mm
.
16

8118
182
2
++
+
aa
a
.
363
1
22
1
2
++
−
−
+ yy
y
y
( 3 бали)
ІV рівень
а)
22
2
4
4
2
−
+
+
−
− m
m
mm
m
; б) 3
3
9
−
−
−
a
a .
11) Доведіть, що при будь-яких допустимих значеннях змінної значення виразу
96
2
9
6
96
2
222
++
−
−
−
−
+−
+
yy
y
yyy
y
є додатним числом.
( 3 бали)
ІІІ варіант
І рівень
8
7
7
дорівнює:
а) 2
7 ; б) 4
7 ; в) 2
1 ; г) 4
1 .
k
pk
7
4
є вираз:
а)
7
4k
; б)
7
4pk
; в)
7
4p
; г)
7
4 2
pk
.
3) Різниця дробів
k
a
k
a 253
−
+
дорівнює:
а) 2
253
k
aa −+
; б)
k
a33 +
; в) a33 + ; г)
k
a33 −
.
( 3 бали)
ІІ рівень
( )
( )yx
yx
23
25
−
−
; б)
5
252
−
−
a
a
.
( )yy
y
y
y
3
2
3
3
−
+
+
−
+
.
( ) ( )2425 −
+
− m
x
m
x
( 3 бали)
ІІІ рівень
17

( )3
3,5
+yy
.
8) Спростити вираз: 22
22
164025
2516
aabb
ba
++
−
.
484
1
33
1
2
++
−
−
+ xx
x
x
( 3 бали)
ІV рівень
а)
8
12
422
1
32
+
−
+−
−
+ aaa
a
a
; б) 1
43
12
4 +
−
−
a
a
a .
11) Доведіть тотожність
( )( ) ( )( ) ( )( )
0
111
=
−−
−
−−
−
−− abaccacbcbba
.
( 3 бали)
ІV варіант
І рівень
18
3
3
дорівнює:
а) 3
1 ; б) 12
3 ; в) 3
3 ; г) 12
1 .
2) Результатом скорочення дробу pr
pq
5
3
є вираз:
а)
r
q
5
3
; б)
pr
qp
5
3 2
; в) p
pq
5
3
; г)
rp2
5
3
.
3) Сума дробів
mm
x 355
+
−
дорівнює:
а)
m
x 25 −
; б) 2
1512
m
x −
; в)
m
x 25 +
; г) 2
25
m
x −
.
( 3 бали)
ІІ рівень
( )
( )ba
ba
+
+
9
7
; б)
7
49 2
+
−
x
x
.
( ) 113
5
+
+
+ a
a
a
a
.
18

( ) ( )7372 −
−
− y
a
y
a
( 3 бали)
ІІІ рівень
( )2
1,1
−xx
.
16249
129
2
+−
−
xx
x
.
363
1
44
1
2
++
−
−
+ mm
m
m
( 3 бали)
ІV рівень
а)
255
2
255
1
25
4
2
−
−
+
+
− bbb
; б) yx
y
yx
−
++
3
.
11) Доведіть тотожність
( ) ( ) ( )( ) 1
3
11
1
1
1
1
1
2
−
=
+−
+
+
+
− aaaaaaa
.
( 3 бали)
Урок № 12
Тема: Множення дробів. Піднесення дробу до степеня.
Мета: Сформувати і довести правила множення дробів та піднесення дробу до степеня.
ХІД УРОКУ
І. Аналіз контрольної роботи.
1. Статистичні дані на основі по елементного аналізу контрольної роботи.
2. Учні, які виконали роботу без помилок, одержують індивідуальне завдання (завдання
високого рівня складності з інших варіантів). Завдання перевіряє і оцінює вчитель.
3. Учитель роз’яснює помилки, які були допущені у контрольній роботі, і пропонує учням
розв’язати аналогічні вправи з інших варіантів.
1. Учитель нагадує учням правило множення звичайних дробів, наводить приклади:
5
3
7
2
⋅ ;
4
11
11
4
⋅ .
2. Зауважимо, що за тим самим правилом множимо будь-які дроби.
bd
ac
db
ca
d
c
b
a
=
⋅
⋅
=⋅ , де 0≠b , 0≠d .
Усні вправи:
19

а) n
k
p
m
⋅ ; б) x
x
⋅
1
; в)
x
y
x
10
5 ⋅ ; г) 3
2
4
5
15
8
m
n
n
m
⋅ ;
д)
5
2
3
5 b
a
⋅ ; е)
x
x 1
4
3
⋅ .
3. Учитель наводить правило піднесення дробу до степеня:
n
nn
b
a
b
a
=





.
 Щоб піднести дріб до степеня, потрібно піднести до цього степеня чисельник
та знаменник і перший результат записати, а другий – знаменником дробу
Усні вправи:
а)
2
2 





y
x
; б)
2
5
3






bc
a
; в)
3
3
2
3








−
b
a
Завдання 1. Виконайте множення:
1)
16
5
3
4 b
a
⋅ ; 2)
k
k
9
2
5
3
⋅ ; 3)
b
b 1
11
8 2
⋅ ; 4) 





−⋅ 2
4
14
4 y
y
;
5) 42
25
5 c
d
d
c
⋅ ; 6) 2
3
10
5
12
x
y
y
x
⋅ ; 7) 3
2
3
4
x
a
x ⋅ ; 8) mn
n
m 2
3
6
5
⋅





− ;
9) 5
2
3
2
15
10
4
25
a
b
b
a
⋅ ; 10)
3
4
3
9
5
ab
b
a
⋅− ; 11) 





−⋅− 5
2
34
17
x
y
yx .
Завдання 2. Піднесіть до степеня:
1)
2
2
2








y
x
; 2)
4
3
3
2








−
b
a
; 3)
3
32
5 







−
m
kn
; 4)
3
3
42
4
3








c
ba
.
1)
( )
( )
( )3
5
2
1
2
2
1
−
+
⋅
+
−
x
x
x
x
; 2)
( )
( )
2
4
2
3
ba
ba
−
⋅
−
; 3)
( )
( ) ( )423
6
bax
ba
ba
bax
−
+
⋅
+
−
;
4) 2222
2 ba
ba
baba
ab +
⋅
++
; 5)
3
2
4
9
2
2
−
−
⋅
−
−
a
a
a
a
; 6) 2
2
16
44
2
4
a
aa
a
a
−
++
⋅
+
−
;
7)
1
9
3
1
22
3
++
⋅
−
aa
a
a
a
; 8)
a
a
a
a
+
−
⋅
−
−
3
2
8
9
3
2
; 9)
12
1
12
1
22
2
+−
+
⋅
++
−
aa
a
aa
a
.
Завдання 4. Виконайте множення (розв’язування приклада на дошці і в зошиті учнів з деякими
коментарями):
yx
xx
x
yx
xy
x
2
2
3
45
3
2
2
42
8
4
2
4 ++
⋅
−
⋅
−
.
 перемножимо чисельники дробів, цей вираз записуємо у
чисельник дробу;
20

 перемножимо знаменники дробів, цей вираз записуємо у
знаменник дробу:
( ) ( )
( ) yxxxy
xxyxx
233
2452
282
4244
⋅−⋅
++⋅⋅−
 розкладаємо на множники і скорочуємо чисельник і знаменник на спільні
множники:
( )( ) ( )
( )( ) ( )2
24222
42422 2
223
245
+=
⋅++−⋅
++⋅⋅−+
xx
yxxxxxy
xxyxxx
.
Учитель відповідає на запитання учнів, виділяє головне: правило множення дробів, правило
множення цілого виразу та дробу, правило піднесення до степеня.
Урок № 13
Тема: Множення дробів. Піднесення дробу до степеня.
Мета: формувати в учнів вміння та навички знаходити добуток двох дробів, підносити дріб до
степеня.
ХІД УРОКУ
Два учні на дошці розв’язують завдання аналогічні домашньому завданню:
І учень
1)
5
4
16
25
2
2
+
+
⋅
−
−
x
x
x
x
; 2)
( )2
2
2
4
168
4
123
−
+−
⋅
−
−
x
xx
xx
x
.
ІІ учень
1) 2
2
25
44
2
5
x
xx
x
x
−
+−
⋅
−
+
; 2)
4
96
3
2
2
2
−
+−
⋅
−
+
a
aa
a
a
.
Усне опитування:
 сформулюйте правило множення дробів, наведіть власні приклади;
 сформулюйте правило піднесення дробу до степеня, наведіть власні приклади.
ІІ. Розв’язування вправ.
1) x
y
y
x
12
4
⋅ ; 2) 5
2
3
9
4
18
y
x
y ⋅ ; 3) 





−⋅ 22
3
3
15 ba
c
c
ba
; 4) 6
4
5
46
23
28
n
n
m
⋅ ; 5)
3
2
6
8 b
abab
⋅
−
;
21

6)
xx
x
xx
x
4
9
3
16
2
2
23
2
+
−
⋅
−
−
; 7)
nmm
mnnm
mnm
mnm
23
22
2
2
−
+
⋅
+
−
; 8)
4010
1
333
20205
2
3
2
2
−
−
⋅
++
+−
y
y
yy
yy
;
9)
( ) 2
2
2
32
4
x
xyx
yx
xy +
⋅
+
; 10) 23
2
3
4
3
2
4
3
m
n
m
n
n
m
⋅





−⋅ ; 11)
pp
p
pp
pp
p
pp
2
186
9622
44
22
22
+
−
⋅
+−
+
⋅
+
++
.
Завдання 2. Піднесіть до степеня:
1)
2
3
6








n
m
; 2)
4
2
2
3






−
b
a
; 3)
3
75
43
3
5








−
dc
ba
.
1)
4
18
3
2
2
42
2
−
⋅




 −
a
a
ba
a
; 2) 6
2
2
32
6
5105
1
2
ab
aa
a
ba ++
⋅







+
; 3) 2
3103
4
288
9
3
2
aa
ba
ba
a
+−
⋅




 −
;
4)
32
2
2
2
2






+
−
⋅





−
+
a
a
a
a
; 5)
32
2
2
2
2
44
44






+
−
⋅







+−
++
a
a
aa
aa
; 6)
3
2
25
96
2510
5
3








+−
++
⋅





+
−
aa
aa
a
a
.
Завдання 4. Знайти числове значення виразу:
1)
2
2
2
3
2
2
2
2
2
44
12
1
4
44
21








+−
++
⋅







−
−
⋅







++
+−
aa
aa
a
a
aa
aa
, якщо 3−=a ;
2)
96
44
96
44
4
9
2
2
2
2
3
2
2
++
+−
⋅
+−
++
⋅







−
−
aa
aa
aa
aa
a
a
, якщо 4=a .
ІІІ. Підведення підсумків уроку.
Учитель відповідає на запитання учнів, і ще раз виділяє головне: правило множення дробів,
правило множення цілого виразу та дробу, правило піднесення до степеня.
ІV. Домашнє завдання.
Додаткове завдання
Спростити вираз:
1)
yxxyx
yxxyx
yzxzxyx
yzxzxyx
22
22
2
2
2
2
−−+
+−−
⋅
−+−
+++
;
2)
23
2
3
22
224
2
2














−
−
⋅







+−
+−
ba
ba
baba
bbaa
.
Урок № 14
Тема: Ділення дробів.
22

Мета: формувати поняття оберненого дробу. Сформулювати правило ділення дробів. Формувати
вміння ділити дроби.
ХІД УРОКУ
Письмове завдання перевіряється з коментарями.
1)
32
1
1
1
1






−
+
⋅





+
−
a
a
a
a
; 2)
32
2
2
2
2
44
44






−
+
⋅







++
+−
a
a
aa
aa
; 6)
3
2
27
168
96
3
4








++
+−
⋅





−
+
aa
aa
a
a
.
 назвати чисельник дробу;
 назвати знаменник дробу;
 вказати, на який вираз скорочено добуток;
 отримані від скорочення результати:
а)
1
1
−
+
a
a
; б)
2
2
+
−
a
a
; в)
3
4
−
+
a
a
.
1. Які дроби називаються оберненими?
2. Назвати обернені доданих дробів:
5
2
;
7
4
;
5
1
;
b
a
;
n
m
5
2
.
3. Як поділити звичайні дроби?
4. Приклад:
35
6
7
3
5
2
3
7
:
5
2
=⋅= .
5. Як записати цілий вираз у вигляді дробу?
 Щоб поділити один дріб на другий, треба перший дріб помножити на дріб обернений
до другого.
bc
ad
c
d
b
a
d
c
b
a
=⋅=: , де 0≠b , 0≠c , 0≠d .
Приклади. (розв’язування на дошці з коментарями).
Виконайте ділення:
1)
c
bdad
c
ba
dc
ba
55
5
:
222
=⋅= ;
2)
a
c
ab
bca
a
bc
b
a
bc
a
b
a
3
2
3
2
3
2
:
3
2
22
2
=
⋅
⋅
=⋅= ;
3)
( )
( ) a
b
yxa
byx
yx
b
a
yx
b
yx
a
yx 2
2
44
24
:
2
=
−⋅
⋅−
=





−
−⋅
−
−=




 −
−
−
− ;
23

4)
( )( )( )
( ) ( ) bx
yx
yxbx
bxyxyx
yx
bx
bxbx
yx
bx
yx
bxbx
yx
−
+
=
−−
−+−
=
−
−
⋅
+−
−
=
−
−
+−
−
222
22
22
22
2
:
2
;
5) ( ) ( )( )
( ) a
ba
baa
baba
aba
baba
ba
aba
ba
+
=
−
+−
=
−
+
⋅
−
=
+
−
−
5
2
52
2
5
1
2
5
2
:2 2
2
.
Завдання 1. Виконайте ділення:
1)
yx
x
yx
x
−−
2
:
2 2
; 2)
( )
b
ba
b
ba
4
:
2
2
−−
; 3)
a
a
a
a 1
:
1
2
2
+−
;
4)
( ) 1
2
:
1
24
2
+
−
+
−
a
a
a
a
; 5) 3
2
2
2
44
:
4
a
aa
a
a ++−
; 6)
96
3
:
9
9
2
2
2
+−− aa
ba
a
ab
;
7)
1
1
:
1
1
22
3
++
+
−
−
aa
a
a
a
; 8)
ba
xyy
bab
yxy
55
2
:
2 2
2
2
+
−
+
−
; 9)
36
168
:
3612
42
22
−
−
++
−
m
m
mm
m
;
10) 23
2
3
4
3
2
4
3
m
n
m
n
n
m
⋅





−⋅ ; 11)
pp
p
pp
pp
p
pp
2
186
9622
44
22
22
+
−
⋅
+−
+
⋅
+
++
.
Завдання 4. Спростити і знайти числове значення виразу:
1)
22
1
:
1
36244
:
1
182
2
3
2
22
−
−
++
++
+
−
a
a
aa
aa
a
a
, якщо 4−=a ;
2) 2
2
2
2
23
3
4
6312
:
3
44
:
44
243
a
aa
aa
aa
aaa
a
−
−+
+
−−
++
+
, якщо 3=a .
Учитель відповідає на запитання учнів, і виділяє головне: поняття дробу, оберненого
даному; правило ділення дробів
Довести тотожність:
7
77
:
2 22
3322
22
cm
cm
cm
cmcm
cmcm −
=
−
+
++
++
.
24

Урок № 15
Тема: Ділення дробів.
Мета: Формувати вміння та навички ділення дробів.
ХІД УРОКУ
Виконайте ділення:
1)
4
:
2
ba
; 2) yx
1
:
1
; 3) 2:
4
a
; 4)
3
:2
x
;
5)
x
yx
xy
yx −−
:
22
; 6)
yx
x
yx
x
−−
2
:
2 2
;
7)
2
3
2






y
x
; 8)
2
2
3








−
−
ba
a
.
1)
8
:
4
yx
; 2)
ba
1
:
1
; 3) 2:
3
x
; 4)
2
:3
a
;
5)
ab
ba
a
ba 22
:
−+
; 6)
( )2
2
3
:
3
ba
a
ba
a
++
;
7)
2
3
4






b
a
; 8)
2
3
2








+
−
ba
a
.
 як помножити два дроби?
 як піднести дріб до степеня?
 який дріб називається оберненим до даного?
 як поділити дроби?
Завдання 1. Виконайте ділення:
1)
8
44
:
42
4
3
2
2
2
+
++
+−
−
a
aa
aa
a
; 2)
aa
aa
a
a
3
93
:
9
27
2
2
2
3
+
++
−
−
; 3)
( )
3
2
2
2
1
1
:
1
1
a
a
aa
a
−
−
++
−
;
4)
44
4
:
2
44
2
323
+−
−
−−
++
aa
aa
a
aaa
; 5)
aaa
aa
aa
a
++
++
−
−
23
2
4
2
484
:
22
.
Завдання 2. Спростити і знайти числове значення виразу:
1) ( )44
9
27
:
93
4
:
3
2 2
2
4
23
22
++⋅
−
−
++
−






+
−
aa
a
aa
aaa
a
a
a
, якщо 4−=a ;
2)
( )
12
1
82
164
:
64
:
16
243 2
4
22
3
34
⋅
−
+−
+−
+
a
aa
aa
ba
aa
ba
, якщо 4−=b .
1)
4
2
:
2
2
2
2
2
−






+
−
−
−
+
m
m
m
m
m
m
; 2)
15
12
9
105
:
3
2
2
−
−
−
+
+
+ x
x
x
x
x
;
3)
12
1
:
1
2
1 2
2
++
+






+
+−
mm
m
m
m ; 4)
yccy
yc
yc
yc
yc
yc
+
−
⋅





−
+
−
+
− 2
: .
Завдання 4. Доведіть тотожність:
25

1) 1: 22
22
22
=
−
+






−
−
− abba
ba
abb
a
aba
b
;
2) 1:22
2
=
+
+
−− ba
b
ba
a
ba
a
.
Учитель підкреслює, чого учні навчилися на уроці, відповідає на їхні запитання, ще раз
звертає увагу на піднесення дробу до степеня, виконання дій над алгебраїчними дробами.
Доведіть, що вираз
yx
yxyx
yxyx
yx
2
32
:
2
3 22
22
+
−+
−+
+
набуває лише додатних значень.
Урок № 16
Мета: навчити учнів виконувати дії множення, піднесення до степеня та ділення над
алгебраїчними дробами. Перевірити їхні знання й уміння за допомогою самостійної
роботи
ХІД УРОКУ
Завдання 1.Спростити вираз:
1)
ab
yx
xxy
aab
−
+
⋅
+
−
3
3
2
2
; 2) 2
22
14
25
:
7
5
b
a
b
a






; 3) 2
3
22
48
:
24
ba
x
ba
x
−−
;
4) ( )yx
yx
yx
3:
9 22
−
+
−
;5) 22
2
9
5
:
3
25
a
a
aa
a
−
+
−
−
; 6) 22
22
22
33
2
baba
baba
ba
ba
++
++
⋅
−
−
.
 Сформулюйте правило множення дробів.
 Сформулюйте правило піднесення дробу до степеня.
 Сформулюйте правило ділення дробів.
1) Виконайте множення:
1) x
y
y
x
15
3
⋅ ; 1) x
y
y
x
24
9
⋅ ;
26

2) 





−⋅
nm
p
p
mn
2
3
6
24
;
3) 9
3
6
5
3
20
m
x
m ⋅ ;
4)
xx
x
xx
x
5
36
6
25
2
2
2
2
+
−
⋅
−
−
;
5)
baa
abba
aba
aba
23
22
2
2
2
3
3
2
−
+
⋅
+
−
.
2) 





−⋅ 2
32
5
25 mn
t
t
nm
;
3) 4
2
2
13
3
26
m
n
m ⋅ ;
4)
mm
m
mm
m
8
81
9
64
2
2
2
2
+
−
⋅
−
−
;
5)
baa
abba
aba
aba
23
22
2
2
7
2
2
7
−
+
⋅
+
−
.
2) Представити вираз у вигляді дробу:
1)
3
2
7








b
a
;
2)
2
2
5
4








−
n
m
;
3)
3
23
2
2
5
34
3
2
8
3








−⋅







−
ba
m
m
ba
.
1)
2
4
5








x
a
;
2)
3
2
3
2






−
m
y
;
3)
3
32
2
2
5
34
4
5
25
2








−⋅







−
ba
x
x
ba
.
3) Виконати ділення:
1) 4
3
3
5
45
4
:
15
32
y
a
y
a
;
2) 







− 46
83
74
52
35
6
:
15
16
nm
yx
nm
yx
;
3) 6
1412
1710
22
27
:54
a
np
np ;
4) 22
22
22
22
92416
96
:
916
9
yxyx
yxyx
yx
yx
+−
++
−
−
.
4. Дано 7
1
2 =+
x
x . Знайти значення виразу
2
2 1
4
x
x + .
1) 4
6
5
4
7
15
:
63
10
y
x
y
x
;
2) 







− 86
63
97
54
55
6
:
121
24
yx
ba
yx
ba
;
3) 2
2616
2514
9
23
:46
z
yx
yx ;
4) 22
22
22
22
42025
168
:
425
16
yxyx
yxyx
yx
yx
++
++
−
−
.
4. Дано 8
1
3 =−
x
x . Знайти значення виразу
2
2 1
9
x
x + .
5. Спростити вираз:
( )( )26
9
44
4
:
96
6 3
2
2
2
+−
−
⋅
++
−
++
−
aa
aa
aa
a
aa
a
.
( )( )35
16
96
9
:
168
5 3
2
2
2
+−
−
⋅
++
−
++
−
xx
xx
xx
x
xx
x
.
Учитель відповідає на запитання учнів.
1. Довести, що при всіх значеннях a , b , x , y ( n – натуральне число) рівність є тотожністю
27

( )
xyyyxx
xyyx
yxyx
yxyx
nnnn
nn
nn
nnnn
1
2
23
23
4
22
22
3223
2
=
++
+
⋅
+
+−
.
Урок № 17
Тема: Тотожні перетворення раціональних виразів.
Мета: формувати уміння виконувати тотожні перетворення раціональних виразів з алгебраїчними
дробами.
ХІД УРОКУ
1. Повідомлення статистичних даних.
2. Аналіз помилок, допущених на самостійній роботі.
3. Для учнів, які повністю впоралися з виконанням завдань самостійної роботи, можна підготувати
індивідуальні завдання
Завдання 1. Доведіть, що для будь-яких Za ∈ значення виразу 





−
+







+
+
−
xa
a
x
a
xa
xa
a
4222
є парним
числом.
Завдання 2. Знайдіть такі значення a і b , при яких виконується тотожність
( )( ) 2121
4
−
+
+
=
−+ x
b
x
a
xx
x
.
1. Означення раціонального виразу. Приклади.
2. Перетворення раціональних виразів. Приклади.
3. Що треба знати, щоб навчитися перетворювати раціональні вирази:
 формули скороченого множення;
 властивості степеня з цілим показником;
 основну властивість дробу;
 правила додавання, віднімання, множення, ділення дробів, піднесення до степеня;
 порядок дій.
ІІІ. Розв’язування вправ на дошці під керівництвом учителя.
aaa
aa
a
a
aa
a
−
+
−
++






−
−
+− 1
112
:
112
2
3
2
2 .
 змінити знак перед другим дробом;
 розкласти знаменники на множники;
28

 знайти спільний знаменник;
 визначити додаткові множники для першого і другого дробів;
 виконати дії.
1)
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) 22
2
2
2
2
1
22
1
1
11
2
1
12
11
2
112
2
−
+
=
−
+
=
−
−+
=
−
−+
=
−
+
−
=
−
−
+−
−
a
aa
a
aa
a
aaa
a
aaa
a
a
a
a
a
a
aa
a a
;
2)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )( )
( ) ( ) 111
111
1
1
1
112
:
1
1 2
222
2
23
2
2
−
=
+⋅−
−+⋅+
=
+
−
⋅
−
+
=
−
++
−
+
a
a
aa
aaaaa
a
aa
a
aa
aa
aa
a
aa
;
3)
( )( ) 1
1
11
1
1
1
1
11
1
1
222
+=
−
+−
=
−
−
=
−
−
−
=
−
+
−
a
a
aa
a
a
aa
a
aa
a
.
1) m
m
−
−
−
2
14
2 ;
2)
96
12
9
8
96
12
222
++
−
−
−
−
+−
+
xx
x
xxx
x
;
3)
a
a
a
a
aa
a
5
2
105
2
2
3
2
+
+
−
−
−
−
+
;
4)
2
:22
22
yx
yx
x
xy
yx
yx
x +








+
+
−
+
+
−
;
5) 22
:
xy
xy
yx
yx
yx
yx
−





+
−
−
−
+
;
6) 







+
−
+−





−
+
−
+
+ 2
10
2:
42
2
2
1 2
2
x
x
x
x
x
xx
.
Питання учням:
За допомогою яких правил, властивостей можна виконати тотожні перетворення?
Учитель коментує навчальні досягнення учнів.
Спростити вираз
( )







 +−
−⋅
+
−
+
+
ax
xa
xa
xa
2
1
1
1
1
1
1 22
.
Подайте у вигляді раціонального дробу:
29

x−
−
+
1
1
1
1
1
1
Урок № 18
Тема: Раціональні рівняння.
Мета: формувати уміння розв’язувати раціональні рівняння.
ХІД УРОКУ
Два учні біля дошки розв’язують завдання , аналогічні домашньому, з коментуванням:
Спростити вираз:
1)
7
497
49
8
:
4914
15
7
8
22
+
−
+
−






++
−
+ b
b
b
b
bb
b
b
b
;
2)
1
:
27
9
93
3
1
27
2
2
32
3
−
+






+
+
+
+−
−
⋅
−
+
a
aa
a
a
aa
a
a
a
.
 Що називається рівнянням?
 Дайте означення кореня рівняння.
 Як визначити чи є число 1=x коренем рівняння ( ) ( ) 533512 +−=−+ xx ?
 Що означає розв’язати рівняння?
 Яке рівняння має безліч розв’язків, не має коренів?
 Які рівняння називаються рівносильними?
 Навести приклади рівносильних рівнянь.
 Яке рівняння називається лінійним?
 Скільки коренів має рівняння :
а) 70 =⋅ x ; б) 00 =⋅ x ; в) 042
=−x ; г) 022
=+x .
4. Означення. Раціональним називається рівняння, в якому ліва і права частини є
раціональними виразами.
Раціональні рівняння поділяються на цілі і дробові.
30

Приклади:
( ) xx 3232 +=+
Цілі раціональні
рівняння
3
5
6
=
−x
x
Дробові раціональні
рівняння( )
5
32
2
53 +
=
− xx
2
35
1
2
+
−
=
− x
x
x
5. Розглянемо рівняння
2
5
1
3
+
=
− x
x
x
. Вирази мають зміст, якщо 1≠x , 2−≠x
Значення змінної, за яких мають зміст вирази в обох частинах рівняння утворюють область
допустимих значень (ОДЗ) рівняння.
6. Основні властивості рівняння.
Властивість 1. Якщо в деякій частині рівняння виконати тотожне перетворення, яке не
змінює ОДЗ, то одержимо рівняння, рівносильне даному.
Властивість 2. Якщо деякий доданок перенести з однієї частини рівняння в іншу, змінивши
його знак на протилежний, то одержимо рівняння, рівносильне даному.
Властивість 3. Якщо обидві частини рівняння помножити або поділити на одне й те ж,
відмінне від нуля число, то одержимо рівняння, рівносильне даному.
7. Множення обох частин рівняння на вираз зі змінною.
Розглянемо рівняння:
5
6
5
2
−
=
−
+
x
x
x
xx
(*)
Знайдемо ОДЗ: 05 ≠−x ; 5≠x .
Замінимо рівняння (*), помноживши обидві частини рівняння на спільний знаменник ( )5−x :
( ) ( )5
5
6
5
5
2
−⋅
−
=−⋅
−
+
x
x
x
x
x
xx
;
xxx 62
=+ ; (**)
062
=−+ xxx ;
052
=− xx ;
( ) 05 =−xx ;
0=x або 5=x .
Рівняння (*) та (**) не є рівносильними, бо в першому розв’язком є тільки 0=x , а в другомв
розв’язком є 0=x або 5=x .
Тобто 5=x – це сторонній корінь для рівняння (*).
Щоб розв’язати дробове раціональне рівняння, можна:
 помножити обидві частини рівняння на спільний
31

знаменник дробів, яків ходять до рівняння, і замінити
його цілим раціональним рівнянням;
 розв’язати одержане ціле раціональне рівняння;
 виключити з його коренів ті, для яких спільний
знаменник дробів дорівнює нулю.
8. Розв’язування дробових рівнянь на основі умови рівності дробу нулю.
Дріб дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли його чисельник дорівнює нулю, а знаменник
відмінний від нуля.
0,00 ≠=⇔= ba
b
a
.
Використавши це твердження, розв’яжемо рівняння.
0
4
42
2
=
−
+
x
x
;



≠−
=+
;04
,042
2
x
x



≠
−=
;4
,42
2
x
x



−≠≠
−=
.2;2
,2
xx
x
Отже, дане рівняння розв’язків не має.
Завдання 1. Розв’язати рівняння:
1) 0
2
=
+x
x
; 2) 1
2
−=
+x
x
; 3)
1
2
1
1
+
=
− xx
; 4)
x
x
x −
−
=
− 2
3
2
1
.
Учитель відповідає на запитання учнів, ще раз звертає увагу на головне, пропонує учням
завдання.
1. Яке з рівнянь є раціональним, цілим, а яке дробовим:
а) 09 2
=− x ; б) 0
1
1
2
=
+
−
x
x
; в)
x
x
x
x
−
=
−
+
2
2
2
1 ?
2. Чи мають корені рівняння:
а) 0
5
4
=
−x
x
; б)
( )
0
2
2
2
=
−
−
x
x
? Чому?
Розв’язати рівняння з параметрами:
1) ( ) aaxa 22 2
−=− ; 2) 12
+=− xaxa ;
3) 0
4
2
=
−
−
x
ax
; 4)
( )( )
0
323
1
=
+−
+−
xx
ax
.
32

Урок № 19
Тема: Розв’язування дробово-раціональних рівнянь. Розв’язування задач.
Мета: навчити учнів розв’язувати дробово-раціональні рівняння, складати рівняння за умовою
задачі.
ХІД УРОКУ
Наявність письмового завдання перевіряють чергові або консультанти.
 Яке рівняння називається раціональним?
 Яке рівняння називається цілим, яке дробовим раціональним? Навести приклад.
 Які рівняння є рівносильними?
 Сформулюйте властивості рівнянь.
 Як можна розв’язати дробове раціональне рівняння?
 Що таке ОДЗ?
ІІІ. Математична естафета.
Клас ділиться на три команди.
Завдання.
І команда ІІ команда ІІІ команда
1) Вкажіть ОДЗ рівняння
0
5
2
=
−
+
x
x
. 0
2
4
=
−
x
x
. 0
2
3
=
+
−
x
x
.
2) Серед наведених рівнянь вибрати цілі раціональні рівняння і дробові раціональні рівняння
а) 0
3
2
=
−
+
x
x
;
б) ( ) 053 =−x ;
в) 0
3
2
=− x ;
г) 0
3
=
x
.
а) 0
1
=
+x
x
;
б) ( ) 052 =+x ;
в)
( ) 4
5
12
=
−y
;
г) 0
1
5
=
−x
.
а) 0
5
1
=
−x
;
б) ( ) ( )1312 −=+ xx ;
в) 0
1
42
=
−
+
y
y
;
г) 0
7
4
=
+
+
x
x
.
3) Розв’язати рівняння
а)
5
12
5
23
−
−
=
−
+
x
x
x
x
;
б) 0
4
8
4
2 2
=
−
−
− x
x
x
x
;
в)
11
2
−
=
− y
y
y
y
.
а)
x
x
x
x
−
+
=
−
+
7
4
7
21
;
б) 0
2
2
2
4 2
=
−
−
− x
x
x
x
;
в)
11
2
−
=
− x
x
x
x
.
а) 2
54
2
16
−
+
=
−
+
y
y
y
y
;
б) 0
11
2
=
+
−
+ x
x
x
x
;
в) 0
3
3
3
2
=
−
−
− y
y
y
y
.
4) Чи рівносильні рівняння:
33

( ) 0
42
=
−
x
xx
та ( ) 042 =−xx ? 0
2
=
−
x
x
та ( ) 02 =− xx ? 0
2
42 2
=
−
−
x
xx
та ( ) 02 =−xx ?
5) Скласти рівняння рівносильне до рівняння
01
2
=+
+
x
x
. 2
1
=
+x
x
. 3
10
=
−
x
x
.
1) 1
2
2
=
+x
x
; 2) 2
3
=
− x
x
; 3) 9
2
6
=
−
+
x
x
; 4) x
x
xx
=
−2
;
5) x
x
x
=
−
+
1
2 2
; 6) 14
2
24 2
−=
−
+
x
x
x
; 7) x
x
xx
24
1
24 2
−=
+
−
;
8) 0
9
9
2
2
=
−
+
x
x
; 9) 1
1
2
2
2
=
−
+
x
xx
; 10) 1
1
1
2
2
=
+
−
x
x
; 11)
2
4
142
2
2
=
−
+−
x
xx
;
12)
y
y
y
y
−
=
− 11
2
; 13)
y
y
y
yy
+
+
=
+
+
4
92
4
2 2
; 14) 22
2
3
1
3 x
x
x
xx
+
−
=
+
+
;
16) 0
9
1
96
2
96
1
222
=
−
+
++
−
+− xxxxx
.
Завдання 2. Розв’язати задачі:
1) Чисельник дробу на 5 менший від знаменника. Якщо до чисельника дробу додати 17, а
до знаменника 2, то отриманий дріб, обернений до даного. Знайти цей дріб.
2) Відстань від будинку до школи 240 м. З будинку вийшла і одночасно з нею хлопчик. Але
хлопчик прийшов на 10 хв раніше до школи, ніж дівчинка. Знайти швидкість дітей, якщо відомо,
що швидкість хлопчика в 4 рази більша, ніж швидкість дівчинки.
3) Два робітники можуть виконати певну роботу за 4 дні. Якщо буде працювати перший
робітник сам, то він може зробити всю роботу в 2 рази швидше, ніж другий робітник. За який час
може зробити цю роботу кожен робітник самостійно.
Учитель відповідає на запитання учнів, ще раз звертає увагу на головне, нагадує, що таке
продуктивність праці.
1. Для яких значень a рівняння
( )( )
0
31
12
=
+−
−+
xx
ax
не має коренів?
2. Для яких значень a рівняння
( )( ) 0
5
72
=
−
−−−
x
axax
має один корінь?
Урок № 20
34

Мета: навчити учнів виконувати тотожні перетворення над алгебраїчними дробами, розв’язувати
дробові раціональні рівняння. Перевірити їхні знання й уміння за допомогою самостійної
роботи
ХІД УРОКУ
Завдання 1.Розв’язати рівняння:
1) 0
2
22
=
−
−
x
xx
; 2) 0
2
4 2
=
−
−
x
x
; 3) 0
21
1
2
2
=
++
−
xx
x
;
4) x
x
xx
−=
+
+−
2
21
24 2
; 5)
xxx
x
x 4
2
1682
2
22
+
=
−
−
−
..
Що треба знати, щоб навчитися перетворювати раціональні вирази:
 порядок дій.
 Яке рівняння називається раціональним?
 Яке рівняння називається цілим, яке дробовим раціональним?
 Які рівняння є рівносильними?
 Сформулюйте властивості рівнянь.
 Як можна розв’язати дробове раціональне рівняння?
 Що таке ОДЗ?
1) 22
32
4
2
72
2
37
ba
ab
b
ba
a
ba
−
⋅




 −
+
−
;
2) 22
:
yx
xy
yx
yx
yx
yx
−





+
−
−
−
+
.
1)
ab
ab
b
ba
a
ba
10
87
:
5
38
5
73 22
+





 −
+
+
;
2);
4
2
:
2
2
2
2
2
−






+
−
−
−
+
x
y
x
x
x
x
.
2) Спростити вираз і знайти його значення:
35

1)
36
168
:
3612
42
22
−
−
++
−
x
x
xx
x
; якщо 4−=x . 1)
25
84
42
2510
2
2
−
+
⋅
+
+−
c
c
c
cc
; якщо 3−=c .
3) Розв’язати рівняння:
1) 0
4
246
=
+
−
a
a
;
2)
n
n
n
n
9
65
9
127 +
=
+
;
3)
( )( ) 0
2
25
=
−
−−
x
xx
;
4) 1
32
2
21
+
−
=
+
+
y
y
y
y
;
5)
11
12
+
−=
−
+
−
x
x
x
x
x ;
6)
361236
12
6
1
22
++
=
−
+
− yy
y
yy
.
1) 0
6
305
=
+
−
a
a
;
2)
m
m
m
m
19
35
19
24 −
=
−
;
3)
( )( ) 0
9
94
=
+
+−
x
xx
;
4) 3
31
2
13
+
−
=
−
+
y
y
y
y
;
5) 2
11
1
=
+
+
−
+
a
a
a
a
;
6)
251025
2
5
1
22
+−
−
=
−
+
− xx
x
xx
.
Учитель відповідає на запитання учнів, виділяє головне: порядок дій з алгебраїчними
дробами, умову, за якою дріб дорівнює нулю.
1) ( ) 824 22
−+=− aaxa ; 2)
( )( )
0
51
93
=
+−
−
xx
ax
.
Урок № 21
Тема: Узагальнення і систематизація знань учнів.
Мета: Корекція знань учнів з урахуванням результатів самостійної роботи. Підготовка до
тематичної контрольної роботи.
ХІД УРОКУ
Статистичні дані, аналіз помилок.
 порядок дій;
 основні властивості рівнянь;
36

 знаходження ОДЗ при розв’язуванні дробових раціональних рівнянь;
 умову, за якою дріб дорівнює нулю.
ІІІ. Розв’язування вправ на дошці.
Завдання 1. Спростіть вираз:
а)
7
15
3
7
3
5 2
−
⋅
−
−
+ a
aa
a
a
; б)
3
1
9
9
:
99 −
+
+






+
−
− aa
a
a
a
a
a
;
в) ( )
1
2
1
1
12
1
1 22
2
+
+





−
+
+−
−
aaaa
a ; г)
( ) 12
2
:
111 222
+−







−
−
−
−
+ aa
a
a
a
a
a
a
a
.
Завдання 2. Доведіть тотожність:
1)
a
a
a
a
aa
a
a
aa
−
=
−
+








+−
−
−
+
1
5
55
2
:
211 323
2
;
2) 1
16
11
4
3
42
1
4
4
4
22
=
−
−
+
+
−
aa
aa
a
a
a
.
Завдання 3. Розв’яжіть рівняння:
1) 0
12
2
=
−
−
x
xx
; 2)
4
1
2
12
+
−
=
−
m
m
m
m
; 3)
x
x
x
x −
=
−
+
−
1
1
22
1 ;
4)
( )( ) 0
1
14
22
=
+
+−
a
aa
; 5) 5
5
25103 2
−=
+
−+
x
x
xx
; 6)
25
7
5
51
5
54
2
−
=
−
+
−
+
−
yy
y
y
y
.
Завдання 4. Розв’язати задачу:
Партію деталей робітник може виготовити в 1,5 рази швидше, ніж його учень. За який час
цю партію деталей виготовить учень, якщо разом з робітником вони можуть її виготовити за 4 го?
Завдання 5. Знайти значення виразу:
2
3
4
33
12 22
−
−
−
−
⋅
+− xx
x
xx
x
, якщо 5=x .
2223
816
1
168
1
64164
8
xxxxxxx +−
=
++
+
+−−
.
Завдання 7. Довести, що значення виразу
( )
162
3
:
8
136
2
2
3
2
32
+
−






+
−
−
−
−
x
x
x
x
xx
x
не залежить від значень x .
Учитель відповідає на запитання учнів, а також аналізує успіхи учнів на уроці.
37

1) ( ) 659 22
+−=− aaxa ; 2)
( )( )
0
84
10155
=
+−
+−
xx
ax
.
Урок №22
Тема: Тематична контрольна робота № 2 по темі: “Множення і ділення
раціональних виразів. Перетворення раціональних виразів”
Мета: За допомогою тематичної контрольної роботи перевірити рівень засвоєння учнями теми
“Перетворення раціональних виразів”.
ХІД УРОКУ
Тематична контрольна робота
І варіант
І рівень
12) Коренем рівняння 0
3
92
=
−
−
x
x
є:
а) 3− ; б) 3;3− ; в) 3 ; г) 9 .
13) Виконайте дію
3
2
2
3






−
b
a
:
а) 6
3
8
27
b
a
− ; б) 5
3
8
27
b
a
; в) 6
3
6
9
b
a
− ; г) 6
3
8
9
b
a
.
( 3 бали)
ІІ рівень
а)
xx
x
xx
x
4
9
3
16
2
2
23
2
+
−
⋅
−
−
; б)
64
4
:
32
105 2
+
−
+
−
x
x
x
x
; в)
7
5
:
77 +






−
−
+ bb
b
b
b
.
2) Знайдіть корені рівняння: а)
xx −
=
− 1
1
2
3
; б) 2
4
4
=
−
+
x
x
.
( 3 бали)
ІІІ рівень
1) Спростити вираз: 







−
−
−







−
−
+− 416
:
4168 2
22
2
3
b
b
b
b
b
b
bb
b
.
2) Розв’язати рівняння: 0
2
2
4
4
2
2
2
=
+
−
−
−
+
− xx
x
x
.
( 3 бали)
38

ІV рівень
3) Довести тотожність: 52
52
2510
254
76
:
25204
16
52
6
22
−=
+
−
+
−
+






++
−
+
a
a
a
a
a
aa
a
a
a
4) Розв’язати рівняння: ( )( ) ( ) ( )22
12
3
32
1
1223
2
+
−=
−
−
+− xxxx
.
( 3 бали)
ІІ варіант
І рівень
4
162
=
+
−
x
x
є:
а) 4− ; б) 4 ; в) 16 ; г) 4;4− .
3
2
3
4








−
b
a
:
а) 3
6
27
64
b
a
− ; б) 3
6
27
12
b
a
− ; в) 3
6
27
12
b
a
; г) 3
6
3
4
b
a
− .
( 3 бали)
ІІ рівень
а)
xx
x
xx
x
5
36
6
25
2
2
23
2
+
−
⋅
−
−
; б)
124
36
:
3
14 2
−
+
−
−
a
a
a
a
; в)
8
8
:
8
8
8
8
+






+
−
− b
b
bb
.
4
2
2 −
=
+ xx
x
; б) 9
2
6
=
−
+
x
x
.
( 3 бали)
ІІІ рівень







−
−
+







++
−
+ 255
:
25105 2
2
2
32
a
a
a
a
aa
a
a
a
.
xxxxx +
=
−
+
− 222
4
1
21
.
( 3 бали)
ІV рівень
1) Довести тотожність:
4
5
10
25
100
244
:
10020
20
10
5
22
x
x
x
x
x
xx
x
x
x
=
−
−
−
−






+−
+
−
14
3
144
1
144
2
222
−
=
+−
+
++ xxxxx
( 3 бали)
ІІІ варіант
39

І рівень
5
25 2
=
+
−
x
x
є:
а) 5− ; б) 5;5− ; в) 5 ; г) 25 .
3
2
4
3






−
x
y
:
а) 4
2
8
9
x
y
− ; б) 4
2
8
9
x
y
; в) 4
2
16
9
x
y
; г) 4
2
16
9
x
y
− .
( 3 бали)
ІІ рівень
а)
mm
m
mm
m
8
81
9
64
2
2
23
2
+
−
⋅
−
−
; б)
93
25
:
3
153 2
+
−
+
−
x
x
x
x
; в)
3
3
:
33 +






+
−
− c
c
c
c
c
c
.
4
2
2 −
=
+ x
x
x
x
; б) 2
4
4
=
−
+
x
x
.
( 3 бали)
ІІІ рівень







−
−
−







−
−
+− 416
:
4168 2
22
2
3
b
b
b
b
b
b
bb
b
.
xxx
x
x 3
2
962
2
22
+
=
−
−
−
.
( 3 бали)
ІV рівень
1) Довести тотожність:
4
5
10
25
100
244
:
10020
20
10
5
22
x
x
x
x
x
xx
x
x
x
=
−
−
−
−






+−
+
−
.
2) Розв’язати рівняння: ( )( ) ( ) ( )22
12
3
32
1
1223
2
+
−=
−
−
+− xxxx
.
( 3 бали)
ІV варіант
І рівень
6
36 2
=
+
−
x
x
є:
а) 36 ; б) 6 ; в) 6− ; г) 6;6− .
3
2
3
2








−
b
a
:
40

а) 3
6
3
2
b
a
− ; б) 3
6
3
2
b
a
; в) 3
6
27
8
b
a
; г) 3
6
27
8
b
a
− .
( 3 бали)
ІІ рівень
а)
xx
x
xx
x
4
9
3
16
2
2
23
2
+
−
⋅
−
−
; б)
26
49
:
13
355 2
−
−
−
+
x
x
x
x
; в)
8
8
:
8
8
8
8
+






+
−
− b
b
bb
.
xx −
=
− 1
1
2
3
; б) 9
2
6
=
−
+
x
x
.
( 3 бали)
ІІІ рівень







−
−
+







++
−
+ 255
:
25105 2
2
2
32
a
a
a
a
aa
a
a
a
.
xxxxx +
=
−
+
− 222
4
1
21
.
( 3 бали)
ІV рівень
3) Довести тотожність: 52
52
2510
254
76
:
25204
16
52
6
22
−=
+
−
+
−
+






++
−
+
a
a
a
a
a
aa
a
a
a
14
3
144
1
144
2
222
−
=
+−
+
++ xxxxx
( 3 бали)
41

Конспекти уроків по темі "Раціональні вирази "(22 уроки)

Конспекти уроків по темі "Раціональні вирази "(22 уроки)

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Конспекти уроків по темі "Раціональні вирази "(22 уроки)

Similar to Конспекти уроків по темі "Раціональні вирази "(22 уроки) (20)

More from sveta7940

More from sveta7940 (20)

Конспекти уроків по темі "Раціональні вирази "(22 уроки)