3人ゲームの混合戦略ナッシュ均衡

1. ゲーム理論 BASIC 演習69
3人ゲームの混合戦略ナッシュ均衡

2. 1. 混合戦略ナッシュ均衡の定義
2. 有用な定理
3. 3人ゲームのナッシュ均衡

3. 混合戦略ナッシュ均衡
プレイヤー 以外の混合戦略を とし固定する
を満たすとき は に対する最適反応戦略という
戦略の組 が混合戦略ナッシュ均衡であるとは,
すべてのプレイヤーに対して
を満たすときをいう
ゲーム理論BASIC第8回参照
i p−i
∈ P−i
Fi
(p*i
, p−i
) ≥ Fi
(pi
, p−i
), ∀pi
∈ Pi
p*i
p−i
(p*1
, ⋯, p*n
) ∈ P
Fi
(p*i
, p*−i
) ≥ Fi
(pi
, p*−i
), ∀pi
∈ Pi

4. 混合戦略に関する定理
定理
混合拡大したゲーム において, 2つ以上の純戦略に対し,正の確率を与える混合戦略 が,
他のプレイヤーの戦略の組 に対して最適反応とする.
このときその正の確率で用いられる純戦略も他のプレイヤーの戦略の組 に対する最適反応となる.
ゲーム理論BASIC演習 第8回参照
(N, {Pi
}i∈N, {Fi
}i∈N) pi
p−i
p−i

5. 以下のゲームにおける混合戦略ナッシュ均衡を求めよ
3人ゲームのナッシュ均衡
3が純戦略c1
1＼2 b1 b2
a1 0, 1, 1 0, 0, 0
a2 2, 2, 2 1, 1, 3
3が純戦略c2
1＼2 b1 b2
a1 0, 0, 0 1, 1, 1
a2 1, 0, 1 0, 1, 0

6. 純戦略の範囲では, , がナッシュ均衡.
(補足)プレイヤー3の最適反応の考え方
プレイヤー1, ２の戦略を固定 して, を選んだ場合の利得1と を選んだ場合の利得0を比較.
同様に を固定した上で考えれば良い.
(a2, b1, c1) (a1, b2, c2)
(a1, b1) c1 c2
(a1, b2), (a2, b1), (a2, b2)
3人ゲームのナッシュ均衡
3が純戦略c1
1＼2 b1 b2
a1 0, 1, 1 0, 0, 0
a2 2, 2, 2 1, 1, 3
3が純戦略c2
1＼2 b1 b2
a1 0, 0, 0 1, 1, 1
a2 1, 0, 1 0, 1, 0
3が純戦略c1:
1＼2 b1 b2
a1 0, 1, 1 0, 0, 0
a2 2, 2, 2 1, 1, 3
3が純戦略c2:
1＼2 b1 b2
a1 0, 0, 0 1, 1, 1
a2 1, 0, 1 0, 1, 0

7. 各プレイヤーの混合戦略を , , とする.
ただし, .
(1)すべてのプレイヤーが正の確率で混合戦略を使うとし, 定理を利用する.
(2)1人のプレイヤーが純戦略を用いるとして, 残りのプレイヤーの最適反応を考える.
p1
= (p,1 − p) p2
= (q,1 − q) p3
= (r,1 − r)
p, q, r ∈ [0,1]
3人ゲームのナッシュ均衡
3が純戦略c1
1＼2 b1 b2
a1 0, 1, 1 0, 0, 0
a2 2, 2, 2 1, 1, 3
3が純戦略c2
1＼2 b1 b2
a1 0, 0, 0 1, 1, 1
a2 1, 0, 1 0, 1, 0
p
1 − p
q 1 − q
p
1 − p
q 1 − q
r 1 − r

8. (1)すべてのプレイヤーがすべての選択肢に対し正の確率を与える混合戦略を使うとし, 定理を利用する.
定理より各プレイヤーの正の確率で使われる純戦略も同じ期待利得を与えるので, 以下の3式が同時に成り立つ：
・・・(1)
・・・(2)
・・・(3)
(2)と(1)より, となり, と矛盾するため,
すべてのプレイヤーがすべての選択肢に対し正の確率を与える混合戦略を含むようなナッシュ均衡は存在しない.
p, q, r ∈ (0,1)
1 ⋅ (1 − q)(1 − r) = 2 ⋅ qr + 1 ⋅ (1 − q)r + 1 ⋅ q(1 − r) ⇔ 1 − 2r − 2q + rq = 0
1 ⋅ pr + 2 ⋅ (1 − p)r = 1 ⋅ (1 − p)r + 1 ⋅ p(1 − r) + 1 ⋅ (1 − p)(1 − r) ⇔ r =
1
2
1 ⋅ pq + 2 ⋅ (1 − p)q + 3 ⋅ (1 − p)(1 − q) = 1 ⋅ (1 − p)q + 1 ⋅ p(1 − q) ⇔ 4pq − 2q − 4p + 3 = 0
q = 0 q ∈ (0,1)
3人ゲームのナッシュ均衡
3が純戦略c1
1＼2 b1 b2
a1 0, 1, 1 0, 0, 0
a2 2, 2, 2 1, 1, 3
3が純戦略c2
1＼2 b1 b2
a1 0, 0, 0 1, 1, 1
a2 1, 0, 1 0, 1, 0
p
1 − p
q 1 − q
p
1 − p
q 1 − q
r 1 − r
を取ったときの利得
a1 を取ったときの利得
a2
を取ったときの利得
b1 を取ったときの利得
b2
を取ったときの利得
c1 を取ったときの利得
c2

9. (2)1人のプレイヤーが純戦略を用いるとして, 残りのプレイヤーの最適反応を考える.
プレイヤー1が , すなわち を選ぶことが最適な場合,
プレイヤー2の期待利得：
プレイヤー3の期待利得：
右図より,
の場合がナッシュ均衡
a1 p = 1
1 ⋅ (1 − q)(1 − r) ≥ 2 ⋅ qr + 1 ⋅ (1 − q)r + 1 ⋅ q(1 − r) ⇔ 1 − 2r − 2q + rq ≥ 0 ⇔ r ≤
1 − 2q
2 − q
qr + (1 − q)(1 − r) = 1 − q − r + 2qr = (2r − 1)q + 1 − r
qr + (1 − q)(1 − r) = 1 − q − r + 2qr = (2q − 1)r + 1 − q
((p,1 − p), (q,1 − q), (r,1 − r)) = ((1,0), (0,1), (0,1))
3人ゲームのナッシュ均衡
3が純戦略c1
1＼2 b1 b2
a1 0, 1, 1 0, 0, 0
a2 2, 2, 2 1, 1, 3
3が純戦略c2
1＼2 b1 b2
a1 0, 0, 0 1, 1, 1
a2 1, 0, 1 0, 1, 0
1
0
q 1 − q
1
0
q 1 − q
r 1 − r
q
r
0
1
1
1
2
1
2
プレイヤー2の最適反応
プレイヤー3の最適反応
プレイヤー1の
が最適反応
p = 1

10. (2)1人のプレイヤーが純戦略を用いるとして, 残りのプレイヤーの最適反応を考える.
プレイヤー1が , すなわち を選ぶことが最適な場合,
プレイヤー2の期待利得：
プレイヤー3の期待利得：
右図より,
の場合がナッシュ均衡
a2 p = 0
1 ⋅ (1 − q)(1 − r) ≤ 2 ⋅ qr + 1 ⋅ (1 − q)r + 1 ⋅ q(1 − r) ⇔ 1 − 2r − 2q + rq ≤ 0 ⇔ r ≥
1 − 2q
2 − q
2qr + (1 − q)r + (1 − q)(1 − r) = (2r − 1)q + 1
2qr + 3(1 − q)r + q(1 − r) = (3 − 2q)r + q
((p,1 − p), (q,1 − q), (r,1 − r)) = ((0,1), (1,0), (1,0))
3人ゲームのナッシュ均衡
3が純戦略c1
1＼2 b1 b2
a1 0, 1, 1 0, 0, 0
a2 2, 2, 2 1, 1, 3
3が純戦略c2
1＼2 b1 b2
a1 0, 0, 0 1, 1, 1
a2 1, 0, 1 0, 1, 0
0
1
q 1 − q
0
1
q 1 − q
r 1 − r
q
r
0
1
1
1
2
プレイヤー3の最適反応
1
2
プレイヤー2の最適反応
プレイヤー1の
が最適反応
p = 0

11. (2)1人のプレイヤーが純戦略を用いるとして, 残りのプレイヤーの最適反応を考える.
プレイヤー2が を選ぶ場合, すなわち を選ぶ場合,
プレイヤー1の期待利得：
プレイヤー3の期待利得：
右図より,
の場合がナッシュ均衡
b1 q = 1
1 ⋅ pr + 2 ⋅ (1 − p)r ≥ 1 ⋅ (1 − p)r + 1 ⋅ p(1 − r) + 1 ⋅ (1 − p)(1 − r) ⇔ r ≥
1
2
2(1 − p)r + (1 − p)(1 − r) = (−r − 1)p + r + 1
pr + 2(1 − p)r + (1 − p)(1 − r) = r − p + 1
((p,1 − p), (q,1 − q), (r,1 − r)) = ((0,1), (1,0), (1,0))
3人ゲームのナッシュ均衡
3が純戦略c1
1＼2 b1 b2
a1 0, 1, 1 0, 0, 0
a2 2, 2, 2 1, 1, 3
3が純戦略c2
1＼2 b1 b2
a1 0, 0, 0 1, 1, 1
a2 1, 0, 1 0, 1, 0
p
1 − p
1 0 1 0
r 1 − r
p
r
0
1
1
プレイヤー1の最適反応
プレイヤー3の最適反応
p
1 − p
1
2
プレイヤー2の
が最適反応
q = 1

12. (2)1人のプレイヤーが純戦略を用いるとして, 残りのプレイヤーの最適反応を考える.
プレイヤー2が を選ぶ場合, すなわち を選ぶ場合,
プレイヤー1の期待利得：
プレイヤー3の期待利得：
右図より,
b2 q = 0
1 ⋅ pr + 2 ⋅ (1 − p)r ≤ 1 ⋅ (1 − p)r + 1 ⋅ p(1 − r) + 1 ⋅ (1 − p)(1 − r) ⇔ r ≤
1
2
(1 − p)r + p(1 − r) = (1 − 2r)p + r
3(1 − p)r + p(1 − r) = (3 − 4p)r + p
((p,1 − p), (q,1 − q), (r,1 − r)) = ((1,0), (0,1), (0,1))
((p,1 − p), (q,1 − q), (r,1 − r)) =
((
3
4
,
1
4)
, (0, 1),
(
1
2
,
1
2))
3人ゲームのナッシュ均衡
3が純戦略c1
1＼2 b1 b2
a1 0, 1, 1 0, 0, 0
a2 2, 2, 2 1, 1, 3
3が純戦略c2
1＼2 b1 b2
a1 0, 0, 0 1, 1, 1
a2 1, 0, 1 0, 1, 0
p
1 − p
0 1 0 1
r 1 − r
p
r
0
1
1
プレイヤー1の最適反応
プレイヤー3の最適反応
p
1 − p
1
2
3
4
プレイヤー2の
が最適反応
q = 0

13. (2)1人のプレイヤーが純戦略を用いるとして, 残りのプレイヤーの最適反応を考える.
プレイヤー3が を選ぶ場合, すなわち を選ぶ場合,
プレイヤー1の期待利得：
プレイヤー2の期待利得：
右図より,
の場合がナッシュ均衡
c1 r = 1
1 ⋅ pq + 2 ⋅ (1 − p)q + 3 ⋅ (1 − p)(1 − q) ≥ 1 ⋅ (1 − p)q + 1 ⋅ p(1 − q) ⇔ 4pq − 2q − 4p + 3 ≥ 0
2(1 − p)q + (1 − p)(1 − q) = (−q − 1)p + q + 1
pq + 2(1 − p)q + (1 − p)(1 − q) = q − p + 1
((p,1 − p), (q,1 − q), (r,1 − r)) = ((0,1), (1,0), (1,0))
3人ゲームのナッシュ均衡
3が純戦略c1
1＼2 b1 b2
a1 0, 1, 1 0, 0, 0
a2 2, 2, 2 1, 1, 3
3が純戦略c2
1＼2 b1 b2
a1 0, 0, 0 1, 1, 1
a2 1, 0, 1 0, 1, 0
p
1 − p
1 0
p
q
0
1
1
プレイヤー2の最適反応
p
1 − p
q 1 − q q 1 − q
3
2
1
2
プレイヤー1の最適反応
プレイヤー3の
が最適反応
r = 1

14. (2)1人のプレイヤーが純戦略を用いるとして, 残りのプレイヤーの最適反応を考える.
プレイヤー3が を選ぶ場合, すなわち を選ぶ場合,
プレイヤー1の期待利得：
プレイヤー2の期待利得：
右図より,
c2 r = 0
1 ⋅ pq + 2 ⋅ (1 − p)q + 3 ⋅ (1 − p)(1 − q) ≤ 1 ⋅ (1 − p)q + 1 ⋅ p(1 − q) ⇔ 4pq − 2q − 4p + 3 ≤ 0
(1 − p)q + p(1 − q) = (1 − 2q)p + q
p(1 − q) + (1 − p)(1 − q) = 1 − q
((p,1 − p), (q,1 − q), (r,1 − r)) = ((1,0), (0,1), (0,1))
3人ゲームのナッシュ均衡
3が純戦略c1
1＼2 b1 b2
a1 0, 1, 1 0, 0, 0
a2 2, 2, 2 1, 1, 3
3が純戦略c2
1＼2 b1 b2
a1 0, 0, 0 1, 1, 1
a2 1, 0, 1 0, 1, 0
p
1 − p
1
0
p
q
0
1
1
プレイヤー1の最適反応
p
1 − p
q 1 − q q 1 − q
3
2
プレイヤー3の
が最適反応
r = 0
1
2
プレイヤー2の最適反応

15. 以上より, ナッシュ均衡は３つ：
,
((p,1 − p), (q,1 − q), (r,1 − r)) = ((0,1), (1,0), (1,0)), ((1,0), (0,1), (0,1))
((
3
4
,
1
4)
, (0, 1),
(
1
2
,
1
2))
3人ゲームのナッシュ均衡
3が純戦略c1
1＼2 b1 b2
a1 0, 1, 1 0, 0, 0
a2 2, 2, 2 1, 1, 3
3が純戦略c2
1＼2 b1 b2
a1 0, 0, 0 1, 1, 1
a2 1, 0, 1 0, 1, 0
p
1 − p
p
1 − p
q 1 − q q 1 − q
r 1 − r
(a2, b1, c1) (a1, b2, c2)

16. ゲーム理論 BASIC 演習69
3人ゲームの混合戦略ナッシュ均衡