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# 素数の分解法則（フロベニウスやばい） #math_cafe

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2016/07/10 第15回数学カフェ【復習回】にて辻 (@tsujimotter) が発表したスライドです。

http://eventdots.jp/event/591359/

tsujimotter の作品ページ（デモが見れます）
http://tsujimotter.info/

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### 素数の分解法則（フロベニウスやばい） #math_cafe

1. 1. @tsujimotter
2. 2. •  “ ” •  •
3. 3. ２ ３ ５ ７ 11 13 1+i 1-i 2+i 2-i 3+2i 3-2iイメージ
4. 4. 質問タイム 質問タイム
5. 5. お約束 以降，　は素数を表す記号とするp
6. 6. p = 2 or 1 + 4n () p = X2 + Y2 p = 2 or p ⌘ 1 (mod 4)
7. 7. ほんとに成り立つのか 13 = 22 + 32 17 = 12 + 42 29 = 22 + 52 37 = 12 + 62 41 = 42 + 52 53 = 22 + 72 57 = グロタンディーク 素数 5 = 12 + 22
8. 8. 大きな素数でも 2017 = 92 + 442 20160709 = 27852 + 35222
9. 9. p = 3 or 1 + 3n () p = X2 + 3Y2 p = 3 or p ⌘ 1 (mod 3)
10. 10. p = 7 or 1, 2, 4 + 7n () p = X2 + 7Y2 p = 7 or p ⌘ 1, 2, 4 (mod 7)
11. 11. まとめると p = 7 or 1, 2, 4 + 7n () p = X2 + 7Y2 p = 2 or 1 + 4n () p = X2 + Y2 p = 3 or 1 + 3n () p = X2 + 3Y2 p = 7 or p ⌘ 1, 2, 4 (mod 7) p = 3 or p ⌘ 1 (mod 3) p = 2 or p ⌘ 1 (mod 4)
12. 12. Primes of the form x2+ny2 http://tsujimotter.info/works/primes-of-the-form/
13. 13. 見方をかえる p = X2 + nY2 = (X + Y p -n)(X - Y p -n) 整数の世界で素数だったものが √-n を加えた世界で分解してしまう
14. 14. 整数に √-1 を加えた世界 5 は完全分解する 7 は惰性する （2 は分岐する） 整数の世界
15. 15. •  i を加えると別れてしまう •  i があると空中分解する •  i があっても惰性する √-1 = i
16. 16. 整数の世界 整数に √-1 を加えた世界
17. 17. 整数の世界 整数に √-7 を加えた世界
18. 18. Q(ζm) K Q { 1(mod m) } (Z/mZ)× H mod m で 分解法則が決まる ガロア群 体の塔 mod m の群の塔 p 2 H () p
19. 19. 定義：２次体と円分体 Q Q
20. 20. 虚軸 実軸 円の５等分点 ⇣5 = cos ✓ 2⇡ 5 ◆ + i sin ✓ 2⇡ 5 ◆ ⇣2 5 ⇣3 5 ⇣4 5 ⇣5 5 = 1 （５乗すると１になる） ⇣5 = cos ✓ 2⇡ 5 ◆ + i sin ✓ 2⇡ 5 ◆
21. 21. a + b√-7 a 拡大次数 1 の軸 √-7 の軸 b a a+b√-7 a + b p -7
22. 22. 二次体と円分体の拡大次数 [Q(√-1) : Q] のように書く
23. 23. a + bζ+ cζ2 + dζ3 + … a,b,… m
24. 24. ガウス和 虚軸 実軸 ⇣5 = cos ✓ 2⇡ 5 ◆ + i sin ✓ 2⇡ 5 ◆ ⇣2 5 ⇣3 5 ⇣4 5 p 5 = ⇣5 - ⇣2 5 - ⇣3 5 + ⇣4 5 p -p p p ⇣p p -7 = ⇣7 + ⇣2 7 + ⇣4 7 - ⇣3 7 - ⇣5 7 - ⇣6 7
25. 25. 体の拡大の記法 Q ⇢⇢ K Q(⇣m) 書き換え Q K Q(⇣m) [Q(⇣m) : K] [K : Q]
26. 26. Q(ζ4) = Q(√-1) Q 体の塔 Q(ζ7 ) Q(√-7) Q 体の塔 今回扱う「体の塔」たち
27. 27. Q(ζm) K Q 体の塔 { 1(mod m) } (Z/mZ)× H ガロア群 mod m の群の塔 p 2 H () p mod m で 分解法則が決まる
28. 28. a α β b K/Q
29. 29. a α β b a K/Q α β b グレー部分をかき混ぜる 白い部分は動かさない
30. 30. 自己同型写像とは（補足） f(↵ + ) = f(↵) + f( ) f(↵ ⇥ ) = f(↵) ⇥ f( ) ×
31. 31. 例：二次体 Q(√-1) のガロア群 a + b p -1
32. 32. 例：二次体 Q(√-1) のガロア群 √-1 -√-1 √-1 -√-1 √-1 -√-1 √-1 -√-1 √-1 -√-1 この２つだけ
33. 33. 例：円分体 Q(ζ7) のガロア群 a + b ⇣7 + c ⇣2 7 + d ⇣3 7 + e ⇣4 7 + f ⇣5 7 + g ⇣6 7
34. 34. ζ7 ζ7 3 例：円分体 Q(ζ7) のガロア群 ζ7 2 ζ7 5 ζ7 6 ζ7 4 ζ7 ζ7 3 ζ7 2 ζ7 5 ζ7 6 ζ7 4 ほか，全６つ ζ7 ζ7 3 ζ7 2 ζ7 5 ζ7 6 ζ7 4 ζ7 ζ7 3 ζ7 2 ζ7 5 ζ7 6 ζ7 4
35. 35. ζ7 ζ7 3 ζ7 2 ζ7 5 ζ7 6 ζ7 4 ζ7 ζ7 3 ζ7 2 ζ7 5 ζ7 6 ζ7 4 ζ7 ζ7 3 ζ7 2 ζ7 5 ζ7 6 ζ7 4 ガロア群の「掛け算」
36. 36. ζ7 ζ7 3 ζ7 2 ζ7 5 ζ7 6 ζ7 4 ζ7 ζ7 3 ζ7 2 ζ7 5 ζ7 6 ζ7 4 ζ7 ζ7 3 ζ7 2 ζ7 5 ζ7 6 ζ7 4
37. 37. ζ7 ζ7 3 ζ7 2 ζ7 5 ζ7 6 ζ7 4 ζ7 ζ7 3 ζ7 2 ζ7 5 ζ7 6 ζ7 4 ζ7 ζ7 3 ζ7 2 ζ7 5 ζ7 6 ζ7 4 (Z/7Z)⇥ = {1, 2, 3, 4, 5, 6 (mod 7)}
38. 38. (Z/mZ)⇥ Q(⇣m) “m ”
39. 39. 部分群 部分集合をとる この集合も群をなす（「結合則」「単位元」「逆元」）
40. 40. Q(ζ7) Q ガロア群 (Z/7Z)× { 1 (mod 7)} mod 7 の群の塔体の拡大の塔 { 1, 2, 4 (mod 7)}
41. 41. Q(ζ7) Q 固定する数 { 1, 2, 4 (mod 7)} (Z/7Z)× { 1 (mod 7)} mod 7 の群の塔体の拡大の塔
42. 42. Q(ζ7) Q { 1, 2, 4 (mod 7)} (Z/7Z)× { 1 (mod 7)} mod 7 の群の塔体の拡大の塔 Q(√-7) { 1, 2, 4 (mod 7)} が固定する Q(√-7) の部分体が存在する（この場合 Q(√-7)） 固定する数
43. 43. Q(ζ7) Q { 1, 2, 4 (mod 7)} (Z/7Z)× { 1 (mod 7)} mod 7 の群の塔体の拡大の塔 Q(√-7) 「拡大次数」と「群の割り算」が一致する { 1, 2, 4 (mod 7)} が固定する Q(√-7) の部分体が存在する（この場合 Q(√-7)） 固定する数
44. 44. Q(ζ7) Q { 1, 2, 4 (mod 7)} (Z/7Z)× { 1 (mod 7)} mod 7 の群の塔体の拡大の塔 Q(√-7) 「体が拡大」すると「群は縮小」する 固定する数
45. 45. Q(ζm) K Q { 1(mod m) } (Z/mZ)× H mod m で 分解法則が決まる p 2 H () p ガロア群 体の塔 mod m の群の塔
46. 46. Q(ζ7) Q(√-7) Q { 1(mod 7) } (Z/7Z)x {1, 2, 4(mod 7)} p 2 H () p ガロア群 体の塔 mod 7 の群の塔 「Q(√-7) における素数の分解法則」
47. 47. まとめると p = 7 or 1, 2, 4 + 7n () p = X2 + 7Y2 p = 2 or 1 + 4n () p = X2 + Y2 p = 3 or 1 + 3n () p = X2 + 3Y2 p = 7 or p ⌘ 1, 2, 4 (mod 7) p = 3 or p ⌘ 1 (mod 3) p = 2 or p ⌘ 1 (mod 4)
48. 48. p p D D ここから始まる感動のストーリーを先取り
49. 49. 体の塔 pOL = Pe1 1 Pe2 2 · · · P eg g pOKK で素数 だったものが ・・・ 素数じゃ なくなる （分解される） L K ※ L/K がガロア拡大のとき e1 = e2 = … = eg = e 拡大 L/K における分解法則
50. 50. 体の塔 pOL = Pe1 1 Pe2 2 · · · P eg g pOK L K 一般に，素数の分解は一意ではない※注意
51. 51. L KpOK (P1P2 · · · Pg)e D : I : P1P2 · · · Pg P1P2 · · · Pg さらに細かくみる e f g [L:K] [L : K] = e f g ガロア群
52. 52. 「分岐・不分岐・完全分解」の定義 ó ó ó ópOK (P1P2 · · · Pg)e P1P2 · · · Pg P1P2 · · · Pg 分岐 惰性 分解 L K e f g [L:K]
53. 53. L KpOK D P1P2 · · · Pg P1P2 · · · Pg f g [L:K] [L : K] = g [L : K] = f g
54. 54. “何も動かさない写像” D
55. 55. ∵ 同型定理
56. 56. 体の塔 体の塔
57. 57. [Q(⇣4)/Q]
58. 58. pf ⌘ 1 (mod 4) f 31 ⌘ 3 (mod 4), 32 = 9 ⌘ 1 (mod 4), f = 2 pf ⌘ 1 (mod 4) f f = 1 (A) p ⌘ 3 (mod 4) (B) p ⌘ 1 (mod 4) -! "p mod 4" 同型定理
59. 59. (mod 4) (mod 4) g f = [Q(⇣4)/Q] f [Q(⇣4)/Q]
60. 60. Q( p -7)/Q
61. 61. 　　　　の場合を先に考えるQ(⇣7)/Q
62. 62. Q(⇣7)/Q g (= [Q(ζ7):Q] / f )f
63. 63. さっきわかった 次はこっち
64. 64. Q(⇣7)/Q Q( p -7)/Q = - p -7 √-7 を -√-7 へ移す 写像 = (⇣3 7 + ⇣6 7 + ⇣5 7) - (⇣2 7 + ⇣1 7 + ⇣4 7) (A) p ⌘ 3 (mod 7) p -7 = (⇣7 + ⇣2 7 + ⇣4 7) - (⇣3 7 + ⇣5 7 + ⇣6 7)
65. 65. gf Q( p -7)/Q
66. 66. Q(ζm) K Q { 1(mod m) } (Z/mZ)x H mod m で 分解法則が決まる p 2 H () p ガロア群 体の塔 mod m の群の塔
67. 67. p p D D ここから始まる感動のストーリーを先取り
68. 68. pOK (P1P2 · · · Pg)e Q上の類体論のこころ アーベル拡大 （クロネッカー・ウェーバー →） 「素イデアル分解法則」 が H によってかける （mで割ったあまり） （←同型定理）
69. 69. K Q (Z/mZ)× H = {ほげ，ほげ} 類体とは abel
70. 70. まとめ p = 7 or 1, 2, 4 + 7n () p = X2 + 7Y2 p = 2 or 1 + 4n () p = X2 + Y2 p = 3 or 1 + 3n () p = X2 + 3Y2 p = 7 or p ⌘ 1, 2, 4 (mod 7) p = 3 or p ⌘ 1 (mod 3) p = 2 or p ⌘ 1 (mod 4)
71. 71. •  •  POD •  •  •  •  D. Cox Primes of the Form: x2+ny2 (2nd edition)
72. 72. •  •  •
73. 73. •  https://www.math.kyoto-u.ac.jp/insei/proceeding/2010/ito.pdf •  http://www1.tmtv.ne.jp/~koyama/papers/Japanese/prime.pdf •  @alg_d http://alg-d.com/math/hrizm8.pdf
74. 74. p = 13 () +2 3
75. 75. +2 3 7 11 1 4+
76. 76. 4 4
77. 77. 4 4 1+4n 3+4n
78. 78. (Z/4Z)⇥ = { 1 + 4Z, 3 + 4Z } p 2 3 + 4Z = { 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, · · · } p 2 1 + 4Z = { 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, · · · } となるような素数 p 素数のクラス分け となるような素数 p クラス分けの集合
79. 79. フェルマーゲーム わたし （3(mod 4) 担当） みなさん （1(mod 4) 担当） 1(mod 4) 型の素数と 3(mod 4) 型の素数を交互に言い合うゲーム