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素数の分解法則(フロベニウスやばい) #math_cafe

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2016/07/10 第15回数学カフェ【復習回】にて辻 (@tsujimotter) が発表したスライドです。

第15回数学カフェ【復習回】
http://eventdots.jp/event/591359/

tsujimotter の作品ページ(デモが見れます)
http://tsujimotter.info/

Published in: Education
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素数の分解法則(フロベニウスやばい) #math_cafe

  1. 1. @tsujimotter
  2. 2. •  “ ” •  • 
  3. 3. 2 3 5 7 11 13 1+i 1-i 2+i 2-i 3+2i 3-2iイメージ
  4. 4. 質問タイム 質問タイム
  5. 5. お約束 以降, は素数を表す記号とするp
  6. 6. p = 2 or 1 + 4n () p = X2 + Y2 p = 2 or p ⌘ 1 (mod 4)
  7. 7. ほんとに成り立つのか 13 = 22 + 32 17 = 12 + 42 29 = 22 + 52 37 = 12 + 62 41 = 42 + 52 53 = 22 + 72 57 = グロタンディーク 素数 5 = 12 + 22
  8. 8. 大きな素数でも 2017 = 92 + 442 20160709 = 27852 + 35222
  9. 9. p = 3 or 1 + 3n () p = X2 + 3Y2 p = 3 or p ⌘ 1 (mod 3)
  10. 10. p = 7 or 1, 2, 4 + 7n () p = X2 + 7Y2 p = 7 or p ⌘ 1, 2, 4 (mod 7)
  11. 11. まとめると p = 7 or 1, 2, 4 + 7n () p = X2 + 7Y2 p = 2 or 1 + 4n () p = X2 + Y2 p = 3 or 1 + 3n () p = X2 + 3Y2 p = 7 or p ⌘ 1, 2, 4 (mod 7) p = 3 or p ⌘ 1 (mod 3) p = 2 or p ⌘ 1 (mod 4)
  12. 12. Primes of the form x2+ny2 http://tsujimotter.info/works/primes-of-the-form/
  13. 13. 見方をかえる p = X2 + nY2 = (X + Y p -n)(X - Y p -n) 整数の世界で素数だったものが √-n を加えた世界で分解してしまう
  14. 14. 整数に √-1 を加えた世界 5 は完全分解する 7 は惰性する (2 は分岐する) 整数の世界
  15. 15. •  i を加えると別れてしまう •  i があると空中分解する •  i があっても惰性する √-1 = i
  16. 16. 整数の世界 整数に √-1 を加えた世界
  17. 17. 整数の世界 整数に √-7 を加えた世界
  18. 18. Q(ζm) K Q { 1(mod m) } (Z/mZ)× H mod m で 分解法則が決まる ガロア群 体の塔 mod m の群の塔 p 2 H () p
  19. 19. 定義:2次体と円分体 Q Q
  20. 20. 虚軸 実軸 円の5等分点 ⇣5 = cos ✓ 2⇡ 5 ◆ + i sin ✓ 2⇡ 5 ◆ ⇣2 5 ⇣3 5 ⇣4 5 ⇣5 5 = 1 (5乗すると1になる) ⇣5 = cos ✓ 2⇡ 5 ◆ + i sin ✓ 2⇡ 5 ◆
  21. 21. a + b√-7 a 拡大次数 1 の軸 √-7 の軸 b a a+b√-7 a + b p -7
  22. 22. 二次体と円分体の拡大次数 [Q(√-1) : Q] のように書く
  23. 23. a + bζ+ cζ2 + dζ3 + … a,b,… m
  24. 24. ガウス和 虚軸 実軸 ⇣5 = cos ✓ 2⇡ 5 ◆ + i sin ✓ 2⇡ 5 ◆ ⇣2 5 ⇣3 5 ⇣4 5 p 5 = ⇣5 - ⇣2 5 - ⇣3 5 + ⇣4 5 p -p p p ⇣p p -7 = ⇣7 + ⇣2 7 + ⇣4 7 - ⇣3 7 - ⇣5 7 - ⇣6 7
  25. 25. 体の拡大の記法 Q ⇢⇢ K Q(⇣m) 書き換え Q K Q(⇣m) [Q(⇣m) : K] [K : Q]
  26. 26. Q(ζ4) = Q(√-1) Q 体の塔 Q(ζ7 ) Q(√-7) Q 体の塔 今回扱う「体の塔」たち
  27. 27. Q(ζm) K Q 体の塔 { 1(mod m) } (Z/mZ)× H ガロア群 mod m の群の塔 p 2 H () p mod m で 分解法則が決まる
  28. 28. a α β b K/Q
  29. 29. a α β b a K/Q α β b グレー部分をかき混ぜる 白い部分は動かさない
  30. 30. 自己同型写像とは(補足) f(↵ + ) = f(↵) + f( ) f(↵ ⇥ ) = f(↵) ⇥ f( ) ×
  31. 31. 例:二次体 Q(√-1) のガロア群 a + b p -1
  32. 32. 例:二次体 Q(√-1) のガロア群 √-1 -√-1 √-1 -√-1 √-1 -√-1 √-1 -√-1 √-1 -√-1 この2つだけ
  33. 33. 例:円分体 Q(ζ7) のガロア群 a + b ⇣7 + c ⇣2 7 + d ⇣3 7 + e ⇣4 7 + f ⇣5 7 + g ⇣6 7
  34. 34. ζ7 ζ7 3 例:円分体 Q(ζ7) のガロア群 ζ7 2 ζ7 5 ζ7 6 ζ7 4 ζ7 ζ7 3 ζ7 2 ζ7 5 ζ7 6 ζ7 4 ほか,全6つ ζ7 ζ7 3 ζ7 2 ζ7 5 ζ7 6 ζ7 4 ζ7 ζ7 3 ζ7 2 ζ7 5 ζ7 6 ζ7 4
  35. 35. ζ7 ζ7 3 ζ7 2 ζ7 5 ζ7 6 ζ7 4 ζ7 ζ7 3 ζ7 2 ζ7 5 ζ7 6 ζ7 4 ζ7 ζ7 3 ζ7 2 ζ7 5 ζ7 6 ζ7 4 ガロア群の「掛け算」
  36. 36. ζ7 ζ7 3 ζ7 2 ζ7 5 ζ7 6 ζ7 4 ζ7 ζ7 3 ζ7 2 ζ7 5 ζ7 6 ζ7 4 ζ7 ζ7 3 ζ7 2 ζ7 5 ζ7 6 ζ7 4
  37. 37. ζ7 ζ7 3 ζ7 2 ζ7 5 ζ7 6 ζ7 4 ζ7 ζ7 3 ζ7 2 ζ7 5 ζ7 6 ζ7 4 ζ7 ζ7 3 ζ7 2 ζ7 5 ζ7 6 ζ7 4 (Z/7Z)⇥ = {1, 2, 3, 4, 5, 6 (mod 7)}
  38. 38. (Z/mZ)⇥ Q(⇣m) “m ”
  39. 39. 部分群 部分集合をとる この集合も群をなす(「結合則」「単位元」「逆元」)
  40. 40. Q(ζ7) Q ガロア群 (Z/7Z)× { 1 (mod 7)} mod 7 の群の塔体の拡大の塔 { 1, 2, 4 (mod 7)}
  41. 41. Q(ζ7) Q 固定する数 { 1, 2, 4 (mod 7)} (Z/7Z)× { 1 (mod 7)} mod 7 の群の塔体の拡大の塔
  42. 42. Q(ζ7) Q { 1, 2, 4 (mod 7)} (Z/7Z)× { 1 (mod 7)} mod 7 の群の塔体の拡大の塔 Q(√-7) { 1, 2, 4 (mod 7)} が固定する Q(√-7) の部分体が存在する(この場合 Q(√-7)) 固定する数
  43. 43. Q(ζ7) Q { 1, 2, 4 (mod 7)} (Z/7Z)× { 1 (mod 7)} mod 7 の群の塔体の拡大の塔 Q(√-7) 「拡大次数」と「群の割り算」が一致する { 1, 2, 4 (mod 7)} が固定する Q(√-7) の部分体が存在する(この場合 Q(√-7)) 固定する数
  44. 44. Q(ζ7) Q { 1, 2, 4 (mod 7)} (Z/7Z)× { 1 (mod 7)} mod 7 の群の塔体の拡大の塔 Q(√-7) 「体が拡大」すると「群は縮小」する 固定する数
  45. 45. Q(ζm) K Q { 1(mod m) } (Z/mZ)× H mod m で 分解法則が決まる p 2 H () p ガロア群 体の塔 mod m の群の塔
  46. 46. Q(ζ7) Q(√-7) Q { 1(mod 7) } (Z/7Z)x {1, 2, 4(mod 7)} p 2 H () p ガロア群 体の塔 mod 7 の群の塔 「Q(√-7) における素数の分解法則」
  47. 47. まとめると p = 7 or 1, 2, 4 + 7n () p = X2 + 7Y2 p = 2 or 1 + 4n () p = X2 + Y2 p = 3 or 1 + 3n () p = X2 + 3Y2 p = 7 or p ⌘ 1, 2, 4 (mod 7) p = 3 or p ⌘ 1 (mod 3) p = 2 or p ⌘ 1 (mod 4)
  48. 48. p p D D ここから始まる感動のストーリーを先取り
  49. 49. 体の塔 pOL = Pe1 1 Pe2 2 · · · P eg g pOKK で素数 だったものが ・・・ 素数じゃ なくなる (分解される) L K ※ L/K がガロア拡大のとき e1 = e2 = … = eg = e 拡大 L/K における分解法則
  50. 50. 体の塔 pOL = Pe1 1 Pe2 2 · · · P eg g pOK L K 一般に,素数の分解は一意ではない※注意
  51. 51. L KpOK (P1P2 · · · Pg)e D : I : P1P2 · · · Pg P1P2 · · · Pg さらに細かくみる e f g [L:K] [L : K] = e f g ガロア群
  52. 52. 「分岐・不分岐・完全分解」の定義 ó ó ó ópOK (P1P2 · · · Pg)e P1P2 · · · Pg P1P2 · · · Pg 分岐 惰性 分解 L K e f g [L:K]
  53. 53. L KpOK D P1P2 · · · Pg P1P2 · · · Pg f g [L:K] [L : K] = g [L : K] = f g
  54. 54. “何も動かさない写像” D
  55. 55. ∵ 同型定理
  56. 56. 体の塔 体の塔
  57. 57. [Q(⇣4)/Q]
  58. 58. pf ⌘ 1 (mod 4) f 31 ⌘ 3 (mod 4), 32 = 9 ⌘ 1 (mod 4), f = 2 pf ⌘ 1 (mod 4) f f = 1 (A) p ⌘ 3 (mod 4) (B) p ⌘ 1 (mod 4) -! "p mod 4" 同型定理
  59. 59. (mod 4) (mod 4) g f = [Q(⇣4)/Q] f [Q(⇣4)/Q]
  60. 60. Q( p -7)/Q
  61. 61.     の場合を先に考えるQ(⇣7)/Q
  62. 62. Q(⇣7)/Q g (= [Q(ζ7):Q] / f )f
  63. 63. さっきわかった 次はこっち
  64. 64. Q(⇣7)/Q Q( p -7)/Q = - p -7 √-7 を -√-7 へ移す 写像 = (⇣3 7 + ⇣6 7 + ⇣5 7) - (⇣2 7 + ⇣1 7 + ⇣4 7) (A) p ⌘ 3 (mod 7) p -7 = (⇣7 + ⇣2 7 + ⇣4 7) - (⇣3 7 + ⇣5 7 + ⇣6 7)
  65. 65. gf Q( p -7)/Q
  66. 66. Q(ζm) K Q { 1(mod m) } (Z/mZ)x H mod m で 分解法則が決まる p 2 H () p ガロア群 体の塔 mod m の群の塔
  67. 67. p p D D ここから始まる感動のストーリーを先取り
  68. 68. pOK (P1P2 · · · Pg)e Q上の類体論のこころ アーベル拡大 (クロネッカー・ウェーバー →) 「素イデアル分解法則」 が H によってかける (mで割ったあまり) (←同型定理)
  69. 69. K Q (Z/mZ)× H = {ほげ,ほげ} 類体とは abel
  70. 70. まとめ p = 7 or 1, 2, 4 + 7n () p = X2 + 7Y2 p = 2 or 1 + 4n () p = X2 + Y2 p = 3 or 1 + 3n () p = X2 + 3Y2 p = 7 or p ⌘ 1, 2, 4 (mod 7) p = 3 or p ⌘ 1 (mod 3) p = 2 or p ⌘ 1 (mod 4)
  71. 71. •  •  POD •  •  •  •  D. Cox Primes of the Form: x2+ny2 (2nd edition)
  72. 72. •  •  • 
  73. 73. •  https://www.math.kyoto-u.ac.jp/insei/proceeding/2010/ito.pdf •  http://www1.tmtv.ne.jp/~koyama/papers/Japanese/prime.pdf •  @alg_d http://alg-d.com/math/hrizm8.pdf
  74. 74. p = 13 () +2 3
  75. 75. +2 3 7 11 1 4+
  76. 76. 4 4
  77. 77. 4 4 1+4n 3+4n
  78. 78. (Z/4Z)⇥ = { 1 + 4Z, 3 + 4Z } p 2 3 + 4Z = { 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, · · · } p 2 1 + 4Z = { 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, · · · } となるような素数 p 素数のクラス分け となるような素数 p クラス分けの集合
  79. 79. フェルマーゲーム わたし (3(mod 4) 担当) みなさん (1(mod 4) 担当) 1(mod 4) 型の素数と 3(mod 4) 型の素数を交互に言い合うゲーム

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