ネータカレントの導出

1. ネータカレントの導出

2. ネータカレントの導出
ラグランジュ密度が不変となるような場の微小変化を考える。
それは𝑥 𝜇
→ 𝑥 𝜇
+ 𝑎 𝜇
という変化であるとする。
𝛿𝐿 =
𝜕𝐿
𝜕𝜙
𝛿𝜙 +
𝜕𝐿
𝜕 𝜕𝜇 𝜙
𝛿 𝜕𝜇 𝜙
𝛿𝐿 =
𝜕𝐿
𝜕𝜙
𝛿𝜙 +
𝜕𝐿
𝜕 𝜕𝜇 𝜙
𝜕𝜇 𝛿𝜙
ここで、オイラーラグランジュ方程式
𝜕𝐿
𝜕𝜙
= 𝜕𝜇
𝜕𝐿
𝜕 𝜕𝜇𝜙
を代入して、
𝛿𝐿 = 𝜕𝜇
𝜕𝐿
𝜕 𝜕𝜇𝜙
𝛿𝜙 +
𝜕𝐿
𝜕 𝜕𝜇 𝜙
𝜕𝜇 𝛿𝜙

3. ネータカレントの導出
𝛿𝐿 = 𝜕𝜇
𝜕𝐿
𝜕 𝜕𝜇 𝜙
𝛿𝜙 +
𝜕𝐿
𝜕 𝜕𝜇 𝜙
𝜕𝜇 𝛿𝜙
𝛿𝐿 = 𝜕𝜇
𝜕𝐿
𝜕 𝜕𝜇 𝜙
𝛿𝜙
ここで、δＬが０となるような変分を考えていたから、
𝜕𝜇
𝜕𝐿
𝜕 𝜕𝜇 𝜙
𝛿𝜙 = 0
ここで、𝐽 𝜇 =
𝜕𝐿
𝜕 𝜕 𝜇 𝜙
𝛿𝜙をネータカレントと呼び、
∇ ⋅ Ԧ𝐽 = 0
とラグランジアンの変分が０のとき、上のようになる。