反変ベクトルと共変ベクトル

1. 共変ベクトルと反変ベクトル

2. 反変ベクトル
位置の微小変化（ｄｘ、ｄｙ、ｄｚ）を別の座標系の微小変化(dx’,dy’,dz’)
に変換する。
𝑑𝑥′ =
𝜕𝑥′
𝜕𝑥
𝑑𝑥 +
𝜕𝑥′
𝜕𝑦
𝑑𝑦 +
𝜕𝑥′
𝜕𝑧
𝑑𝑧
𝑑𝑦′ =
𝜕𝑦′
𝜕𝑥
𝑑𝑥 +
𝜕𝑦′
𝜕𝑦
𝑑𝑦 +
𝜕𝑦′
𝜕𝑧
𝑑𝑧
𝑑𝑧′ =
𝜕𝑧′
𝜕𝑥
𝑑𝑥 +
𝜕𝑧′
𝜕𝑦
𝑑𝑦 +
𝜕𝑧′
𝜕𝑧
𝑑𝑧
ｘ‘、ｙ’、ｚ‘がｘ、ｙ、ｚの関数である場合、上のように書ける。
このような変換規則に従う時（ｄｘ、ｄｙ、ｄｚ）を反変ベクトルという。

3. 反変ベクトルの例
𝑥′ = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧
𝑦′
= 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹𝑧
𝑧′ = 𝐺𝑥 + 𝐻𝑦 + 𝐼𝑧
が反変ベクトルの一例になっている。実際、
𝑑𝑥′
= 𝐴𝑑𝑥 + 𝐵𝑑𝑦 + 𝐶𝑑𝑧
𝑑𝑦′
= 𝐷𝑑𝑥 + 𝐸𝑑𝑦 + 𝐹𝑑𝑧
𝑑𝑧′
= 𝐺𝑑𝑥 + 𝐻𝑑𝑦 + 𝐼𝑑𝑧
で、この係数は反変ベクトルの計算ルールと合致する。

4. 計量
• ある座標系の2点（ｘ、ｙ）、（ｘ＋ｄｘ、ｙ＋ｄｙ）間の距離ｄｓは
𝑑𝑠 2 = 𝑑𝑥 2 + 𝑑𝑦 2
という関係にある。別の座標系（ｘ‘、ｙ’）でこの2点を表して、その間の
距離を求めてもｄｓと等しい。直交座標系とは限らない（つまりd 𝑥 ⋅
𝑑 𝑦 = 0となるとは限らない）ことに注意すると、
𝑑𝑠 2
= 𝐴𝑑𝑥′2
+ 𝐵𝑑𝑥′
𝑑𝑦′
+ 𝐶𝑑𝑦′2
と出来る。ここで、行列
𝐴
𝐵
2
𝐵
2
𝐶
を計量と呼ぶことにする。

5. 極座標における計量
𝑑 𝑠 = 𝑑𝑟 e 𝑟 + 𝑟 𝑑𝜃 𝑒 𝜃
⇒ 𝑑𝑠2 = 𝑑𝑟2 + 𝑟2 𝑑2 𝜃
よって計量は
1 0
0 𝑟2 となる。計量は定数とは限らず空間の各点で異
なる値を取りうることに注意する。

6. スカラー量
座標変換によって変化しない量をスカラー量と呼ぶ。

7. 共変ベクトル
𝑥, 𝑦, 𝑧 → (𝑥′, 𝑦′, 𝑧′)と座標変換したとき、次の変換則に従うベクトル
(𝑞 𝑥, 𝑞 𝑦, 𝑞 𝑧)を共変ベクトルと呼ぶ。
𝑞 𝑥
′ =
𝜕𝑥
𝜕𝑥′
𝑞 𝑥 +
𝜕𝑦
𝜕𝑥′
𝑞 𝑦 +
𝜕𝑧
𝜕𝑥′
𝑞 𝑧
𝑞 𝑦
′ =
𝜕𝑥
𝜕𝑦′
𝑞 𝑥 +
𝜕𝑦
𝜕𝑦′
𝑞 𝑦 +
𝜕𝑧
𝜕𝑦′
𝑞 𝑧
𝑞 𝑧
′ =
𝜕𝑥
𝜕𝑧′
𝑞 𝑥 +
𝜕𝑦
𝜕𝑧′
𝑞 𝑦 +
𝜕𝑧
𝜕𝑧′
𝑞 𝑧

8. 共変ベクトルの例
𝑞 𝑥
′
=
𝜕𝑥
𝜕𝑥′
𝑞 𝑥 +
𝜕𝑦
𝜕𝑥′
𝑞 𝑦 +
𝜕𝑧
𝜕𝑥′
𝑞 𝑧
𝑞 𝑦
′ =
𝜕𝑥
𝜕𝑦′
𝑞 𝑥 +
𝜕𝑦
𝜕𝑦′
𝑞 𝑦 +
𝜕𝑧
𝜕𝑦′
𝑞 𝑧
𝑞 𝑧
′
=
𝜕𝑥
𝜕𝑧′
𝑞 𝑥 +
𝜕𝑦
𝜕𝑧′
𝑞 𝑦 +
𝜕𝑧
𝜕𝑧′
𝑞 𝑧
𝑞 𝑥, 𝑞 𝑦, 𝑞 𝑧 =
𝜕
𝜕𝑥
,
𝜕
𝜕𝑦
,
𝜕
𝜕𝑧
, 𝑞′ 𝑥, 𝑞′ 𝑦, 𝑞′ 𝑧 =
𝜕
𝜕𝑥′
,
𝜕
𝜕𝑦′
,
𝜕
𝜕𝑧′
とすると、上
の変換則を満たす。よって
𝜕
𝜕𝑥′
,
𝜕
𝜕𝑦′
,
𝜕
𝜕𝑧′
は共変ベクトル。

9. 反変ベクトルと共変ベクトルの関係
𝑎を共変ベクトル、𝑏を反変ベクトル、A、Bをその変換を表す行列だとし
て次のように置く。
𝑎′ = 𝐴 𝑎
𝑏′ = 𝐵𝑏
このとき、次の関係にある。
𝐴𝑡
= 𝐵−1
⇔ 𝐵 𝑡 = 𝐴−1

10. AB^t の成分の一つを計算してみる。（他も同じように計算できる）
𝜕𝑥
𝜕𝑥′
𝜕𝑥′
𝜕𝑥
+
𝜕𝑦
𝜕𝑥′
𝜕𝑥′
𝜕𝑦
+
𝜕𝑧
𝜕𝑥′
𝜕𝑥′
𝜕𝑧
=
𝜕𝑥
𝜕𝑥′
𝜕
𝜕𝑥
+
𝜕𝑦
𝜕𝑥′
𝜕
𝜕𝑦
+
𝜕𝑧
𝜕𝑥′
𝜕
𝜕𝑧
𝑥′
=
𝜕
𝜕𝑥
𝑥
= 1

11. 反変ベクトルと共変ベクトルの内積
𝑎′ 𝑡 𝑏′
= 𝐴𝑎 𝑡 𝐵𝑏
= 𝑎 𝑡 𝐴𝑡 𝐵𝑏
= 𝑎 𝑡 𝑏
つまり、反変ベクトルと共変ベクトルの積はスカラー量である。

12. 反変ベクトルと共変ベクトルの添え字
• 反変ベクトルの添え字は右上
• 共変ベクトルの添え字は右下

13. アインシュタインの省略
• 反変ベクトルa,共変ベクトルbの変換則は
𝑎′𝑖 =
𝜕𝑥′𝑖
𝜕𝑥 𝑗
𝑎 𝑗
𝑏′𝑖
=
𝜕𝑥′𝑗
𝜕𝑥′𝑖
𝑎 𝑗
偏微分中のxが反変ベクトル表記になっているのはｘが反変ベクトル
以上の理由はない？（よく分からない）
また、a,bの内積は
𝑐 = 𝑎 𝑖 𝑏𝑖

14. 共変座標と反変座標の図形的意味