磁場中のシュレディンガー方程式

1. 磁場中のシュレディンガー
方程式

2. 磁場中の電荷Qのシュレディンガー方程式は磁場のベクトルポテンシャルを
Aとすると、
𝑖ℏ
𝑑𝜙
𝑑𝑡
=
1
2𝑚
𝑝 − 𝑄𝐴 2 𝜙 + Q𝑈𝜙
で与えられる。pは粒子の運動量と場の運動量両方を含んでいるので、場
の運動量に相当する𝑄𝐴を引く必要がある。次元を確認しておく。
𝐵 = 𝑚−1 𝐴
𝑚−1 𝐵 𝜇−1 = 𝐶 𝑠−1 [𝑚−2]
より
𝐴 𝜇−1 = 𝐶 𝑠−1
ここで静電磁場中のクーロンポテンシャルの表式とεμ=1/c^2より
𝜖 = 𝑠2
𝑚−1
𝑘𝑔−1
𝐶2
𝑚−2
= 𝑠3
𝑚−3
𝑘𝑔−1
𝐶2
𝜇 = 𝑚−2
𝑠2
𝜖−1
𝜇 = 𝑠−1
𝑚𝑘𝑔𝐶−2

3. 𝜇 = 𝑠−1
𝑚𝑘𝑔𝐶−2
𝐴 = Cs−1 𝜇 = 𝐶−1 𝑠−2 𝑚kg
より
𝐴𝑄 = 𝑚𝑠−2 𝑘𝑔
以上から、QAが運動量の次元になっていることが確かめられた。