ナビエストークスの方程式の物理的解釈と導出
- 2. NS方程式の形
𝜌
𝜕
𝜕𝑡
Ԧ𝑣 + Ԧ𝑣 ⋅ 𝛻 Ԧ𝑣 = −𝛻𝑃 + 𝜇𝛻2 Ԧ𝑣 + 𝜌 Ԧ𝑓
Ԧ𝑣 Ԧ𝑟, 𝑡 : 位置Ԧ𝑟時刻𝑡における流体の速度(場の量であることに注意)
Ԧ𝑓:単位質量当たりの外力 𝜌:密度
𝑃 Ԧ𝑟, 𝑡 :圧力 𝜇:粘性係数
密度と粘性係数は一定であるという仮定を敷いている。
実際は、非圧縮性𝛻 ⋅ Ԧ𝑣 = 0を仮定する。
ニュートンの運動方程式ma=Fの流体バージョン.
Ԧ𝑣 ⋅ 𝛻 Ԧ𝑣に二次の項が出現して、非線形になり、解きにくい。
- 6. 粘性項
経験的にクエット流れの場合
𝜏 𝑥𝑦 = 𝜇
𝑑𝑣 𝑦
𝑑𝑥
粘性項の対称性から、𝜏 𝑥𝑦 = 𝜏 𝑦𝑥であり、下の式が予想される。
𝜏 𝑥𝑦 = 𝜇
𝑑𝑣 𝑥
𝑑𝑦
+
𝑑𝑣 𝑦
𝑑𝑥
一つ目の式は剛体の回転において、粘性が0になるという結果を満た
さないが、二つ目の式は満たす。二つ目の式はもっと厳密な導出が存
在する。もっと一般に
𝜏𝑖𝑗 = 𝜇
𝜕𝑣𝑖
𝜕𝑥𝑗
+
𝜕𝑣𝑗
𝜕𝑥𝑖