ローレンツ変換の導出

1. ローレンツ変換の導出

2. 相対性理論が仮定したこと
• 光の速度は光源の速度によらない。
• 物理法則は慣性系によらない
この二つから、光速度不変の原理が出てくる。

3. ローレンツ変換の導出
原点から光が放射された時、t秒後には光は原点から距離ｃｔの
ところにまで到達している。つまり光の到達する点を(x,y,z)とす
ると、次の式が成り立つ。
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 𝑐𝑡 2
ここで、別の慣性系でこの現象を見たときも同様に光が球状に、
速さｃで拡散するというのが、相対性理論の仮定であった。そこ
で、このとき、K’系では
𝑥′2 + 𝑦′2 + 𝑧′2 = 𝑐𝑡′ 2
ここで、K’系はK系に対して、x軸方向に速度ｖで等速運動して
いるとする。

4. ローレンツ変換の導出（２）
𝑥′
= 𝑎 𝑥 − 𝑣𝑡
𝑦′ = 𝑦
𝑧′ = 𝑧
𝑡′ = 𝑏𝑡 + 𝑑𝑥
𝑥′2 + 𝑦′2 + 𝑧′2 = 𝑐𝑡′ 2に代入して、
𝑎2 𝑥 − 𝑣𝑡 2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 𝑐2 𝑏𝑡 + 𝑑𝑥 2
⇔ 𝑎2
− 𝑐2
𝑑2
𝑥2
+ −2𝑣𝑎2
− 2𝑐2
𝑏𝑑 𝑡𝑥 + 𝑦2
+ 𝑧2
= 𝑐2
𝑏2
− 𝑎2
𝑣2
𝑡2
ここで、𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2
= 𝑐𝑡 2
がいかなるtでも成立するので、

5. ቐ
𝑎2
− 𝑐2
𝑑2
= 1
𝑣𝑎2
+ 𝑐2
𝑏𝑑 = 0
𝑐2
𝑏2
− 𝑎2
𝑣2
= 𝑐2
まずaについて解くと
𝑎2
−
𝑐2 𝑣𝑎2
𝑐2
2
𝑐2
𝑐2 + 𝑎2 𝑣2
= 1
𝑎2
−
𝑎4
𝑣2
𝑐2 + 𝑎2 𝑣2
= 1
𝑎2
𝑐2
+ 𝑎2
𝑣2
− 𝑎4
𝑣2
= 𝑐2
+ 𝑎2
𝑣2

6. 𝑎2
𝑐2
= 𝑐2
+ 𝑎2
𝑣2
⇔ 𝑎2 𝑐2 − 𝑣2 = 𝑐2
⇔ 𝑎2
=
𝑐2
𝑐2 − 𝑣2
⇔ 𝑎 = ±
𝑐
𝑐2 − 𝑣2
⇔ 𝑎 = ±
1
1 −
𝑣2
𝑐2
ここで、𝑣 → 0としたとき、a=1だから、
𝑎 =
1
1 −
𝑣2
𝑐2

7. 𝑎 =
1
1−
𝑣2
𝑐2
をቐ
𝑎2
− 𝑐2
𝑑2
= 1
𝑣𝑎2
+ 𝑐2
𝑏𝑑 = 0
𝑐2
𝑏2
− 𝑎2
𝑣2
= 𝑐2
に代入して、
1
1 −
𝑣2
𝑐2
− 𝑐2
𝑑2
= 1
𝑣
1
1 −
𝑣2
𝑐2
+ 𝑐2
𝑏𝑑 = 0
⇔
𝑣2
𝑐2
1 −
𝑣2
𝑐2
= 𝑐2 𝑑2
𝑏 = 𝑣
1
𝑣2 − 𝑐2
1
𝑑

8. ⇔
𝑑 = ±
𝑣
𝑐2
1 −
𝑣2
𝑐2
𝑏 = ±𝑣
1
𝑣2 − 𝑐2
1 −
𝑣2
𝑐2
𝑣
𝑐2
⇔
𝑑 = ±
𝑣
𝑐2
1 −
𝑣2
𝑐2
𝑏 = ∓
1
1 −
𝑣2
𝑐2

9. ⇔
𝑑 = ±
𝑣
𝑐2
1 −
𝑣2
𝑐2
𝑏 = ∓
1
1 −
𝑣2
𝑐2
V→0のとき、ｂ＝１だから、
𝑑 = −
𝑣
𝑐2
1−
𝑣2
𝑐2
𝑏 = +
1
1−
𝑣2
𝑐2

10. これより、
𝑥′
=
1
1 −
𝑣2
𝑐2
𝑥 − 𝑣𝑡
𝑦′
= 𝑦
𝑧′
= 𝑧
𝑡′
=
1
1 −
𝑣2
𝑐2
𝑡 −
𝑣
𝑐2
𝑥
を得る。