シュレディンガー方程式の導出
- 2. 状態ベクトル 𝜙 𝑡 + Δ𝑡 ⟩を 𝜙 𝑡 ⟩に変化させる演算子U 𝑡 + Δ𝑡, 𝑡 を考える。
𝜙 𝑡 + Δ𝑡 ⟩ = U 𝑡 + Δ𝑡, 𝑡 𝜙 𝑡 ⟩
これをある基本状態iに射影させる。
〈𝑖|𝜙 𝑡 + Δ𝑡 ⟩ = ⟨𝑖|U 𝑡 + Δ𝑡, 𝑡 |𝜙 𝑡 ⟩
|𝜙 𝑡 ⟩を基本状態に分解して、
⟨𝑖|𝜙 𝑡 + Δ𝑡 〉 =
𝑗
𝑖 U 𝑡 + Δ𝑡, 𝑡 𝑗 𝑗 𝜙 𝑡
Uをマクローリン展開する。Δtに比例しない定数項は、iをiに維持するのが1、その
ほかは0とするのが自然だからδ_ij.
⟨𝑖|𝜙 𝑡 + Δ𝑡 ⟩ =
𝑗
𝛿𝑖𝑗 −
𝑖
ℏ
HijΔ𝑡 ⟨𝑗|𝜙 𝑡 ⟩
𝑖 𝜙 𝑡 + Δ𝑡 − 𝑖 𝜙 𝑡 = −
𝑗
𝑖
ℏ
HijΔ𝑡⟨𝑗|𝜙 𝑡 ⟩
𝑖 𝜙 𝑡 + Δ𝑡 − 𝑖 𝜙 𝑡
Δ𝑡
= −
𝑗
𝑖
ℏ
Hij⟨𝑗|𝜙 𝑡 ⟩
𝑖ℏ
𝑑 𝑖 𝜙 𝑡
𝑑𝑡
=
𝑗
Hij⟨𝑗|𝜙 𝑡 ⟩