フィボナッチ数列の一般項

1. フィボナッチ数列の一般項

2. フィボナッチ数は次の数列で与えられる。
𝑓𝑘+2
𝑓𝑘+1
=
1 1
1 0
𝑓𝑘+1
𝑓𝑘
𝐴 =
1 1
0 1
とおいて、 𝐴 − 𝜆𝐸 = 0
det
1 − 𝜆 1
1 −𝜆
= 0
𝜆2 − 𝜆 − 1 = 0
𝜆 =
1 ± 5
2
固有ベクトルは、𝜆 =
1+ 5
2
のとき、
1+ 5
2
1
固有ベクトルは、𝜆 =
1− 5
2
のとき、
−1+ 5
2
−1

3. 固有ベクトルは、𝜆 =
1+ 5
2
のとき、
1+ 5
2
1
固有ベクトルは、𝜆 =
1− 5
2
のとき、
−1+ 5
2
−1
𝑇 =
1+ 5
2
−1+ 5
2
1 −1
とすると、𝐴𝑇 = TΛ ⇔ 𝐴 = 𝑇Λ𝑇−1
⇒ 𝐴 𝑛
= 𝑇Λ 𝑛
𝑇−1
これより−
1
5
1+ 5
2
−1+ 5
2
1 −1
1+ 5
2
𝑛
0
0
1− 5
2
𝑛
−1
1− 5
2
−1
1+ 5
2
1
0
= −
1
5
1 + 5
2
−1 + 5
2
1 −1
1 + 5
2
𝑛
0
0
1 − 5
2
𝑛
−1
−1
=
1
5
1 + 5
2
−1 + 5
2
1 −1
1 + 5
2
𝑛
1 − 5
2
𝑛

4. =
1
5
1 + 5
2
𝑛+1
−
1 − 5
2
𝑛+1
1 + 5
2
𝑛
−
1 − 5
2
𝑛
是よりフィボナッチ数列の一般項を得る