相対性理論の記法

1. 相対性理論の記法

2. 特殊相対論の記法
• 特殊相対論の計量（平らな空間の計量）は
𝜂 𝜇𝜈 =
1 0 0 0
0 −1 0 0
0
0
0
0
−1
0
0
−1
このとき、𝜂 𝜇𝜈
= 𝜂 𝜇𝜈かつ𝜂 𝜇𝜈
𝜂 𝜇𝜈 = Eとなる。（これは、A(B^T)=Eから従
うと思っている）
• 共変ベクトルは𝑥 𝜇 = 𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3
• 反変ベクトルはx 𝜇
= 𝑥0
, 𝑥1
, 𝑥2
, 𝑥3

3. • 計量によって反変ベクトルと共変ベクトルの変換ができる。特に
𝑥 𝛼 = 𝑔 𝛼𝛽 𝑥 𝛽
𝑥 𝛼 = 𝑔 𝛼𝛽 𝑥 𝛽
特に特殊相対性論の計量の場合、具体的に計算することで
𝑥0 = 𝑥0
𝑥1 = −𝑥1
𝑥2 = −𝑥2
𝑥3 = −𝑥3

4. • X軸方向にｖで移動する慣性系へのローレンツ変換Λは
Λ 𝜈
𝜇
=
𝛾 −𝛽𝛾 0 0
−𝛽𝛾 𝛾 0 0
0
0
0
0
1
0
0
1
ここで略記法として、
𝑥′ 𝜇 = Λ 𝜈
𝜇
𝑥 𝜈
速度を変えることで別の慣性系に移動することをブースト（boost）とよ
ぶ。

5. 座標微分は
𝜕
𝜕𝑥 𝑖 = 𝜕𝑖と略記する。ここで、特殊相対論の計量の場合で
は、𝜕 𝜇
= 𝜂 𝜇𝜈
𝜕 𝜈だから、𝜕0
= 𝜕0、𝜕 𝑖
= −𝜕𝑖(i=1,2,3)

6. ダランベール演算子
• ラプラシアンの４次元的一般化
□ =
1
𝑐2
− ∇2= 𝜕 𝜇 𝜕𝜇
と定義する。ここで、

7. 4元運動量ベクトル
𝑝 𝜇
=
𝐸
𝑐
, 𝑝 =
𝐸
𝑐
, 𝑝1
, 𝑝2
, 𝑝3
⇒ 𝑝 𝜇 =
𝐸
𝑐
, − 𝑝 =
𝐸
𝑐
, −𝑝1, −𝑝2, −𝑝3