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ラグランジュの運動方程式の導出
- 2. ラグランジアンLを定義する。 𝐿 ≔ 𝑇 − 𝑈 次の量を最小にするように世界は時間発展する。 𝑡0 𝑡1 𝐿 𝑞, 𝑞 𝑑𝑡 最小であるから、𝑞, 𝑞を微小に変化させた経路を取ったとしても、極小 値を取っているはずであるから、上の量は変わらないはずである。始 点と終点を固定したまま、𝑞, 𝑞を微小変化させたときのことを考える。
- 3. 𝑡0 𝑡1 𝐿 𝑞, 𝑞 − 𝐿 𝑞 + 𝛿𝑞, 𝑞 + 𝛿 𝑞 𝑑𝑡 = 0 𝑡0 𝑡1 𝜕𝐿 𝜕𝑞 𝛿𝑞 + 𝜕𝐿 𝜕 𝑞 𝛿 𝑞 𝑑𝑡 = 0 部分積分して、𝛿 𝑞を消去する。 𝑡0 𝑡1 𝜕𝐿 𝜕𝑞 𝛿𝑞 − 𝜕𝐿 𝜕 𝑞 𝛿𝑞𝑑𝑡 + 𝜕𝐿 𝜕 𝑞 𝛿𝑞 𝑡0 𝑡1 = 0 部分積分は、始点と終点でδｑに摂動を加えていなかったことを考えると、0 になる。 𝑡0 𝑡1 𝛿𝑞 𝜕𝐿 𝜕𝑞 − 𝑑 𝑑𝑡 𝜕𝐿 𝜕 𝑞 𝑑𝑡 = 0 いかなる微小なδｑの変化に対してもこの式が成立することから、 𝜕𝐿 𝜕𝑞 − 𝑑 𝑑𝑡 𝜕𝐿 𝜕 𝑞 = 0 を得る。