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四元速度の導入
- 1. ４元速度
- 2. ４元速度の定義 𝑥0 = 𝜔, 𝑥1 = 𝑥, 𝑥2 = 𝑦, 𝑥3 = 𝑧と定義する。 ここで各量を固有時間𝑑𝜏で割ったもの 𝑑𝑢 𝑖 = 𝑑𝑥 𝑖 𝑑𝜏 を４元速度と呼ぶ。
- 3. 4元速度の不変量 𝑑𝑢0 − 𝑑𝑢1 − 𝑑𝑢2 − 𝑑𝑢3 は不変量となっている。 なぜなら、固有時τはローレンツ変換に対して不変量で、 𝑑𝜏 2 = 𝑑𝜔 2 − 𝑑𝑥 2 − 𝑑𝑦 2 − 𝑑𝑧 2 ⇔ 1 = 𝑑𝜔 d𝜏 2 − 𝑑𝑥 𝑑𝜏 2 − 𝑑𝑦 𝑑𝜏 2 − 𝑑𝑧 𝑑𝜏 2 となり、𝑑𝑢0 − 𝑑𝑢1 − 𝑑𝑢2 − 𝑑𝑢3が不変量となっていることが確 かめられた。
- 5. 𝑑𝜔 𝑑𝜏 の計算 𝑑𝜏 2 = 𝑑𝜔 2 − 𝑑𝑥 2 − 𝑑𝑦 2 − 𝑑𝑧 2 ⇔ 𝑑𝜏 𝑑𝜔 2 = 𝑑𝜔 𝑑𝜔 2 − 𝑑𝑥 𝑑𝜔 2 − 𝑑𝑦 𝑑𝜔 2 − 𝑑𝑧 𝑑𝜔 2 ⇔ 𝑑𝜏 𝑑𝜔 2 = 1 − 𝑣2 𝑐2 ⇔ 𝑑𝜏 𝑑𝜔 = 1 − 𝑣2 𝑐2 = 1 𝛾 ⇔ 𝑑𝜔 𝑑𝜏 = 𝛾