Основні властивості числових нерівностей

1. ОсновнОсновнii
властивоствластивостii
числовихчислових
нернерiiвностейвностей

2. Варiант 1Варiант 1 Варiант 2Варiант 2
11.. Порiвняйте числа a i b, якщо вiдомо, що:
22.. Доведiть, що при будь-якому значеннi a (b) справджується
нерiвнiсть:
Самостiйна роботаСамостiйна робота
2 3 3 2;3) a b− = −
3 5 6 2 .4) a b− = +
2
1
.
2
4)
a
a
+
≥
1) a−b < 0; 2) a−b = −0,2;
3) a2
−a+1 ≥ a;
1) 3(a+1)+a < 4(2+a);
2) 3a(a+6) < (3a+6)(a+4);
2 7 5 2;3) a b− = −
2 5 3 3 .4) a b− = −
2
1
.
1 2
4)
b
b
≤
+
1) (7b+1)(7b−1) < 49b2
;
2) 4b(b−1) > (2b+7)(2b−9);
1) a−b > 0; 2) a−b = 3,4;
3) b2
−b ≤ 50b2
−15b+1;

3. 3 4;2) x y− = −
( )( )2 2 ;4) m m− + ( )2 .5) m m m m+
1.1. Порiвняйте числа x і y, якщо:
2.2. Запишiть вираз у виглядi многочлена:
Виконання усних вправВиконання усних вправ
1) x−y = (−0,1)2
;
1) (m−1)2
; 2) (x−3)(x+3); 3) (x−1)(x+2);
3) x−y = (c−1)2
.

4. .
7 7
6)
m n
<
2.2. Вiдомо, що m < n. Якi з наведених нерiвностей є
правильними?
Вiдповiдь обґрунтуйте.
Виконання усних вправВиконання усних вправ
1) m+3 < n+3; 2) m−1 < n−1; 3) m+3 > n+1;
1.1. Порiвняйте x та y, якщо x < 3 i 3 > y.
4) 5m < 5n; 5) −3m < −3n;

5. 1.1. Якщо a > b, то b < a.
2.2. Якщо a > b, b > c, то a > c.
3.3. Якщо a > b, то a+c > b+c.
Наслiдок. a+c > b i a > b−c.
Властивостi числовихВластивостi числових
нерiвностейнерiвностей
4.4. 1) Якщо a > b i c > 0, то ac > bc;
2) якщо a > b i c < 0, то ac < bc.
Наслiдок. Якщо a > b > 0, то
1 1
.
a b
<

6. 1
2
3) a+
1
;
2
b+
1
3
4)
a
− + 1.
3
b
− +
Приклади
Вiдомо, що a < b. Порiвняйте значення виразiв:
i
i
Розв’язання
1) Оскiльки a < b i 3 > 0, то за властивістю 4 маємо: 3a < 3b;
2) оскiльки a < b i −1 < 0, то за властивістю 4 маємо: −a > −b;
1) 3a i 3b; 2) −a i −b;

7. 1 1
;
2 2
a b+ < +
,
3 3
a b
− > −
1 1.
3 3
a b
− + > − +
3) оскiльки a < b, то за властивiстю 3 маємо:
4) оскiльки a < b, то за властивістю 4 маємо:
а за властивiстю 3:

8. 1 1
* ;
2 2
4) a b * ;
8 8
5)
a b
* .
5 5
6)
a b
− −
1.1. Вiдомо, що a < b. Поставте замiсть * знак > або < так,
щоб дістати правильну нерiвнiсть:
Виконання письмових вправВиконання письмових вправ
1) 5a*5b; 2) −9a*−9b; 3) −a*−b;

9. 2.2. Вiдомо, що a < b. Використовуючи властивостi
нерiвностей, запишiть правильну нерiвнiсть, яку дiстанемо,
якщо:
1) до обох частин нерiвностi додамо число –2;
2) обидвi частини нерiвностi помножимо на 3;
3) обидвi частини нерiвностi помножимо на –1;
4) обидвi частини нерiвностi подiлимо на 5.

10. a b
c c
<
c
a
,
c
b
1) якщо ac > bc i c > 0, то a>b;
4.4. Порiвняйте числа a i d, якщо:
i якщо 0 < b < a i c > 0.
3.3. Доведiть твердження:
2) якщо i c < 0, то a>b.
5.5. Порiвняйте числа
1) a < b i d > b; 2) b−a < 0 i d−b < 0.

11. 1 1 1
, , ,
a b c
1 1
.
a b
>
6.6. Розмiстiть у порядку зростання числа
1) якщо a < b i b ≤ c, то a < c;
2) якщо a < b, b < c i c < d, то a < d;
3) якщо a ≥ b i c < 0, то ac ≤ bc;
якщо всi вони додатнi й a > b, b > c.
7*.7*. Доведiть твердження:
4) якщо a < 0, b < 0 i a < b, то
8*.8*. Доведiть, що при y > 1 значення виразу додатне.
2
2 2
3 2 1 3
:
1 1
y y
y y y y y
 + −
− + ÷
− − − 

12. ;
3 3
3)
a b
<
1 1
.4)
a b
<
Вiдомо, що a > b > 0.
Яка з наведених нерiвностей є неправильною?
Тестове завданняТестове завдання
1) −5а < −5b; 2) 3+a > 3+b;

13. 1.1. Вiдомо, що x > y. Використовуючи властивостi
нерiвностей, запишiть правильну нерiвнiсть, яку дiстанемо,
якщо:
Домашнє завданняДомашнє завдання
Вивчити змiст та доведення властивостей числових
нерiвностей (див. конспект 3).
Виконати вправи.
1) до обох частин нерiвностi додамо 9;
2) вiд обох частин нерiвностi вiднiмемо число –3;
3) обидвi частини нерiвностi помножимо на –5;
4) обидвi частини нерiвностi подiлимо на –3.

14. a b
n n
<
c
a
,
c
b
1) якщо an > bn i n < 0, то a < b;
3.3. Порiвняйте числа m i k, якщо:
i
Виконати вправу на повторення.Виконати вправу на повторення.
Доведiть нерiвнiсть:
2.2. Доведiть твердження:
2) якщо i n > 0, то a < b.
4.4. Порiвняйте числа
1) m > n i k < n; 2) m−n > 0 i n−k > 0.
якщо 0 < a <b i c > 0.
1) (x+1)2
≥ 4x; 2) 4(x+2) < (x+3)2
−2x;
3) a2
+b2
+2 ≥ 2(a+b).