4. Tujuan Pembelajaran
• Menyatakan relasi dalam bentuk diagram
panah
• Menyatakan relasi dalam bentuk diagram
Cartesius
• Menyatakan relasi dalam bentuk
himpunan pasangan berurutan
6. 8/22/2023 6
A. RELASI
1. Pengertian Relasi
Relasi ( hubungan ) dari himpunan A ke B
adalah pemasangan anggota-anggota A
dengan anggota-anggota B.
Relasi dalam matematika misalnya : lebih
dari , kurang dari , setengah dari , faktor dari
, dan sebagainya .
Contoh :
Diketahui A = { 1, 2, 3, 4 } dan B = { 1, 2, 3 }
. Jika
himpunan A ke himpunan B dinyatakan
relasi “ kurang dari “ , maka lebih jelasnya
dapat ditunjukkan pada gambar di bawah :
7. 8/22/2023 7
Diagram disamping dinamakan diagram panah .
Arah relasi ditunjukkan dengan anak panah dan
nama relasinya adalah
“ kurang dari “
1 .
2 .
3 .
4 .
.1
.2
.3
B
A
Kurang dari
8. 8/22/2023 8
2. Menyatakan Relasi
Relasi antara dua himpunan dapat dinyatakan dengan 3
cara , yaitu : Diagram Panah , Diagram Cartesius , dan
Himpunan pasangan berurutan .
a. Diagram Panah
Contoh :
1. Jika Anto suka sepakbola , Andi suka voli
dan bulutangkis serta Budi dan Badri suka
basket dan sepakbola . Buatlah Diagram
Panah keadaan tersebut apabila A adalah
himpunan anak dan B adalah himpunan
olahraga .
9. 8/22/2023 9
. Voli
. Basket
. Bulutangkis
. Sepakbola
Anto .
Andi .
Budi .
Badri .
B
A
Suka akan
10. 8/22/2023 10
2. Diketahui P = { 1, 2, 3, 4 } dan
Q = { 2, 4, 6, 8 } . Gambarlah diagram
panah yang menyatakan relasi dari P
dan Q dengan hubungan :
a. Setengah dari
b. Faktor dari
Jawab : a.
1
. 2
. 4
. 6
. 8
1 .
2 .
3 .
4 .
Q
P
Setengah dari
12. 8/22/2023 12
b. Diagram
Cartesius
Contoh :
Diketahui A = { 1, 2, 3, 4, 5 } dan
B = { 1, 2, 3, …, 10 }.
Gambarlah diagram cartesius yang
menyatakan relasi A ke B dengan
hubungan :
a. Satu lebihnya dari
b. Akar kuadrat dari
13. 8/22/2023 13
Jawab :
a . Satu lebihnya dari
1
1 2 3 4 5 6 7 9
8 10
0
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Himpunan
B
Himpunan A
14. 8/22/2023 14
Jawab :
b. Akar kuadrat dari
1
1 2 3 4 5 6 7 9
8 10
0
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Himpunan
B
Himpunan A
15. 8/22/2023 15
C. Himpunan pasangan
berurutan
Contoh :
Himpunan A = { 1, 2, 3, … , 25} dan
B = { 1, 2, 3, … , 10 } .
Tentukan himpunan pasangan berurutan yang
menyatakan relasi A ke B dengan hubungan :
a. kuadrat dari
b. dua kali dari
c. Satu kurangnya dari
21. 8/22/2023 21
B.
FUNGSI
1. Pengertian Fungsi
Sebuah fungsi f : x y adalah suatu aturan yang
memasangkan tiap anggota x pada suatu himpunan
(daerah asal / domain), dengan tepat sebuah nilai y dari
himpunan kedua (daerah kawan / kodomain). Himpunan
nilai yang diperoleh disebut daerah hasil / range fungsi
tersebut .
Untuk lebih memahami pengertian diatas perhatikan contoh
berikut :
22. 8/22/2023 22
Contoh :
Perhatikan diagram panah dibawah ini :
. 1
. 2
. 3
. 4
. 5
0 .
2 .
4 .
6 .
B
A
Daerah kawan/
kodomain
Daerah asal/
Domain
Daerah hasil/
Range
23. 8/22/2023 23
Dari diagram panah diatas dapat dilihat bahwa
:
1. Fungsi A ke B adalah relasi khusus yang
memasangkan setiap anggota A dengan
tepat satu anggota B.
2. Himpunan A = { 0, 2, 4, 6 } disebut daerah
asal ( Domain ), Himpunan B = { 1, 2, 3, 4,
5 }
disebut daerah kawan ( Kodomain ), dan
{ 1, 2, 5 } disebut daerah hasil ( Range ).
24. 8/22/2023 24
2. Notasi Fungsi
Fungsi/ pemetaan dapat dinotasikan
dengan huruf kecil f , g , h , dan
sebagainya.
Misal :
f : x y dibaca f memetakkan x ke y ,
maka
y = f(x) dibaca sama dengan f dari x
digunakan untuk menunjukkan bahwa y
adalah fungsi dari x .
25. 8/22/2023 25
Suatu fungsi juga dapat dinyatakan dengan tiga
cara yaitu dengan diagram panah , diagram
cartesius , dan himpunan pasangan berurutan .
Contoh :
Diketahui A = { a, i, u, e, o } dan B = { 1, 2, 3, 4 }
a. Buatlah diagram panah yang menunjukkan
pemetaan f yang ditentukan oleh : a 1 ,
i 2 , u 1 , e 4 , o 2 .
b. Nyatakan pula dengan diagram cartesius
c . Nyatakan pula f sebagai himpunan
pasangan berurutan .
28. 8/22/2023 28
{ (a , 1) , (i , 2) , (u , 1) , (e , 4) , (o , 2) }
c. Himpunan pasangan berurutan
29. 8/22/2023 29
3. Banyaknya pemetaan dari dua himpunan
Jika n(A) = a , dan n(B) = b , maka banyak
pemetaan yang mungkin terjadi dari
himpunan A ke B adalah ba dan
himpunan B ke A adalah ab
Contoh :
Berapa banyaknya pemetaan yang mungkin terjadi untuk pemetaan berikut :
a. Dari himpunan A = {a} dan B = {1}
b. Dari himpunan C = {1} dan D = { a , b }
30. 8/22/2023 30
c. Dari himpunan E = {a,b} dan F = {1}
d. Dari himpunan G = {1} dan H = { a,b,c }
e. Dari himpunan I = {1,2} dan J = { a,b}
f. Dari himpunan K = {a,i,u,e,o} dan L = {1,2,3}
g. Dari himpunan M = {a,b,c,d} dan N =
{1,2,3,4,5}
Jawab :
a. n(A) = 1 , n(B) = 1
Banyak pemetaan 11 = 1
b. n(C) = 1 , n(D) = 2
Banyak pemetaan 21 = 2
31. 8/22/2023 31
c. n(E) = 2 , n(F) = 1
Banyak pemetaan 12 = 1
d. n(G) = 1 , n(H) = 3
Banyak pemetaan 31 = 3
e. n(I) = 2 , n(J) = 2
Banyak pemetaan 22 = 4
f. n(K) = 5 , n(L) = 3
Banyak pemetaan 35 = 243
g. n(M) = 4 , n(N) = 5
Banyak pemetaan 54 = 625
32. 8/22/2023 32
f : x y dibaca f memetakkan x ke y dan
dapat dinyatakan dengan f(x) .
Maka rumus fungsi dapat ditulis f(x) = y .
Contoh :
Diketahui suatu fungsi f : x x + 2 dengan
daerah asal fungsi { x/ 1 < x < 6, x A}
a. Tentukan rumus fungsi !
b. Tentukan daerah asal fungsi !
c . Tentukan daerah hasil fungsi !
d. Jika f(x) = 15 , maka tentukan nilai x !
4. Merumuskan suatu fungsi
33. 8/22/2023 33
a. Rumus fungsi f(x) = x +2
b. Daerah asal = { 2, 3, 4, 5 }
c. Daerah hasil : f(x) = x + 2
untuk x = 2 f(x) = 2 + 2 = 4
x = 3 f(x) = 3 + 2 = 5
x = 4 f(x) = 4 + 2 = 6
x = 5 f(x) = 5 + 2 = 7
Jadi daerah hasil fungsi : { 4, 5, 6, 7 }
d. f(x) = 15 x + 2 = 15
x = 15 – 2
x = 13 Jadi nilai x
= 13
Jawab :
34. 8/22/2023 34
5. Dengan tanpa membuat diagram
panahnya terlebih dahulu , tentukan
banyaknya pemetaan yang mungkin dari :
a. A = {a, b, c} B = {1, 2}
b. A = {1, 2} B = {a, b, c}
c. A = {a, b, c} B = {1, 2, 3}
d. A = {a, b, c} B = {1, 2, 3, 4}
e. A = {1, 2} B = {a, b, c, d}
35. 8/22/2023 35
C. Menghitung Nilai Fungsi
Untuk menghitung nilai fungsi dapat
digunakan rumus :
f (x) = ax + b
Contoh :
1. Suatu fungsi ditentukan dengan f : x 5x -
3
Tentukan :
a. Rumus funsi .
b. Nilai fungsi untuk x = 4 dan x = -1 .
36. 8/22/2023 36
Jawab :
a. Rumus fungsinya f(x) = 5x – 3
b. Nilai fungsi f(x) = 5x – 3
untuk x = 4 maka f(4) = 5 . 4 – 3 = 17
x = -1 maka f(-1) = 5 .(-1) – 3 = -8
Jadi nilai fungsi untuk x = 4 adalah 17
dan
x = -1 adalah -8
38. 8/22/2023 38
Jawab :
a. g (x) = -4x + 3
g (- 2 ) = -4 . (- 2 ) + 3
= 8 + 3
= 11
b. g (a) = - 4a + 3
- 4a + 3 = - 5
- 4a = - 5 – 3
- 4a = - 8
a = 2
39. 8/22/2023 39
D. MENENTUKAN BENTUK
FUNGSI
Suatu fungsi dapat ditentukan bentuknya jika
data fungsi diketahui . Bentuk fungsi linier
dapat dirumuskan sebagai f (x) = ax + b .
Contoh :
Suatu fungsi ditentukan dengan rumus
f (x) = ax + b , jika f (2) = 10 dan f (-4) = -8 .
Tentukan :
a. Nilai a dan b
b. Bentuk fungsinya
c. Bayangan dari – 3
40. 8/22/2023 40
Jawab :
a. f (x) = ax + b
f (2) = 2a + b = 10 2a + b = 10
f (-4) = -4a + b = -8 -4a + b = -8 -
6a = 18
a = 3
untuk a = 3 2a + b = 10
2 . 3 + b = 10
6 + b = 10
b = 4
Jadi , nilai a = 3 dan b = 4
41. 8/22/2023 41
b. f (x) = ax + b
f (x) = 3x + 4
Jadi , bentuk fungsinya f (x) = 3x + 4
c. Bayangan dari – 3
f (x) = 3x + 4
f (- 3) = 3 ( - 3 ) + 4
= - 9 + 4
= - 5
42. 8/22/2023 42
E. Menggambar Grafik Fungsi
Untuk menggambar grafik fungsi ada
cara yang mudah yang dapat dilakukan
terlebih dahulu yaitu membuat tabel
dengan mendaftar semua daerah asalnya
.
1. Grafik Fungsi Linier
Contoh :
1. Gambarlah grafik fungsi f (x) = x +1
dengan domain {x/0 x 5 , x C}
43. 8/22/2023 43
Jawab :
f (x) = x +1 daerah asal = { 0,1,2,3,4,5
}
{x,f(x)}
x+1
x
(2,3)
0 1 2 3 4 5
1 2 3 4 5 6
(0,1) (1,2) (3,4) (4,5) (5,6)
44. 8/22/2023 44
Grafiknya :
f (x) = x + 1 , x c (0,1,2,3,4,5)
{(0,1),(1,2),(2,3),(3,4),(4,5),(5,6)}
1
1 2 3 4 5
0
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
+
1
x
45. 8/22/2023 45
2. a. Buatlah tabel fungsi g : x -2x + 1
dengan
daerah asal { -4,-3,-2,-1,0,1,2,3 } !
b. Berdasarkan tabel tersebut tentukan :
(i) bayangan dari -2 , 0 , dan 2 !
(ii) himpunan pasangan berurutan !
(iii) gambarlah grafik fungsi tersebut
pada
bidang cartesius , kemudian
hubungkan titik-titik tersebut
sehingga
47. 8/22/2023 47
b. (i) Bayangan dari :
-2 adalah 5
0 adalah 1
2 adalah -3
(ii) Himpunan pasangan berurutan :
{ (-4,9),(-3,7),(-2,5),(-1,3),(0,1),(1,-
1),
(2,-3),(3,-5) }
