1. ΔΗΜΗΣΡΗ΢ ΧΑ΢ΑΠΗ΢
ΘΕΜΑΣΑ
Ι΢ΣΟΡΙΑ΢ & ΦΙΛΟ΢ΟΦΙΑ΢
ΣΩΝ
ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΩΝ

2. ΘΔΜΑ ΣΡΙΣΟ
ην Μεδέλ θαη ην Άπεηξν

3. Μεδέλ

4. Σν κεδέλ είλαη κηα ηδηόηππε καζεκαηηθή έλλνηα:
είλαη θαη δελ είλαη αξηζκόο
ωο ζύκβνιν δειώλεη ηελ απνπζία κνλάδωλ κηαο
ηάμεο ζην δεθαδηθό ζύζηεκα αξίζκεζεο
105: 1 εθαηνληάδα Κακία δεθάδα 5 κνλάδεο
ωο έλλνηα ζεκαίλεη θακία κνλάδα, θαλέλα κέγεζνο
0

5. O Rotman ππνγξακκίδεη ηελ αληηθαηηθόηεηα ηεο έλλνηαο ηνπ
κεδελόο.
Σν κεδέλ είλαη έλαο αξηζκόο, ν πξώηνο αξηζκόο ζηε ζεηξά
ησλ αξηζκώλ, ν νπνίνο εθθξάδεη όκσο ηελ απνπζία κνλάδσλ.
Παξάιιεια, ην κεδέλ δειώλεη ηελ απνπζία κνλάδσλ κηαο
ηάμεο ζην δεθαδηθό ζύζηεκα αξίζκεζεο.
΢ηελ δεύηεξε πεξίπησζε ην κεδέλ δελ είλαη αξηζκόο, αιιά
έθθξαζε ηεο απνπζίαο ελόο αξηζκνύ, ελόο νηνλδήπνηε
αξηζκνύ, είλαη έλαο κεηα-αξηζκόο αθνύ αλαθέξεηαη ζε
άιινπο αξηζκνύο.
Σν κεδέλ έρεη επνκέλσο δύν όςεηο. Δθθξάδεη ην θελό θαη
ηαπηόρξνλα ζπκβνιίδεη ην ηίπνηα
(Rotman Signifying Nothing: The Semiotics of Zero 1993, p. 13)

6. Σν κεδέλ αλήθεη ζην αξηζκεηηθό ζύζηεκα
0 1 2 3 4 5 6 ….
105 1205
Αιιά ε απαξίζκεζε δελ αξρίδεη από ην 0
Πόζα είλαη?
1 2 3 4 5

7. Σν κεδέλ έρεη δηαθνξεηηθό ξόιν ζηηο αξηζκεηηθέο
πξάμεηο:
Πξόζζεζε 0+1=1 νπδέηεξν ζηνηρείν
Πνιιαπιαζηαζκόο 0x1=0 ζηνηρείν πνπ
κεδελίδεη θάζε
κέγεζνο
Γηαίξεζε 1 : 0 = άπεηξν

8. Γηαίξεζε 1 / 0 = άπεηξν
Αθνύ δελ κπνξνύκε λα δηαηξέζνπκε έλαλ αξηζκό κε ην
0, ηόηε ην 0 δελ κπνξεί λα ζεωξείηαη αξηζκόο
Από ηελ νπηηθή απηή:
Τν κεδέλ δελ είλαη αξηζκόο

9. Έρνπλ δηαηππωζεί ηξεηο δηαθνξεηηθέο,
εμίζνπ αμηόπηζηεο, ηζηνξηθέο εθδνρέο
γηα ηελ πξνέιεπζε ηνπ κεδελόο
Πξώηε εθδνρή:
Ο Brian Rotman ζην βηβιίν ηνπ
Signifying Nothing: The Semiotics of Zero
ππνζηεξίδεη όηη ην κεδέλ επηλνήζεθε από Ιλδνύο
καζεκαηηθνύο θαη εηζάρζεθε ζηελ Δπξώπε από
ηνπο Άξαβεο.

10. ΢ηνπο αξηζκεηηθνύο ππνινγηζκνύο ηωλ Ιλδώλ γύξω ζην
650 κ.Υ. εληνπίδεηαη έλα ζύκβνιν γηα ην κεδέλ
παξόκνην κε ην θαζηεξωκέλν ζήκεξα 0 ωο ζύκβνιν ηεο
απνπζίαο κνλάδωλ κηαο ηάμεο ζην δεθαδηθό ζύζηεκα
αξίζκεζεο ηωλ Ιλδώλ.
Ολνκαδόηαλ Pujyam, ιέμε ε νπνία ζήκαηλε θαη ηεξό.
Ίζωο ην κεδέλ έρεη ηελ πξνέιεπζή ηνπ ζηελ Ιλδηθή κεηαθπζηθή,
νπνία δέρνληαλ ηελ ύπαξμε ηνπ θελνύ ηεο αηωληόηεηαο (ληξβάλα).
Παξάιιεια, όκωο, ε ρξήζε ηνπ κεδελόο ζηηο
αξηζκεηηθέο πξάμεηο δειώλεη ηελ απνδνρή ηνπ ωο
αξηζκνύ θαη όρη απιά ωο ζπκβόινπ απνπζίαο κνλάδωλ
κηαο ηάμεο ζην ζύζηεκα αξίζκεζεο.

11. Έρεη βξεζεί ζηελ Ιλδία κηα πέηξηλε επηγξαθή, ε
νπνία ρξνλνινγείηαη ζην 876 κ.Υ.
Η επηγξαθή αλαθέξεηαη ζηελ πόιε Γθνπαιηόξ, 400
ρικ λόηηα ηνπ Γειρί όπνπ θαιιηεξγνύζαλ έλαλ θήπν
δηαζηάζεωλ 187 επί 270 ράζηα ζηνλ νπνίν
παξάγνληαλ άλζε γηα ηελ θαηαζθεπή 50 ζηεθαληώλ,
ηα νπνία πξνζθέξνληαλ ζηνλ ηνπηθό λαό.
Οη αξηζκνί 270 θαη 50 γξάθνληαη ζρεδόλ κε ηα
ζεκεξηλά ζύκβνια.

12. Η απνδνρή ηνπ κεδελόο ωο αξηζκνύ θαη όρη απιά ωο ζπκβόινπ
απνπζίαο κνλάδωλ κηαο ηάμεο ζην ζύζηεκα αξίζκεζεο
ηεθκεξηώλεηαη ζηα βηβιία ηωλ Ιλδώλ καζεκαηηθώλ ηεο ίδηαο
πεξηόδνπ.
Ο πην γλωζηόο αζηξνλόκνο θαη καζεκαηηθόο ηεο αξραίαο Ιλδίαο
είλαη ν Βξαρκαγθνύπηα. ΢ην βηβιίν ηνπ Brahmasphutasiddhanta
(628 κ.Υ.) εμεγεί όηη ην κεδέλ πξνθύπηεη όηαλ από έλαλ αξηζκό
αθαηξεζεί ν ίδηνο ν αξηζκόο θαη δηαηππώλεη θαλόλεο πξάμεωλ νη
νπνίεο πεξηιακβάλνπλ ην κεδέλ.
Π.ρ. ην άζξνηζκα ηνπ κεδελόο θαη ελόο αξλεηηθνύ αξηζκνύ είλαη
αξλεηηθό, ην άζξνηζκα ηνπ κεδελόο θαη ελόο ζεηηθνύ αξηζκνύ
είλαη ζεηηθό θαη ην άζξνηζκα ηνπ κεδελόο κε ην κεδέλ είλαη
κεδέλ.

13. Γεύηεξε εθδνρή:
Ο Charles Seife ζην βηβιίν ηνπ
Zero: The Biography of a Dangerous Idea
ππνζηεξίδεη όηη ην κεδέλ επηλνήζεθε από ηνπο
Βαβπιώληνπο θαη κεηαθέξζεθε ζηελ Ιλδία όηαλ
ηνλ 4ν αηώλα π.Υ. ν Μέγαο Αιέμαλδξνο
εθζηξάηεπζε από ηελ Βαβπιώλα ζηελ Ιλδία.

14. ΢ηνπο αξηζκεηηθνύο ππνινγηζκνύο ηωλ Βαβπιωλίωλ
δελ ρξεζηκνπνηείηαη ζύκβνιν γηα ην κεδέλ από ην 1700
κέρξη ην 700 π.Υ. όπνπ ρξνλνινγνύληαη πήιηλεο
πηλαθίδεο κε αξηζκεηηθνύο ππνινγηζκνύο πνπ έρνπλ
βξεζεί ζην ζεκεξηλό Ιξάθ.
΢ε πήιηλεο πηλαθίδεο πνπ ρξνλνινγνύληαη από ην 700
κέρξη ην 400 π.Υ. εληνπίδνληαη ζύκβνια γηα ην κεδέλ
ωο ζύκβνια απνπζίαο κνλάδωλ κηαο ηάμεο ζην
εμεθνληαδηθό ζύζηεκα αξίζκεζεο ηνπο γξακκέλν κε
ηελ απνθιεζείζα ζθελνεηδή γξαθή.

15. Δμεθνληαδηθό ζύζηεκα αξίζκεζεο ηωλ Βαβπιωλίωλ
γξακκέλν ζε ζθελνεηδή γξαθή.
Πηλαθίδα ηνπ 300 π.Υ. ηκήκαηα ηεο νπνίαο
βξέζεθαλ ζηελ πόιε Οπξνύθ.
Γξακκή 10 ηεο πηλαθίδαο :
25.922.000 = (2,0,0,33,20) =
(Ifrah, G. (1985) From One to Zero. R. R. Donnelly and Sons: America, p. 380, fig. 3).

16. Σξίηε εθδνρή:
Ο Robert Kaplan ζην βηβιίν ηνπ
The Nothing That Is: A Natural History Zero
ζπκθσλεί κε ηελ πξνεγνύκελε εθδνρή κε δύν
δηαθνξνπνηήζεηο:
1.Σνλίδεη ηελ αληηθαηηθόηεηα ησλ ζηνηρείσλ γηα ηελ
πξνέιεπζε ηνπ κεδελόο θαη
2.Τπνγξακκίδεη όηη ε έλλνηα ηνπ κεδελόο
εμειίρζεθε θαη δηαθνξνπνηήζεθε ηζηνξηθά από
ηελ εκθάληζε ηνπ πξώηνπ ζπκβνιηζκνύ ηεο κέρξη
ηε ζύγρξνλε επνρή.

17. Η έλλνηα ηνπ κεδελόο δεκηνπξγήζεθε από ηηο αλάγθεο
ηωλ ππνινγηζκώλ θαη ηωλ αξηζκεηηθώλ πξάμεωλ θαη
εμειίρζεθε κε ηε ρξήζε ηεο ζε δηαθνξεηηθά πιαίζηα.
Καζνξηζηηθέο ζηηγκέο ηεο ηζηνξηθήο εμέιημεο ηεο έλλνηαο
ηνπ κεδελόο ππήξμαλ
-Η επηθξάηεζε ηνπ ζεζηαθνύ δεθαδηθνύ ζπζηήκαηνο
αξίζκεζεο θαηά ηνλ 13ν αηώλα, νπόηε ην 0 σο ζύκβνιν
θαζηεξώλεηαη γηα λα δειώλεη ηελ απνπζία κνλάδσλ κηαο
ηάμεο, π.ρ. 105
-Η κεηεμέιημε ηνπ λνήκαηνο ηωλ ιέμεωλ «κεδέλ» από
εθθξάζεηο ηνπ «ηίπνηα» (νπδέλ) ζε αξηζκεηηθέο εθθξάζεηο
«θακίαο κνλάδαο» ή όπσο ν Kaplan ην δηαηππώλεη «από ηην
αποσζία αριθμού ζηην ιδέα ενός αριθμού για ασηή ηην
αποσζία» (1999, p. 46)

18. ΢ηελ θιαζζηθή Διιεληθή, όπωο θαη ζηε Ρωκαϊθή
αξραηόηεηα ε καζεκαηηθή έλλνηα ηνπ «κεδελόο» δελ
ήηαλ απνδεθηή ζηα καζεκαηηθά: δελ ππήξρε νύηε
καζεκαηηθόο όξνο νύηε ζύκβνιν γηα ηελ έλλνηα ηνπ
κεδελόο.
Οη αζηξνλόκνη, όκσο, γηα ηηο αλάγθεο ησλ πνιύπινθσλ
ππνινγηζκώλ ηνπο ρξεζηκνπνηνύζαλ έλα ζύκβνιν ηνπ
κεδελόο, ην , ζηε γξαθή ησλ αξηζκώλ γηα λα
δειώλεηαη ε απνπζία κνλάδσλ κηαο ηάμεο.
Καηά πάζα πηζαλόηεηα πξόθεηηαη γηα έλαλ θύθιν ,
αθνύ ην γξάκκα Ο ζην Διιεληθό αιθαβεηηθό
αξηζκεηηθό ζύζηεκα δειώλεη ηνλ αξηζκό 70.

19. 1200 κ.Υ.
Leonardo Pisano IL LIBER ABBACI
DI
LEONARDO PISANO

20. 283
Quot paria coniculorum in uno anno
ex uno pario germinentur.
Qvidam posuit unum par cuniculorum in quodam
loco, qui erat undique pariete circundatus, ut sciret,
quot ex eo paria germinarentur in uno anno: cum
natura eorum sit per singulum mensem aliud par
germinare; et in secundo mense ab eorum natiuitate
germinant.

21. Quot paria coniculorum in uno anno
ex uno pario germinentur.
Πόσα ζευγάρια κουνελιών γεννώνται
από ένα ζευγάρι σε ένα χρόνο

22. Qvidam posuit unum Ένας άνθρωπος έχει ένα
par cuniculorum ζευγάρι κουνελιών μαζί σε
έναν ορισμένο κλειστό
in quodam loco, χώρο
qui erat undique
pariete circundatus, και κάποιος θέλει να
μάθει πόσα γεννώνται από
ut sciret, quot ex eo αυτό το ζευγάρι σε ένα
paria germinarentur χρόνο:
in uno anno:
cum natura eorum sit όταν από τη φύση τους σε
per singulum mensem ένα μήνα γεννούν ένα
ζευγάρι.
aliud par germinare;
et in secundo mense Και το δεύτερο μήνα αυτά
ab eorum natiuitate που γεννήθηκαν γεννούν
επίσης
germinant.

23. 284

24. Simon Stevin
1585

27. Η επηθξάηεζε ηνπ θεζιακού δεθαδηθνύ ζπζηήκαηνο
αξίζκεζεο θαηά ηνλ 13ν αηώλα ζηελ Δπξώπε
ζπλνδεύηεθε από αληηπαξαζέζεηο κεηαμύ
ησλ ππνζηεξηθηώλ ηνπ Ρσκατθνύ ζπζηήκαηνο
αξίζκεζεο (αβαθηζηώλ, αθνύ ε εθηέιεζε ησλ πξάμεσλ
απαηηνύζε άβαθα) θαη
ησλ ππνζηεξηθηώλ ηνπ Ιλδν-αξαβηθνύ ζπζηήκαηνο
αξίζκεζεο (αιγνξηζηώλ, αθνύ ε εθηέιεζε ησλ πξάμεσλ
βαζίδνληαλ ζε αιγνξίζκνπο ).

28. Τν Πλεύκα ηεο Αξηζκεηηθήο
Υαξαθηηθό από ην βηβιίν ηνπ Gregorius Reisch «Margarita
Philosophica» (1508), ην νπνίν απεηθνλίδεη ηελ αληίζεζε ησλ
Αιγνξηζηώλ κε ηνπο Αβαθηζηέο ππό ην βιέκκα ηεο αλαπνθάζηζηεο
Αξηζκεηηθήο

29. ΢αίμπεξ, Βαζηιηάο Λεξ
Ο Rotman ζεσξεί όηη ζην έξγν απηό εθθξάδνληαη νη
επηθπιάμεηο γηα ην ξόιν ηεο έλλνηαο ηνπ κεδελόο ζηελ
πξνζσπηθή θαη ζηελ θνηλσληθή δσή ησλ αλζξώπσλ
ηελ επνρή ηεο εηζαγσγήο ηνπ ζηελ Δπξώπε σο
ζηνηρείνπ ηνπ δεθαδηθνύ ζπζηήκαηνο θαη ηελ ίδηα
επνρή ηεο δηαδνρήο ηεο θενπδαξρίαο σο θνηλσληθνύ
ζπζηήκαηνο από ηνλ εκπνξεπκαηηθό θαπηηαιηζκό.
΢ηελ ηδενινγία ηνπ εκπνξεπκαηηθνύ θαπηηαιηζκνύ ην
κεδέλ είλαη θαζνξηζηηθό ζηνηρείν ησλ εκπνξηθώλ
ζπλαιιαγώλ, όπσο είλαη θαη ζήκεξα ησλ θαζνξηζηηθό
ζηνηρείν ρξεκαηηζηεξηαθώλ αγνξώλ.

30. Η ιέμε «ηίπνηα» (nothing) αθνύγεηαη ζπλερώο ζην έξγν
θαη ζρνιηάδεηαη ε ιαλζαζκέλε άπνςε ηνπ Βαζηιηά Λεξ
όηη «ηίπνηα δελ κπνξεί λα πξνέιζεη από ην ηίπνηα» (I, i,
90) ή όηη «ηίπνηα δελ κπνξεί λα ππνζηεξηρηεί από ην
ηίπνηα» (I, iv, 135).
Σν απνηέιεζκα είλαη, όπσο ν Σξειόο ριεπάδεη, όηη ν Λεξ
γίλεηαη «έλα 0 ρσξίο ςεθίν». «Δίκαη θαιιίηεξνο από ζέλα
ηώξα: εγώ είκαη έλαο ηξειόο, εζύ είζαη έλα ηίπνηα» (I, iv,
193–195).
Έλα 0, ζρνιηάδεη ν Rotman ρσξίο ην αληίζηνηρν ςεθίν ην
νπνίν ζα ηνπ απνδώζεη έλα λόεκα αμίαο, όπσο ζην 10 ή
ζην 100 ή αθόκα θαη ζην 001 είλαη ε απνζέσζε ηνπ
ηίπνηα, ην κεδέλ σο απόιπην θελό, όρη σο ζύκβνιν ηεο
απνπζίαο κνλάδσλ κηαο ηάμεο ζηε γξαθή ελόο αξηζκνύ.

31. Οη ζπλέπεηεο ηεο επηλόεζεο θαη θαζηέξσζεο ηεο
έλλνηαο ηνπ κεδελόο ππήξμαλ θαζνξηζηηθέο γηα ηελ
εμέιημε ησλ καζεκαηηθώλ.
Σν κεδέλ επέηξεςε ηελ αλάπηπμε ηεο άιγεβξαο (από
ηελ αξαβηθή ιέμε “aljabr” πνπ ζεκαίλεη “επαλέλσζε
ησλ δηαρσξηζκέλσλ κεξώλ”), ηελ επηλόεζε ηνπ
απεηξνζηηθνύ ινγηζκνύ θαη αξγόηεξα ηεο ζεσξίαο
ζπλόισλ.

32. Άπεηξν

33. Γπλεηηθό άπεηξν – Πξαγκαηηθό άπεηξν
Γπλεηηθό άπεηξν
Αο ζθεθηνύκε κηα δηαδηθαζία ε νπνία έρεη κηα ζπγθεθξηκέλε
αξρή θαη ζπληειείηαη ζε ηειείωο δηαθξηηά θαη κεηξήζηκα
βήκαηα, ρωξίο λα μέξνπκε εάλ θαη πνπ ηειεηώλεη.
Σα βήκαηα ηεο δηαδηθαζίαο απηήο είλαη άπεηξα.
Αξίζκεζε
1 2 3 4 5 ……

34. Γπλεηηθό άπεηξν – Πξαγκαηηθό άπεηξν
Πξαγκαηηθό άπεηξν
Οιόηεηεο κε πεπεξαζκέλεο έθηαζεο ή δηάξθεηαο
Άπεηξν ζύλνιν
Τν ζύλνιν ηωλ θπζηθώλ αξηζκώλ (1,2,3,….)

35. ΢ηελ θιαζζηθή Διιεληθή αξραηόηεηα ε έλλνηα ηνπ
απείξνπ εκθαλίδεηαη ζηνλ Αλαμίκαλδξν (610-547 π.Υ.)
θαη γίλεηαη αληηθείκελν πξνβιεκαηηζκνύ από όινπο
ζρεδόλ ηνπο θηινζόθνπο κέρξη ηνλ Αξηζηνηέιε (384- 322
π.Υ.) θαη ηνλ Δπίθνπξν (341 -270 π.Υ.)
Γηακνξθώλνληαη δύν ζεσξήζεηο ηνπ απείξνπ:
-Μηα αξλεηηθή ζηελ νπνία ην άπεηξν, ην απεξηόξηζην, ην
απξνζδηόξηζην, ην αηειέο ηαπηίδνληαη θαη ην άπεηξν
ζεσξείηαη πεγή ζύγρπζεο θαη πεξηπινθήο (Αξηζηνηέιεο).
-Μηα ζεηηθή ζηελ νπνία ην άπεηξν είλαη κηα έλλνηα, ε
νπνία πεξηιακβάλεη όιεο ηηο έλλνηεο (Δπίθνπξνο).

36. Ο Αξηζηνηέιεο ζηα νθηώ βηβιία ηνπ Φσζικά, θαη ηδίσο ζην
Βιβλίο 3, κεθάλαια 4 έως 9, εμεηάδεη ζπζηεκαηηθά από
θηινζνθηθή νπηηθή ηελ έλλνηα ηνπ απείξνπ θαη εηζάγεη ηελ
δηάθξηζε δπλεηηθνύ θαη πξαγκαηηθνύ απείξνπ.
Ο Αξηζηνηέιεο απνδέρεηαη κόλν ηελ έλλνηα ηνπ
δπλεηηθνύ απείξνπ

37. Ο Αξηζηνηέιεο ζηα Φσζικά (203b 15-25) ππνζηεξίδεη
όηη ην άπεηξν έρεη πέληε πεγέο πξνέιεπζεο:
(1) Σν άπεηξν ηνπ ρξόλνπ
(2) Σε δηαηξεηόηεηα ησλ κεγεζώλ
(3) Σν γεγνλόο όηη ε γέλλεζε θαη ε θζνξά ζηε θύζε είλαη
αέλαε
(4) Σν γεγνλόο όηη θάζε ηη πεξηνξηζκέλν πεξηνξίδεηαη από
θάηη άιιν θαη
(5) Σν γεγνλόο όηη δελ ππάξρνπλ όξηα ζηε δύλακε ηεο
αλζξώπηλεο ζθέςεο ηα νπνία ζα εκπόδηδαλ ηελ
απόδνζε ηεο ηδηόηεηαο ηνπ απείξνπ ζηνπο αξηζκνύο,
ζηα κεγέζε ή ζε νηηδήπνηε επί ηεο γεο.

38. Ο Δπθιείδεο ζηα Σηνηρεία ηνπ (300 π.Υ.) πηνζεηεί ηε
ζεώξεζε ηνπ Αξηζηνηέιε θαη παξαθάκπηεη ζπζηεκαηηθά
ηελ έλλνηα ηνπ απείξνπ απνθεύγνληαο ηελ αλαθνξά ηνπ.
BIBΛIO I - Αηηήκαηα
BIBΛIO IX Πρόηαζη 20

39. Όπσο θαη ηνπ Αξηζηνηέιε ε ζηάζε όισλ ησλ θηινζόθσλ
απέλαληη ζηελ έλλνηα ηνπ απείξνπ ππήξμε επηθπιαθηηθή.
Αθόκα θαη θηινζόθσλ, νη νπνίνη ππήξμαλ θαη θπζηθνί
επηζηήκνλεο, όπσο ν Κνπέξληθνο, ν Κέπιεξ ή ν
Νεύησλαο.
Ο πξνβιεκαηηζκόο γηα ηελ έλλνηα ηνπ απείξνπ
αλαπηύζζεηαη νπζηαζηηθά θαηά ηνλ 20ν αηώλα από ηνπο
θηινζόθνπο ηωλ καζεκαηηθώλ θαη ηωλ θπζηθώλ
επηζηεκώλ, κε ζαθή δηάθξηζε ηωλ ελλνηώλ ηνπ απείξνπ
ζηα καζεκαηηθά θαη ζηε θπζηθή.

40. Η έλλνηα ηνπ απείξνπ ζηα καζεκαηηθά ζπζρεηίδεηαη
απνιύηωο κε ηελ έλλνηα ηωλ ζπλερώλ κεγεζώλ θαη
ηωλ απεηξάξηζκωλ ζπλόιωλ θαη αληηκεηωπίδεηαη
θαη’ αξρήλ επηθπιαθηηθά.

41. Ο Γθάνπο ζε έλα πεξίθεκν γξάκκα ηνπ πξνο ηνλ
΢νπκάρεξ κε εκεξνκελία 12/07/1831 πξνηξέπεη λα κελ
ρξεζηκνπνηείηαη ε έλλνηα ηνπ απείξνπ ζηα καζεκαηηθά:
«Δηακαξηύξνκαη γηα ηε ρξήζε κηαο άπεηξεο πνζόηεηαο
ωο πξαγκαηηθήο. Απηό ζηα καζεκαηηθά δελ επηηξέπεηαη
πνηέ. Τν άπεηξν είλαη κόλν έλαο ηξόπνο ηνπ ιέγεηλ θαηά
ηνλ νπνίν κπνξεί θαλείο λα κηιάεη γηα ηα όξηα ζηα νπνία
νξηζκέλνη ιόγνη κπνξνύλ λα πιεζηάδνπλ όζν θνληά
ζέινπκε, ελώ άιινη κπνξνύλ λα απμάλνληαη απεξηόξηζηα»
Eves H., ΜΔΓΑΛΔ΢ ΢ΣΙΓΜΔ΢ ΣΩΝ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΩΝ, εθδόζεηο
Σξνραιία

42. Σελ καζεκαηηθή κειέηε ηνπ
απείξνπ εγθαηληάδεη ν Georg
Cantor (1845 - 1918) κε ηελ
δεκηνπξγία ηεο ζεωξίαο ηωλ
ζπλόιωλ θαη ηωλ
ππεξπεπεξαζκέλωλ αξηζκώλ
(1870 έωο 1890).
Νσξίηεξα (ην 1656) ν καζεκαηηθόο John
Wallis είρε εηζάγεη ζηα καζεκαηηθά ην
ζύκβνιν ηνπ απείξνπ ∞

43. Βαζηθή έλλνηα ηωλ ζεωξηώλ ηνπ Cantor είλαη ε έλλνηα ζύλνιν,
ηελ νπνία νξίδεη ωο θάζε ζπιινγή αληηθεηκέλωλ, πνπ πξνέξρεηαη
από ην κπαιό µαο ή ηελ εκπεηξία µαο, είλαη θαιά νξηζκέλν θαη
ηα αληηθείκελα μερωξίδνπλ ην έλα από ην άιιν δειαδή είλαη
δηαθνξεηηθά.
Σα αληηθείκελα απηά νλνκάδνληαη ζηνηρεία ή µέιε ηνπ ζπλόινπ.

44. Θεκειηώδεο είλαη, επίζεο, ε έλλνηα ηεο αληηζηνίρεζεο ηωλ
ζπλόιωλ, ε νπνία απνδίδεη αθξηβέο λόεκα ζηελ ηζόηεηα ηνπ
κεγέζνπο δύν ζπλόιωλ

45. Γύν ζύλνια έρνπλ ην ίδην πιήζνο ζηνηρείωλ (είλαη ηζνπιεζή) αλ
ηα ζηνηρεία ηνπο κπνξεί λα ηεζνύλ έλα-πξνο-έλα ζε αληηζηνηρία.
ηζνπιεζέο κε κεγαιύηεξν πιήζνο ηνπ

46. ΢ηα απεηξάξηζκα ζύλνια όκωο
Α
Β
Γ
Σν ζύλνιν ηωλ ζεκείωλ ηωλ επζπγξάκκωλ ηκεκάηωλ Α
θαη Β έρνπλ ην ίδην άπεηξν πιήζνο ζηνηρείωλ.

47. Σν ζύλνιν ηωλ ζεκείωλ δύν επζπγξάκκωλ ηκεκάηωλ
αλεμάξηεηα από ην κήθνο ηνπο έρνπλ ην ίδην άπεηξν
πιήζνο ζηνηρείσλ.
Σν ζύλνιν ηωλ ξεηώλ αξηζκώλ θαη ην ζύλνιν ηωλ
ζεκείωλ ελόο επζύγξακκνπ ηκήκαηνο αλεμάξηεηα από
ην κήθνο ηνπ έρνπλ ην ίδην άπεηξν πιήζνο ζηνηρείσλ.

48. Σν ζύλνιν ηωλ ζεκείωλ δύν πεξηθεξεηώλ αλεμάξηεηα από ηελ
αθηίλα ηνπ θύθινπ, άξα θαη από ην κήθνο ηνπο (2πR),
έρνπλ ην ίδην άπεηξν πιήζνο ζηνηρείσλ.

49. ΢ηα απεηξάξηζκα ζύλνια ην κέξνο ηζνύηαη κε ην όιν
ΔΤΚΛΔΙΓΟΤ ΢ΣΟΙΥΔΙΑ – Κνηλέο έλλνηεο

50. Ξελνδνρείν Υίικπεξη
κε άπεηξα δωκάηηα όια θαηεηιεκκέλα,
όηαλ θηάλεη έλαο λένο πειάηεο
Ο μελνδόρνο δεηάεη από θάζε πειάηε λα κεηαθνκίζεη ζην
δηπιαλό ηνπ δωκάηην, νπόηε αδεηάδεη ην δωκάηην 1

51. Ξελνδνρείν Υίικπεξη
κε άπεηξα δωκάηηα όια θαηεηιεκκέλα,
όηαλ θηάλεη όκωο κηα νκάδα άπεηξωλ πειαηώλ ?
Ο μελνδόρνο δεηάεη από θάζε πειάηε λα κεηαθνκίζεη ζην
δωκάηην κε αξηζκό δηπιάζην από ηνλ αξηζκό ηνπ δωκαηίνπ ηνπ
Οπόηε αδεηάδνπλ όια ηα δωκάηηα κε πεξηηηό αξηζκό, άξα άπεηξα

52. Σν ζύλνιν ηωλ ξεηώλ αξηζκώλ είλαη ηζνπιεζέο κε ην
ζύλνιν ηωλ θπζηθώλ αξηζκώλ, ην νπνίν είλαη
ππνζύλνιν ηνπ
Μπνξνύκε λα δηαηάμνπκε ζε κηα ζεηξά θαηά κέγεζνο ηνπο
θπζηθνύο αξηζκνύο, αιιά όρη ηνπο ξεηνύο, αθνύ ζηνπο
ξεηνύο δελ ππάξρεη έλαο κνλαδηθόο επόκελνο ελόο ξεηνύ
αξηζκνύ.
Ο Cantor απέδεημε όηη αλ αγλνήζνπκε ην κέγεζνο
κπνξνύκε λα βάινπκε ζε κηα ζεηξά ηνπο ξεηνύο αξηζκνύο

53. Πωο?
Κάζε ξεηόο αξηζκόο κπνξεί λα γξαθεί σο θιάζκα κε αξηζκεηή θαη
παξνλνκαζηή θπζηθνύο αξηζκνύο p/q
Βάδνπκε όινπο ηνπο ξεηνύο ζε κηα ζεηξά ηνπνζεηώληαο θαζέλαλ
αξηζκό p/q ζηελ p ζηήιε θαη ζηελ q ζεηξά, π.ρ. ν 5/7 ηνπνζεηείηαη
ζηελ 5ε ζηήιε, 7ε ζεηξά.

54. Όινη νη ζεηηθνί ξεηνί βξίζθνληαη ηόηε ζε κηα γξακκή δηθ-δαθ σο
εμήο
1, 2, 1/2, 1/3, 2/2, 3, 4, 3/2, 2/3, 1/4, 1/5, 2/4, 3/3, 4/2, 5, ..
Από ζεηξά απηή δηαγξάθνπκε ηνπο αξηζκνύο νη νπνίνη έρνπλ θνηλό
δηαηξέηε, νπόηε ζηε ζεηξά ππάξρνπλ κόλν κηα θνξά νη αξηζκνί
1, 2, 1/2, 1/3, 3, 4, 3/2, 2/3, 1/4, 1/5, 5, ...

55. Άξα ην ζύλνιν ησλ ζεηηθώλ Ρεηώλ είλαη αξηζκήζηκν,
ηίζεηαη δειαδή ζε κηα-πξνο-κηα αληηζηνηρία κε ην ζύλνιν
ησλ θπζηθώλ αξηζκώλ.
Σν ίδην ηζρύεη θαη γηα ην ζύλνιν ησλ αξλεηηθώλ Ρεηώλ κε
ην κεδέλ.
Άξα ην ζύλνιν ησλ Ρεηώλ αξηζκώλ είλαη αξηζκήζηκν θαη
επνκέλσο είλαη ηζνπιεζέο κε ην ζύλνιν ησλ Φπζηθώλ
αξηζκώλ.
Γειαδή άπεηξν.

56. Ο Cantor απέδεημε όηη ην ζύλνιν ησλ Πξαγκαηηθώλ
αξηζκώλ δελ είλαη αξηζκήζηκν.
Γελ είλαη, δειαδή, ηζνπιεζέο κε ην ζύλνιν ησλ Ρεηώλ
θαη ην ζύλνιν ησλ Φπζηθώλ αξηζκώλ.
Σν ζύλνιν ηωλ Πξαγκαηηθώλ αξηζκώλ είλαη άπεηξν,
κεγαιύηεξν, όκωο, από ηα ζύλνια ηωλ Ρεηώλ θαη
ηωλ Φπζηθώλ αξηζκώλ.

57. Η απόδεημε ηνπ Cantor βαζίδεηαη ζηελ εμήο ηδέα:
Γείρλεη όηη γηα θάζε αξηζκήζηκε αθνινπζία πξαγκαηηθώλ
αξηζκώλ s1, s2, ... κπνξεί λα βξεζεί πάληνηε έλα άιινο
πξαγκαηηθόο αξηζκόο πνπ δελ αλήθεη ζε απηή.
Άξα θακία αθνινπζία πξαγκαηηθώλ αξηζκώλ s1, s2, ... δελ
κπνξεί λα πεξηιάβεη όινπο ηνπο πξαγκαηηθνύο αξηζκνύο.
Δπνκέλσο, νη πξαγκαηηθνί αξηζκνί δελ απνηεινύλ έλα
ζύλνιν αξηζκήζηκν.

58. Recall that any real number may be regarded as an infinite decimal of the form
N. a1a2a3.....
where N denotes the integral part and the small letters the digits after the decimal point.
Now suppose we are given an enumerated sequence s1, s2, s3, ... of real numbers, with
s1 = N1. a1a2a3....
s2 = N2. b1b2b3....
s3 = N3. c1c2c3....
We proceed to construct, using what has become known as Cantor's diagonal process,
a new real number which we show does not occur in the given sequence. To do this wefirst
choose a digit a which differs from a1 and is neither 0 nor 9 (to avoid possible
ambiguities which may arise from equalities like 0.999... = 1.000...), then a digit b
different from b2 and again unequal to 0 or 9, similarly c different from c3 and so on
down the “diagonal” of the above array. (For example, we might choose a to be 1
unless a1 is 1, in which case we choose a to be 2, and similarly down the line for all the
digits b, c, d, ... .) Now consider the infinite decimal
x = 0.abcd....
This new real number x then differs from any one of the numbers s1, s2, s3, ...: it cannot
be equal to s1 because the two differ at the first digit after the decimal point; it cannot
be equal to s2 because these two differ at the second digit after the decimal point, and
so on. Accordingly x does not occur in the given sequence, so that no given sequence
can enumerate the totality of real numbers, which is therefore nonenumerable.

59. Ο Cantor ρξεζηκνπνίεζε ην ζύκβνιν ℵ (Άιεθ - πξώην
γξάκκα ηνπ Δβξατθνύ αιθαβήηνπ) γηα ηα άπεηξα
ζύλνια, ζπκβνιίδνληαο κε ℵ0 ηνλ πιεζηθό αξηζκό ηνπ
ζπλόινπ ησλ θπζηθώλ αξηζκώλ θαη κε ℵ1 ηνλ πιεζηθό
αξηζκό ηνπ ζπλόινπ ησλ πξαγκαηηθώλ αξηζκώλ θαη
όξηζε ην ℵ1= 2ℵν.

60. Έλα ζύλνιν είλαη άπεηξν αλ δελ κεηαβάιιεηαη
ην πιήζνο ηωλ ζηνηρείωλ ηνπ, νζαδήπνηε
ζηνηρεία ηνπ θαη αλ αθαηξέζνπκε.

61. Kaplan, Robert (1999) The Nothing That Is: A Natural History of
Zero , Oxford University Press, Oxford.
Rotman, Brian (1993) Signifying Nothing: The Semiotics of Zero,
Stanford University Press, Stanford.
Seife, Charles (2000) Zero: The Biography of a Dangerous Idea,
Penguin, Harmondsworth.