Nói về toán

1. CHUYÊN ĐỀ : TỈ LỆ THỨC, DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU
I. Kiến thức
1) Định nghĩa, tính chất của tỉ lệ thức
a) Định nghĩa:
Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số d
c
b
a
=
Các số hạng a và d gọi là ngoại tỉ, b và c gọi là trung tỉ.
b) Tính chất
+ Tính chất 1( tính chất cơ bản): Nếu
a c
b d
= thì ad = bc
+ Tính chất 2( tính chất hoán vị)
Nếu ad = bc và a, b, c, d khác 0 thì ta có các tỉ lệ thức
2) Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:
+ Từ tỉ lệ thức d
c
b
a
= ta suy ra ( )db
db
ca
db
ca
d
c
b
a
±≠
−
−
=
+
+
==
+ Mở rộng: từ dãy tỉ số bằng nhau f
e
d
c
b
a
==
ta suy ra ....=
+−
+−
=
++
++
===
fdb
eca
fdb
eca
f
e
d
c
b
a
( giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)
3) Chú ý:
+ Khi có dãy tỉ số 532
cba
== ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số 2; 3; 5 ta cũng viết
a:b:c = 2:3:5.
+ Vì tỉ lệ thức là một đẳng thức nên nó có tính chất của đẳng thức, từ tỉ lệ thức
d
c
b
a
= suy ra ( )
2 2
1 2
1 2
1 2
. ; . . 0 ; ( , 0)
k a k ca c a c a c
k k k k k
b d b d b d k b k d
   
= = = ≠ = ≠ ÷  ÷
   
từ f
e
d
c
b
a
== suy ra
33 3 2
;
a c e a c e a c e
b d f b d f b d f
      
= = = × × = × ÷ ÷  ÷  ÷
      
II. Một số dạng bài tập và cách giải
Dạng 1. Tìm số hạng chưa biết
1.Tìm một số hạng chưa biết
a) Phương pháp: áp dụng tính chất cơ bản tỉ lệ thức
Nếu
. . .
. . ; ;
a c b c a d a d
a d b c a b c
b d d c b
= ⇒ = ⇒ = = =
Muốn tìm ngoại tỉ chưa biết ta lấy tích của 2 trung tỉ chia cho ngoại tỉ đã biết,
muốn tìm trung tỉ chưa biết ta lấy tích của hai ngoại tỉ chia cho trung tỉ đã biết.
b) Bài tập:
1
a c a b d c d b
; ; ;
b d c d b a c a
= = = =

2. Bài tập 1: tìm x trong tỉ lệ thức sau ( bài 46 – SGK 26 b)
- 0,52 : x = - 9,36 : 16,38
( ). 9,36 0.52.16,38
0,52.16,38
0,91
9,36
x
x
⇒ =
−
⇒ = =
−
* Lưu ý: Học sinh có thể tìm x bằng cách xem x là số chia, ta có thể nâng mức độ
khó hơn như sau :
a)
1 2 3 2
: 1 :
3 3 4 5
x
 
= ÷
 
b) ( )
1 2
0,2:1 : 6 7
5 3
x= +
Bài tập 2: Tìm x biết ( bài 69 SBT T 13)
60
15
x
x
−
=
−
Giải : ( ) ( )
2
2 2
60
15
. 15 . 60
900
30
x
x
x x
x
x
−
=
−
⇒ = − −
⇒ =
⇒ =
Suy ra x = 30 hoặc x =-30
* Lưu ý: Ta thấy trong tỉ lệ thức có 2 số hạng chưa biết nhưng 2 số hạng đó giống
nhau nên ta đưa về luỹ thừa bậc hai có thể nâng cao bằng tỉ lệ thức
1 60
15 1
x
x
− −
=
− −
;
1 9
7 1
x
x
−
=
+
Bài tập 3: Tìm x trong tỉ lệ thức
3 5
5 7
x
x
−
=
−
Cách 1: ta có:
( ) ( )
3 5
3 .7 5 .5 7 21 25 5
5 7
5
12 46 3
6
x
x x x x
x
x x
−
= ⇒ − = − ⇒ − = −
−
⇒ = ⇒ =
Cách 2: từ
3 5 3 5
5 7 5 7
x x x
x
− − −
= ⇒ =
−
Áp dụng t/c cơ bản của dãy tỉ số bằng nhau ta có :
( )
3 5 3 5 2 1
5 7 5 7 12 6
3 1
6 3 5
5 6
5 5
3 3
6 6
x x x x
x
x
x x
− − − + −
= = = =
+
−
⇒ = ⇒ − =
⇒ − = ⇒ =
Bài tập 4: Tìm x trong tỉ lệ thức
2

3. ( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 4
1 7
2 7 4 1
7 2 14 4 4
5 14 3 4
5 3 4 14 2 10 5
x x
x x
x x x x
x x x x x x
x x
x x x x
− +
=
− +
⇒ − + = + −
⇒ + − − = − + −
⇒ − = −
⇒ − = − + ⇒ = ⇒ =
Trong bài tập này x nằm ở cả 4 số hạng của tỉ lệ thức và hệ số đều bằng 1 do đó sau
khi biến đổi thì x2
bị triệt tiêu, có thể làm bài tập trên bằng cách áp dụng tính chất của
dãy tỉ số bằng nhau
2.Tìm nhiều số hạng chưa biết
a)Xét bài toán cơ bản thường gặp sau:
Tìm các số x, y, z thoả mãn
x y z
a b c
= = (1) và x +y + z =d (2)
( trong đó a, b, c, a+b+c 0≠ và a, b, c, d là các số cho trước)
Cách giải:
- Cách 1: đặt
. ; . ; .
x y z
k
a b c
x k a y k b z k c
= = =
⇒ = = =
thay vào (2)
Ta có k.a + k.b + k.c = d
( )
d
k a b c d k
a b c
⇒ + + = ⇒ =
+ +
Từ đó tìm được
.
; ;
a d bd cd
x y z
a b c a b c a b c
= = =
+ + + + + +
- Cách 2: áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có
. . .
; ;
x y z x y z d
a b c a b c a b c
a d b d c d
x y z
a b c a b c a b c
+ +
= = = =
+ + + +
⇒ = = =
+ + + + + +
b)Khai thác.
+Giữ nguyên điều kiện (1) thay đổi đk (2) như sau:
* 1 2 3k x k y k z e+ + =
* 2 2 2
1 2 3k x k y k z f+ + =
*x.y.z = g
+Giữ nguyên điều kiện (2) thay đổi đk (1) như sau:
• 1 2 3 4
;
x y y z
a a a a
= =
• 2 1 4 3;a x a y a y a z= =
• 1 2 3b x b y b z= =
• 1 3 3 22 1b x b z b z b yb y b x
a b c
− −−
= =
3

4. •
3 31 2 2
1 2 3
z bx b y b
a a a
−− −
= =
+Thay đổi cả hai điều kiện
c)Bài tập
Bài tập 1 : Tìm hai số x và y biết
x y
2 3
= và x + y = 20.
Cách 1: Đặt ẩn phụ
Đặt
x y
k
2 3
= = , suy ra: x = 2k, y = 3k
Theo giả thiết: x + y = 20 nên 5k = 20 hay k = 4
Do đó: x = 8 và y = 12
Cách 2: Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau
x y x y 20
4
2 3 2 3 5
+
= = = =
+
Do đó: x = 8 và y = 12
Cách 3: Phương pháp thế
x y 2y
x
2 3 3
= ⇒ =
mà x + y = 20 suy ra 5y/3 = 20 nên y = 12
Do đó: x = 8
Bài tập 2: Tìm 3 số x, y, z biết
2 3 4
x y z
= = và x +y + z = 27
Giải:
- Cách 1.
Đặt 2 , 3 , 4
2 3 4
x y z
k x k y k z k= = = ⇒ = = =
Từ x + y + z = 27 ta suy ra 2 3 4 27 9 27 3k k k k k+ + = ⇒ = ⇒ =
Khi đó x = 2.3 = 6; y = 3.3 = 9; z = 4.3 = 12
Vậy x = 6; y = 9; z = 12.
- Cách 2. Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
27
3
2 3 4 2 3 4 9
2.3 6; 3.3 9; 4.3 12
x y z x y z
x y z
+ +
= = = = =
+ +
⇒ = = = = = =
Từ bài tập trên ta có thể thành lập các bài toán sau:
Bài tập 3: Tìm 3 số x,y,z biết
2 3 4
x y z
= = và 2x + 3y – 5z = -21
Giải: - Cách 1: Đặt
2 3 4
x y z
= = =k
- Cách 2: Từ
2 3 4
x y z
= = suy ra
2 3 5
4 9 20
x y z
= =
Áp dụng t/c của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
2 3 5 2 3 5 21
3
4 9 20 4 9 20 7
6; 9; 12
x y z x y z
x y z
+ − −
= = = = =
+ − −
⇒ = = =
Bài tập 4: Tìm 3 số x, y, z biết
2 3 4
x y z
= = và 2 2 2
2 3 5 405x y z+ − = −
4

5. Giải: - Cách 1: Đặt
2 3 4
x y z
= = =k
- Cách 2: từ
2 3 4
x y z
= =
suy ra
2 2 2
2 2 2
4 9 16
2 3 5
8 27 90
x y z
x y z
= =
⇒ = =
Áp dụng t/c dãy tỉ số bằng nhau ta có:
2 2 2 2 2 2
2 3 5 2 3 5 405
9
8 27 90 8 27 90 45
x y z x y z+ − −
= = = = =
+ − −
Suy ra
2
2
2
2
2
2
9 36 6
4
9 81 9
9
9 144 12
16
x
x x
y
y y
z
z z
= ⇒ = ⇒ = ±
= ⇒ = ⇒ = ±
= ⇒ = ⇒ = ±
Vậy x= 6; y = 9; z = 12 hoặc x = -6; y = -9; z = -12.
Bài tập 5: Tìm 3 số x, y, z biết
2 3 4
x y z
= = và x.y.z = 648
Giải:
- Cách 1: Đặt
2 3 4
x y z
= = = k
- Cách 2: Từ
2 3 4
x y z
= =
3
3
3
648
27
2 2 3 4 24 24
27 216 6
8
x x y z xyz
x
x x
 
⇒ = × × = = = ÷
 
⇒ = ⇒ = ⇒ =
Từ đó tìm được y = 9; z = 12.
Bài tập 6. Tìm x,y, z biết ;
6 9 2
x y z
x= = và x +y +z = 27
Giải: từ 6 9 2 3
x y x y
= ⇒ =
Từ
2 2 4
z x z
x = ⇒ = suy ra
2 3 4
x y z
= =
Sau đó ta giải tiếp như bài tập 2.
Bài tập 7. Tìm x, y, z biết 3x = 2y; 4x = 2z và x + y+ z = 27
Giải: Từ 3 2
2 3
x y
x y= ⇒ =
Từ 4 2
2 4
x z
x z= ⇒ =
5

6. Suy ra
2 3 4
x y z
= = sau đó giải như bài tập 2
Bài tập 8: Tìm x, y, z biết 6x = 4y = 3z và 2x + 3y – 5z = -21
Giải: từ 6x = 4y = 3z
6 4 3
12 12 12 2 3 4
x y z x y z
⇒ = = ⇒ = =
Sau đó giải tiếp như bài tập 3
Bài tập 9: Tìm x, y, z biết
6 3 4 6 3 4
5 7 9
x z y x z y− − −
= = và 2x +3y -5z = -21
Giải: áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có
6 3 4 3 3 6 6 3 4 3 3 6
0
5 7 9 5 7 9
6 3 ;4 3 ;3 6
x z y z z x x z y z z x
x z y z z x
− − − − + − + −
= = = =
+ −
⇒ = = =
Hay 6x = 4y = 3z sau đó giải tiếp như bài tập 8
Bài tập 10: Tìm x,y,z biết
4 6 8
2 3 4
x y z− − −
= = và x +y +z =27
Giải:
- Cách 1: Đặt
4 6 8
2 3 4
x y z− − −
= = =k
- Cách 2: áp dụng t/c của dãy tỉ số bằng nhau ta có
4 6 8
2 3 4
x y z− − −
= =
4 6 8 18 27 18
1
2 3 4 9 9
4
1 6
2
6
1 9
3
8
1 12
4
x y z x y z
x
x
y
y
z
z
− + − + − + + − −
= = = =
+ +
−
⇒ = ⇒ =
−
= ⇒ =
−
= ⇒ =
Vậy x = 6; y= 9; z = 12
Dạng 2 :Chứng minh liên quan đến dãy tỉ số bằng nhau
1)Các phương pháp:
Để chứng minh tỷ lệ thức :
a c
b d
= Ta có các phương pháp sau :
Phương pháp 1 : Chứng tỏ rằng: ad= bc .
Phương pháp 2 : Chứng tỏ 2 tỷ số ;
a c
b d
có cùng một giá trị nếu trong đề bài đã cho
trước một tỷ lệ thức ta đặt giá trị chung của các tỷ số tỷ lệ thức đã cho là k, từ đó tính
giá trị của mỗi tỷ số ở tỉ lệ thức phải chứng minh theo k.
6

7. Phương pháp 3: Dùng tính chất hoán vị , tính chất của dãy tỷ số bằng nhau, tính chất
của đẳng thức biến đổi tỷ số ở vế trái ( của tỉ lệ thức cần chứng minh) thành vế phải.
Phương pháp 4: Dùng tính chất hoán vị, tính chất của dãy tỷ số bằng nhau, tính chất
của đẳng thức để từ tỷ lệ thức đã cho biến đổi dần thành tỷ lệ thức phải chứng minh.
2) Bài tập:
Bài tập 1
(Bài 73/SGK-T14) Cho a, b, c, d khác 0 từ tỷ lệ thức:
a c
b d
= hãy suy ra tỷ lệ thức:
a b c d
a c
− −
= .
Giải:
- Cách 1: Xét tích
( )
( )
(1)
(2)
a b c ac bc
a c d ac ad
− = −
− = −
Từ (3)
a c
ad bc
b d
= ⇒ =
Từ (1), (2), (3) suy ra (a-b)c= a(c- d) suy ra
a b c d
a c
− −
=
- Cách 2: Đặt ,
a c
k a bk c dk
b d
= = ⇒ = =
Ta có:
( )
( )
1 1
(1),( 0)
1 1
(2),( 0)
b ka b bk b k
b
a bk bk k
d kc d dk d k
d
c dk dk k
−− − −
= = = ≠
−− − −
= = = ≠
Từ (1) và (2) suy ra:
a b c d
a c
− −
=
- Cách 3: từ
a c b d
b d a c
= ⇒ =
Ta có: 1 1
a b a b b d c d
a a a a c c
− −
= − = − = − =
Do đó:
a b c d
a c
− −
=
- Cách 4: Từ
a c a b a b
b d c d c d
−
= ⇒ = =
−
a a b a b c d
c c d a c
− − −
⇒ = ⇒ =
−
- Cách 5: từ
1 1
a c b d b d
b d a c a c
= ⇒ = ⇒ − = −
a b c d
a c
− −
⇒ =
Bằng cách chứng minh tương tự từ tỉ lệ thức
a c
b d
= ta có thể suy ra các tỉ lệ thức sau:
;
a b c d a b c d
b d a c
± ± + +
= =
(Tính chất này gọi là t/c tổng hoặc hiệu tỉ lệ)
Bài tập 2: chứng minh rằng nếu 2
a bc= thì
7

8. a)
2 2
2 2
; ) ,( 0)
a b c a a c c
b b
a b c a b a b
+ + +
= = ≠
− − +
(với a , )b a c≠ ≠
Lời giải:
a) - Cách 1: Xét tích chéo
- Cách 2: từ 2 a c
a bc
b a
= ⇒ =
Đặt ,
a c
k a bk c ak
b a
= = ⇒ = =
Ta có:
( )
( )
( )
1 1
, 0 (1)
1 1
b ka b bk b k
b
a b bk b b k k
++ + +
= = = ≠
− − − −
( )
( )
( )
1 1
0 ,(2)
1 1
a kc a ak a k
a
c a ak a a k k
++ + +
= = = ≠
− − − −
Từ (1) và (2) suy ra:
a b c a
a b c a
+ +
=
− −
- Cách 3: Ta có
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
2
2
,
, 0
a a ba b a ab bc ab
do a bc
a b a a b a ab bc ab
b c a c a
a b
b c a c a
++ + +
= = = =
− − − −
+ +
= = ≠
− −
Do đó:
a b c a
a b c b
+ +
=
− −
Ngược lại từ
a b c a
a b c b
+ +
=
− −
ta cũng suy ra được a2
= bc
Từ đó ta có bài toán cho
a b c a
a b c b
+ +
=
− −
chứng minh rằng nếu 3 số a, b, c đều khác 0 thì
từ 3 số a, b, c có 1 số được dùng 2 lần, có thể lập thành 1 tỉ lệ thức .
- Cách 4: Từ a2
= bc
a c a b a b a b
b a c a c a c a
a b c a
a b c a
+ −
= = ⇒ = = =
+ −
+ +
⇒ =
− −
b)
- Cách 1: xét tích chéo ( a2
+ c2
)b = a2
b + c2
b = bc.b + c2
b = bc (b +c)
= (b2
+ a2
)c = b2
c + a2
c = b2
c + bc.c= bc ( b+c)
Do đó (a2
+ c2
)b = ( b2
+ a2
)c
2 2
2 2
a c c
b a b
+
⇒ =
+
- Cách 2: Từ a2
= bc
a c
b a
⇒ =
Đặt
a c
k
b a
= = suy ra a = bk, c = ak = bk2
Ta có:
( )
( )
( )
2 2 22 2 2 2 2 4
2
2 2 2 2 2 2 2
1
, 0
1
b k ka c b k b k
k b
b a b b k b k
++ +
= = = ≠
+ + +
2
2c k b
k
b b
= =
8

9. Do đó:
2 2
2 2
a c c
b a b
+
=
+
- Cách 3: từ a2
= bc
a c
b a
⇒ =
2 2 2 2
2 2 2 2
(1)
a c a c
b a b a
+
⇒ = =
+
Từ
2
2
(2),( 0)
a c a a c c
a
b a b b a b
= ⇒ = × = ≠
Từ (1) và (2) suy ra:
2 2
2 2
a c c
b a b
+
=
+
- Cách 4: Ta có
( )
( )
( )
2 2 2
2 2 2
, 0
c b ca c bc c c
b c
b a b bc b b c b
++ +
= = = + ≠
+ + +
Do đó:
2 2
2 2
a c c
b a b
+
=
+
Bài tập 3: Cho 4 số khác 0 là 1 2 3 4, , ,a a a a thoả mãn 2 3
2 1 3 3 2 4;a a a a a a= = chứng tỏ
3 3 3
1 2 3 1
3 3 3
2 3 4 4
a a a a
a a a a
+ +
=
+ +
Giải: Từ
2 1 2
2 1 3
2 3
3 32
3 2 4
3 4
(1)
(2)
a a
a a a
a a
aa
a a a
a a
= ⇒ =
= ⇒ =
Từ (1) và (2) suy ra
33 3
3 3 31 2 1 2 1 2 1
3 3 3
2 3 4 2 3 4 2 3 4 4
(3)
a a aa a a a a a a
a a a a a a a a a a
= = ⇒ = = = × × =
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
3 3 3 33 3
3 1 2 31 2
3 3 3 3 3 3
2 3 4 2 3 4
(4)
a a a aa a
a a a a a a
+ +
= = =
+ +
Từ (3) và (4) suy ra:
3 3 3
1 2 3 1
3 3 3
2 3 4 4
a a a a
a a a a
+ +
=
+ +
Ta cũng có thể chuyển bài tập 3 thành bài tập sau:
Cho
1 2 4
2 3 4
a a a
a a a
= = chứng minh rằng
3
1 2 3 1
2 3 4 4
a a a a
a a a a
 + +
= ÷
+ + 
Bài tập 4: Biết
bz cy cx az ay bx
a b c
− − −
= =
Chứng minh rằng
x y z
a b c
= =
Giải: Ta có 2 2 2
bz cy cx az ay bx abz acy bcx baz cay cbx
a b c a b c
− − − − − −
= = = = =
2 2 2
0
abz acy bcx bay cay cbx
a b c
− + − + −
= =
+ +
2
0 (1)
abz acy y z
abz acy bz cy
a b c
−
⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =
9

10. 2
0 (2)
bcx baz z x
bcx baz cx az
b c a
−
= ⇒ = ⇒ = ⇒ =
Từ (1) và (2) suy ra:
x y z
a b c
= =
Bài tập 5: Cho
cba
z
cba
y
cba
x
+−
=
−+
=
++ 4422
. Chứng minh rằng
zyx
c
zyx
b
zyx
a
+−
=
++
=
++ 4422
(với 0≠abc và các mẫu đều khác 0)
Lời giải:
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có :
)1(
9
2
224442
2
224
2
4422 a
zyx
cbacbacba
zyx
cba
y
cba
z
cba
y
cba
x ++
=
−+++−+++
++
=
−+
=
+−
=
−+
=
++
)2(
9
2
)44(242
2
42
2
4422 b
zyx
cbacbacba
byx
cba
x
cba
z
cba
y
cba
x −+
=
+−−−++−+
−+
=
++
=
+−
=
−+
=
++
)3(
9
44
44)448(484
44
448
4
484
4
4422
c
zyx
cbacbacba
zyx
cba
y
cba
x
cba
z
cba
y
cba
x
+−
=
+−+−+−++
++
=
−+
=
++
=
+−
=
−+
=
++
Từ (1),(2),(3) suy ra
c
byx
b
zyx
a
zyx
9
44
9
2
9
2 +−
=
−+
=
++
suy ra
zyx
c
zyx
b
zyx
a
+−
=
++
=
++ 4422
Dạng 3: Toán chia tỉ lệ
1. Phương pháp giải
Bước 1:Dùng các chữ cái để biểu diễn các đại lượng chưa biết
Bước 2:Thành lập dãy tỉ số bằng nhau và các điều kiện
Bước 3:Tìm các số hạng chưa biết
Bước 4:Kết luận.
2. Bài tập
Bài tập 1. (Bài 76 SBT-T14): Tính độ dài các cạnh một tam giác biết chu vi là
22 cm và các cạnh của tam giác tỉ lệ với các số 2;4;5
Lời giải:
Gọi độ dài 3 cạnh của tam giác là a,b,c (cm,a,b,c 0> )
Vì chu vi của tam giác bằng 22 nên ta có a+b+c=22
Vì các cạnh của tam giác tỉ lệ với 2;4;5 nên ta có
542
cba
==
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ,ta có :
2
11
22
542542
==
++
++
===
cbacba
Suy ra
42
4
42
2
=→=
=→=
b
b
a
a
102
5
=→= c
c
10

11. Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn
Vậy độ dài ba cạnh của tam giác đó là 4cm,8cm,10cm
Có thể thay điều kiện ( 2) như sau : biết hiệu giữa cạnh lớn nhất và cạnh nhỏ
nhất bằng 3.Khi đó ta có được: c-a=3
Bài tập 2:
Ba lớp 7A,7B,7C cùng tham gia lao động trồng cây ,số cây mỗi lớp trồng được
tỉ lệ với các số 2;4;5 và 2 lần số cây của lớp 7A cộng với 4 lần số cây của lớp 7B thì
hơn số cây của lớp 7C là 119 cây.Tính số cây mỗi lớp trồng được.
Lời giải:
Gọi số cây trồng được của lớp 7A,7B,7C lần lượt là a,b,c (cây, a,b,c nguyên dương)
Theo bài ra ta có 7
17
119
5166
42
516
4
6
2
542
==
−+
−+
======
cbacbacba
Suy ra 27
3
=→= a
a
357
5
287
4
=→=
=→=
c
c
b
b
Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn
Vậy số cây trồng được của 3 lớp 7A,7B,7C lần lượt là 21cây,28cây,35cây
Bài tập 3: Tổng các luỹ thừa bậc ba của 3 số là -1009.Biết tỉ số giữa số thứ nhất và
số thứ hai là
3
2
,giữa số thứ hai và số thứ 3 là
9
4
.Tìm ba số đó.
Gọi 3 số phải tìm là a,b,c
Theo bài ra ta có
2 4
;
3 9
a a
b c
= = và 3 3 3
1009a b c+ + = −
Giải tiếp ta được a=-4 , b=-6, c=- 9
Bài tập 4: Ba kho thóc có tất cả 710 tấn thóc, sau khi chuyển đi 1
5
số thóc ở kho I, 1
6
số thóc ở kho II và
1
11
số thóc ở kho III thì số thóc còn lại của 3 kho bằng nhau .Hỏi
lúc đầu mỗi kho có bao nhiêu tấn thóc
Lời giải:
Gọi số thóc của 3 kho I,II,III lúc đầu lần lượt là a, b, c (tấn, a, b, c>0)
Số thóc của kho I sau khi chuyển là
1 4
5 5
a a a− =
Số thóc của kho II sau khi chuyển là
1 5
6 6
b b b− =
Số thóc của kho III sau khi chuyển là
1 10
11 11
c c c− =
theo bài ra ta có
4 5 10
5 6 11
a b c= = và a+b+c=710
từ
4 5 10 4 5 10
5 6 11 5.20 6.20 11.20
a b c a b
c
= = ⇒ = =
710
10
25 24 22 25 24 22 71
a b c a b c+ +
⇒ = = = = =
+ +
Suy ra a=25.10=250; b=24.10=240 ; c=22.10=220.
Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn
11

12. Vậy số thóc lúc đầu của của kho I, II, III lần lượt là 250tấn , 240 tấn, 220 tấn.
Bài tập 3: Trong một đợt lao động ba khối 7,8,9 chuyển được 912 3
m
đất, trung bình mỗi học sinh khối 7, 8, 9theo thứ tự làm được 3 3 3
1,2 ;1,4 ;1,6m m m
Số học sinh khối 7 và khối 8 tỉ lệ với 1 và 3 ; số học sinh khối 8 và khố 9 tỉ lệ với 4
và 5. Tính số học sinh của mỗi khối.
Lời giải:
Gọi số học sinh của khối 7,8,9 lần lượt là a,b,c(h/s)(a,b,c là số nguyên dương)
Số đất khối 7 chuyển được là 1,2a
Số đất khối 8 chuyển được là 1,4b
Số đất khối 9 chuyển được là 1,6c
Theo bài rat a có ;
1 3 4 5
a b b c
= =
Và 1,2a +1,4b + 1,6c = 912 giải ra ta được a= 80, b= 240, c= 300
Thử lại các giá trên ta thấy thoả mãn
Vậy số học sinh của khối 7,8,9 lần lượt là 80 h/s,240h/s,300h/s
Dạng 4:Một số sai lầm thường gặp trong giải toán liên quan đến tỷ số bằng nhau
1) Sai lầm khi áp dụng tương tự
H/s áp dụng
.
.
x y x y
a b a b
= = hay
. .
. .
x y z x y z
a b c a b c
= = =
Bài tập 1: (Bài 62 - SGK/T31) tìm 2 số x,y biết rằng
2 5
x y
= và x.y=10
H/s sai lầm như sau :
. 10
1
2 5 2.5 10
x y x y
= = = = suy ra x=2,y=5
Bài làm đúng như sau:
Từ
2
2. . 10
4 2
2 5 2 5 2 5
x y x x x y x
x x= ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ± từ đó suy ra 5y = ±
vậy x= 2,y= 5 hoặc x=-2, y= -5
hoặc từ
2 2
2 210
. 1 4 2
2 5 4 2 5 4 10
x y x x y x
x x= ⇒ − ⇒ = = ⇒ = ⇒ = ±
hoặc đặt 2 , 5
2 5
x y
x x x y x= = ⇒ = = vì xy=10 nên 2x.5x=10 2
1 1x x⇒ = ⇒ = ±
Bài tập 2: Tìm các số x,y,z biết rằng
2 3 4
x y z
= = và x.y.z= 648
H/s sai lầm như sau
. . 648
27
2 3 4 2.3.4 24
x y z x y z
= = = = =
12

13. Suy ra a=54, b= 81, c= 108 bài làm đúng như bài tập 4 dạng 1
2)Sai lầm khi bỏ qua điều kiện khác 0
Khi rút gọn HS thường bỏ qua điều kiện số chia khác 0 dẫn đến thiếu giá trị
cần tìm
Bài tập 3: Cho 3 tỉ số bằng nhau là
a b c
b c c a a b
= =
+ + +
.
Tìm giá trị của mỗi tỷ số đó
Cách 1:Ta có
a b c
b c c a a b
= =
+ + +
áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có
( ) ( ) ( ) ( )2
a b c a b c a b c
b c c a a b b c c a a b a b c
+ + + +
= = = =
+ + + + + + + + + +
h/s thường bỏ quên đk a+b+c=0 mà rút gọn luôn bằng
1
2
ta phải làm như sau
+ Nếu a+b+c=0 thì b+c=-a; c+a= -b; a+b= -c
nên mỗi tỉ số ; ;
a b c
b c c a a b+ + +
đều bằng -1
+ Nếu a+b+c ≠ 0 khi đó ( )
1
2 2
a b c a b c
b c c a a b a b c
+ +
= = = =
+ + + + +
Cách 2: Cộng mỗi tỉ số trên với 1
Bài tập 4: Cho biểu thức
x y y z z t t x
P
z t t x x y z y
+ + + +
= + + +
+ + + +
Tính giá trị của P biết rằng (1)
x y z t
y z t z t x t x y x y z
= = =
+ + + + + + + +
Lời giải:
Cách 1: áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ,ta có
3( )
x y z t x y z t
y z t z t x t x y x y z x y z t
+ + +
= = = =
+ + + + + + + + + + +
Cách 2:Từ (1) suy ra 1 1 1 1
x y z t
x z t z t x t x y x y z
+ = + = + = +
+ + + + + + + +
13

14. x y z t x y z t x y z t x y z t
y z t z t x x y t x y z
+ + + + + + + + + + + +
→ = = =
+ + + + + + + +
Ở cách 1 học sinh mắc sai lầm như bài tập 3
Ở cách 2 học sinh mắc sai lầm suy ra luôn y+z+t=z+t+x=x+y+t=x+y+z
Phải làm đúng như sau :
Nếu x+y+z+t 0≠ suy ra y+z+t=z+t+x =x+y+t=x+y+z suy ra x=y=z=t suy ra P=4
Nếu x+y+z+t =0 →x+y=-(z+t);y+z=-(t+x).Khi đó P=-4
ở bài 3 và bài 4 đều có hai cách như nhau. Nhưng ở bài tập 3 nên dùng cách 1,bài tập
4 nên dùng cách 2
Bài tập tương tự :
1)Cho a,b,c là ba số khác 0 thoả mãn điều kiện
a b c b c a c a b
c a b
+ − + − + −
= =
.Hãy tính giá trị của biểu thức 1 1 1
b a c
B
a c b
   
= + + + ÷ ÷ ÷
   
2)Cho dãy tỉ số bằng nhau :
2 2 2 2a b c d a b c d a b c d a b c d
a b c d
+ + + + + + + + + + + +
= = =
Tìm giá trị của biểu thức M biết :
a b b c c d d a
M
c d d a a b b c
+ + + +
= + + +
+ + + +
Cần lưu ý rằng trong một dãy tỉ số bằng nhau nếu các số hạng trên bằng nhau (nhưng
khác 0) thì các số hạng dưới bằng nhau và ngược lại , nếu các số hạng dưới bằng
nhau thì các số hạng trên bằng nhau.
Bài tập 5(trích đề thi giáo viên giỏi 2004-2005) Một học sinh lớp 7 trình bày lời giải
bài toán “ Tìm x.ybiết:
2 1 3 2 2 3 1
5 7 6
x y x y
x
+ − + −
= = ” như sau:
Ta có:
2 1 3 2 2 3 1
5 7 6
x y x y
x
+ − + −
= = (1)
Từ hai tỷ số đầu ta có:
2 1 3 2 2 3 1
5 7 12
x y x y+ − + −
= = (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra
2 3 1
6
x y
x
+ − 2 3 1
12
x y+ −
= (3)
→ 6x = 12 → x = 2
Thay x = 2 vào 2 tỷ số đầu ta được y = 3
Thử lại thấy thoả mãn . Vậy x = 2 và y = 3 là các giá trị cần tìm
Lời giải :Học sinh trên sai như sau
Từ (3) phải xét hai trường hợp
TH 1 : 2x+3y-1 0≠ .Khi đó ta mới suy ra 6x=12.Từ đó giải tiếp như trên
TH2 :2x+3y-1=0.Suy ra 2x=1-3y,thay vào hai tỉ số đầu, ta có
1 3 1 1 3 1 3 2
0
5 5 7
y y y− + − + + −
= =
+
Suy ra 2-3y =3y-2 =0
2
3
y→ = . Từ đó tìm tiếp
1
2
x = −
Bài tập 6: Tìm x,y biết :
1 2 1 4 1 6
(1)
18 24 6
y y y
x
+ + +
= =
Giải tương tự như bài tập 5 nhưng bài này chỉ có một trường hợp
14

15. 3.Sai lầm khi xét luỹ thừa bậc chẵn
Học sinh thường sai lầm nếu A2
=B2
suy ra A=B
Bài tập 7:Tìm x biết
1 60
15 1
x
x
− −
=
− −
Giải:
1 60
15 1
x
x
− −
=
− −
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
1 15 . 60 1 900x x⇒ − = − − ⇒ − =
h/s thường sai lầm khi suy ra x-1=30 suy ra x=31
phải suy ra 2 trường hợp x-1=30 hoặc x-1=-30 từ đó suy ra x=31 hoặc -29
Bài tập 8: Tìm các số x,y,z biết rằng :
2 3 4
x y z
= = và 2 2 2
2 3 5 405x y z+ − = −
Lời giải:
Đặt
2 3 4
x y z
= = =k suy ra x=2k, y=3k, z=4k
Từ 2 2 2
2 3 5 405x y z+ − = − suy ra ( ) ( ) ( )
2 2 2
2. 2 3 3 5 4 405k k k+ − = −
2 2 2
2
2
8 27 80 405
45 405
9
k k k
k
k
+ − = −
− = −
=
Học sinh thường mắc sai lầm suy ra k=3,mà phải suy ra 3k = ±
15