1. LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn
Dạng 7. Nguyên hàm dùng biến đổi vi phân
   → → +← ←   
   
2
2
x dx 1 x
d tan 1 tan dx
x2 2 2
2cos
2
Cách giải:
Xét nguyên hàm =
+ +∫1
Asin cos
dx
I
x B x C
Để tính nguyên hàm trên ta xét hai trường hợp:
Nếu ( )2 2 2 2 2 2 2 2
sin cos sin cos cos φC A B A x B x C A x B x A B A B x A B= ± + → + + = + ± + = + + ± +
Ở đây, ta đã biết phép biến đổi lượng giác
( )
( )
2 2
2 2
os α
Asin cos
os β
A B c x
x B x
A B c x
+ +
+ =
+ +
Khi đó
( ) ( )
2 2 2
1
2 2 2 2 2 2
2 2 2
1
α
2cos
21
1cos α 1cos α
α
2sin
2
dx
xA B
dx dx
I
dxxA B x A B A B
xA B
+ +
 
 
= = =
−+ ±+ + ± + +
+ +
 
 
∫
∫ ∫
∫
Nếu 2 2
C A B≠ ± + thì ta đặt
2
2
2
2
2
2
1 1 2
1 tan
2 2 2 1cos
2
2
tan sin
2 1
1
cos
1
dx x dt
dt dx dx
x t
x t
t x
t
t
x
t
 
= = + → = 
+ 
= → =
+
−
=
+
Thay vào ta tính được I1 là nguyên hàm theo ẩn t.
Chú ý: Một số công thức tính nhanh:
π π
sin x cos x 2 sin x 2 cos x
4 4
π π
3 sin x cos x 2sin x 2cos x
6 3
π π
sin x 3 cos x 2sin x 2cos x
3 6
   
+ = + = −   
   
   
+ = + = −   
   
   
− = − = − +   
   
Ví dụ 1. Tính các nguyên hàm sau:
a) 1
sin cos 2
dx
I
x x
=
+ +
∫ b) 2
3sin cos 2
dx
I
x x
=
− −
∫
c) 3
3sin cos 1
dx
I
x x
=
+ +∫ d) 4
sin cos 1
dx
I
x x
=
− −∫
Hướng dẫn giải:
a) 1
sin cos 2
dx
I
x x
=
+ +
∫
Ta có 2 2 1 1 π
1 1 2 sin cos 2 sin cos 2 cos .
42 2
x x x x x
   
+ = → + = + = −  
  
Tài liệu bài giảng:
07. NGUYÊN HÀM LƯỢNG GIÁC – P6
Thầy Đặng Việt Hùng

2. LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn
1
2 2
π
1 1 1 1 π2 8
tan .
π π π π 2 82 2 2 22 cos 2 1 cos 2cos 2cos
4 4 2 8 2 8
x
d
dx dx dx x
I C
x x
x x
 
− 
  = = = = = − + 
         − + + − − −       
       
∫ ∫ ∫ ∫
Vậy 1
1 π
tan .
2 82
x
I C
 
= − + 
 
Bình luận:
Trong nguyên hàm trên, ở biểu thức sinx + cosx ta thống nhất chuyển về hàm cos để sử dụng công thức lượng giác
2
2
a dx dx
1 cosa 2cos
a2 1 cosa 2cos
2
+ = → =
+∫ ∫
b) Ta có
3 1 π
3sin cos 2 sin cos 2cos .
2 2 3
x x x x x
   
− = − = − +       
2
2
π
1 1 1 π2 6
tan .
π π π2 2 2 2 63sin cos 2 2cos 2 1 cos cos
3 3 2 6
x
d
dx dx dx x
I C
xx x x x
 
+ 
  = = = − = − = − + + 
     − −  − + − + + +     
     
∫ ∫ ∫ ∫
c) Đặt 2
2
2
1 1 2
tan 1 tan
2 2 2 2 1cos
2
x dx x dt
t dt dx dx
x t
 
= ⇒ = = + → = 
+ 
Ta có
2
2 2
2 1
sin ; cos
1 1
t t
x x
t t
−
= =
+ +
Khi đó
2
3 2 2 2
2 2
2
2 2 1 (6 2) 1 11 ln 6 2 ln 6tan 2 .
6 1 6 1 1 6 2 3 6 2 3 3 2
1
1 1
++= = = = = + + = + +
− + − + + + +
+ +
+ +
∫ ∫ ∫ ∫
dt
dt dt d t xtI t C C
t t t t t t t
t t
d) Đặt 2
2
2
1 1 2
tan 1 tan
2 2 2 2 1cos
2
x dx x dt
t dt dx dx
x t
 
= ⇒ = = + → = 
+ 
Ta có
2
2 2
2 1
sin ; cos
1 1
t t
x x
t t
−
= =
+ +
Khi đó
2
4 2 2 2
2 2
2
21 ln ln tan .
sin cos 1 22 1 2 1 1
1
1 1
dt
dx dt dt xtI t C C
x x tt t t t t
t t
+= = = = = + = +
− − − − + − −
− −
+ +
∫ ∫ ∫ ∫
Ví dụ 2. Tính các nguyên hàm sau:
a) 1
3sin cos 3
=
− +∫
dx
I
x x
b) 2
2sin cos 2
=
− −∫
dx
I
x x
c) 3
sin 3cos 2
=
− +
∫
dx
I
x x
d) 4
1 sin
=
+∫
dx
I
x
Xét nguyên hàm
+ +
=
′ ′ ′+ +∫2
Asin cos
A sin cos
x B x C
I dx
x B x C
Với dạng nguyên hàm này ta sẽ sử dụng phương pháp đồng nhất như với nguyên hàm của hàm phân thức hữu tỉ đã xét
bằng việc phân tích:
( ) ( )cos sin sin cossin cos
sin cos sin cos
m A x B x n A x B x C pA x B x C
A x B x C A x B x C
′ ′ ′ ′ ′− + + + ++ +
=
′ ′ ′ ′ ′ ′+ + + +
Đồng nhất theo các hệ số của sinx và cosx ta được
A mB nA m
B mA nB n
C nC p p
′ ′= − + 
 
′ ′= + → 
 ′= + 
Từ đó ta được
( )
2
cos sinAsin cos
A sin cos sin cos sin cos
m A x B x dxx B x C dx
I dx n dx p
x B x C A x B x C A x B x C
′ ′−+ +
= = + + =
′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′+ + + + + +∫ ∫ ∫ ∫

3. LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn
ln sin cos
sin cos
dx
m A x B x C nx p
A x B x C
′ ′ ′= + + + +
′ ′ ′+ +∫
Ví dụ 3. Tính các nguyên hàm sau:
a) 1
sin 3cos 1
sin cos 2
x x
I dx
x x
+ −
=
+ +∫ b)
( )
2 2
7sin 5cos
3sin 4cos
x x
I dx
x x
−
=
+
∫
Hướng dẫn giải:
a) Ta có phân tích
1 1
sin 3cos 1 (cos sin ) (sin cos 2)
3 2
sin cos 2 sin cos 2
1 2 5
A B A
x x A x x B x x C
A B B
x x x x
B C C
= − + = 
+ − − + + + +  
= → = + ⇔ = 
+ + + +  − = + = − 
Từ đó 1
(cos sin ) 2(sin cos 2) 5 (cos sin )
2 5
sin cos 2 sin cos 2 sin cos 2
x x x x x x dx dx
I dx dx
x x x x x x
− + + + − −
= = + − =
+ + + + + +∫ ∫ ∫ ∫
(sin cos 2)
2 5 ln sin cos 2 2 5 .
sin cos 2
d x x
x J x x x J
x x
+ +
= + − = + + + −
+ +∫
Xét
sin cos 2
dx
J
x x
=
+ +∫ . Đặt
2
2
2
2
2
2
1 1 2
1 tan
2 2 2 1cos
2
2
tan sin
2 1
1
cos
1
dx x dt
dt dx dx
x t
x t
t x
t
t
x
t
 
= = + → = 
+ 
= → =
+
−
=
+
Khi đó
( )
( ) ( )
2
2 22 2 2 2
2 2
2
2 12 21
2 1sin cos 2 2 1 2 2 2 3 1 22
1 1
dt
d tdx dt dttJ
t tx x t t t t t t
t t
++= = = = = =
−+ + + − + + + + + ++ +
+ +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
1 1
tan 1 tan 1
2 1 2 2arctan 2 arctan ln sin cos 2 2 5 2 arctan .
2 2 2 2
x x
t
C C I x x x C
   
+ +   + 
= + = + → = + + + − +    
     
   
b) Ta có phân tích
( )
( ) ( )
( )
2 2
43
7 4 33cos 4sin 3sin 4cos7sin 5cos 25
5 3 4 13sin 4cos 3sin 4cos
25
A
A BA x x B x xx x
A Bx x x x B

= −= − +− + + − 
= → ⇔ 
− = ++ +   =

Từ đó ta có
( )
( ) ( )
( )
2 2 2
43 1
3cos 4sin 3sin 4cos
7sin 5cos 25 25
3sin 4cos 3sin 4cos
x x x x
x x
I dx dx
x x x x
− − + +
−
= = =
+ +
∫ ∫
( )
( )
( )
( )
2 2
3cos 4sin 3sin 4cos43 1 43 1
25 25 3sin 4cos 25 25 3sin 4cos3sin 4cos 3sin 4cos
x x dx d x xdx dx
dx
x x x xx x x x
− +
= − + = − + =
+ ++ +
∫ ∫ ∫ ∫
( )
43 1
.
25 3sin 4cos 25
J
x x
= +
+
Xét .
3sin 4cos
dx
J
x x
=
+∫ Đặt
2
2
2
2
2
2
1 1 2
1 tan
2 2 2 1cos
2
2
tan sin
2 1
1
cos
1
dx x dt
dt dx dx
x t
x t
t x
t
t
x
t
 
= = + → = 
+ 
= → =
+
−
=
+

4. LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Nguyên hàm – Tích phân
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH và Luyện giải đề để đạt 8 điểm Toán trở lên! www.moon.vn
2
2 2
2 2
2
1 (2 1) 2( 2)1
3sin 4cos (2 1)( 2) 5 (2 1)( 2)6 4(1 ) 2 3 2
1 1
dt
dx dt dt t ttJ dt
x x t t t tt t t t
t t
− − ++= = = = = − =
+ − + − +− + −
−
+ +
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
1 1
2tan 1
1 2 1 1 1 2 1 1 2ln 2 ln 2 ln 2 1 ln ln .
5 5 2 1 5 5 5 2 5 tan 2
2
x
dt t
t t t C C C
xt t
−
−
= − + + = − + + − + = + = +
− + +
∫
Vậy
( )2
2tan 1
43 1 2ln .
25 3sin 4cos 125 tan 2
2
x
I C
xx x
−
= + +
+ +
Ví dụ 4. Tính các nguyên hàm sau:
a) 1
8cos sin 3
3sin 2cos 3
− +
=
+ +∫
x x
I dx
x x
b) 2
5cos sin 2
sin cos 1
− +
=
+ +∫
x x
I dx
x x
c) 3 2
4sin 3cos 3
(2sin cos 2)
− +
=
+ +∫
x x
I dx
x x
b) 4
5sin 2
2sin cos 1
−
=
− −∫
x
I dx
x x
Ví dụ 5. Tính các nguyên hàm sau:
a) 1
sin 3cos 2
2sin cos 2
− +
=
− −∫
x x
I dx
x x
b) 2 2
4cos 3sin 2
(sin 2cos 2)
− +
=
+ +∫
x x
I dx
x x
c)
2
3
sin
sin cos
=
+∫
x
I dx
x x
d)
2
4
cos
sin 3cos
=
−
∫
x
I dx
x x
e) 5
sin cos 1
sin 2cos 3
− +
=
+ +∫
x x
I dx
x x
f) 6
sin 3cos 1
sin cos 2
+ −
=
+ +∫
x x
I dx
x x