Dokumen ini membahas tentang turunan parsial dan diferensial total dari fungsi dua variabel dalam matakuliah kalkulus. Terdapat pula contoh aplikasi dalam menghitung laju perubahan tekanan terhadap suhu berdasarkan hukum gas. Referensi yang digunakan termasuk buku karya James Stewart dan Purcell.

1. 1
TURUNAN PARSIAL
Matakuliah : Kalkulus Peubah Banyak
Tahun : 2015-2016
Prodi : T. Industri

2. Pada akhir pertemuan ini, diharapkan
mahasiswa mampu menentukan turunan
parsial dan diferensial total dari fungsi dua
variabel atau lebih
2

3. 3
Turunan Parsial Fungsi Dua Variabel

4. 4
2
0
2(1 )4 3(1 ) 8 3
lim
x
x x
x

    

2
0
8 8 3 6 3( ) 8 3
lim
x
x x x
x

     

4
2 2
( , ) 2 3
f x y xy x
 
Contoh:
(1,2) (1,2)
x y
Carilah f dan f dari fungsi
Jawab:
0
(1 ,2) (1,2)
(1,2) lim
x
x
f x f
f
x

 

2
0
14 3( )
lim
x
x x
x



0
lim (14 3 ) 14
x
x

  

5. 5
0
(1,2 ) (1,2)
(1,2) lim
y
y
f y f
f
y

 

2 2
0
2(1)(2 ) 3(1) 8 3
lim
y
y
y

   

2
0
8 8 2( ) 3 8 3
lim
x
y y
y

    

2
0
8 2( )
lim
y
y y
y



0
lim (8 2 ) 8
y
y

  

6. 2 2
2 2
:
( , ) 2 3
( , ) 2 6 (1,2) 2(2) 6(1) 14
( , ) 4 (1,2) 4(1)(2) 8
x x
y y
Yaitu
f x y xy x
f x y y x f
f x y xy f
 
     
   
6
Cara lain:
Menggunakan aturan dan rumus-rumus turunan
yang ada pada turunan fungsi satu variabel
(turunan biasa) untuk turunan parsial ke x variabel
y dianggap konstanta dan sebaliknya untuk
turunan parsial ke y variabel x dianggap konstanta,
kemudian mengganti nilai x dan y dengan nilai
yang diminta

7. 7
Contoh:

8. 8

9. 9
Contoh:

10. 10
Turunan Parsial Tingkat Tinggi

11. 11

12. 12

13. 13
Contoh Soal Aplikasi
1. Volume suatu gas tertentu dihubungkan terhadap suhunya 𝑇 dan
tekanannya 𝑃 menurut hukum gas 𝑃𝑉 = 10𝑇, dengan 𝑉 diukur
dalam meter kubik, 𝑃 dalam kg per meter kuadrat, dan 𝑇 dalam
derajat Celcius. Jika 𝑉 dijaga tetap konstan pada 50, berapakah
laju perubahan tekanan terhadap suhu ketika 𝑇 = 200?
Penyelesaian:
Karena 𝑃 =
10𝑇
𝑉
, maka
𝜕𝑃
𝜕𝑇
=
10
𝑉
. Sehingga diperoleh,
𝜕𝑃
𝜕𝑇 𝑇=200,𝑉=50
=
10
50
= 0,2
Jadi tekanan bertambah besar pada laju 0,2 kg per meter kubik per
derajat Celcius.

14. 14
Perluasan ke fungsi tiga variabel

15. 15

16. 16

17. 17

18. 18

19. 20
Referensi:
 James Stewart. (2003). Kalkulus. Edisi Keempat. Jilid 2. (terjemahan :
I Nyoman Susila dan Hendra Gunawan), Erlangga, Jakarta.
 Purcell, E.J Varberg, D. (2003). Kalkulus dan Geometri Analitis. Edisi
Kedelapan. Jilid 2. (terjemahan : I Nyoman Susila, Bana Kartasasmita
dan Rawuh), Erlangga, Jakarta.
 Bahan Ajar Kalkulus 3, Universitas Bina Nusantara