1. KETERBAGI
AN

2. KETERBAGIAN
Jika suatu bilangan bulat dibagi oleh bilangan
bulat lain yang bukan nol, maka hasil baginya
adalah bilangan bulat atau bukan bilangan bulat.
Contoh :
1. 30 habis dibagi 5, hasil baginya adalah 6. 6
adalag bilangan bulat.
2. 30 habis ddibagi 4, hasil baginya adalah 7,5.
7,5 bukan bilangan bulat.

3. DEFINISI 1
Suatu bilangan bulat b habus dibagi oleh suatu
bilangan bulat a tidak sama dengan 0, jika dan
hanya jika ada suatu bilangan bulat x sehingga b
= ax.
Notasi :
a|b dibaca a membagi b, b habis dibagi a, a
faktor b, atau b kelipatan a.
a|b dibaca a tidak membagi b, b tidak habis
dibagi a, a bukan faktor b, atau b bukan
ketipatan a.

4. Contoh :
1.
2.
4|12 sebab ada bilangan bulat 3, sehingga
12 = 4.3
9| 15 sebab tidak ada bilangan bulat
x, sehingga 15 = 9x

5. Sifat dasar dalam keterbagian :
(Z adalah himpunan bilangan
bulat)




1|a untuk setiap a Є Z karena ada a Є Z
sehingga a = 1.a
a|a untuk setiap a Є Z dan a tidak sama
dengan o karena ada 1 Є Z sehingga a = a.1
a|0 untuk setiap a Є Z dan a tidak sama
dengan 0 karena 0 Є Z sehingga 0 = a.0
Jika a|b, a tidak sama dengan 0, maka
kemungkinan hubungan antara a dan b adalah
a<b, a=b, atau a>b.

6. Dalil-dalil tentang keterbagian :
(Z adalah himpunan bilangan
bulat)





Dalil 1 : Jika a, b Є Z dan a|b, maka a|bc untuk
setiap c Є Z.
Dalil 2 : Jika a, b, c Є Z, a|b dan b| c maka a|c.
Dalil 3 : Jika a, b Є Z, a|b atau b|a, maka a = b
atau a = -b.
Dalil 4 : Jika a, b Є Z, a|b, b|a, a>0 dan b>0, maka
a = b.
Dalil 5 : Jika a, b Є Z, a|b dan a|c, maka a|b + c
dan a| b – c.

7. 




Dalil 6 : Jika a, b, c Є Z, a|b dan a|c, maka a|bx +
cy untuk semua x, y Є Z.
Dalil 7 : Jika a, b, c Є Z, a>0, b>0, dan a|b, maka
a = b.
Dalil 8 : a|b jika dan hanya jika ma|mb untuk
semua m Є Z, dan n m tidak sama dengan nol.
Dalil 9 : Jika a, b, c Є Z, a|b dan a|b +c, maka a|c.
Dalil 10 : Jika a, b Є Z dan a>0, maka ada
bilangan-bilangan q,r Є Z yang masing-masing
tunggal sehingga b = qa + r, 0 = r<a

8. DEFINISI 2
Jika a, b, q, r Є Z, b = aq + r dan 0 = r. Maka b
disebut bilangan yang dibagi (dividend), a
disebut bilangan pembagi (divisor), q disebut
bilangan hasil bagi (quotient), dan r disebut
bilangan sisa pembagian (remainder).

9. Ciri-ciri habis dibagi :



Habis dibagi 2. Setiap bilangan yang digit
terakhirnya adalah 0, 2, 4, 6, atau 8 pasti habis
dibagi dua.
Habis dibagi 3. Hal ini bisa diketahui dengan
menjumlahkan setiap digit dari angkanya. Jika
hasilnya habis dibagi 3, maka angka tadi juga
habis dibagi 3.
Habis dibagi 4. Ciri bilangan yang habis dibagi
4 adalah dua digit terakhir pada bilangan
tersebut habis dibagi 4.

10. 


Habis dibagi 5. Jika digit terakhir suatu
bilangan adalah 0 dan 5, maka bilangan itu
habis dibagi 5.
Habis dibagi 6. Enam memiliki 2 dan 3
sebagai faktornya. Maka bisa kita pastikan
bahwa bilangan yang habis dibagi 6 adalah
bilangan yang habis dibagi 2 dan 3.
Habis dibagi 7. Ambil digit terakhir lalu kalikan
dengan 2. Hasilnya Anda kurangkan dari digitdigit yang tersisa pada bilangan asal.

11. 



Habis dibagi 8. Lihat tiga digit terakhir, jika habis
dibagi 8 maka keseluruhan bilangan pun habis
dibagi 8.
Habis dibagi 9. Semua bilangan akan habis dibagi
9 jika jumlah digit-digitnya juka habis dibagi 9.
Habis dibagi 10. Semua bilangan yang digit
terakhirnya 0 habis dibagi 10.
Habis dibagi 11. Jumlahkan digit-digit pada posisi
ganjil (dimulai), lalu jumlahkan juga digit-digit
pada posisi genap. Jika selisihnya bisa dibagi 11,
maka bilangan itu pun habis dibagi 11.

12. 

Habis dibagi 12. 12 memiliki faktor 3 dan 4,
maka bilangan yang habis dibagi 12 adalah
bilangan yang habis dibagi 3 dan 4.
Habis dibagi 13. Ambil digit terakhir, dan
kalikan dengan 9. Kemudian kurangkan
hasilnya dengan digit yang tersisa. Jika
hasilnya habis dibagi 13, maka keseluruhan
bilangan pun habis dibagi 13.