Tailieu.vncty.com lv2010 sp-dinh_thingocminh

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
==========
ĐINH THỊ NGỌC MINH
PHÂN PHỐI GIÁ TRỊ
CỦA HÀM PHÂN HÌNH VÀ
ĐẠO HÀM CỦA NÓ
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60.46.01
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thái Nguyên - 2010

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
MỤC LỤC
LỜI NÓI ĐẦU .......................................................................................................1
Chương 1: Hai định lý cơ bản của Nevanlinna.......................................................3
1.1. Công thức Poison – Jensen..............................................................................3
1.1.1. Định lý..........................................................................................................3
1.1.2. Hệ quả...........................................................................................................6
1.2. Hàm đặc trưng – Định lý cơ bản thứ nhất........................................................7
1.2.1. Định nghĩa ....................................................................................................7
1.2.2. Một số tính chất đơn giản của hàm đặc trưng ...............................................9
1.2.3. Định lý cơ bản thứ nhất.................................................................................9
1.3. Định lý cơ bản thứ hai....................................................................................10
1.3.1. Định lý ( Bất đẳng thức cơ bản)..................................................................10
1.3.2. Bổ đề 1........................................................................................................11
1.3.3. Bổ đề 2........................................................................................................12
1.3.4. Định lý........................................................................................................16
1.3.5. Định nghĩa ..................................................................................................17
1.3.6. Định lý (Quan hệ số khuyết).......................................................................18
1.3.7. Định lý........................................................................................................20
Chương 2: Phân phối giá trị của hàm phân hình và đạo hàm của nó. ...................24
2.1. Sự phân phối giá trị của các hàm phân hình...................................................24
2.1.1. Định nghĩa ..................................................................................................24
2.1.2. Định lý (Milloux)........................................................................................24
2.1.3. Định lý........................................................................................................26
2.1.4. Định lý........................................................................................................28
2.1.5. Bổ đề:..........................................................................................................28
2.2. Phân phối giá trị của hàm phân hình và đạo hàm của nó ...............................32
2.2.8. Định lý........................................................................................................34
2.2.9. Định lý........................................................................................................36
KẾT LUẬN..........................................................................................................38
TÀI LIỆU THAM KHẢO....................................................................................39

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn1
LỜI NÓI ĐẦU
Lý thuyết phân phối giá trị các hàm phân hình (lý thuyết Nevanlinna )
là một trong những hướng nghiên cứu cơ bản của giải tích phức và vẫn đang
thu hút được sự quan tâm rộng rãi của các nhà toán học trên thế giới. Đề tài
luận văn thuộc hướng nghiên cứu nói trên, với mục đích trình bày một số kết
quả gần đây của lý thuyết phân phối giá trị.
Phân phối giá trị của hàm phân hình và đạo hàm của nó là vấn đề
không những được quan tâm trong giải tích phức mà còn có nhiều ứng dụng
trong nghiên cứu các vấn đề khác, chẳng hạn như phương trình vi phân.
Sau quá trình nghiên cứu, tôi đã hoàn thành luận văn với đề tài: “Phân
phối giá trị của hàm phân hình và đạo hàm của nó”. Luận văn gồm phần mở
đầu, hai chương nội dung, phần kết và danh mục tài liệu tham khảo.
Chương1: Trình bày định nghĩa các hàm đặc trưng, hai định lý cơ bản
của Nevanlinna,...
Chương2: Trình bày định nghĩa, định lý, một số kết quả của Milloux và
vấn đề chính của luận văn: Phân phối giá trị của hàm phân hình và đạo hàm
của nó.
Kết quả này có được là nhờ sự hướng dẫn tận tình của GS. TSKH Hà
Huy Khoái. Thầy không chỉ tận tình hướng dẫn mà còn động viên tôi trong
suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Nhân dịp này em xin gửi
lời cảm ơn sâu sắc tới thầy!
Đồng thời, em cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong hội đồng
bảo vệ luận văn thạc sỹ đã tạo điều kiện thuận lợi để em vững tin hơn trong
việc chuẩn bị bảo vệ luận văn của mình.
Xin chân thành cảm ơn Đại học Thái Nguyên, Đại học Sư phạm, Khoa
sau đại học của Đại học Sư phạm, Khoa toán cùng các thầy cô giáo đã tạo

điều kiện tốt nhất cho em học tập cũng như nghiên cứu và hoàn thành luận
văn của mình.
Xin cảm ơn các anh, chị , các bạn học viên lớp cao học Toán_K16 Đại
học Sư phạm Thái Nguyên đã giúp đỡ, chia sẻ kinh nghiệm cùng tôi trong
suốt thời gian viết luận văn.
Tôi xin chân thành cảm ơn gia đình và bạn bè đã cổ vũ, động viên tôi trong
quá trình làm luận văn.
Mặc dù đã rất cố gắng nhưng chắc chắn luận văn sẽ không tránh khỏi
những thiếu sót, vì vậy rất mong được sự đóng góp ý kiến của thầy cô giáo,
các bạn đồng nghiệp, các bạn học viên để luận văn được hoàn chỉnh hơn.

Chương 1
Hai định lý cơ bản của Nevanlinna
1.1. Công thức Poison – Jensen
1.1.1. Định lý
Giả sử  f z là hàm phân hình trong hình tròn  z R , 0 R   , có
các không điểm  1,2,...,a M   ; các cực điểm  1,2,...,b N   trong hình
tròn đó( mỗi không điểm hoặc cực điểm được tính một số lần bằng bội của
nó).
Khi đó, nếu    ; 0 , 0,i
z re r R f z
    ; ta có:
     
   
2 2 2
2 2
0
2 2
1 1
1
log log
2 2 cos
log log .
i
M N
R r
f z f Re d
R Rr r
R z a R z b
R a z R b z


 
  

  
 


  
 
 
 

 
Chứng minh.
+ Bước 1: Trước tiên, giả sử rằng hàm  f z không có không điểm và
cực điểm trong  z R . Ta chứng minh công thức cho trường hợp 0z  .
Theo giả thiết  f z chỉnh hình và khác 0 trong  z R nên  log f z là hàm
chỉnh hình trong hình tròn đó. Theo định lý Cauchy ta có:
     
2
0
1 1
log 0 log log Re
2 2
i
z R
dz
f f z f d
i z



 
   .
Lấy phần thực hai vế ta được:
   
2
0
1
log 0 log Re
2
i
f f d




  .

+ Bước 2: Xét trường hợp , 0.i
z re r
 
Theo công thức Cauchy ta có:
   
1
log log .
2 R
d
f z f
i z


 


Mặt khác, do điểm
2
R
z
có môđun
2 2
R R
R
z r
  nên điểm đó nằm ngoài hình
tròn, do đó:
  2
1
log 0.
2 R
d
f
Ri
z








Từ đó ta có:
   
 
 
  
2
22
2
1 1 1
log log
2
1
log .
2
R
R
f z f d
Ri z
z
R z
f d
i z R z


 
 

 
  


 
 
  
 
  


 


Thay Re , iRe ,i i
d d 
   
     2 2 2
Re 2 cos .i
R z z R Rr r
        
Ta được:
     
2 2 2
2 2
0
1
log log Re .
2 2 cos
i R r
f z f d
R Rr r



  


  
Lấy phần thực hai vế ta được công thức cần chứng minh đối với trường hợp
hàm  f z chỉnh hình và khác không.
+ Bước 3: Giả sử  f z không có không điểm và cực điểm trong
 R  nhưng có thể có không điểm và cực điểm trên biên R  .

(*) Nhận xét:  f z chỉ có hữu hạn không điểm, cực điểm trên biên.
Chứng minh. Giả sử  f z có vô hạn không điểm, cực điểm trên R  .
Do R  compact, tồn tại 0 là điểm giới hạn của tập hợp các không điểm
suy ra 0f  .
(+) Giả sử  f z có vô hạn cực điểm trên  n
 0 : 0lim kn
k
 

 . Do các kn là các cực điểm.
Suy ra 0 là bất thường cốt yếu   f  không phân hình.
Giả sử 0 là một không điểm hoặc cực điểm cấp k trong lân cận 0 ;  f  có
khai triển:
       0 ;f g g      chỉnh hình khác 0 trong lân cận 0 ;
  0log logf    trong lân cận 0 .
Với mỗi 0 là không điểm, cực điểm, ta vẽ vòng tròn tâm 0 bán kính
0  đủ nhỏ.
Xét C : Hợp các cung tròn bán kính  nằm bên trong  R  thay tích
phân trên C, R  tại lân cận 0 bởi cung C .
Suy ra trên chu tuyến mới  f z không có không điểm, cực điểm.
Áp dụng được bước 2.
Tích phân trên chu tuyến mới khác tích phân trên  C R  một đại lượng
là:    
1 1
log 2 0 log
2 2r
   
 
   ,
log 0   khi 0  .
Vậy cho 0  ta được công thức cần chứng minh.
+ Bước 4: Trường hợp tổng quát.
Với các giả thiết như trong định lý ta đặt:

   
 
 
2
1
2
1
,
N
M
R b
R b
f
R a
R a

 

 


  











dễ thấy   0,    bên trong hình tròn R  , nên ta áp dụng được công
thức đã chứng minh trong bước 3.
Mặt khác, các hàm trong hai dấu tích chính là các hàm thực hiện ánh xạ hình
tròn R  lên hình tròn đơn vị, nên môđun của chúng bằng 1 khi R  .
Từ đó, nếu Rei
  thì    f   .
Ta có:
     
2 2 2
2 2
0
1
log log Re .
2 2 cos
i R r
z f d
R Rr r


 
  


  
Từ công thức của hàm    ta được công thức Poisson-Jensen cho trường
hợp tổng quát.
1.1.2. Hệ quả
Trong những giả thiết của Định lý, đồng thời nếu  0 0,f  , ta có:
   
2
1 10
1
log 0 log Re log log .
2
M N
i
a b
f f d
R R

 
 

  
   
Khi  0 0f  hoặc  công thức trên thay đổi chút ít. Thật vậy, nếu  0 0f 
hoặc  0f   hàm  f z có khai triển tại lân cận 0z  dạng:
   ...f z C z
    .
Xét hàm  
 R f z
z
z


  .
Ta thấy  0 0,  , đồng thời khi    Re ,i
f
     . Từ đó ta có:

 
2
1 10
1
log log Re log log log
2
M N
i
a b
C f d R
R R

 

 
 
  
     .
(*) Nhận xét: Giả sử  f z là hàm phân hình trong một miền G nào đó. Ta gọi
cấp của hàm  f z tại điểm 0z G , ký hiệu 0zord f , là số nguyên m sao cho
hàm  
 
 0
m
f z
g z
z z


chỉnh hình và khác không tại 0z .
(*) Ví dụ:
(1) 0z là 0 điểm cấp k của  f z   0zord 0f k k  .
(2) 0z là cực điểm cấp k của  f z  0zord f k  .
(3) Tại 0z hàm  f z chỉnh hình, khác 0  0zord 0f  .
Công thức Poisson – Jensen có thể viết dưới dạng:
       
222
2 2
0
1
log log Re ord log
2 Re
i
i
R z R z
f z f f
R zz





 
 
 

 ,
trong đó tổng lấy theo mọi  trong hình tròn  R  .
1.2. Hàm đặc trưng – Định lý cơ bản thứ nhất
1.2.1. Định nghĩa
Giả sử x là số thực dương, ta định nghĩa:
 log ax 0;logxx m

Ta có:
1
log log logx x
x
 
  ,
vì: 1:log 0 log logx x x x
   
1 1
log 0 log 0
x x

   .

0 1:log 0 log 0
1 1 1
log 0 log log log .
x x x
x
x x x


    
    
Như vậy, ta có:
   
 
2 2 2
0 0 0
1 1 1 1
log Re log Re log
2 2 2 Re
i i
i
f d f d d
f
  
 

  
  
 
    .
Đặt    
2
0
1
, log Re
2
i
m R f f d





  .
Giả sử f có các cực điểm  1,vb v n (mỗi cực điểm được tính một số lần
bằng bậc của nó), và các không điểm  1,a M   trong    ; ,z R n t f là
số cực điểm của f trong  z t .
Đặt    
1 0
, log ,
RN
v v
R dt
N R f n t f
b t
   .
Như vậy,
1 0
1 1
, log ,
RM
R dt
N R n t
f f ta 
   
    
   
  .
Khi đó công thức Poisson – Jensen được viết dưới dạng:
     
1 1
log 0 , , , ,f m R f m R N R f N R
f f
   
      
   
     
1 1
, , , , log 0m R f N R f m R N R f
f f
   
       
   
.
Đặt      , , ,T R f m R f N R f  , (1.1)
thì    
1
, , log 0T R f T R f
f
 
  
 
. (1.2)

 ,T R f được gọi là hàm đặc trưng Nevanlinna của f.
1.2.2. Một số tính chất đơn giản của hàm đặc trưng
Giả sử    1 ,..., nf z f z là các hàm phân hình, ta có các bất đẳng thức
sau đây:
(1)    
1 1
, , log
l l
k k
k k
m r f z m r f l
 
 
  
 
  .
(2)    
11
, ,
l l
k k
kk
m r f z m r f

 
 
 
 .
(3)  
1 1
, ,
l l
k k
k k
N r f N r f
 
 
 
 
  .
(4)  
11
, ,
l l
k k
kk
N r f N r f

 
 
 
 .
(5)  
1 1
, , log
l l
k k
k k
T r f T r f l
 
 
  
 
  .
(6)  
11
, ,
l l
k k
kk
T r f T r f

 
 
 
 .
Đặc biệt, với mọi hàm phân hình  f z và mọi a C ta có:
   , , log log2T r f T r f a a
    . (1.3)
1.2.3. Định lý cơ bản thứ nhất
Giả sử  f z là hàm phân hình trong hình tròn  , 0,z R R a  là số
phức tùy ý. Khi đó ta có:
     
1 1
, , , log 0 , ,m R N R T R f f a a R
f a f a

   
           
trong đó  , log log2a R a 
  .
Chứng minh.

Thật vậy, từ (1.1) và (1.2) ta có:
   
1 1 1
, , , , log 0m R N R T R T R f a f a
f a f a f a
     
                 
.
Từ (1.3) ta nhận được đẳng thức cần chứng minh.
(*) Nhận xét :
Từ định nghĩa các hàm Nevanlinna ta thấy rõ ý nghĩa của định lý cơ
bản thứ nhất. Hàm đếm
1
,N R
f a
 
  
được cho bởi công thức :
1
1
, log
M
R
N R
f a a 
 
  
 ,
trong đó a là các nghiệm của phương trình  f z a trong hình tròn z R .
Hàm xấp xỉ
 
2
0
1 1 1
, log
2 Rei
m R d
f a f a




 
 
  
 .
Như vậy, nếu f nhận càng nhiều giá trị gần a (tức là  Rei
f a
 nhỏ) thì hàm
m càng lớn. Như vậy có thể nói tổng trong vế trái của định lý cơ bản thứ nhất
là hàm ‘‘đo độ lớn của tập hợp nghiệm phương trình  f z a ’’ và ‘‘độ lớn
tập hợp tại đó  f z nhận giá trị gần bằng a’’. Trong khi đó vế phải của đẳng
thức trong định lý cơ bản có thể xem là không phụ thuộc a.
Vì thế định lý cơ bản thứ nhất cho thấy rằng hàm phân hình  f z nhận
mỗi giá trị a (và giá trị gần a ) một số lần như nhau.
1.3. Định lý cơ bản thứ hai
1.3.1. Định lý ( Bất đẳng thức cơ bản)
Giả sử  f z là hàm phân hình khác hằng số trong hình tròn  z r ;
1,..., ; 2qa a q  , là các số phức phân biệt. Khi đó ta có:

         1
1
, , 2 ,
q
v
v
m r m r a T r f N r S r

     ,
trong đó  1 0N r  , được cho bởi:
     1
1
, 2 , , '
'
N r N r N r f N r f
f
 
   
 
,
 
 1
' 3 1
, log log2 log
' 0
q
v v
f q
S r m r q
f a f


 
    
 
 ,
1
min 0.v
v q
a a


  
  
( Để đơn giản ta giả thiết:  ' 0 0,f  ).
Để chứng minh bất đẳng thức cơ bản trên ta chứng minh một số bổ đề
sau.
1.3.2. Bổ đề 1
Giả sử  g z là hàm phân hình trong hình tròn    , 0 0,z r g  
khi đó ta có:
 
 
 
2
0
1 1 1
, , log log 0
2 i
N r g N r d g
g g re




 
   
 
 .
Chứng minh.
     
1 1 1
, , , , , ,N r g N r T r g m r g T r m r
g g g
      
             
      
   
1 1
, , , ,T r g T r m r g m r
g g
      
         
      
 
 
 
2 2
0 0
1 1 1 1
log log log
0 2 2
i
i
g re d d
g g re
 


 
 
 
 
   
 
 
 

 
 
2
0
1 1
log log
0 2
i
g re d
g




   .
Đặt  
1
1q
v v
F z
f a


 .
1.3.3. Bổ đề 2
Với các giả thiết của định lý, ta có:
   
1
1 3
log log log log2. *
q
q
F z q
f a  
  

  


Chứng minh.
+ Nếu với mọi  ,
3
f a
q


  thì (*) đúng.
Thật vậy với mọi  ta có :
1
1 3 1 3
log log
q
q q
q
f a f a  
 

  
 
 .
 Vế phải của (*) 0
+ Giả sử tồn tại v :
3
vf a
q

  .
Nếu tồn tại  thỏa mãn thì v là duy nhất. Vì nếu ngược lại: ;
3
vf a
q

 
.
3
f a
q


 

2
3
va a
q


   . (vô lý)
Với mọi ;
3
v f a
q


    ,
2
3 3
v vf a a a f a
q
 
 
        .


1 3 1 3 1 1
2 2 2 v
q
q q f af a  
 

.
13
2 2
3
vf a q
qf a



 

.
 
1
1 1 1q
v vv v
F z
f a f a f a  
  
  
 
=
1 1 1 1
1 1
2 2
v
v v v
f a q
f a f a q f af a
   
            
 .
 
1
1 1 1
log log log2 log log log2
q
vv
F z
f a f a f a  
   
 
    
  
 
 
1
1 3
log 1 log log2
q
q
q
f a  
 

   


1
1 3
log log log2
q
q
q
f a  
 

  

 .
(*) Chứng minh định lý:
Lấy
2
0
1
2
d


  hai vế ta được:
 
2 2
10 0
1 1 1 3
log log log log2
2 2
q
i q
F re d d q
f a
 

 
 
  
 

  

  .
   
1
3
, , log log2
q
v
v
q
m r F m r a q



   .
   
1
3
, , log log2
q
v
v
q
m r a m r F q



   .

 
1
1
, ; . . '.
'
1 '
, , , .
'
q
v v
f
m r F m r f F
f f
f f
m r m r m r
f f f a
 
  
 
    
       
     

 
1 1 1
, , ,
1 1
, log 0 , .
m r T r N r
f f f
T r f N r
f f
     
      
     
   
     
   
, , ,
' ' '
f f f
m r T r N r
f f f
     
      
     
 
 
0
, log ,
' ' 0 '
ff f
T r N r
f f f
   
     
   
 
 
0' '
, , , log
' ' 0
ff f f
m r N r N r
f f f f
     
        
     
.
Từ bổ đề một ta có:
 
 
 
 
2
0
' 0' 1
, , log log
' 2 0'
i
i
f re ff f
N r N r d
f f ff re




   
     
   
 .
     
1 '
, , log 0 , ,
f
m r F T r f f N r m r
f f
   
      
   
 
 1
0'
, log
' 0
q
v v
ff
m r
f a f
 
  
 

 
 
 
 
2
0
' 01
log log
2 0'
i
i
f re f
d
ff re




  .
       
1
3
, , , , log log2
q
v
v
q
m r m r a m r m r F q



      

     
 
 
2
10
1 '
, , log 0 , ,
1 ' 3
log , log log2
2 '
i q
i
v v
f
m r T r f f N r m r
f f
f re f q
d m r q
f af re



 


   
        
   
 
    
 

   
2 2
0 0
1 1
log log '
2 2
i i
f re d f re d
 
 
 
 
  
   
1 1
, , , , '
'
N r N r f N r N r f
f f
    
       
    
.
Vậy:
         
1
, , 2 , , log 0
q
v
v
m r m r a T r f N r f f

    
     
     
1 1
, log ' 0 , ,
1
log 0 , , ' log ' 0
'
N r S r f N r N r f
f f
f N r N r f f
f
   
       
   
 
    
 
       
     1
1
2 , , 2 , , '
'
2 , ,
T r f N r N r f N r f S r
f
T r f N r S r
  
      
  
  
trong đó,      1
1
, 2 , , '
'
N r N r N r f N r f
f
 
   
 
.
Định lý được chứng minh.
(*) Nhận xét:
Có thể chỉ ra rằng  1 0N r  . Thật vậy, giả sử b là một cực điểm cấp k
của hàm  f z trong đĩa  z r .

Khi đó đại lượng log
r
b
được tính k lần trong tổng  ,N r f . Mặt khác, b là
cực điểm cấp  1k  của đạo hàm  'f z . Do đó, đại lượng log
r
b
được tính
 1k  lần trong tổng  , 'N r f . Từ đó suy ra:    2 , , ' 0N r f N r f 
Từ bất đẳng thức cơ bản ta có Định lý cơ bản thứ hai của Nevanlinna.
1.3.4. Định lý
Giả sử r là một số thực dương,  f z là hàm phân hình trong ;
1,..., qa a là các số phức phân biệt. Khi đó ta có:
           1
1
1 , , ,
q
v
v
q T r f N r a N r N r S r

      ,
trong đó:
     
    
1
1
, 2 , , ' .
'
log , log .
N r N r N r f N r f
f
S r o T r f r
 
   
 
 
Chứng minh.
Từ bất đẳng thức cơ bản ta có:
         1
1
, , 2 ,
q
v
v
m r m r a T r f N r S r

     .
Cộng vào hai vế đại lượng    
1
, ,
q
v
v
N r N r a

   ta có:
       
         
1
1
, , , ,
2 , , ,
q
v v
v
q
v
v
N r m r m r a N r a
T r f N r N r a N r S r


         
     


Từ Định lý cơ bản thứ nhất, ta thấy với mọi 1,2,...,v q ;

       , , , 1v vm r a N r a T r f O   .
Từ đó suy ra:
             1
1
1 , 2 , , ,
q
v
v
q T r f T r f N r a N r N r S r

       .
Tức là:
           1
1
1 , , ,
q
v
v

      .
Giả sử  f z là hàm phân hình trên mặt phẳng phức  , a , ta đặt.
   
 
 
 
 
, ,
, lim 1 lim
, ,
m r a N r a
a a f
T r f T r f
     .
 , log
r
N r f
b
  ; tổng lấy theo mọi cực điểm b của hàm, b r ; đồng thời
mỗi cực điểm chỉ được tính một lần.
   
 
 
,
, 1 lim
,
N r a
a a f
T r f
     .
   
   
 
, ,
, lim
,
N r a N r a
a a f
T r f
 

  .
 a được gọi là số khuyết của giá trị a.
 a được gọi là chỉ số bội của giá trị a.

1.3.6. Định lý (Quan hệ số khuyết)
Giả sử  f z là hàm phân hình trên  , khi đó tập hợp các giá trị a mà
  0a  cùng lắm là đếm được, đồng thời ta có:
    
   
  2
a a
a a a 
     
     
.
Chứng minh.
Từ định nghĩa suy ra rằng:      a a a    .
Chọn dãy  ,n nr r  sao cho     log ,n nS r O T r f .
Từ Định lý cơ bản thứ hai, với mọi tập hợp gồm q số phức phân biệt
1 2, ,..., qa a a ta có:
            1
1
1 , , , log ,
q
n n v n n n
v
q T r f N r a N r N r O T r f

     
          
1
1
, , 2 , , ' , log ,
'
q
n v n n n n n
v
N r a N r N r N r f N r O T r f
f
 
        
 

        '
1
1
, , , ' , log ,
q
n v n n n n
v
N r a N r f N r f N r O T r f
f
 
     
 
 .
Bất đẳng thức trên có thể viết lại như sau:
         
1
1
1 1 , , , ' , ,
q
n v n n n
v
q O T r f N r a N r f N r f N r
f
 
         
 
 .
Nếu b là một cực điểm cấp k của hàm  f z trong  nz r thì đại lượng
log nr
b
tham gia k lần trong công thức tính  ,nN r  , đồng thời do b là cực
điểm của  'f z cấp  1k  nên đại lượng đó tham gia  1k  lần trong công
thức tính  , 'nN r f . Từ đó, suy ra:
     , ' , ,n n nN r f N r N r    .

Mặt khác, giả sử b là nghiệm bội k của phương trình:   vf z a với v nào đó
1 v q  .
Khi đó, đại lượng log nr
b
tham gia k lần trong công thức tính tổng
 
1
,
q
n v
v
N r a

 .
Vì b là không điểm cấp  1k  của hàm  'f z nên nó là cực điểm cấp  1k 
của hàm
1
'f
. Do đó, tham gia  1k  lần vào công thức tính tổng
1
,
'
N r
f
 
 
 
.
Từ đó, ta có:
     0
1 1
1
, , , '
'
q q
n v n n v
v v
N r a N r N r a N f
f 
 
   
 
  ,
với  0 'N f là tổng có dạng log nr
b
 lấy theo mọi không điểm b của 'f mà
không là nghiệm của bất kỳ phương trình   vf z a nào, 1 v q  .
Suy ra,    
1 1
1
, , ,
'
q q
n v n n v
v v
N r a N r N r a
f 
 
  
 
  .
Ta có:
       
1
1 1 , , ,
q
n n v n
v
q O T r f N r a N r

         .
Chia hai vế cho  ,nT r f ta được:
 
 
 
 
 1
, ,
1 1
, ,
q
n v n
v n n
N r a N r
q O
T r f T r f

    .
Cho n  ta suy ra:
    1
1 1 1
q
v
v
q a

            .

Tức là:    
1
2
q
v
v
a

     .
Ta cần chứng minh tồn tại tập hợp các giá trị a sao cho   0a  , cùng lắm là
đếm được, đồng thời
 
  2
a
a
  
 
.
    
1
1
0
n
A a a a a
n


 
      
 
 .
Tập hợp  
1
a a
n
 
  
 
có không quá 2n phần tử.
Suy ra, A cùng lắm là đếm được.
Vậy
 
  2
a
a
  
 
.
1.3.7. Định lý
Giả sử ,f g là các hàm phân hình khác hằng số sao cho tồn tại 5 điểm
1 2 3 4 5, , , ,a a a a a để    1 1
; 1,5j jf a g a j 
  . Khi đó, f g hoặc ,f g là
hằng số.
(*) Nhận xét: Số 5 không thể giảm.
Ví dụ:
1 2 3 4; ; 0; 1; 1;z z
f e g e a a a a
       ,
   1 1
j jf a g a 
 nhưng f g .
Chứng minh.
Giả sử tồn tại 1 2 3 4 5, , , ,a a a a a ,
     , 1,5j jz f z a z g z a j    .
Đặt     1 1
, , , , .j j
j j
N r N r f a N r N r
f a g a
   
            

Mà
1
, log
j
r
N r
f a b
 
   
 .
(b là nghiệm của phương trình  f z a chỉ tính một lần).
Theo giả thiết:     jf z a g z a   .
Suy ra,
1 1
, ,
j j
N r N r
f a g a
   
          
.
Định lý cơ bản thứ 2, áp dụng cho 1 2 3 4 5; , , , , .f a a a a a
           
     
    
           
       
1
1
1
5
1
5
1
1 , , , ,
1
, 2 , , ' ,
'
, .
1
4 , , , , 2 , ,
'
1
, , , ' , .
'
q
v
v
j
j
j
j
N r N r N r f N r f
f
S r O T r f
T r f N r a N r N r N r f N r f S r
f
N r a N r N r f N r f S r
f



     
 
   
 

 
       
 
 
     
 



Xét  
5
1
1
, ,
'
j
j
N r a N r
f
 
  
 
 ,
 
5
1
, j
j
N r a

 chứa các số dạng log
r
b
, trong đó b là một trong các nghiệm của
phương trình jf a .
Giả sử, b là nghiệm bội k của phương trình jf a với j nào đó.
Suy ra, tham gia  1k  lần trong
1
, log
'
r
N r
f b
 
 
 
tham gia một lần.
     
5 5
0
1 1
1
, , , ' ,
'
j j
j j
N r a N r N r a N f
f 
 
    
 
 

trong đó  0 'N f là tổng tính theo các nghiệm của ' 0f  mà không là
nghiệm của jf a .
     
5 5 5
1 1 1
1
, , , .
'
j j j
j j j
N r a N r N r a N r
f  
 
    
 
  
Xét    , ' ,N r f N r f : Mỗi cực điểm cấp k của f là cực điểm cấp 1k  của
'f . Suy ra:
     
       
     
      
        
5
1
5
1
5
1
5
1
, ' , , .
4 , ,
,
, , .
3 1 , . *
j
j
j
j
j
j
j
j
N r f N r f N r f
T r f N r N r f S r
N r T r f S r
N r T r f O T r f
O T r f N r




 
   
  
  
 




Tương tự với hàm g, ta cũng có:
        
5
1
3 1 , . **j
j
O T r g N r

  
Giả sử
1
f g
f g
 

là hàm phân hình.
Theo định lý cơ bản thứ nhất, ta có:
   
     
1
, , 1
, , 1 .
T r T r f g O
f g
T r f T r g O
 
    
  

Mặt khác:
 
5
1
1 1
, , j
j
T r N r N r
f g f g 
   
        
 ,
( vì nếu số hạng log
r
b
được tính trong  jN r thì   jf b a với j nào đó.
Theo giả thiết,       0 logj
r
g b a f b g b
b
     được tính trong
1
,N r
f g
 
  
).
       
5
1
1
, , , 1 .j
j
N r T r T r f T r g O
f g
 
      

Từ (*),(**) suy ra:
       
5
1
2
, ,
3
j
j
T r f T r g N r S r

   .
Kết hợp, ta được:
     
5 5
1 1
2
3
j j
j j
N r N r S r
 
   . (vô lý)
Vậy, suy ra f g .

Chương 2
Phân phối giá trị của hàm phân hình và đạo hàm của nó.
2.1. Sự phân phối giá trị của các hàm phân hình.
Giả sử  f z là hàm phân hình khác hằng số trên C.
Ta định nghĩa  ,S r f là một đại lượng xác định thỏa mãn
    , ,S r f T r f khi r  ; có thể trừ đi một tập E của r có độ đo hữu
hạn.
Giả sử,      0 1, , ,...a z a z a z là các hàm nhỏ của f, tức là các hàm thỏa mãn:
    , ,T r a z S r f khi r  .
2.1.2. Định lý (Milloux)
Cho l là một số nguyên, f là hàm phân hình khác hằng số trên 
và:
     
 
0
l
v
v
v
z a z f z

  ,
khi đó:
 
 
 , ,
z
m r S r f
f z
 
 
 
, (1.4)
và:        , 1 , ,T r l T r f S r f    (1.5)
Chứng minh.
Xét trường hợp    
 l
z f z  , chứng minh bằng phép quy nạp với l .
Nếu   'z f  thì  
'
, ,
f
m r S r f
f
 
 
 
.
Giả sử, ta có:
 
 , ,
l
f
m r S r f
f
 
  
 
, với l nào đó.

Khi đó:  
 
 
     , , , , ,
l
l f
m r f m r m r f m r f S r f
f
 
     
 
. (*)
Nếu  f z có cực điểm tại 0z cấp k, thì  
 l
f z có cực điểm tại 0z cấp k l
và  1k l l k   .
Do đó:  
     , 1 ,
l
N r f l N r f  . (**)
Cộng các bất đẳng thức (*), (**) ta được:
 
   
   
         
     
, , , , 1 , ,
1 , , .
l l l
T r f m r f N r f m r f l N r f S r f
l T r f S r f
     
  
Như vậy trong trường hợp này (1.5) được chứng minh.
Ta kết luận rằng
 
 
 
   
     
1
, , , ,
l
l l
l
f
m r S r f T r f T r f
f
 

 
    
 
,
khi r , trừ một tập hợp E của r có độ đo hữu hạn.
Khi đó:
   
 
 
 
1 1
, , , ,
l l l
l
f f f
m r m r m r S r f
f ff
 
     
            
     
.
Vậy định lý được chứng minh cho trường hợp    
 l
z f z  .
Trường hợp tổng quát, ta chú ý rằng:
 
 
   
    
  
 
 
 
     
0
0
0
, , log 1
, , log 1
, 1 , .
l
v
v
v
vl
v
v
l
v
z
m r m r a z f z l
f z
f z
m r a z m r l
f
S r f O S r f




 
   
 
  
         
  



Vậy (1.4) được chứng minh.
Hơn nữa ta có:

       , , , , ,m r m r m r f m r f S r f
f


 
    
 
.
Nếu  f z có cực điểm cấp p tại 0z và  va z có cực điểm cấp không quá q tại
0z thì  z có cực điểm tại 0z cấp không vượt quá p l q  và
 1p l q l p q     khi đó:
        
     
0
, 1 , ,
1 , , .
l
v
v
N r l N r f N r a z
l N r f S r f


  
  

Vậy:
     
         
     
, , ,
, , 1 , ,
1 , , .
T r m r N r
m r f S r f l N r f S r f
l T r f S r f
   
    
  
Vậy Định lý được chứng minh.
Từ định lý trên ta có một số kết quả sau.
2.1.3. Định lý
Giả sử  f z là hàm phân hình khác hằng số trên  và  z (khác
hằng số) là hàm cho bởi ở định lý (2.1.2). Khi đó:
     0
1 1 1
, , , , , ,
1 '
T r f N r f N r N r N r S r f
f  
     
             
,
trong đó 0
1
,
'
N r

 
 
 
là hàm đếm các không điểm của  ' z mà không phải là
các không điểm của   1z  .
Chứng minh.
Theo định lý cơ bản thứ hai cho hàm    z f z  tại 3 điểm 0,1, ta
có:
       1
1 1
, , , 2 , , ,
1
m r m r m r T r N r S r   
 
   
          
. (1.6)

Mặt khác, ta có:
       
     
     
1
1
1 1
2 , , , , , ,
1 1
1
, 2 , , ' 1
'
1
, , , 1 ,
1
T r N r m r m r N r N r
N r N r N r O
T r T r N r O
   
 
 

 

   
           
 
    
 
 
     
(1.7)
     1
1
, , 2 , , '
'
N r N r N r N r  

 
   
 
.
Ngoài ra, tại một cực điểm của  z cấp l ,  ' z cấp 1l  , các cực điểm
này chỉ xuất hiện tại cực điểm của  f z hoặc của  va z .
Do đó:
          
   
1
, ' , , , ,
, , .
l
v
v
N r N r N r N r f N r a z
N r f S r f
  

   
 

Hơn nữa , tại một không điểm của   1z  cấp l ,  ' z có không điểm cấp
1l  , vì vậy:
0
1 1 1 1
, , , ,
1 ' 1 '
N r N r N r N r
   
       
                 
.
Ta có:        , , ,S r T r T r f     , trừ ra một tập hợp E của r có độ đo
hữu hạn.
Do vậy,    , ,S r S r f  .
Do đó, cùng với (1.6), (1.7) suy ra:
     
1 1 1 1
, , , , , , ,
1 1 1
m r m r m r m r m r N r N r  
   
       
                     
     
1
, 2 , , ' 1
'
N r N r N r O 

 
    
 

      
     0
1 1 1
, , ' , , , 1
1 '
1 1
, , , , . 1.8
1 '
     
               
   
         
m r N r N r N r N r O
N r f N r N r S r f
 
  
 
Ta có:
   
 
 
1 1
, , , 1
1 1
, , , 1
1 1
, , , ,
T r f m r N r O
f f
m r m r N r O
f f
m r N r S r f
f



   
     
   
    
       
     
  
    
   
cùng với (1.8) suy ra:
     0
1 1 1
, , , , , , .
1 '
T r f N r f N r N r N r S r f
f  
     
             
Vậy định lý được chứng minh.
2.1.4. Định lý
Giả sử  f z là hàm phân hình và siêu việt trên  .
Khi đó:
     
1 1 2 1
, 2 , 2 , ,
1
l
T r f N r N r S r f
l f l f
     
         
      
, khi r .
(*) Để chứng minh định lý ta chứng minh bổ đề sau:
2.1.5. Bổ đề:
Nếu    
  0
1
; ,
'
l
z f z N r

 
  
 
xác định trong định lý 2.1.3 và
   1 2, , ,N r f N r f được ký hiệu là hàm N tương ứng cực điểm đơn và cực
điểm bội, mỗi cực điểm chỉ tính duy nhất một lần, thì ta có:

   
   
 2 0
1 1
, , , , ,
1 '
lN r f N r f N r N r S r f
z z 
   
      
   
.
Chứng minh.
Ta xét hàm  
 
  
 
  
  
  
1
11
2 2
'
11
l
ll
l l
l
f z z
g z
zf z




 
 

.
Khi đó tại một cực điểm đơn 0z của  f z , ta có:
   
0
1 ; 0
a
f z O a
z z
  

.
Lấy vi phân hai vế l lần ta được kết quả:
   
 
 
 
 
 
 
  
1
1
0
1
1
01
0
1 !
1 1 1
1 !
1 .
l
l
l
l
l
l
al
z f z O
z z
al
O z z
z z







    


  

Lấy vi phân tiếp 2 vế ta thu được:
 
   
 
  
1
21
02
0
1 1 !
1
l
ll
l
a l
f z O z z
z z



 
  

.
Do đó
 
   
  
1 1
1
0
1 1
1
!
l l
ll
g z O z z
al
 
 
   .
Vì vậy,  0 0,g z  . Nhưng  'g z có không điểm tại 0z cấp ít nhất là l .
Sử dụng công thức Poisson-Jensen cho
 
 
'g z
g z
ta có:
 
' '
, , , , 1
' '
g g g g
N r N r m r m r O
g g g g
       
          
       
,

vế trái đẳng thức trên là :
     
 0
1 1 1 1
, , , ' , , , ,
' '
1 1
, , , ,
'
N r g N r N r g N r N r N r N r g
g g g g
N r N r N r g
g g
       
            
       
   
     
   
với 0
1
,
'
N r
g
 
 
 
là hàm đếm các không điểm của 'g mà không phải là các
không điểm của g.
Từ các kết quả trên ta có :
     1 0
1 1 '
, , , , , 1
'
g
lN r f N r N r N r g m r O
g g g
     
         
     
. (1.9)
Các không điểm và cực điểm của  g z chỉ có thể xuất hiện tại các cực điểm
bội của  f z , hoặc các không điểm của   1z  , hoặc các không điểm của
 ' z khác với không điểm của   1z  . Do đó :
 
 
 2 0
1 1 1
, , , , ,
1 '
N r N r g N r N r f N r
g z 
    
            
. (1.10)
Ngoài ra, theo định lý 2.1.2 ta có:
    
    
  
      
1'
, , , ,1
, , . 1.11
          
 
l lg
m r T r g T r f T r f z
g
T r f S r f
  

Từ (1.9), (1.10), (1.11) suy ra điều phải chứng minh.
(*) Chứng minh định lý 2.1.4
Sử dụng định lý 2.1.3 với    
 l
z f z  và trong  ,N r f các cực
điểm bội được tính ít nhất 2 lần, ta có:

         
 
1 2
0
1
, 2 , , , , ,
1 1
, , , .
1 '
N r f N r f N r f T r f N r f N r
f
N r N r S r f
 
 
      
 
   
        
Vì      1 2, , ,N r f N r f N r f  , ta có :
   2 0
1 1 1
, , , , ,
1 '
N r f N r N r N r S r f
f  
     
            
,
kết hợp với bổ đề 2.1.5 ta có kết quả :
     
 
1 2 0
1 1
, , , , ,
1 '
1 1
, 2 , , .
1
lN r f N r f N r N r S r f
N r N r S r f
f
 

   
         
   
       
Suy ra :
   1
1 1 2 1
, , , ,
1
N r f N r N r S r f
l f l 
   
       
.
Ta có :
     
 
 
1 2, , ,
1 1 1 1 2 1
, , , , ,
1 1
1 1 2 1
1 , 1 , , .
1
N r f N r f N r f
N r N r N r N r S r f
f l f l
N r N r S r f
l f l
 

 
      
                 
      
                
Thế bất đẳng thức này vào định lý 2.1.3 ta được bất đẳng thức của định lý
2.1.4.
Bây giờ, ta giả sử 1 2w ,w là các số phức, thỏa mãn 2w 0 .
Ta xét  
  1
2
w
w
f z
F z

 . Khi đó, ta có:
         , , 1 , , ,T r F T r f O S r F S r f   .
Sử dụng định lý 2.1.4 cho  F z ta thu được :

         
   
1 2
1 1 2 1
, , 1 2 , 2 , ,
1
1 1 2 1
2 , 2 , , .
w w
l
l
T r f T r F O N r N r S r F
l F l F
N r N r S r f
l f l f
       
             
       
     
         
       
Nếu phương trình    
 1 2w , w
l
f z f z  chỉ có hữu hạn nghiệm thì :
      1 1 , logO T r f O r  khi r .
Vì vậy  f z là hàm hữu tỉ, mâu thuẫn giả thiết.
Suy ra, định lý được chứng minh.
2.2. Phân phối giá trị của hàm phân hình và đạo hàm của nó
2.2.1. Định lý (xem [ 5 ], Hayman)
Nếu n ( 3 ) là một số nguyên thì 'n
f f  có tất cả các giá trị khác
không.
(*) Tuy nhiên vấn đề đặt ra là giá trị phân phối của  'ff a khi a a z  là một
hằng số khác không thỏa mãn điều kiện:    , ,T r a S r f .
Ta gọi hàm phân hình  a a z là một hàm nhỏ của f nếu    , ,T r a S r f .
2.2.2. Định lý ( xem {[ 12 ] và [ 11 ]}, Zhang )
Nếu  
7
;
9
f   thì 'ff a là vô cùng khi  0,a   là hàm nhỏ của f .
2.2.3. Định lý ( xem {[ 12 ] và [ 11 ]}, Zhang ).
Nếu    2 0; ; 1f f    thì 'ff a là vô cùng khi  0,a   là hàm
nhỏ của f .
(*) Nhận xét:
Tuy vậy, trong định lý C điều kiện    2 0; ; 1f f    có thể dễ
dàng thay thế bởi điều kiện yếu hơn:    2 0; ; 1f f     .

2.2.4. Định lý (xem [ 2 ], Bergweiler)
Nếu f là đa thức và f hạn chế bậc thì 'ff a là vô cùng.
2.2.5. Định lý (xem [ 11 ], Yu).
Nếu  0,a   là một hàm nhỏ của f thì ít nhất một 'ff a và 'ff a
là vô cùng.
2.2.6. Định nghĩa:
Cho m là một số nguyên dương. Ta ký hiệu  , ; ,N r a f m
 , ;N r a f m là hàm đếm các a điểm của f .
Định nghĩa tương tự với  , ;N r a f m ,  , ;N r a f m ,  , ; ,N r a f m và
 , ;N r a f m .
Ta có:    , ; , ;N r a f N r a f   ,
và    , ; , ; .N r a f N r a f  
2.2.7. Bổ đề
Nếu  
 ,0; 0
k
N r f f  là các hàm đếm các không điểm của  k
f , mà
không phải là các không điểm của f, trong đó mỗi không điểm của  k
f được
tính theo số bội của nó thì:
 
     
   
,0; 0 , ; ,0;
,0; , .
k
N r f f kN r f N r f k
kN r f k S r f
    
  
Chứng minh.
Từ định lý cơ bản thứ nhất và định lý Milloux ta có:
 
 
 
,0; 0 ,0;
 
    
 
k
k f
N r f f N r
f

   
 
   
   
, , 1
, ; ,0;
, ; , .
   
        
   
   
   
k k
f f
N r m r O
f f
kN r f N r f k
kN r f k S r f
2.2.8. Định lý
Cho    
 1
0
nn k
f f  , khi  0 12 ,n n và k là các số nguyên dương,
sao cho:     0 0 0 1 0 11 1 0n n k n n n n      .
Khi đó:
 
    
     0
0 0 0 1
11
1 , , ; ,
1
n kk
T r N r a S r
n k n k n k n
  
 
    
     
,
với mọi hằng số  0,a   .
Chứng minh.
Đầu tiên ta chú ý   . 4,10Cf
       , , , ,T r f S r f CT r S r    ,
và         0 1, 1 , ,T r f n k n T r f S r f    , khi C là hằng số.
Ta thấy rõ rằng, nếu  0,a   là một hàm nhỏ của f thì a cũng là hàm nhỏ
của  và ngược lại. Do đó từ định lý cơ bản của Nevanlinna với ba dãy hàm
  .47 6p ta có :
         , ,0, , , , , ,T r N r N r N r a S r         ,
khi    , ; ,0;N r a N r a   .
Bây giờ, từ bổ đề ta có :

     
 
     
   
         
,0; ,0; ,0, 0
,0; , ; ,0,
,0, ,
1 ,0; , ; , . 2
k
N r N r f N r f f
N r f kN r f N r f k
kN r f k S r f
k N r f kN r f S r f
   
    
  
    
Ta có:
        
   
0 1
0
,0; ,0; 1 1 ,0; 1
1 ,0; .
N r N r k n n N r f k
n N r f k
       
  
Từ (2) ta có:
       
   
      
0
0 1
,0; 1 ,0; 1 , ;
1
,0; ,0;
1
1 1 ,0; 1 , .
N r k N r f k kN r f
k
N r N r
n
k n n N r f k S r f

 
     

   
      
     
    
   
     
   
 
     
0
0 0
0 1
0
0
0
0 0
1
,0; ,0; , ;
1 1
1 1 1
1 ,0; 1 ,
1
1
,0; , ; , .
1
11
,0; ,0; , ; , . 3
1
n k k
N r N r kN r f
n n
k k n n
k N r f k S r f
n
k
N r kN r f S r f
n
k nk
N r N r N r f S r f
n n k
 

 
 
  
 
    
      
  

   


   
 
Nếu 0z là một phần tử của ,f p và 0z là phần tử của  , với
   0 1 0 11n p p k n n k n     thì:
      0 1, ; 1 , ; .N r n k n N r      (4)

Vì    , ; , ;N r N r f   và    , ,S r S r f  , từ (1), (3) và (4) ta có:
   
 
 
   
 
 
    
 
   
0
0 0
0
0 0 0 1
11
, ,0; 1 , ;
, ; ,
11
,0; , ;
1
, ; , .
k nk
T r N r N r f
n k n k
N r a S r
n kk
N r N r
n k n k n k n
N r a S r
 
 
 
 
 
    
  
 

  
   
 
Vậy:
 
    
     0
0 0 0 1
11
1 , , ; ,
1
n kk
T r N r a S r
n k n k n k n
  
 
    
     
.
(*) Dưới đây, ta chứng minh định lý 2.2.5 khi định lý được phát biểu lại như
sau :
2.2.9. Định lý
Cho  k
F ff , với k là một số nguyên dương, thì với mọi hàm nhỏ a của f
   
 
2
2
; ; 2
2
a F a F
k
     

.
Chứng minh.
Ta có, 2
a cũng là một hằng số nhỏ của f , ta thấy 0 1 2n n  .
  
 
     2 2 2
2
1 3
1 , , ; , .
2
  
   
  
k k
T r F N r a F S r F
k

  
 
       2
1 3
2 1 , , ; , ; , .
2
  
     
  
k k
T r F N r a F N r a F S r F
k
Điều đó cho thấy:
   
  
   
2 2
2 1 3 2
; ; 2
2 2
k k
a F a F
k k
 
      
 
.

KẾT LUẬN
*******
Nội dung của luận văn là nghiên cứu‘‘ Phân phối giá trị của hàm phân
hình và đạo hàm của nó ’’.
Luận văn đã trình bày được các vấn đề sau:
- Trình bày một cách hệ thống hai định lý cơ bản của R.Nevanlinna.
- Trình bày một số kết quả của Milloux.
- Trình bày hệ thống với chứng minh chi tiết một số kết quả gần đây
trong lĩnh vực nghiên cứu.
- Chứng minh định lý :
Cho    
 1
0
nn k
f f  , khi  0 12 ,n n và k là các số nguyên dương,
sao cho:     0 0 0 1 0 11 1 0n n k n n n n      .
Khi đó:
 
    
     0
0 0 0 1
11
1 , , ; ,
1
n kk
T r N r a S r
n k n k n k n
  
 
    
     
,
với mọi hằng số  0,a   .

TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] W. Bergweiler and A. Eremenko, On the singularities of the inverse to a
meromorphic function of finite order, Rev. Iberoamericana, 11 (1995), 355-
373.
[2] W.Bergweiler, On the product of a meromorphic function and its
derivative, Bull. Hong Kong Math. Soc., 1 (1997), 97-101.
[3] Hà Huy Khoái. Bài giảng lý thuyết Nevanlinna.
[4] H.H. Chen and M.L. Fang, The value distribution of 'n
f f , Sci. China Ser.
A, 38 (1995), 789-798.
[5] W. Doeringer, Exceptional values of differential polynomials, Pacific J.
Math., 98 (1982), 55-62.
[6] W. K. Hayman, Picard values of meromorphic functions and their
derivatives, Ann. of Math. (2), 70 (1959), 9-42.
[7] W. K. Hayman, Meromorphic Functions, Oxford Math. Monogr.,
Clarendon Press, Oxford, 1964.
[8] W. K. Hayman, Research Problems in Function Theory, The Athlone
Press University of London, London, 1967.
[9] I. Lahiri and S. Dewan, Value distribution of the product of a
meromorphic function and its derivative, Kodai Math. J. 26 (2003), 95 – 100.
[10] I. Lahiri, Value distribution of certain differential polynomials, Int. J.
Math. Math. Sci., 28 (2001), 83-91.
[11] E. Mues, Uber ein Problem von Hayman, Math. Z., 164 (1979), 239-259.
[12] A. P. Singh, On order of homogeneous differential polynomials, Indian
J. Pure Appl. Math., 16 (1985),791-795.

Tailieu.vncty.com lv2010 sp-dinh_thingocminh

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (20)

Similar to Tailieu.vncty.com lv2010 sp-dinh_thingocminh

Similar to Tailieu.vncty.com lv2010 sp-dinh_thingocminh (20)

More from Trần Đức Anh

More from Trần Đức Anh (20)

Tailieu.vncty.com lv2010 sp-dinh_thingocminh