Nghiệm Yếu Của Bài Toán Biên Dirichlet Chứa Toán Tử Laplace Phân Thứ.docx

Tải tài liệu tại sividoc.com
Viết đề tài giá sinh viên – ZALO:0973.287.149-TEAMLUANVAN.COM
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
NGUYỄN VĂN TẤN
NGHIỆM YẾU CỦA BÀI TOÁN BIÊN
DIRICHLET CHỨA TOÁN TỬ
LAPLACE PHÂN THỨ
Ngành: Toán giải tích
Mã số: 8.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN THÌN
THÁI NGUYÊN - 2019

i
L i cam đoan
Tôi xin cam đoan lu n văn "Nghi m yeu của bài toán biên
Dirichlet chfía toán tfi Laplace phân thfí" là công trình nghiên cáu
khoa hoc đ®c l p của riêng tôi dưới sự hướng dan khoa hoc của TS. Nguyen
Văn Thìn. Các n®i dung nghiên cáu, ket quả trong lu n văn này là trung
thực và chưa tàng công bo dưới bat kỳ hình thác nào trước đây.
Ngoài ra, trong lu n văn tôi còn sả dụng m®t so ket quả, nh n xét
của các tác giả khác đeu có trích dan và chú thích nguon goc.
Neu phát hi n bat kỳ sự gian l n nào tôi xin hoàn toàn chịu trách
nhi m ve n®i dung lu n văn của mình.
Thái Nguyên, ngày 16 tháng 05 năm 2019
Tác giả
Nguyen Văn Tan
Xác nh n Xác nh n
của khoa chuyên môn của ngư i hư ng dȁn
TS. Nguyen Văn Thìn

ii
L i cảm ơn
Đe hoàn thành đe tài lu n văn và ket thúc khóa hoc, với tình cảm
chân thành, tôi xin bày tỏ lòng biet ơn sâu sac tới trường Đại hoc Sư phạm
Thái Nguyên đã tạo đieu ki n cho tôi có môi trường hoc t p tot trong suot
thời gian tôi hoc t p, nghiên cáu tại trường.
Tôi xin gải lời cảm ơn tới TS. Nguyen Văn Thìn đã giúp đơ tôi
trong suot quá trình nghiên cáu và trực tiep hướng dan tôi hoàn thành đe
tài lu n văn tot nghi p này. Đong thời, tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn tới thay
cô trong Khoa Toán, bạn bè đã giúp đơ, tạo đieu ki n cho tôi trong suot
quá trình hoc t p và hoàn thi n lu n văn tot nghi p này.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Thái Nguyên, ngày 16 tháng 05 năm 2019
Tác giả
Nguyen Văn Tan

iii
Mnc lnc
L i cam đoan i
L i cảm ơn ii
L i m đau 1
1 Không gian Sobolev thfí 3
1.1 Bien đői Fourier trong không gian các hàm tăng ch m . . . 3
1.2 Không gian Sobolev thá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1 Tính chat phép nhúng . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 Không gian Sobolev Hs
(Ω) . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3 Toán tả Laplace phân thá . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.1 Hang so C(n, s): M®t vài tính chat . . . . . . . . . . 13
1.3.2 Toán tả Laplace phân thá qua bien đői Fourier . . . 17
2 Nghi m yeu của bài toán biên Dirichlet chfía toán tfi Laplace
phân thfí 20
2.1 Nghi m Mountain pass cho bài toán biên Dirichlet cháa toán
Laplace phân thá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 Sự ton tại nhieu nghi m cho bài toán Laplace phân thá với
đ® tăng tới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Ket lu n 64
Tài li u tham khảo 65

1
—
dy,
∫
−
−(−∆) u(x) = C(n, s) lim ∈
∫
L i m đau
Trong thời gian gan đây, các nhà toán hoc dành sự quan tâm vào
nghiên cáu các toán tả không địa phương loại elliptic (bao gom toán tả
Laplacian phân thá) trong cả nghiên cáu toán hoc thuan túy và toán áng
dụng trong the giới thực. Các lớp toán tả này phát sinh khá tự nhiên trong
nhieu boi cảnh khác nhau như: Toi ưu hóa, toán tài chính, m t cực tieu, định
lu n bảo toàn, cơ hoc lượng tả, khoa hoc v t li u, sóng nước, phản áng hóa
hoc của chat lỏng, đ®ng lực hoc dân so, đ®ng lực hoc ve chat lỏng địa v t lý.
Toán tả Laplacian phân thá (fractional Laplacian) cũng cung cap m®t mô
hình đơn giản đe mô tả các quá trình Lévy trong lý thuyet xác suat. Toán tả
Laplace phân thá là m®t dạng mở r®ng của toán tả Laplace, được định nghĩa
thông qua tích phân kỳ dị như sau: Với s ∈ (0, 1) và u ∈ L2
(R)n
, n > 2s
hàm khi đó toán tả Laplace phân thá (−∆)s
u được định nghĩa bởi
(−∆)s
u(x) = C(n, s)
∫
u(x) u(y)
n+2s
trong đó
RnB(x,ε)
|x − y|
C(n, s) = 1/
Rn
1 − cos ζ1
dζ, ζ = (ζ
|ζ|n+2s
, ζ′), ζ′ ∈ Rn−1
.
Khi u là hàm trơn vô hạn với giá compact, ta có lim(∆)s
u = ∆u. Hơn
s→1
nǎa, ta có
s
ε→0
u(x + y) + u(x − y) − 2u(x)
dy, x Rn
.
|y|n+2s
RnB(x,ε)
Ngoài định nghĩa trên, toán tả Laplace phân thá (−∆)s
còn được định nghĩa
thông qua phép bien đői Fourier [6], s-mở r®ng đieu hòa được giới thi u bởi
1

2
s
Caffarelli-Silvestre [3]. Như v y khái ni m toán tả Laplace phân thá là m®t
khái ni m toán hoc giàu cách tiep c n. Do đó, các bài toán nghiên cáu ve
toán tả Laplace phân thá đã nh n được sự quan tâm lớn của các nhà toán
hoc trên the giới trong thời gian gan đây. Mục đích của lu n văn là nghiên
cáu sự ton tại nghi m yeu của bài toán biên Dirichlet cho toán tả Laplace
phân thá có dạng
(−∆)s
u = f(x, u) trong Ω
u = 0 trong Rn
Ω,
trong đó Ω là mien bị ch n với biên Lipschitz. Hàm phi tuyen có đ® tăng dưới
đại lượng tới hạn Sobolev ho c cháa so hạng |u|2s
∗
−2
u trong đó 2∗ =
2n
n − 2s
là so mũ tới hạn Sobolev. Trong trường hợp bài toán cháa so mũ tới hạn,
khó khăn g p phải là phép nhúng X0 → L2∗
s (Ω) liên tục, không compact.

3
0
0
∫
∫
Chương 1
Không gian Sobolev thfí
1.1 Bien đoi Fourier trong không gian các hàm tăng
ch m
Xét không gian Schwartz S các hàm C∞(Rn
) tăng ch m có tôpô xác
định bởi {pj}j∈N :
pj(ϕ) := sup(1 + |x|)j
Σ
|Dα
ϕ(x)|,
trong đó ϕ ∈ S(Rn
). Nghĩa là, S cháa các hàm ϕ thỏa mãn
sup .xα
Dβ
ϕ(x). < +∞, với moi α, β ∈ Nn
.
x∈Rn
Tôpô loi địa phương tự nhiên trên S có tính chat: dãy {ϕ}i∈N h®i tụ đen 0
trong S neu và chỉ neu lim
j→+∞
xα
Dβ
ϕj(x) = 0 với moi α, β ∈ Nn
.
Ta định nghĩa
Fϕ(x) :=
1
(2π)n/2
e−iξ·x
ϕ(ξ)dξ,
Rn
là bien đői Fourier của hàm ϕ ∈ S và bien đői Fourier ngược xác định bởi
F−1
ϕ(x) :=
1
(2π)n/2
eix·ξ·ϕ(ξ)dξ, (1.1)
Rn
|α|≤j
x∈Rn

4
2 n
Σ
α s,p
n/p+s
cả hai đeu là ánh xạ tuyen tính liên tục tà S(Rn
) vào chính nó. Hơn nǎa, vì
F−1
Fϕ = FF−1
ϕ = ϕ,
là m®t phép đȁng cau và phép đong phôi của S(Rn
) lên S(Rn
).
Đ t S′ là tôpô đoi ngau của S. Neu T ∈ S′, thì
⟨FT, ϕ⟩ := ⟨T, Fϕ⟩ , ∀ϕ ∈ S,
trong đó ⟨., .⟩ là tích đoi ngau thông thường giǎa S và S′. Ta có
u ∈ L2
(Rn
) neu và chỉ neu Fu ∈ L2
(Rn
) (1.2)
và
ǁuǁL2(Rn) = ǁFuǁL2(Rn), ∀u ∈ L (R ). (1.3)
Công thác (1.3) goi là công thác Paranchval-Plancherel.
1.2 Không gian Sobolev thfí
Giả sả Ω là t p không trơn, mở trong không gian Euclid Rn
và p ∈
[1, +∞). Cho s > 0 bat kỳ chúng ta định nghĩa không gian Sobolev thá
Ws,p
(Ω) như sau.
Neu s ≥ 1 là so nguyên dương, thì Ws,p
(Ω) là không gian Sobolev cő
đien với chuȁn
ǁuǁWs,p(Ω) :=
0≤|α|≤s
ǁD uǁLp(Ω), ∀u ∈ W (Ω),
p α
ở đây và ve sau ta hieu ǁ.ǁLp(Ω) là chuȁn thông thường trong L (Ω), và D
là α-đạo hàm riêng. Phan này t p trung vào không gian Sobolev thá với
s ∈
/ N.
Neu s ∈ (0, 1) co định, không gian Sobolev Ws,p
(Ω) được định nghĩa:
Ws,p
(Ω) :=
(
u ∈ Lp
(Ω) :
|u(x) − u(y)|
∈ Lp
(Ω × Ω)
)
.
|x − y|

5
n+sp
p
0
0
0
Nó được trang bị chuȁn
∫
p
∫
|u(x) − u(y)| 1/p
ǁuǁWs,p(Ω) :=
trong đó
|u(x)| dx +
Ω×Ω n+sp dxdy
|x − y| , (1.4)
[u]Ws,p(Ω) :=
Ω×Ω
|u(x) − u(y)|
dxdy
|x − y|
1/p
(1.5)
là nảa chuȁn Gagliardo của u.
Neu s > 1 và s ∈
/ N, ta có s = m + σ, trong đó m ∈ N và σ ∈ (0, 1).
Chúng ta có định nghĩa Ws,p
(Ω) như sau:
Ws,p
(Ω) := {u ∈ Wm,p
(Ω) : Dα
u ∈ Wσ,p
(Ω) với bat kì α sao cho |α| = m}.
Và được trang bị chuȁn
p
Σ
α p 1/p
s,p
ǁuǁWs,p(Ω) := ǁuǁWm,p(Ω) + ǁD
|α|=m
uǁWσ,p(Ω) , ∀u ∈ W (Ω).
Do đó, không gian Ws,p
(Ω) được xác định và là không gian Banach với moi
s > 0 và
C∞(Rn)
ǁ.ǁWs,p(Rn)
= Ws,p
(Rn
);
nghĩa là, không gian C0
∞
(Rn
) trù m t trong Ws,p
(Rn
). Neu Ω ⊂ Rn
thì
không gian C∞(Ω) không trù m t trong Ws,p
(Ω). Do đó, Ws,p
(Ω) là bao
0 0
đóng của C0
∞
(Ω) đoi với chuȁn ǁ.ǁWs,p(Ω); tác là
Ws,p
(Ω) := C∞(Ω)
ǁ.ǁWs,p(Ω)
;
0 0
Ta có the xây dựng Ws,p
(Ω) khi s < 0. Th t v y, với s < 0 và p ∈ (0, +∞),
ta định nghĩa
Ws,p
(Ω) := (W −s,q
(Ω))′;
nghĩa là, Ws,p
(Ω) là không gian đoi ngau của W−s,q
(Ω), trong đó
1/p + 1/q = 1.
Ω
p
∫

6
′s ,p
1,p
p
∫
n
n
| − |
1.2.1 Tính chat phép nhúng
M®t so ket quả cơ bản của phép nhúng được phát bieu như sau:
M nh đe 1.2.1. Giả sủ p ∈ [1, +∞) và t¾p mớ Ω trong Rn
. Khi đó, các
khȁng đ nh sau là đúng:
(a) Neu 0 < s ≤ s′ < 1, thì phép nhúng Ws′
,p
(Ω) ‹→ Ws,p
(Ω) là liên tực.
Do đó, ton tại hang so C1(n, s, p) ≥ 1 sao cho
ǁuǁWs,p(Ω) ≤ C1(n, s, p)ǁuǁWs′,p(Ω), ∀u ∈ W (Ω).
(b) Neu 0 < s < 1 và Ω là lớp C0,1
và biên ∂Ω b ch¾n, thì phép nhúng
W 1,p
(Ω) ‹→ Ws,p
(Ω) là liên tực. Do đó, ton tại hang so C2(n, s, p) ≥ 1
sao cho ǁuǁWs,p(Ω) ≤ C2(n, s, p)ǁuǁW1,p(Ω), ∀u ∈ W (Ω).
(c) Neu s′ ≥ s > 1 và Ω là lớp C0,1
, thì phép nhúng Ws′
,p
(Ω) ‹→ Ws,p
(Ω)
là liên tực.
Định nghĩa 1.2.2. Với moi s ∈ (0, 1) và p ∈ [1, +∞), t p mở Ω ⊂ Rn
là
mien mở r®ng cho Ws,p
neu ton tại hang so dương C := C(n, p, s, Ω) sao
cho với moi hàm u ∈ Ws,p
(Ω), ton tại Eu ∈ Ws,p
(Rn
) sao cho Eu(x) = u(x),
ǁEuǁWs,p(Rn) ≤ CǁuǁWs,p(Ω), ∀x ∈ Ω.
Lưu ý moi t p mở của lớp C0,1
với biên bị ch n là mien mở r®ng cho
Ws,p
(Rn
).
Định lý 1.2.3. Cho s ∈ (0, 1) và p ∈ [1, +∞) sao cho sp < n. Khi đó, ton
tại hang so dương C := C(n, p, s) sao cho
ǁuǁLp∗
s (Rn)
≤
R ×R
u(x) u(y) p
|x − y|n+ps
dxdy, ∀u ∈ W
s,p
(Rn
),

7
loc
trong đó p∗
s
pn
:=
n − sp
là so mũ tới hạn phân thú. Vì v¾y, không gian
Ws,p
(Rn
) được nhúng liên tực trong Lq
(Rn
) với moi q ∈ [p, p∗
s]. Hơn nũa,
phép nhúng Ws,p
(Rn
) ‹→ Lq
(Rn
) là compact với moi q ∈ [p, p∗).
s
Trong mien mở r®ng, ket quả sau van đúng.
Định lý 1.2.4. Cho s ∈ (0, 1) và p ∈ [1, +∞) sao cho sp < n. Giả
sủ Ω ⊂ Rn
là mien mớ r®ng cho Ws,p
. Khi đó, ton tại hang so dương
C := C(n, p, s, Ω) sao cho
ǁuǁLq(Ω) := CǁuǁWs,p(Ω), ∀u ∈ Ws,p
(Ω), ∀q ∈ [p, p∗
s],
nghĩa là, không gian Ws,p
(Ω) được nhúng liên tực trong Lq
(Ω) với moi q ∈
[p, ps
∗
]. Ngoài ra, neu Ω b ch¾n thì không gian Ws,p
(Ω) được nhúng compact
trong Lq
(Ω) với moi q ∈ [1, p∗
s).
Định lý 1.2.5. Cho s ∈ (0, 1) và p ∈ [1, +∞) sao cho sp = n. Khi đó, ton
tại hang so dương C := C(n, p, s) sao cho, với moi u ∈ Ws,p
(Rn
),
ǁuǁLq (Rn) ≤ CǁuǁWs,p(Rn),
với moi q ∈ [p, +∞); nghĩa là, không gian Ws,p
(Rn
) liên tực được nhúng
trong Lq
(Rn
) với moi q ∈ [p, +∞).
Đoi với mien mở r®ng, ta có ket quả sau:
Định lý 1.2.6. Cho s ∈ (0, 1) và p ∈ [1, +∞) sao cho sp = n. Giả
sủ Ω ⊂ Rn
là mien mớ r®ng cho Ws,p
. Khi đó, ton tại hang so dương
C := C(n, p, s, Ω) sao cho, với moi u ∈ Ws,p
(Ω),
ǁuǁLq (Ω) ≤ CǁuǁWs,p(Ω)
với moi q ∈ [p, +∞); nghĩa là, không gian Ws,p
(Ω) liên tực được nhúng
trong Lq
(Rn
) với moi q ∈ [p, +∞]. Ngoài ra, neu Ω b ch¾n, thì không gian
Ws,p
(Ω) compact được nhúng trong Lq
(Ω) với moi q ∈ [1, +∞).

8
ǁ ǁ ǁ ǁ
ǁ ǁ
→+∞
Ký hi u C0,α
(Ω) là không gian các hàm liên tục Hölder, với chuȁn
|u(x) − u(y)|
u C0,α(Ω) := u L∞(Ω) + sup
x,y∈Ω |x − y|α
.
x y
Định lý 1.2.7. Cho s ∈ (0, 1) và p ∈ [1, +∞) sao cho sp > n. Cho Ω là
mien C0,1
của Rn
. Khi đó, ton tại hang so dương C := C(n, p, s, Ω) sao
cho, với moi u ∈ Ws,p
(Ω),
ǁuǁC0,α(Ω) ≤ CǁuǁWs,p(Ω),
với α = (sp − n)/p; nghĩa là, không gian Ws,p
(Ω) liên tực được nhúng trong
C0,α
(Ω).
H quả 1.2.8. Cho s(0, 1) và p ∈ [1, +∞) sao cho sp > n. Cho Ω là m®t
C0,1
mien bị ch n của Rn
. Khi đó phép nhúng
Ws,p
(Ω) ‹→ C0,β
(Ω)
compact với moi β < α, với α := (sp − n)/p.
Chúng minh. Cho {uj}j∈N là dãy bị ch n trong Ws,p
. Tà Định lý 1.2.7 suy
ra {uj}j∈N bị ch n trong C0,α
(Ω). Do đó, ton tại C > 0 sao cho
|uj(x) − uj(y)|
uj L∞(Ω) + sup
x,y∈Ω
x/=y
|x − y|α
≤ C, ∀j ∈ N. (1.6)
Áp dụng (1.6) và Định lý Ascoli-Arzelà ta có
uj → u∞ đeu trong Ω (1.7)
khi j → +∞, với u∞ ∈ C(Ω). Hơn nǎa, tà (1.6) và (1.7) suy ra
|u∞(x) − u∞(y)| =
j
lim |uj(x) − uj(y)| ≤ C|x − y| , (1.8)
α

9
β
≤
với moi x, y ∈ Ω. Do đó, hàm u∞ thu®c C0,α
(Ω).
Chúng ta phải cháng minh uj → u∞ trong C0,β
(Ω) khi j → +∞, với
moi β < α. Tà (1.7), ta có
sup
x,y∈Ω
|(uj − u∞)(x) − (uj − u∞)(y)|
|x − y|β
→ 0 (1.9)
x
khi j → +∞. Vì
y
ǁuj − u∞ǁL∞(Ω) → 0 khi j → +∞,
với moi ε > 0, ton tại jε ∈ N sao cho
ε ε β/(α−β)
V y, tà (1.6) và (1.8) ta có
|(uj − u∞)(x) − (uj − u∞)(y)| ≤ 2C|x − y|α−β
|x − y|β
, ∀x, y ∈ Ω.
(1.11)
Neu 2C|x − y|α−β
< ε, nên tà (1.11) cho ta
|(uj − u∞)(x) − (uj − u∞)(y)| ≤ ε|x − y| , ∀x, y ∈ Ω. (1.12)
đây, β < α.
Hơn nǎa, khi 2C|x − y|α−β
≥ ε, áp dụng (1.10), với moi j ≥ jε, có
|(uj − u∞)(x) − (uj − u∞)(y)| ≤2ǁuj − u∞ǁL∞(Ω)
ε
ε
2C
β/(α−β)
(1.13)
≤ε|x − y|β
.
Tà (1.12), (1.13), và (1.9) đi đen đieu can cháng minh.
2
ǁuj − u∞ǁL∞(Ω) ≤
2C
, ∀j ≥ jε. (1.10)

10
∫ ∫
s n s,2 n 2 n
^ ∈
Rn
1.2.2 Không gian Sobolev Hs
(Ω)
Trong mục này, ta trình bày trường hợp Hilbert p = 2, nghiên cáu
moi quan h giǎa nó với toán tả Laplacian phân thá. Giả sả Ω là t p con
mở trong Rn
và
Hs
(Ω) := Ws,2
(Ω),
với moi s ∈ (0, 1). Không gian Sobolev thá là không gian Hilbert. Th t v y,
tích trong trên Hs
(Ω), xác định bởi
⟨u, v⟩Hs(Ω) :=
Ω
u(x)v(x)dx +
Ω×Ω
(u(x) − u(y))(v(x) − v(y))
dxdy,
|x + y|n+2s
với moi u, v ∈ Hs
(Ω), trùng với chuȁn đã cho trong (1.4) khi p = 2.
Rõ ràng, với moi s ∈ (0, 1), ta có
H (R ) := W (R ) = {u ∈ L (R ) : [u]Ws,2(Rn) < +∞}, (1.14)
trong đó [·]Ws,2(Rn) đã định nghĩa trong (1.5).
Không gian Hs
(Rn
) được định nghĩa theo cách khác thông qua bien
đői Fourier. Th t v y, ta định nghĩa
Hs
(Rn
) := u L2
(Rn
) :
∫
Rn
(1 + |ξ|2s
)|Fu(ξ)|2
dx < +∞ , với moi s > 0,
(1.15)
và H
^s
(Rn
) := u ∈ S′ :
∫
(1 + |ξ|2s
)|Fu(ξ)|2
dx < +∞ , với moi s < 0.
Tương đương giǎa không gian H
^s
(Rn
) được định nghĩa trong (1.15) và
định nghĩa thông qua chuȁn Gagliardo trong (1.14) và cháng minh với moi
s ∈ (0, 1) trong phan tiep theo (xem H quả 1.3.6).
1.3 Toán tfi Laplace phân thfí
Các phương trình không địa phương đã thu hút nhieu sự chú ý trong
nhǎng th p k gan đây. Toán tả cơ bản liên quan đen van đe này goi là

11
− ∈
∈
2
∈
—
∫
toán tả Laplacian (−∆)s
phân thá với s ∈ (0, 1). Phan này trình bày định
nghĩa toán tả này và các tính chat của nó.
Cho s ∈ (0, 1) và toán tả (−∆)s
: S → L2
(Rn
) xác định bởi
( ∆)s
u(x) := C(n, s) lim
ε→0+
∫
RnB(x,ε)
u(x) − u(y)
dy, x Rn
, (1.16)
|x − y|n+2s
Trong đó B(x, ε) là hình tròn tâm x ∈ Rn
với bán kính ε, và C(n, s) là
hang so dương sau:
C(n, s) :=
với ζ = (ζ1, ζ′), ζ′ ∈ Rn−1
.
∫
Rn
1 − cos ζ1
dζ
|ζ|n+2s
−1
, (1.17)
Toán tả định nghĩa trong (1.16) là toán tả Laplace phân thá. Thông
thường, trong định nghĩa (−∆)s
, đe viet gon cho "giá trị chính", đ t
P.V.
∫
u(x) − u(y)
dy := lim
∫ u(x) − u(y)
dy.
Rn |x − y|n+2s ε→0+
RnB(x,ε) |x − y|n+2s
Khi đó, ta có the viet lại như sau
( ∆)s
u(x) := C(n, s)P.V.
Rn
u(x) − u(y)
dy, x Rn
, (1.18)
|x − y|n+2s
M nh đe 1.3.1. Cho s ∈ (0, 1). Khi đó, với moi u ∈ S, ta có
(−∆)s
u(x) := −
1
C(n, s)
∫
u(x + y) + u(x − y) − 2u(x)
dy, x Rn
.
|y|n+2s
(1.19)
Chúng minh. Tà (1.18), ta có
(−∆)s
u(x) := −C(n, s)P.V.
∫
u(y) − u(x)
dy, (1.20)
|x − y|n+2s
với moi x ∈ Rn
. Do đó, thay the z = y − x vào (1.20), ta được
(−∆)s
u(x) := −C(n, s)P.V.
∫
u(x + z) − u(x)
dz, (1.21)
|z|n+2s
Rn
Rn
Rn

12
— −
|
n+2s
z|
1 n
∫
≤
∫
Rn
với moi x ∈ Rn
. M t khác, bang cách đ t z*
= −z, ta có
P.V.
∫
u(x + z) − u(x)
dz = P.V.
∫
u(x z*
) u(x) *
* n+2s
dz .
Rn |z| Rn |z |
Vì v y, sau khi trả lại z*
= z, ta có đȁng thác sau:
2P.V.
∫
R
u(x + z) − u(x)
dz =P.V.
∫
+P.V.
∫
R
=P.V.
∫
R
u(x + z) − u(x)
dz
|z|n+2s
u(x − z) − u(x)
dz
|z|n+2s
u(x + y) + u(x − y) − 2u(x)
dy.
|y|n+2s
(1.22)
Cuoi cùng, khai trien Taylor cap hai ta có
u(x + y) + u(x − y) − 2u(x)
≤
ǁD uǁL∞(Rn)
,
và vì s ∈ (0, 1), ta có
|y|n+2s |y|n+2s−2
u(x + y) + u(x − y) − 2u(x)
|y|n+2s
∈ L (R ).
Do đó, với moi u ∈ S, ta có
P.V.
∫
R
u(x + y) + u(x − y) − 2u(x)
dy =
|y|n+2s
u(x + y) + u(x − y) − 2u(x)
dy.
Rn |y|n+2s
(1.23)
V y tà (1.21)-(1.23) ta suy ra (1.19). Đieu phải cháng minh.
Nh n xét 1.3.2. Cho s ∈ (0, 1/2). Với moi u ∈ S và x ∈ Rn
co định, ta có
∫
Rn
u(x) − u(y)
dy C
|x − y|n+2s
|x − y|
dy
B(x,R) |x − y|n+2s
1
+ǁuǁL∞(Rn) RnB(x,R) |x − y| n+2s
dy
∫R
1 ∫
+∞
1
≤C
0
ρ2s
dρ +
R
ρ2s+1
dρ < +∞,
n+2s
∫
n
n
n
2
n

13
| 2
)
n+2s
1 neu n = 1
|ζ|n+2s
R |ζ1|n+2s
(1 + |ζ′|2/|ζ 2 n+2s
|ζ1|1+2s
(1 + |η′|2) 2
1
trong đó C là hang so dương phụ thu®c vào so chieu n và L∞-chuȁn của
hàm u. Vì the, trong trường hợp s ∈ (0, 1/2), tích phân
∫
Rn
u(x) − u(y)
dy,
|x − y|n+2s
không là tích phân kỳ dị gan điem x, nên nó bỏ P.V. trong (1.18).
1.3.1 Hang so C(n, s): M t vài tính chat
phan này, ta nhac lại m®t so tính chat của hang so C(n, s).
Bo đe 1.3.3. Cho s ∈ (0, 1) và C(n, s) là hang so được xác đ nh trong
(1.17) và cho A(n, s) và B(s) như sau:
A(n, s) := ∫
và
1
Rn−1 (1 + |η′|2)n+2s/2
dη′
neu n ≥ 2,
Khi đó
B(s) := s(1 − s)
∫
R
1 − cos t
dt.
|t|1+2s
C(n, s) =
s(1 − s)
. (1.24)
A(n, s)B(s)
Chúng minh. Giả sả n ≥ 2 và ζ = (ζ1, ζ′), với ζ′ ∈ Rn−1
. Áp dụng đői bien
η′ = ζ′/|ζ1|, ta có
∫
1 − cos(ζ1)
dζ =
∫ ∫
1 − cos(ζ1) 1
dζ′
!
dζ
=
∫ ∫
1 − cos(ζ1) 1
dη′
!
dζ
A(n, s)B(s)
= .
s(1 − s)
Bő đe được cháng minh.
R
Rn Rn−1
1
Rn−1
1

14
| |
| |1
2(1 − s)
2 1 + 2s s
Nh n xét 1.3.4. Lưu ý tà (1.17) và (1.24) suy ra
C(n, s)−1
=
Rn
1 − cos(ζ1)
dζ = A(n, s)
|ζ|n+2s
1 − cos t
dt.
R |t|1+2s
Với n ≥ 3, goi Sn−2 là đ® đo Lebesgue của hình cau đơn vị trong Rn−1
, ta
có
A(n, s) =
∫
1
dη′ < S π
+
1
,
Rn−1 (1 + |η′2
) 2
và
n−2
4 1 + 2s
∫
1 − cos t
dt <
1
+
2
.
Vì v y, de dàng thay
Rn |t|1+2s
2(1 − s) s
C(n, s)−1
< S π
+
1 1
+
2
.
M t khác, ta có
n−2
4 1 + 2s 2(1 − s) s
1
+
2 neu n = 1
C(n, s)−1
< 2(1 − s)
π 2
+
1 2
+
neu n = 2.
M nh đe 1.3.5. Giả sủ s ∈ (0, 1) và hang so C(n, s) như (1.17). Thì, với
moi ξ ∈ Rn
, ta có
∫
Rn
1 − cos(ξ · y)
dy = C(n, s)−1
ξ 2s
, (1.25)
|y|n+2s
Chúng minh. Trước tiên, với η = (η1, ..., ηn), ta có
gan goc. Khi đó,
1 − cos ζ1
|ζ|n+2s
ζ 2
|ζ|n+2s
≤
1
|ζ|n−2+2s
,
∫
Rn
1 − cos ζ1
dζ
|ζ|n+2s
là hǎu hạn và dương, theo cách chon s.
s
n+2s
∫
≤
∫

15
˜
˜
— | | · ·1
∫
Bây giờ chúng ta định nghĩa ánh xạ J : Rn
→ R như sau:
J(ξ) :=
∫
R
1 − cos(ξ · y)
dy,
|y|n+2s
với moi ξ ∈ Rn
. Ta có J là phép quay bat bien, tác là
J(ξ) = J(|ξ|e1), ξ ∈ Rn
, (1.26)
trong đó e1 là vectơ hướng đau tiên trên không gian Rn
.
Với n = 1, (1.26) là tam thường vì J là hàm lẻ. Khi n ≥ 2, chúng ta
xét phép quay R mà R(|ξ|e1) = ξ, và ta goi RT
là chuyen vị của nó. Vì the,
RT
bang cách the ỹ = y, ta có
J(ξ) =
∫
R
=
∫
R
=
∫
R
1 − cos((R(|ξ|e1)) · y)
dy,
|y|n+2s
1 cos(( ξ e ) (RT
y))
|y|n+2s
dy
1 − cos((|ξ|e1) · y)
dy
|ỹ|
nên (1.26) được cháng minh.
Do đó, tà (1.26), the ζ = |ξ|y, ta được
J(ξ) =J(|ξ|e1)
=
1 − cos(|ξ|y1)
dy
Rn |y|n+2s
=
1
|ξ|n
1 − cos(ζ1)
dζ
Rn |ζ/|ζ||n+2s
=C(n, s)−1
|ξ|2s
,
theo (1.17). Tóm lại, (1.25) được cháng minh.
=J(|ξ|e1),
n+2s
∫
n
n
n
n

16
H
2s 2
^
2
| |
2s 2
Rn
Rn
(1.29)
H quả 1.3.6. Giả sả s ∈ (0, 1) và C(n, s) là hang so như trong (1.17).
Thì, với moi u ∈ Hs
(Rn
),
[u]2
s(Rn) = 2C(n, s)−1
Rn
|ξ| |Fu(ξ)| dξ. (1.27)
Hơn nǎa, Hs
(Rn
) = H(Rn
).
Chúng minh. Co định y ∈ Rn
. Áp dụng đői bien so z = x − y, và công thác
Parseval-Plancherel đã cho trong (1.3), ta có
∫ ∫ |u(x) − u(y)|2 ∫ ∫ u(z + y) − u(y)
Rn Rn |x − y| n+2s
dx dy = Rn Rn |z|n+2s
dz dy
=
∫ ∫
.u(z + y) − u(y).
2
dy
!
dz
Rn Rn
.
|z|n/2+s .
∫
¨u(z + ·) − u(·)¨
2
!
dz
Rn
¨ |z|n/2+s
¨
L2(Rn)
∫
F ¨F u(z + ·) − u(·) ¨
2
!
dz.
Rn
¨ |z|n/2+s
L2(Rn)
(1.28)
Khi đó
∫
¨F
u(z + ·) − u(·) ¨2
dz =
∫ ∫
|eiξ.z − 1|2
|Fu(ξ) |dξ dz
tà (1.25), chúng ta có the viet
=2
∫
Rn×Rn
1 − cos(ξ · z)
Fu(ξ) 2
dzdξ,
|z|n+2s
∫
¨F
u(z + ·) − u(·) ¨2
dz = 2C(n, s)−1
∫
|ξ| |Fu(ξ)| dξ.
Vì the, (1.27) kéo theo (1.28) và (1.29). Cuoi cùng, sự tương đương giǎa các
không gian phân thá Hs
(Rn
) và H
^s
(Rn
) đen (1.2) và (1.27).
|z|n/2+s
|z|n+2s
Rn
|z|n/2+2s
¨
¨
¨
L2(Rn) Rn
L2(Rn) Rn
∫

17
2
∈
1 n n
2
−
—
∫
—
∫
−
1.3.2 Toán tfi Laplace phân thfí qua bien đoi Fourier
đây, ta cháng minh các toán tả Laplace phân thá (−∆)s
là toán tả
giải được kí hi u |ξ|2s
.
M nh đe 1.3.7. Cho s ∈ (0, 1). Khi đó, với moi u ∈ S,
(−∆)s
u(x) = F−1
(|ξ|2s
(Fu)(ξ))(x), x ∈ Rn
,
trong đó F−1
là bien đői Fourier ngược được đ nh nghĩa trong (1.1).
Chúng minh. Kí hi u
Lu(x) :=
1
C(n, s)
Rn
u(x + y) + u(x − y) − 2u(x)
dy, x Rn
,
|y|n+2s
trong đó C(n, s) như trong (1.17). Chúng ta can tìm hàm S : Rn
→ R sao
cho
Lu = F−1
(S(Fu)). (1.30)
Ta can cháng minh rang với moi ξ ∈ Rn
,
S(ξ) = |ξ|2s
.
Vì
u(x + y) + u(x − y) − 2u(x)
|y|n+2s
∈ L (R × R ),
tà ket quả của Fubini, Tonelli ta đői tích phân theo y với bien đői Fourier
theo x. Áp dụng bien đői Fourier theo bien x trong (1.30), chúng thu được
S(ξ)(Fu)(ξ) =F(Lu)
=
1
C(n, s)
Rn
F(u(x + y) + u(x − y) − 2u(x))
dy
|y|n+2s
1
= C(n, s)
2
∫
Rn
eiξ·y + e−iξ·y 2
|y|n+2s
dy(Fu)(ξ)
(1.31)
=C(n, s)
∫
R
1 − cos(ξ · y)
dy(Fu)(ξ).
|y|n+2s
n

18
— −
−
L (
The (1.25) vào (1.31), de thay hàm S là dạng can tìm. M nh đe được cháng
minh.
Các định nghĩa khác của toán tả Laplace phân thá xét các hang so
chuȁn hóa khác nhau. Hang so C(n, s) được chon ở đây ((1.17)) là hang so
đảm bảo tính tương đương của định nghĩa tích phân của (−∆)s
với giá trị
được đưa ra tà bien đői Fourier. Hơn nǎa, C(n, s) có các tính chat sau:
lim ( ∆)s
u = ∆u
s→1−
và
lim ( ∆)s
u = u
s→0+
(xem [83, m nh đe 4.4]). đây, −∆ là các toán tả Laplace cő đien.
Cuoi cùng, chúng ta có the cháng minh moi quan h giǎa toán tả
Laplace phân thá (−∆)s
và không gian Sobolev thá Hs
(Rn
).
M nh đe 1.3.8. Cho s ∈ (0, 1) và C(n, s) là hàm hang như trong (1.17).
Khi đó, với moi u ∈ Hs
(Rn
)
2
Hs( Rn) = 2C(n, s)−1
ǁ(−∆)s/2
uǁ2
2 Rn) . (1.32)
Chúng minh. Tà (1.3) kéo theo
s/2 2 s/2 2
ǁ(−∆) uǁL2(Rn) = ǁF(−∆) uǁL2(Rn). (1.33)
M t khác, tà M nh đe 1.3.7 ta có
s/2 2 2
ǁF(−∆) uǁL2(Rn) = ǁ|ξ|FuǁL2(Rn). (1.34)
Cuoi cùng, tà H quả 1.3.6 suy ra
2 1 s/2 2
ǁ|ξ|FuǁL2(Rn) =
2
C(n, s)ǁ(−∆) uǁL2(Rn). (1.35)
Tà (1.33)-(1.35) ta có (1.32).
[u]

19
2
| − |
2 2s 2
2 s/2 2
Rn
n Rn
Như h quả của công thác Paranchval-Plancherel, cũng như các M nh
đe 1.3.7 và 1.3.8 và H quả 1.3.6, các chuȁn trong Hs
(Rn
) được cho bởi
u ›→
∫
Rn
∫
|u(x)| dx +
∫
Rn×Rn
|u(x) − u(y)|2
x y n+2s
1/2
dxdy
1/2
,
u ›→ (1 + |ξ|2
)s
|Fu(ξ)|2
dξ ,
∫ ∫ 1/2
u ›→
và
R
|u(x)| dx + |ξ| | u(ξ)| dξ ,
F
u ›→
∫
Rn
|u(x)| dx + ǁ(−∆) uǁL2(Rn)
1/2
,
đeu tương đương. Đieu này hǎu ích cho vi c nghiên cáu các phương trình
Schrödinger phân thá.

20
Chương 2
Nghi m yeu của bài toán biên
Dirichlet chfía toán tfi Laplace phân
thfí
2.1 Nghi m Mountain pass cho bài toán biên Dirich-
let chfía toán Laplace phân thfí
Gan đây, phương trình vi tích phân cháa toán tả không địa phương
đã và đang xuat hi n trong nhieu nghiên cáu với nhieu boi cảnh khác nhau,
cả trong nghiên cáu toán thuan tuý và trong các áng dụng thực te cụ the.
Trong phan này, tôi quan tâm đen sự ton tại vô so nghi m của bài toán sau:
−LKu − λu = f(x, u) trong Ω,
(2.1)
u = 0 trong Rn
Ω.
trong đó Ω là t p con mở, bị ch n của Rn
với biên liên tục ∂Ω, n > 2s,
s ∈ (0, 1) hàm f thỏa mãn đieu ki n khác nhau và LK là toán tả tích phân
được xác định bởi
LKu(x) :=
∫
Rn
(u(x + y) + u(x − y) − 2u(x)K(y)dy, x ∈ Rn
, (2.2)

21
∈
∫
∫
n
n
2
2
∈
F(x, t) = f(x, τ)dτ. (2.7)
trong đó hạt nhân K : Rn
{0} → (0, +∞) sao cho
mK ∈ L1
(Rn
), trong đó m(x) = min{|x|2
, 1} (2.3)
và
ton tại θ > 0 sao cho K(x) ≥ θ|x|−(n+2s)
với moi x ∈ Rn
{0}. (2.4)
Mô hình K cho bởi hạt nhân kỳ dị K(x) = |x|−(n+2s)
, ta nh n lại toán tả
Laplace phân thá −(−∆)s
, được định nghĩa
−(−∆)s
u(x) :=
∫
u(x + y) + u(x − y) − 2u(x)
dy, x Rn
.
|y|n+2s
Nghi m yeu u của Bài toán (2.1) được xác định bởi
Rn×
∫
Rn
(u(x) − u(y))(ϕ(x) − ϕ(y))K(x − y)dxdy − λ
∫
u(x)ϕ(x)dx
= f(x, u(x))ϕ(x)dx, ϕ X0,
Ω
u ∈ X0,
(2.5)
nó là điem tới hạn của phiem hàm hàm năng lượng JK,λ : X0 → R được
xác định
JK,λ
1
(u) : =
2R ×R
|u(x) − u(y)| K(x − y)dxdy
—
λ
∫
|u(x)|2
dx −
∫
F (x, u(x))dx, (2.6)
Ω Ω
Trong đó hàm F là nguyên hàm của f đoi với bien thá hai, nghĩa là
∫ t
đây, không gian X0 xác định X0 := {g ∈ X : g = 0 a.e. trong Rn
Ω},
trong đó không gian hàm X là không gian tuyen tính của các hàm đo được
0
Ω
Rn

22
2
| − |
0
n× n
Lebesgue tà Rn
đen R sao cho hạn che của moi hàm g trong X tà Ω đen
L2
(Ω) và ánh xạ
(x, y) ›→ (g(x) − g(y))
q
K(x − y)
thu®c L2
((Rn
× Rn
)(CΩ × CΩ), dxdy), với CΩ := Rn
Ω. Không gian hàm
X0 được trang bị chuȁn
X0 s g ›→ ǁgǁX0 :=
∫
Rn×Rn
|g(x) − g(y)| K(x − y)dxdy
1/2
(2.8)
và (X0, ǁ · ǁX0 ) là không gian Hilbert, với tích vô hướng
⟨u, v⟩X0
:=
∫
R R
(u(x) − u(y))(v(x) − v(y))K(x − y)dxdy. (2.9)
Không gian Sobolev phân thá thông thường Hs
(Ω) được trang bị chuȁn
Gagliardo, xác định bởi
ǁgǁHs(Ω) := ǁgǁL2(Ω) +
Ω×Ω
g(x) g(y) 2
|x − y|n+2s
dxdy
1/2
. (2.10)
Lưu ý trong trường hợp K(x) = |x|−(n+2s)
, các chuȁn (2.8) và (2.10) không
giong nhau. Đieu này làm cho không gian X0 không tương đương với không
gian Sobolev phân thá thông thường.
Không gian X0 là khác rong, vì C2
(Ω) ⊆ X0 và hạt nhân K thỏa mãn
đieu ki n (2.3) và (2.4), bao gom:
X0 ⊆ {g ∈ Hs
(Rn
) : g = 0 a.e. trong Rn
Ω},
trong trường hợp K(x) = |x|−(n+2s)
, ta có:
X0 = {g ∈ Hs
(Rn
) : g = 0 a.e. trong Rn
Ω}.
Cuoi cùng, chúng ta nhớ lại bài toán giá trị riêng của −LK, cụ the là
−LKu = λu trong Ω
u = 0 trong Rn
Ω,
(2.11)
∫

23
có dãy các giá trị riêng dương
λ1 < λ2 ≤ ... ≤ λk ≤ λk+1 ≤ ...,
các hàm riêng tương áng được ký hi u là ek. Ta có {ek}k∈N là cơ sở trực
chuȁn trong L2
(Ω) và cơ sở trực giao trong X0. Tính chat phő của toán tả
−LK.
Đe cháng minh các ket quả trong phan này, chúng ta sả dụng Định lý
Fountain-Bartsch. Đieu ki n compact được giả định trong Định lý Fountain
là đieu ki n Palais-Smale:
Đieu ki n Palais-Smale. Hàm LK,λ thỏa mãn các đieu ki n ch t
Palais-Smale ở cap c ∈ R neu có dãy {uj}j∈N trong X0 sao cho
JK
′
,λ(uj) → c và sup{| ⟨JK,λ(uj), ϕ⟩ | : ϕ ∈ X0, ǁϕǁX0 = 1} → 0
khi j → +∞, có dãy con h®i tụ mạnh trong X0.
Cerami giới thi u đieu ki n Cerami, như đieu ki n yeu của đieu ki n
Palais-Smale.
Đieu ki n Cerami. Hàm JK,λ thỏa mãn các đieu ki n ch t Cerami
ở cap c ∈ R neu có dãy {uj}j∈N trong X0 sao cho
JK,λ(uj) → c và (1 + ǁujǁ) sup{| JK
′
,λ(uj), ϕ | : ϕ ∈ X0, ǁϕǁX0 = 1} → 0
khi j → +∞, có dãy con h®i tụ mạnh trong X0.
Khi f ve phải của bài toán (2.1) thỏa mãn đieu ki n Ambrosetti-
Rabinowitz, trong cháng minh các ket quả, ta sě chỉ ra hàm năng lượng
tương áng Jk,λ thỏa mãn đieu ki n compact Palais-Smale, khi chúng ta bỏ
đieu ki n Ambrosetti-Rabinowitz (2.14) thay nó bang (2.44) và (2.46) ho c
(2.83), ta chỉ ra rang JK,λ thỏa mãn đieu ki n Cerami.
Với moi k ∈ N chúng tôi đ t
Yk := span{e1, ..., ek} và Zk := span{ek, ek+1, ...}.
Lưu ý, Yk là hǎu hạn chieu nên các chuȁn trên Yk là tương đương. Khi đó,
các đieu ki n hình hoc của Định lý Fountain như sau:

24
(i) ak := max{JK,λ(u) : u ∈ Yk, ǁuǁX0 = rk} ≤ 0,
(ii) bk := inf{JK,λ(u) : u ∈ Zk, ǁuǁX0 = γk} → ∞ khi k → ∞.
Sau đây chúng tôi phát bieu và cháng minh các ket quả chính trong
phan này. Các ket quả trong phan này được trình bày tà [7]. Trước het, giả
sả f : Ω × R → R là m®t hàm thỏa mãn các đieu ki n sau:
f ∈ C(Ω × R), (2.12)
ton tại a1, a2 > 0 và q ∈ (2, 2∗), 2∗ = 2n/(n − 2s), sao cho
|f(x, t)| ≤ a1 + a2|t|q−1
với moi x ∈ Ω, t ∈ R, (2.13)
ton tại µ > 2 và r > 0 sao cho với moi x ∈ Ω, t ∈ R, |t| ≥ r,
0 < µF (x, t) ≤ tf(x, t), (2.14)
Trong đó F như trong (2.7).
Đieu ki n (2.14) là đieu ki n Ambrosetti-Rabinowitz. Đieu ki n này
thường xét khi xả lý các bài toán giá trị biên elliptic siêu tuyen tính. Nó
đảm bảo đieu ki n bị ch n của dãy Palais-Smale cho hàm năng lượng liên
quan đen bài toán đang xét.
Đieu ki n Ambrosetti-Rabinowitz là đieu ki n siêu tuyen tính trên phi
tuyen tính f. Th t v y, lay tích phân (2.14) chúng ta có
ton tại a3, a4 > 0 sao cho F (x, t) ≥ a3|t|µ
− a4 với moi (x, t) ∈ Ω × R;
(2.15)
Khi tìm vô so nghi m, chúng ta can đieu ki n f lẻ theo t :
f(x, −t) = −f(x, t) với moi x ∈ Ω, t ∈ R. (2.16)
Hàm f(x, t) = a(x)|t|q−2
t, với a ∈ C(Ω) và q ∈ (2, 2∗).

25
µ
Định lj 2.1.1. Cho s ∈ (0, 1), n > 2s và Ω là t¾p con mớ, b ch¾n của
Rn
với biên liên tực. Giả sủ K : Rn
{0} → (0, +∞) là m®t hàm thóa mãn
(2.3) và (2.4) và f : Ω × R → R là hàm thóa mãn đieu ki n (2.12)-(2.16).
Khi đó, với moi λ ∈ R bài toán (2.1) có vô so nghi m uj ∈ X0, j ∈ N, có
năng lượng JK,λ(uj) → +∞ khi j → +∞.
Chúng minh. Đe cháng minh Định lý 2.1.1, ta can các ket quả sau đây.
M nh đe 2.1.2. Cho λ ∈ R và f : Ω × R → R là hàm thóa mãn (2.12)-
(2.14). Khi đó JK,λ thóa mãn đieu ki n Palais-Smale với moi cap c ∈ R.
Chúng minh. Cho c ∈ R và {uj}j∈N là dãy trong X0 sao cho khi j → +∞,
ta có
JK,λ(uj) → c, (2.17)
sup{| ⟨JK,λ(uj), ϕ⟩ | : ϕ ∈ X0, ǁϕǁX0 = 1} → 0. (2.18)
Đau tiên, chỉ ra dãy {uj}j∈N bị ch n trong X0 và sau đó nó ton tại dãy con
h®i tụ mạnh trong X0. Đe cháng minh dãy {uj}j∈N bị ch n ta xét riêng
trường hợp khi λ ≤ 0 và λ > 0.
Bư c 1. Dãy {uj}j∈N bị ch n trong X0.
Với moi j ∈ N, tà (2.17) và (2.18) suy ra ton tại κ > 0 sao cho
. J ′ (u ),
uj . ≤ κ và |J (u )| ≤ κ,
do đó
. K,λ j
ǁujǁX0
. K,λ j
JK,λ(uj) —
1
JK
′
,λ(uj ), uj ≤ κ(1 + ǁuj ǁX0 ), (2.19)
trong đó tham so µ cho bởi (2.14).
Lay tích phân (2.13) suy ra, với moi x ∈ Ω và t ∈ R, ta có
|F(x, t)| ≤ a1|t| +
a2 q
q
|t| . (2.20)

26
2
σ
a2
r
µ
2 µ
j
2 µ
j
2 µ
j j
.
2 µ j X0
K,λ j j j
2 µ
j X0 j L2(Ω)
Do đó, tà (2.20) và (2.13), với moi j ∈ N, ta có
.
∫
F(x, u (x)) −
1
f(x, u (x))u (x) dx
.
j
µ j j
.
Ω∩{|uj |≤r}
(2.21)
Giả sả λ ≤ 0. Khi đó, tà (2.14) và (2.21), với moi j ∈ N, ta có
J (u ) (u ), u =
1
−
1
(ǁu ǁ − λǁu ǁ
1 ′
—
∫
Ω
(x, uj
1
(x)) −
µ
f (x, uj (x))uj
(x) dx
≥
1
−
1
ǁu ǁ
—
∫
Ω
(x, uj
1
(x)) −
µ
f (x, uj (x))uj (x) dx
≥
1
−
1
ǁu ǁ
—
∫
Ω∩{|uj |≤r} (x, uj
1
(x)) −
µ
≥
1
−
1
ǁu ǁ — κ̃.
(2.22)
Tà (2.19), (2.22) và µ > 2 chúng ta có
1
−
1
ǁu ǁ ≤ κ(1 + ǁu ǁ ) + κ̃
với moi j ∈ N, nghĩa là {uj}j∈N bị ch n trong X0.
Bây giờ, xét trường hợp λ > 0:
Co định σ ∈ (2, µ) với µ > 2 theo (2.14). L p lu n như trên chúng ta
có với moi j ∈ N,
JK,λ(uj) —
1
JK
′
,λ(uj ), uj ≤ κ(1 + ǁuj ǁX0 ) (2.23)
q
q
2
2
2
2
2
≤ a1r +
a2
r
q
+
a1
r +
µ
|Ω| =: κ̃,
—
µ
JK,λ
X0
X0
X0 X0
.
.

27
2
∫
∫
−
∫
−
σ
µ
σ
2 µ
µ
K,λ j —
σ
JK,λ j
2 σ
j j L2(Ω)
2 σ
j j
2 σ
j j
2 σ
j j
và
.
∫
F(x, uj(x)) −
σ
f(x, uj(x))uj(x) dx
.
≤ κ̃
1
(2.24)
.
Ω∩{|uj |≤r} .
với κ và κ̃. Khi đó, áp dụng (2.14), (2.15) và (2.24), suy ra với moi j ∈ N,
ta có
J (u )
1 ′
(u ), u =
1
−
1
(ǁu ǁ — λǁu ǁ )
— F(x, uj
Ω
1
(x)) −
σ
≥
1
−
1
(ǁu ǁ — λǁu ǁ
+
µ
1
σ
Ω∩{|uj |≥r}
F (x, uj(x))dx
—
∫
Ω∩{|uj |≤r}
(F(x, uj
1
(x)) −
σ
f (x, uj (x))uj (x))dx
≥
1
−
1
+
µ
1
σ
Ω∩{|uj |≥r}
F(x, uj(x))dx − κ̃
≥
1
−
1
+a3
µ
− 1 ǁu ǁLµ(Ω) — a4 1 —
µ
|Ω| − κ̃.
(2.25)
Hơn nǎa, với moi ε > 0 bat đȁng thác Young (với so mũ liên hợp µ/2 > 1
và µ/(µ − 2)) ta có
ǁujǁL2(Ω)
2ε
≤
µ
ǁuj ǁLµ(Ω) +
µ − 2
ε−2/(µ−2)
|Ω|, (2.26)
.
2
2 2
2 2
2 2
j X0
X0 L2(Ω)
X0 L2(Ω)
X0 X0
j

28
2
σ
µ
σ
2
2
∫
n
n
∫
n
n
2 σ µ
2 σ
j
3
σ 2 σ µ
K,λ j j j
2 σ
j X0
2 σ µ
j Lµ(Ω)
K,λ j j j
2 σ
j X0 ε
do đó, theo (2.25) và (2.26), với moi j ∈ N suy ra
J (u ) (u ), u =
1
−
1
ǁu ǁ − λ
1
−
1 2ε
ǁu ǁ
1 ′
−λ
1
−
1 µ − 2
ε−2/(µ−2)
|Ω|
+a3
µ
− 1 ǁu ǁLµ(Ω) — a4 1 —
µ
|Ω| − κ̃
=
1
−
1
ǁu ǁ
+ a
µ
− 1 λ
1
−
1 2ε
ǁu ǁ — C ,
3
σ 2 σ µ
j Lµ(Ω) ε
(2.27)
trong đó Cε là hang so mà Cε → +∞ khi ε → 0, do µ > σ > 2. Bây giờ,
chon ε nhỏ tùy ý sao cho
a
µ
− 1 − λ
1
−
1 2ε
> 0,
tà (2.27), với moi j ∈ N ta có
J (u ) (u ), u ≥
1
−
1
ǁu ǁ − C . (2.28)
1 ′
Ket hợp (2.23) và (2.28), suy ra với moi j ∈ N,
ǁujǁX0
≤ κ∗(1 + ǁujǁX0)
với hang so dương κ∗. Đieu này cháng tỏ rang dãy Palais-Smale {uj}j∈N bị
ch n trong X0.
Bư c 2. Dãy con của {uj}j∈N h®i tụ mạnh trong X0.
Vì {uj}j∈N bị ch n trong X0 (theo Bước 1) và X0 là không gian phản
xạ, đen dãy con, van ký hi u bang {uj}j∈N, ton tại u∞ ∈ X0 sao cho
R ×R
(uj(x) − uj(y))(ϕ(x) − ϕ(y))K(x − y)dxdy
→
R ×R
(uj(x) − u∞(y))(ϕ(x) − ϕ(y))K(x − y)dxdy với moi ϕ ∈ X0,
(2.29)
µ
2
µ
—
σ
JK,λ
X0
—
σ
JK,λ
j

29
n
2
∫
n
n
2
∫ ∫
n× n
Ω Ω
khi j → +∞. Hơn nǎa dãy con,
uj → u∞ trong L2
(Rn
),
uj → u∞ trong Lq
(Rn
),
uj → u∞ a.e. trong Rn
,
khi j → +∞ và ton tại l ∈ Lq
(Rn
) sao cho
(2.30)
|uj(x)| ≤ l(x) a.e. trong R với moi j ∈ N (2.31)
Theo (2.13), (2.29)-(2.31), ánh xạ t ›→ f(·, t) liên tục với t ∈ R và Định lý
Dominated Convergence, ta có
∫
f(x, uj(x))uj(x)dx →
∫
f(x, u∞(x))u∞(x)dx (2.32)
và
∫
f(x, uj(x))u∞(x)dx →
∫
f(x, u∞(x))u∞(x)dx (2.33)
khi j → +∞. Hơn nǎa, theo (2.18) và ket quả Bước 1, chúng ta có
0 ← JK
′
,λ(uj), uj =
∫
Rn×Rn |uj(x) − uj(y)| K(x − y)dxdy
−λ
∫
|uj(x)|2
dx −
∫
f (x, uj(x))uj(x)dx,
do đó, tà (2.30) và (2.32), suy ra
R ×R
|uj(x) − uj(y)| K(x − y)xdy
→ λ |u∞(x)|2
dx +
Ω Ω
f(x, u∞(x))u∞(x)dx (2.34)
khi j → +∞. M t khác, theo (2.18), ta có
0 ← JK
′
,λ(uj), u∞ =
∫
R R
(uj(x) − uj(y))(u∞(x) − u∞(y))K(x − y)dxdy
−λ
∫
uj(x)u∞(x)dx −
∫
f (x, uj(x))u∞(x)dx
(2.35)
Ω
Ω
Ω
Ω
Ω Ω

30
2
∫
2
∫
n
n
2
2
X0
khi j → +∞. Tà (2.29) với ϕ = u∞ (2.30), (2.33) và(2.35) ta được
∫
Rn×Rn
|u∞(x) − u∞(y)| K(x − y)dxdy
= λ
Ω
|u∞(x)|2
dx +
∫
f(x, u∞(x))u∞(x)dx. (2.36)
Do đó tà (2.34) và (2.36) ta có
ǁujǁX0 → ǁu∞ǁX0 (2.37)
khi j → ∞. Cuoi cùng, de thay
2 2 2
ǁuj − u∞ǁX0
=ǁujǁX0
+ ǁu∞ǁX0
— 2
Rn×Rn
(uj(x) − uj(y))(u∞(x) − u∞(y))K(x − y)dxdy
→2ǁu∞ǁX0
−
R ×R
|u∞(x) − u∞(y)| K(x − y)dxdy = 0
khi j → +∞, theo (2.29) và (2.37). Bước 2 được cháng minh. Do đó, M nh
đe 2.1.2 hoàn toàn được cháng minh.
Sau đây, ta cháng minh Định lý 2.1.1. Chúng ta sě áp dụng Định lý
Fountain. Theo M nh đe 2.1.2, chúng ta có JK,λ thỏa mãn đieu ki n Palais-
Smale, theo (2.16), ta có JK,λ(−u) = JK,λ(u) với moi u ∈ X0. Chúng ta
cháng minh theo các bước sau.
Bư c 1. Với moi k ∈ N ton tại rk > 0 sao cho
ak := max{JK,λ(u) : u ∈ Yk, ǁuǁX0 = rk} ≤ 0.
Theo (2.15), với moi u ∈ Yk, ta có
1 2 λ 2 µ
JK,λ(u) ≤
2
ǁuǁX0
−
2
ǁuǁL2(Ω) − a3ǁuǁLµ(Ω) + a4|Ω|
Ck,λ (2.38)
≤
2
ǁuǁX0
− Ĉk,µǁuǁ + a4|Ω|
µ
Ω
∫

31
+
Σ
∞
→+∞ →+∞
j=1
với hang dương Ck,λ phụ thu®c vào k và λ, và
Tat cả các chuȁn đeu tương đương trong Yk.
Ĉk,µ phụ thu®c vào k và µ.
Theo (2.38), với moi u ∈ Yk, ǁuǁX0 = rk, ta có
JK,λ(u) ≤ 0,
đieu ki n rk > 0 là đủ lớn, vì µ > 2. Bước 1 được cháng minh.
Bư c 2. Cho 1 ≤ q < 2∗ và với moi k ∈ N, đ t
βk := sup{ǁuǁLq(Ω) : u ∈ Zk, ǁuǁX0 = 1.
Khi đó βk → 0 khi k → ∞.
Theo định nghĩa Zk, ta có Zk+1 ⊂ Zk và 0 < βk+1 ≤ βk với moi k ∈ N. Do
đó
βk → β (2.39)
khi k → +∞, với β ≥ 0. M t khác, theo định nghĩa của βk, với moi k ∈ N
ton tại uk ∈ Zk sao cho
ǁukǁX0 = 1 và ǁukǁLq(Ω) >
βk
. (2.40)
2
Vì X0 là không gian Hilbert và là không gian Banach phản xạ, ton tại
u∞ ∈ X0 và dãy con của uk (ký hi u bang uk) sao cho uk → u∞ h®i tụ yeu
trong X0, nghĩa là,
⟨uk, ϕ⟩X0
→ ⟨u∞, ϕ⟩X0
với moi ϕ ∈ X0
khi k → +∞. Vì ϕ =
j=1
cjej, suy ra
∞
⟨u∞, ϕ⟩X0
=
k
lim ⟨uk, ϕ⟩X0
=
k
lim
Σ
cj ⟨uk, ej⟩X
0
= 0,

32
q
2
k
X0 k X0
Ck,λ = 1
1 − λ
neu 0 < λ < λ1,
1
1 − λ
neu λk ≤ λ < λk+1.
vì dãy {ek}k∈N của hàm riêng LK là cơ sở trực giao của X0 nên u∞ ≡ 0. Do
đó theo Định lý nhúng Sobolev, ta có
uk → 0 trong Lq
(Ω) (2.41)
khi k → +∞. Tà (2.39), β là không âm, tà (2.40) và (2.41), ta có βk → 0
khi k → +∞. Do đó Bước 2 được cháng minh.
Bư c 3. Ton tại γk > 0 sao cho
bk := inf{Jk,λ(u) : u ∈ Zk, ǁuǁX0 = γk} → +∞.
khi k → +∞.
Lay tích phân (2.13), và (2.20) suy ra ton tại hang so C > 0 sao cho
|F (x, t)| ≤ C(1 + |t| ) (2.42)
với moi x ∈ Ω và t ∈ R. Khi đó, tà (2.42) với moi u ∈ Zk{0}, ta có
1 2 λ 2 q
JK,λ(u) ≥
2
ǁuǁX0
−
2
ǁuǁL2(Ω) − CǁuǁLq(Ω) − C|Ω|
2 u q q
≥Ck,λǁuǁX0
− Cǁ
ǁuǁ
ǁLq(Ω)ǁuǁX0
− C|Ω| (2.43)
2 q q
≥Ck,λǁuǁX0
− CβkǁuǁX0
− C|Ω|
=ǁuǁq
(Ck,λ − Cβq
)ǁuǁq−2
− C|Ω|,
trong đó βk được định nghĩa như trên và
1
neu λ ≤ 0
2 λ1
γk xác định như sau
2
γk =
λk
2Ck,λ
1/(q−2)
qCβq
,
X0

33
2
q
X0 k X0
de thay γk → +∞ khi k → +∞, theo Bước 2, q > 2 và vì {λk}k∈N là dãy
khác. Theo (2.43), với moi u ∈ Zk, ǁuǁX0 = γk, ta có
q q−2
JK,λ(u) ≥ ǁuǁ (Ck,λ − Cβ ǁuǁ ) − C|Ω|
= 1 −
2
C k,λγk — C|Ω| → +∞,
khi k → +∞. Do đó Bước 3 được cháng minh.
Do đó các tính chat hình hoc của Định lý Fountain đeu được thỏa
mãn và Định lý 2.1.1 hoàn toàn được cháng minh.
Tà (2.15) và µ > 2, ta có
F(x, t)
lim
|t|→+∞ |t|2
= +∞ đeu với moi x ∈ Ω, (2.44)
là đieu ki n siêu tuyen tính khác trên f ở vô cực. De dàng cháng minh rang
hàm
f(x, t) = t log(1 + |t|) (2.45)
thỏa mãn đieu ki n (2.44), nhưng không thỏa mãn (2.15) (và do đó không
thỏa mãn (2.14)).
Gan đây, nhieu bài toán siêu tuyen tính không có đieu ki n Ambrosetti-
Rabinowitz. Đ c bi t, tương tự địa phương của bài toán (2.1) (nghĩa là bài
toán (2.1) với LK được thay the bang −(−∆)) đã được nghiên cáu. Trong
khuôn khő này, Jeanjean giới thi u đieu ki n sau trên f:
ton tại γ ≥ 1 sao cho với moi x ∈ Ω, F(x, t′) ≤ γF(x, t) với moi t, t′ ∈ R,
(2.46)
với0 < t′ ≤ t, (2.47)
trong đó
F(x, t) =
1
2
tf(x, t) − F(x, t). (2.48)
Lưu ý: (2.46) là đieu ki n tőng quát và hàm (2.45) thỏa mãn (2.46).

34
Định lj 2.1.3. Cho s ∈ (0, 1), n > 2s và Ω là t¾p con mớ, b ch¾n của Rn
{0} → (0, +∞) là hàm thóa mãn (2.3) và
(2.4) và f : Ω × R → R là hàm thóa mãn đieu ki n (2.12), (2.13), (2.16),
(2.44) và (2.46). Khi đó với moi λ ∈ R bài toán (2.1) có vô so nghi m
uj ∈ X0, j ∈ N, có năng lượng JK,λ(uj) → +∞ khi j → +∞.
Chúng minh. Đau tiên, chúng ta nghiên cáu tính chat compact của hàm
JK,λ.
M nh đe 2.1.4. Cho λ ∈ R và f : Ω × R → R là hàm thóa mãn (2.12),
(2.13), (2.16), (2.44) và (2.46). Khi đó, JK,λ thóa mãn đieu ki n Cerami ớ
moi cap c ∈ R.
Chúng minh. Cho c ∈ R và {uj}j∈N là dãy Cerami trong X0, nghĩa là, cho
dãy {uj}j∈R sao cho
Jk,λ(uj) → c (2.49)
và
(1 + ǁujǁ) sup{| JK
′
,λ(uj), ϕ | : ϕ ∈ X0, ǁϕǁX0 = 1} → 0 (2.50)
khi j → +∞.
Đau tiên, ta có dãy {uj}j∈N bị ch n trong X0 cháng minh trong [13].
Giả sả ngược lại {uj}j∈N không bị ch n trong X0, nghĩa là, giả sả dãy con
van ký hi u là {uj}j∈N,
ǁujǁX0 → +∞ (2.51)
khi j → +∞.
Theo (2.50) và (2.51), de dàng suy ra
sup{| JK
′
,λ(uj), ϕ | : ϕ ∈ X0, ǁϕǁX0 = 1} → 0, (2.52)

35
n
J J
X0
do đó
sup{| JK
′
,λ(uj), ϕ | : ϕ ∈ X0, ǁϕǁX0 = 1} · ǁujǁX0 → 0 (2.53)
khi j → +∞.
Bây giờ, với moi j ∈ N, đ t
vj
uj
= . (2.54)
ǁujǁX0
Hien nhiên, dãy {vj}j∈N bị ch n trong X0 và do đó ton tại v∞ ∈ X0 sao cho
vj → v∞ trong L2
(Rn
),
vj → v∞ trong Lq
(Rn
),
vj → v∞ a.e. trong Rn
.
khi j → +∞ và ton tại l ∈ Lq
(Rn
) sao cho
(2.55)
|vj(x)| ≤ l(x) a.e trong R với moi j ∈ N (2.56)
Ta xét riêng các trường hợp v∞ ≡ 0 và v∞ /≡ 0 và cháng minh rang trong
cả hai trường hợp đeu xảy ra mâu thuan.
Trư ng h p 1. Giả sả
v∞ ≡ 0. (2.57)
Với moi j ∈ R ton tại tj ∈ [0, 1] sao cho
K,λ(tjuj) = max K,λ(tuj). (2.58)
t∈[0,1]
Vì (2.51), nên với moi m ∈ N, chon rm = 2
√
m sao cho
rmǁujǁ−1
∈ (0, 1), (2.59)
với đieu ki n j đủ lớn, giả sả j > j̄, với j̄ = j̄(m).

36
X0
2
2
Ω
Ω
Theo (2.55), (2.57) và tính liên tục của hàm F, ta có
∫
|rmvj(x)|2
dx → 0 (2.60)
và
F (x, rmvj(x)) → F (x, rmv∞(x)) a.e. x ∈ Ω (2.61)
khi j → +∞ với moi m ∈ N. Hơn nǎa, tích phân (2.13) và (2.56), chúng ta
có
|F(x, rmvj(x))| ≤ a1|rmvj(x)| +
a2
a2 q
q
|rmvj(x)|
q 1
≤ a1rml(x) +
q
(rml(x)) ∈ L (Ω), (2.62)
a.e. x ∈ Ω và với moi m, j ∈ N. Do đó tà (2.61), (2.62) và Định lý h®i tụ
suy ra
F (·, rmvj(·)) → F (·, rmv∞(·)) trong L1
(Ω) (2.63)
khi j → +∞ với moi m ∈ N. Vì F(x, 0) = 0 với moi x ∈ Ω và (2.57), (2.63)
ta có
∫
F (x, rmvj(x))dx → 0 (2.64)
khi j → +∞ với moi m ∈ N. Do đó tà (2.58), (2.59), (2.60) và (2.64) ta
suy ra
JK,λ(tjuj) ≥JK,λ(rmǁujǁ−1
uj) = JK,λ(rmvj)
1
=
2
ǁrmvj ǁX0
—
λ
∫
|rmvj (x)|2
dx −
∫
F (x, rmvj (x))dx
=2m −
λ
∫
|rmvj
(x)|2
dx −
∫
F (x, rmvj (x))dx ≥ m,
với j đủ lớn và với moi m ∈ N. Tà đó suy ra
JK,λ(tjuj) → +∞ (2.65)
Ω
Ω
2
Ω
Ω

37
J ≤
γ 2
γ
∫
2
2 2
khi j → +∞.
Lưu ý rang với JK,λ(0) = 0 có (2.49). Ket hợp với (2.65), de dàng suy
ra tj ∈ (0, 1) và (2.58), chúng ta có
d
dt
|t=tj JK,λ(tuj) = 0
với moi j ∈ N, ta có
JK
′
,λ(tjuj), tj uj = t
d
j
dt
|t=tj JK,λ (tuj ) = 0. (2.66)
Chúng ta có
lim sup K,λ(tjuj) κ, (2.67)
j→+∞
với hang so dương κ. Trước khi cháng minh, lưu ý (1.11) và (1.15), đieu
ki n sau được thỏa mãn:
ton tại γ ≥ 1 sao cho: ∀x ∈ Ω, F(x, t′) ≤ γF(x, t); ∀t, t′ ∈ R, 0 < |t′| ≤ |t|,
(2.68)
Trong đó F là hàm cho bởi (2.48).
Tà (2.66) và (2.68), chúng ta có
1
γ
JK,λ (tjuj ) =
1
JK,λ(tjuj) —
1
JK
′
,λ(tjuj), tjuj
=
1
−F(x, t u (x))dx +
1
j
2
tjuj
Ω
(x)f(x, tjuj (x))dx
1
=
γ
F(x, tj uj(x))dx
≤
∫
Ω
F(x, uj(x))dx
=
1 1
u (x)f(x, u (x)) − F (x, u (x)) dx
=JK,λ(uj) —
1
JK
′
,λ(uj ), uj → c
∫
j j j
j
Ω

38
X0
X0 X0 X0
ǁ ǁ
∫
R2×Rn |u(x) − u(y)|2
K(x − y)dxdy
Ω
ǁ ǁ
X0
X0
khi j → +∞, theo (2.49) và (2.53). Đieu này cháng minh (2.67), mâu
thuan với (2.65). Do đó, dãy {uj}j∈N bị ch n trong X0.
Trư ng h p 2. Giả sả
v∞ /≡ 0. (2.69)
Khi đó, Ω′ := {x ∈ Ω : v∞(x) /= 0} có đ® đo Lebesgue dương và
|uj(x)| → +∞ a.e. x ∈ Ω′ (2.70)
khi j → +∞, theo (2.51), (2.54), (2.55) và (2.69).
Theo (2.49) và (2.51) de dàng suy ra
nghĩa là,
JK,λ(uj)
ǁujǁ2 → 0,
1 λ
2
−
2
|uj(x)|2
Ω ǁujǁ2
dx −
∫
Ω′
F(x, uj(x))
ǁujǁ2 dx −
∫
ΩΩ′
F(x, uj(x))
ǁujǁ2 dx = o(1)
(2.71)
khi j → +∞.
Bây giờ, chúng ta có đ c trưng của giá trị riêng đau λ1 của −LK,
nghĩa là,
λ1 =
u
với moi u ∈ X0
min
∈X0{0}
2
∫
|u(x)|2dx
,
1 2
ǁuǁL2(Ω) ≤
λ
ǁuǁX0
. (2.72)
Do đó, tà (2.71) và (2.72) suy ra
1 λ
∫
|uj(x)|2 ∫
F(x, uj(x))
∫
F (x, uj(x))
o(1) =
2
−
2 Ω
ǁuj 2 dx
X0
Ω′
ǁuj
2
dx −
ΩΩ′
dx
ǁuj
2
≤
1
max 1, 1 −
λ
−
∫
F (x, uj(x))
dx −
∫
F (x, uj(x))
dx
2 λ1
uj
2
Ω′
ΩΩ′
ǁujǁ2
(2.73)
X0
−
∫
ǁ
X0
1

39
ǁ ǁ
∫
→ ∞
X0
≥
X0
X0 X0
ǁ ǁ
∫
khi j → +∞. Chúng ta xét riêng hai tích phân tà (2.73). Ta có
F (x, uj(x)) F(x, uj(x)) |uj(x)|2
F (x, uj(x)) 2 ′
ǁuj
2
=
|uj(x)|2
=
ǁuj
2 |uj
(x)|2
|vj(x)| → +∞, x ∈ Ω
khi j → +∞, theo(2.44), (2.55), (2.70) và định nghĩa của Ω′. Do đó, áp
dụng Bő đe Fatou, đoi với tích phân thá nhat ta có
khi j → +∞.
F (x, uj(x))
dx + (2.74)
uj
2
Ω′
Đoi với tích phân thá hai tà (2.73), ta có
lim
j→+∞
F (x, uj(x))
dx 0 (2.75)
ǁujǁ2
ΩΩ′
(lưu ý rang giới hạn này ton tại theo (2.73) và (2.74)). Th t v y, tà (2.44)
kéo theo
lim
|t|→+∞
F(x, t) = +∞ đeu với moi x ∈ Ω. (2.76)
Do đó, theo (2.76) ton tại hai hang so dương t˜ và H sao cho
F (x, t) ≥ H (2.77)
với moi x ∈ Ω và |t| > t˜. M t khác, vì F liên tục trên Ω × R, nên ta có
F (x, t) ≥ min F (x, t) (2.78)
˜˜
(x,t)∈Ω×[−t,t]
với moi x ∈ Ω và |t| ≤ t˜. Khi đó, theo (2.77) và (2.78) suy ra
F(x, t) ≥ κ với moi (x, t) ∈ Ω × R (2.79)
với hang so κ.
Tóm lại, theo (2.73), (2.74) và (2.75) dan đen mâu thuan. Do đó, dãy
{uj}j∈N bị ch n trong X0.

40
≥
ε
2 2
ǁX0
−
2
ǁ
λ
Đe hoàn thi n cháng minh M nh đe 2.1.4, chúng ta có the sả dụng
Bước 2 trong cháng minh M nh đe 2.1.2.
Chúng ta nh n xét rang trong cháng minh M nh đe 2.1.4, (2.46) áp
dụng đe cháng minh bat đȁng thác (2.67).
Sau đây, ta cháng minh Định lý 2.1.3. Theo M nh đe 2.1.4 và (2.16),
chúng ta có JK,λ thỏa mãn đieu ki n Cerami (cũng là đieu ki n Palais-
Smale) và JK,λ(−u) = JK,λ(u) với moi u ∈ X0. Đe thỏa mãn đieu đi n
hình hoc (ii) của Định lý Fountain theo Bước 3 và đieu ki n (i). Chúng ta
sả dụng tính hǎu hạn của không gian con tuyen tính Yk và (2.44).
Th t v y, tà (2.44) với moi ε > 0, ton tại δε > 0 sao cho
F (x, t) ≥ ε|t|2
với moi x ∈ Ω và moi t ∈ R, |t| > δε, (2.80)
Theo Định lý Weierstrass, ta lại có
F(x, t) mε := min
x∈Ω,|t|≤δε
F (x, t) với moi x ∈ Ω và moi t ∈ R, |t| ≤ δε.
(2.81)
Lưu ý mε ≤ 0, vì F(x, 0) = 0 với moi x ∈ Ω. Theo (2.80) và (2.81), suy ra
F(x, t) ≥ ε|t|2
− Bε với moi (x, t) ∈ Ω × R
với hang so dương Bε (Bε ≥ εδ2
− mε).
Do đó Yk là hǎu hạn chieu, với moi u ∈ Yk, chúng ta có
J (u) = ǁu uǁ −
∫
F(x, u(x))dx
1 2 2
≤Ck,λǁuǁX0
− εǁuǁL2(Ω) + Bε|Ω|
2
(2.82)
≤(Ck,λ − εCk)ǁuǁX0
+ Bε|Ω|,
trong đó Ck,λ và Ck là các hang so dương (Ck,λ phụ thu®c vào k và λ và Ck
phụ thu®c vào k). Do đó, chon ε sao cho Ck,λ − εCk < 0, với moi u ∈ Yk,
Ω
2
K,λ L2(Ω)

41
ǁuǁX0 = rk,
JK,λ(u) ≤ 0,
với rk > 0 đủ lớn. V y JK,λ thỏa mãn đieu ki n (i) của Định lý Fountain
và do đó Định lý 2.1.3 hoàn toàn được cháng minh.
Đieu ki n khác được sả dụng trong khung Laplace cő đien được Liu
giới thi u trong [15]:
ton tại t¯> 0 sao cho với moi x ∈ Ω, (2.83)
f(x, t)
hàm t ›→
t
tăng neu t ≥ t¯và giảm neu t ≤ −t¯. (2.84)
Theo đieu ki n này, ta có ket quả sau:
Định lj 2.1.5. Cho s ∈ (0, 1), n > 2s và Ω là t¾p con mớ b ch¾n của Rn
{0} → (0, +∞) là hàm thóa mãn (2.3) và
(2.4) và f : Ω × R → R là hàm thóa mãn đieu ki n (2.12), (2.13), (2.16),
(2.44) và (2.45). Khi đó, với moi λ > R bài toán (2.1) có vô so nghi m
uj ∈ X0, j ∈ N, có năng lượng JK,λ(uj) → +∞ khi j → +∞.
Do đieu ki n phép đoi xáng ((2.16), neu u là nghi m yeu của bài toán
(2.1), thì −u cũng v y. Do đó, Định lý 2.1.5 đưa ra sự ton tại của vô so c p
{uj, −uj}j∈N là nghi m yeu của (2.1).
Chúng minh.
Bo đe 2.1.6. [15, Bő đe 2.3] Neu (2.83) được thóa mãn, thì với moi x ∈ Ω,
hàm F(x, t) tăng khi t ≥ t¯và giảm khi t ≤ −t¯, trong đó F là hàm được cho
bới (2.48). Cự the, ton tại C1 > 0 sao cho F(x, s) ≤ F(x, t) + C1 với moi
x ∈ Ω và 0 ≤ s ≤ t ho¾c t ≤ s ≤ 0.
M nh đe 2.1.7. Cho λ ∈ R và f : Ω × R → R là hàm thóa mãn các
đieu ki n (2.12), (2.13), (2.44) và (2.83). Khi đó, JK,λ thóa mãn đieu ki n
Cerami với moi cap c ∈ R.

42
2
∫ ∫
∫
L p lu n tương tự cháng minh M nh đe 2.1.4. Chúng ta thay bat
đȁng thác (2.67): đe cháng minh đieu đó trong M nh đe 2.1.4 chúng ta sả
dụng đieu ki n (2.46).
Cháng minh (2.67) được thỏa mãn bang cách sả dụng (2.83) và Bő
đe 2.1.6. Theo Bő đe 2.1.6, chúng ta có
JK,λ (tjuj) =JK,λ(tjuj) —
1
JK
′
,λ(tjuj ), tj uj =
∫
F(x, tj uj(x))dx
=
∫
{uj ≥0}
≤
F(x, tjuj(x))dx +
∫
{uj <0}
[F(x, uj(x)) + C1] +
F(x, tjuj(x))dx
[F(x, uj(x)) + C1]
{uj ≥0} {uj <0}
= F(x, uj(x))dx + C1|Ω|
Ω
=JK,λ(uj) —
1
JK
′
,λ(uj ), uj + C1 |Ω| → c + C1 |Ω|
khi j → +∞. Đieu này cháng minh (2.67). M nh đe 2.1.7 được cháng minh.
Hàm JK,λ thỏa mãn đieu ki n Cerami theo M nh đe 2.1.7, và do đó,
đieu ki n Palais-Smale cũng được thỏa mãn. Hơn nǎa, JK,λ(−u) = JK,λ(u)
với moi u ∈ X0, theo (2.16).
Với đ c điem hình hoc của JK,λ, đieu ki n (ii) của Định lý Fountain
theo Bước 3 cháng minh Định lý 2.1.1, đieu ki n (i) được cháng minh như
cháng minh Định lý 2.1.3. Do đó, ta có Định lý 2.1.5.
2.2 Sfi ton tại nhieu nghi m cho bài toán Laplace
phân thfí v i đ tăng t i hạn
Phan này đe c p đen ket quả đa b®i và chia đôi của bài toán phi tuyen
tính của toán tả Laplace phân thá (−∆)s
và liên quan đen Sobolev tới hạn.
Ω
2

43
∈
—
∫
Các ket quả trong phan này được trình bày tà [5]. Chúng ta xét
(−∆)s
u = γ|u|2∗
−2
u + f(x, u) trong Ω
u = 0 trong Rn
Ω,
Trong đó Ω ⊂ Rn
là t p mở bị ch n có biên liên tục, n > 2s với s ∈ (0, 1),
γ là tham so thực dương, 2∗ = 2n/(n − 2s) là mũ phân thá Sobolev tới hạn
và f là hàm Carathéodory thỏa mãn đieu ki n c n dưới khác. Chúng tôi
cháng minh hai ket quả khác của nhieu nghi m trong trường hợp f là hàm
lẻ. Khi f không đoi xáng, ke cả b®i: bài toán đang xét ton tại ít nhat hai
nghi m khác nhau.
đây, chúng tôi giải quyet bài toán sau
(−∆)s
u = γ|u|2∗
−2
u + f(x, u) trong Ω
(2.85)
u = 0 trong Rn
Ω,
Trong đó s ∈ (0, 1) co định, n > 2s, Ω ⊂ Rn
là m®t t p mở và bị ch n với
biên liên tục, 2∗ = 2n/(n − 2s) và (−∆)s
là toán tả Laplace phân thá, xác
định như sau
( ∆)s
u(x) =
Rn
2u(x) − u(x + y) − u(x − y)
dy, x Rn
. (2.86)
|y|n+2s
Liên quan đen hàm phi tuyen tính trong (2.85), giả sả f : Ω×R → R
là hàm Carathéodory thỏa mãn đieu ki n sau
sup{|f(x, t)| : x ∈ Ω, |t| ≤ M} < +∞ với moi M > 0. (2.87)
Đe thiet l p ket quả cho (2.85). Chúng ta can f(x, t) là so lẻ trong t, nghĩa
là
f(x, t) = −f(x, −t) với moi t ∈ R và a.e.x ∈ Ω, (2.88)
áp dụng Định lý Mountain Pass đoi xáng của Ambrosetti và Rabi-
nowitz. Tuy nhiên, với trường hợp cő đien, áp dụng đieu ki n yeu hơn so

44
∫
0
0
| − |
với đieu ki n Ambrosetti-Rabinowitz. V y, giả sả f và F là nguyên hàm của
nó, xác định như sau
thỏa mãn
F(x, t) =
f(x, t)
0
f(x, τ)dτ, (2.89)
t
lim
|t|→+∞ |t|2∗−1
= 0 đeu trong Ω; (2.90)
ton tại σ ∈ [0, 2) và a1, a2 > 0 sao cho
1 σ
2
f(x, t)t − F(x, t) ≥ −a1 − a2|t| với moi t ∈ R và x ∈ Ω;
(2.91)
ton tại σ ∈ (2, 2∗)vb1, b2 > 0 sao cho
F(x, t) ≤ b1|t|θ
+ b2 với moi t ∈ R và x ∈ Ω;
ton tại c1 > 0, h1 ∈ L1
(Ω) và Ω0 ⊂ Ω với |Ω0| > 0 sao cho
F (x, t) ≥ −h1(x)|t|2
− c1 với moi t ∈ R và x ∈ Ω và
F(x, t)
(2.92)
(2.93)
lim inf
|t|→+∞ |t|2
= +∞ đeu trong Ω0.
Định lj 2.2.1. Cho s ∈ (0, 1), n > 2s, Ω là t¾p con mớ b ch¾n của Rn
với biên liên tực và f là hàm thóa mãn (2.87), (2.88), (2.90), (2.91)-(2.93).
Khi đó, với moi k ∈ N ton tại γk ∈ (0, +∞] sao cho (2.85) có ít nhat
k c¾p nghi m không tam thường với moi γ ∈ (0, γk).
Sau đây, chúng ta cháng minh Định lý 2.2.1. Bài toán (2.85) có cau
trúc bien phân và không gian cháa nghi m là không gian Sobolev phân thá
Hs
(Ω). Đe nghiên cáu (2.85) với đieu ki n biên u = 0 trong Rn
Ω (trường
hợp Laplace cő đien, u = 0 trên ∂Ω), xét Hs
(Ω) với chuȁn Gagliardo định
nghĩa như sau
ǁuǁHs(Rn) = ǁuǁL2(Rn) +
∫∫
Rn×Rn
u(x) u(y) 2
|x − y|n+2s
dxdy
1/2
. (2.94)

45
0
| − |
ǁ —
2∗
ǁ
γ
2
2∗
Ω
Nhac lại rang không gian hàm với đieu ki n biên, ký hi u là X0( hay Xs
(Ω))
và được định nghĩa
X0 = {u ∈ Hs
(Rn
) : u = 0 trong Rn
Ω}. (2.95)
Khi ∂Ω liên tục, theo [13] không gian X0 là đóng của C0
∞
(Ω) đoi với chuȁn
(2.94). Áp dụng đe cháng minh đieu ki n compact cho hàm năng lượng
trong (2.85).
Trong X0, ta xét chuȁn
ǁuǁX0 =
∫∫
Rn×Rn
u(x) u(y) 2
|x − y|n+2s
dxdy
1/2
, (2.96)
tương đương với chuȁn thông thường được định nghĩa trong (2.94) ([14]).
Chú ý rang (X0, ǁ · ǁX0 ) là không gian Hilbert, với tích vô hướng
⟨u, v⟩X0 =
∫∫
Rn×Rn
(u(x) − u(y))(v(x) − v(y))
dxdy. (2.97)
|x − y|n+2s
Đe đơn giản hóa, ta ký hi u ǁ · ǁX0 và ⟨·, ·⟩X0
bang ǁ · ǁ và ⟨·, ·⟩ tương áng,
và ǁ · ǁLq (Ω) bang ǁ · ǁq với moi q ∈ [1, +∞]. Hàm u ∈ X0 là m®t nghi m
(yeu) của bài toán (2.85) neu u thỏa mãn các công thác sau
⟨u, ϕ⟩ = γ
∫
|u(x)2∗−2
u(x)ϕ(x)dx +
∫
f(x, u(x))ϕ(x)dx, (2.98)
với moi ϕ ∈ X0. Khi đó (2.98) là phương trình Laguler Euler của hàm
Jγ : X0 → R được định nghĩa
J (u) = ǁu uǁ −
∫
F(x, u(x))dx, (2.99)
1 2 γ 2∗
Trong đó F trong (2.89). De thay Jγ được xác định theo (2.87)- (2.90) và
[14]. Hơn nǎa, Jγ ∈ C1
(X0), các điem tới hạn của Jγ là nghi m của bài
toán (2.98), và là nghi m yeu của (2.85).
Cháng minh Định lý 2.2.1 dựa trên phương pháp bien phân và phương
pháp tôpô. đây chúng tôi can Định lý Mountain Pass đoi xáng.
Định lj 2.2.2 (Định lý điem tới hạn tőng quát). Cho E = V ⊕ X, trong đó
E là không gian Banach thực và V là hũu hạn chieu. Giả sủ I ∈ C1
(E, R)
là hàm thóa mãn các đieu ki n:
Ω Ω

46
I
∗
2
0
0
0
(I1) I(u) = I(−u) và I(0) = 0;
(I2) ton tại hang so ρ > 0 sao cho I|∂Bρ∩X ≥ 0;
(I3) ton tại không gian con W ⊂ E với dim V < dim W < +∞ và M > 0
sao cho max (u) < M;
u∈W
(I4) xét M > 0 tù (I3), I(u) thóa mãn đieu ki n (PS)c với 0 ≤ c ≤ M.
Khi đó, ton tại ít nhat dimW − codimV c¾p các điem tới hạn không
tam thường của I.
Chúng minh Đ nh lý 2.2.1. Trước het, chúng ta cháng minh hàm Jγ thỏa
mãn đieu ki n (PS)c. Chúng tôi sả dụng m®t so tính chat của hàm phi
tuyen tính f và F nguyên hàm của nó. Tà (2.87) và (2.90) với moi ε > 0
ton tại hang so Cε > 0 sao cho
|f(x, t)t| ≤ Cε + ε|t| với moi t ∈ R và x ∈ Ω (2.100)
và
ε 2∗
|F(x, t)| ≤ Cε +
2∗
|t| với moi t ∈ R và x ∈ Ω. (2.101)
Chúng ta nhớ lại rang {uj}j∈N ⊂ Xs
(Ω) là dãy Palais-Smale của Jγ cap
c ∈ R (trong dãy (PS)c) neu
Jγ(uj) → c và Jγ
′
(uj) → 0 khi j → +∞. (2.102)
Khi đó Jγ thỏa mãn đieu ki n Palais-Smale cap c neu có dãy Palais-Smale
{uj}j∈N cap c ton tại m®t dãy con h®i tụ trong Xs
(Ω). Trước tiên chúng ta
cháng minh dãy (PS)c bị ch n.
Bo đe 2.2.3. Cho f thóa mãn (2.87), (2.90) và (2.91). Với moi γ > 0, cho
c > 0 và {uj}j∈N là dãy (PS)c của Jγ.
Khi đó, {uj}j∈N b ch¾n trong Xs
(Ω).

47
ǁu ǁ
j
∗
2 2 σ
∗
2
∗
2 ∗
2
0
2∗
s
# 1
j —
2
Jγ j j 2∗ 2
j 2∗
ǁ
Chúng minh. Co định γ > 0. Tà (2.102) ton tại C > 0 sao cho
|Jγ(uj )| ≤ C và |Jγ
′
(uj )
uj
| ≤ C với moi j ∈ N. (2.103)
Hơn nǎa, tà (2.91) và bat đȁng thác Hölder, ta có
(u )
1 ′
(u )(u )
sγ
u ǁ − a |Ω| − a |Ω
2∗−
∗
σ
u ǁ . (2.104)
Tà bat đȁng thác Young với p = 2∗/σ và q = 2∗/(2∗ − σ), suy ra
σ 2∗
ǁujǁ2∗ ≤ δǁujǁ2∗ + Cδ,
với δ > 0, Cδ. Bat đȁng thác cuoi cùng ket hợp với (2.103) và (2.104) cho ta
ǁujǁ2∗
≤ C′(ǁujǁ + 1), (2.105)
với hang so dương C′.
Bây giờ, tà (2.101), (2.103) và (2.105) ta có
C ≥ Jγ (uj) ≥
1
2
uj ǁ2
−
C′γ
—
C′
ε
(1 + ǁu ǁ) − Cε |Ω|,
V y {uj}j∈N bị ch n trong Xs
(Ω).
Bây giờ, chúng ta cháng minh tính compact tương đoi của dãy (PS)c
theo cap a.
Bo đe 2.2.4. Cho f thóa mãn (2.87), (2.90) và (2.91). Khi đó, với moi
M > 0 ton tại γ∗ > 0 sao cho Jγ thóa mãn (PS)c đieu ki n với moi
c ≤ M, với 0 < γ < γ∗.
Chúng minh. Co định M > 0. Đ t
γ∗ = min S(n, s),
n
(S(n, s))2s
2∗−σ
n(M + A)
n/2s−2∗/(2∗−σ)
(2.106)
Jγ j ≥
n
ǁ 1 | ǁ
j
"

48
−
∗
| − | |
0
0
2 2
∗
s/2 2 2 n
0 0
0 0
với
A = a1 |Ω| + a2
2∗ σ
|Ω| 2 , (2.107)
trong đó a1, a2, σ là các hang so được cho trong (2.91), S(n, s) là hang so
của toán tả nhúng Sobolev phân thá, được định nghĩa
S(n, s) = inf
∫∫
Rn×Rn
v(x) v(y) 2
x − y|n+2s
dxdy
> 0. (2.108)
v∈Hs(Rn){0}
R
∫
n
|v(x)|2∗
2/2∗
Với γ < γ∗ và c < M, ta xét dãy (PS)c, {uj}j∈N của Jγ. Tà Bő đe 2.2.3
chúng ta có {uj}j∈N bị ch n trong Xs
(Ω), khi đó ton tại u ∈ Xs
(Ω) sao cho
uj ~ u yeu trong Xs
(Ω), (2.109)
với q ∈ [1, 2∗) và
uj → u trong Lq
(Ω), (2.110)
uj → u trong Ω, (2.111)
khi j → +∞. Bây giờ, ta có
ǁujǁ → ǁuǁ khi j → +∞, (2.112)
de thay uj → u trong Xs
(Ω) khi j → +∞, theo (2.109). Trước het, tà Định
lý Phrokorov, suy ra ton tại đ® đo dương µ và ν trên Rn
sao cho
|(−∆) uj(x)| dx ~ µ và |uj(x)| dx ~ ν trong M(R ) (2.113)
khi j → +∞. Các đieu ki n trên ∂Ω, de thay Xs
(Ω) là đóng của C∞(Ω)
đoi với chuȁn (2.94). Do đó, ta có t p hợp đem được của các điem riêng

49
0
0
.
ν = |u(x)|2∗
dx +
Σ
νiδx , µ = |(−∆)s/2
u(x)|2
dx + µ̃ +
Σ
µiδx , (2.114)
i
2 2
j
n+2s
dxdy = .(−∆) v(x)
(2.115)
γ
Rn
bi t {xi}i∈J các so không âm {νi}i∈J, {µi}i∈J và đ® do dương
µ̃ ⊂ Ω, sao cho
µ̃, với Supp
i∈J
và
i
ν ≤ S(n, s)−
2∗
µ
2∗
i
i∈J
với moi i ∈ J , trong đó S(n, s) là hang so cho trong (2.108). Bây giờ, đe
cháng minh (2.112) chúng ta thực hi n các bước sau.
Bư c 1. Co định i0 ∈ J. Khi đó, νi0 = 0 ho c
S(n, s) n/2s
Chúng minh. Cho ψ ∈ C0
∞
(Rn
, [0, 1]) sao cho ψ ≡ 1 trong B(0, 1) và ψ ≡ 0
trong Rn
B(0, 2). Với moi δ ∈ (0, 1), ta có
ψδ,i0 (x) = ψ((x − xi0 )/δ).
Rõ ràng dãy {ψδ,i uj}j∈N bị ch n trong Xs
(Ω) theo Bő đe 2.2.3 và như v y
0
tà (2.102) suy ra
0
Jγ
′
(uj)(ψδ,i0uj) → 0
khi j → +∞. Tác là
o(1)+
∫∫
Rn×Rn
(uj(x) − uj(y))(ψδ,i0(x)uj(x) − ψδ,i0(y)uj(y))
dxdy
|x − y|n+2s
=γ
Ω
khi j → +∞.
|uj(x)|2∗
ψδ,i (x)dx +
∫
f(x, uj(x))ψδ,i0(x)uj(x)dx,
(2.117)
ta có
Theo định nghĩa của (−∆)s
đã cho trong (2.86), với moi v ∈ Xs
(Ω),
∫∫
|v(x) − v(y)|2
∫
. s/2 .
|x − y|
n
R
n×
R
Ω
2
νi0 ≥ . (2.116)
dx.
∫

50
0
0
0
0
.
δ→0 j→+∞
δ→0 j→+∞ . |x − y|n+s
(2.1
.
22)
— −
∫
∫
— −
— −
∫
. −
và
Bang cách lay đạo hàm đȁng thác trên, với moi v, w ∈ Xs
(Ω) chúng ta có
∫∫
Rn×Rn
(v(x) − v(y))(w(x) − w(y))
dxdy =
|x − y|n+2s
( ∆)s/2
v(x)( ∆)s/2
w(x)dx.
Rn
(2.118)
Hơn nǎa, với moi v, w ∈ Xs
(Ω) ta có
(−∆)s/2
(vw) = v(−∆)s/2
w + w(−∆)s/2
v − 2Is/2(v, w), (2.119)
trong đó
Is/2(v, w)(x) = P.V.
∫
R
(v(x) − v(y))(w(x) − w(y))
dy
|x − y|n+s
với moi x ∈ Rn
. Do đó, theo (2.118) và (2.119) tích phân bên trái của (2.117)
trở thành
∫∫
Rn×Rn
(uj(x) − uj(y))(ψδ,i0(x)uj(x) − ψδ,i0(y)uj(y))
dxdy
|x − y|n+2s
= ( ∆)s/2
uj(x)( ∆)s/2
(ψδ,i uj)(x)dx
Rn
= uj(x)( ∆)s/2
uj(x)( ∆)s/2
ψδ,i (x)dx
Rn
(2.120)
+ ( ∆)s/2
uj
Rn
2
(x) ψδ,i0 (x)dx
−2
∫
R
(−∆)s/2
uj (x)
∫
R
(uj(x) − uj(y))(ψδ,i0(x) − ψδ,i0(y))
dxdy.
|x − y|n+s
M t khác ta có
lim lim uj(x)(−∆)s/2
uj(x)(−∆)s/2
ψδ,i0(x)dx. = 0 (2.121)
lim
lim .
∫
(−∆)s/2
u (x)
∫
(uj(x) − uj(y))(ψδ,i0(x) − ψδ,i0(y))
dxdy. = 0.
Rn
Rn
∫
Rn
j
n
n
.
∫

51
0
S
(
n
,s
)
Khi đó, bang cách ket hợp (2.120)-(2.122) và (2.113)-(2.114) suy ra
lim lim
∫∫
(uj(x) − uj(y))(ψδ,i (x)uj(x) − ψδ,i (y)uj(y))|x − y|n+2s
dxdy
δ→0 j→+∞
Rn×Rn
0 0
≥ µi0 .
(2.123)
Theo (2.100) và Định lý h®i tụ chúng ta có
∫
B(xi0,2δ) f(x, uj(x))uj(x)ψδ,i0 (x)dx
→
∫
B(xi0,2δ)
f(x, u(x))u(x)ψδ,i0 (x)dx khi j → +∞,
và do đó δ → 0, de thay
lim lim
j
f(x, uj(x))uj(x)ψδ,i0 (x)dx = 0. (2.124)
Hơn nǎa, tà (2.113) kéo theo
∫
|uj(x)|2∗
ψδ,i (x)dx →
∫
ψδ,i0 (x)dν khi j → +∞.
Ket hợp với (2.117), (2.123) và (2.124) chúng ta có
νi0
µi0
≥
γ
.
Do đó, tà (2.115) với i = i0 chúng ta có
ν2/2
∗
S(n, s)
νi0 ≥
i0
,
γ
V y νi0 = 0 ho c νi0 thỏa mãn (2.116). Bước 1 được cháng minh.
Bư c 2. (2.116) không the xảy ra, do đó νi0 = 0.
Chúng minh. De thay
dν <
Ω
n
2s
. (2.125)
γ
Ω
Ω
δ→0 →+∞ B(xi0,2δ)
∫
∫

52
2s
∫
∗
2 σ
∫ ∫
−
∗
∫
n
(
M+ A)
2∗
n − 2∗
2∗−σ < (S(n, s))2s
Ω
"
Ω
Ω
Chúng ta xét hai trường hợp. Trước het, giả sả
∫
dν ≤ 1. (2.126)
khi γ < γ∗ và theo (2.106) (γ∗ < S(n, s) ), chúng ta có
S(n, s)
n
1 < ,
γ
suy ra (2.125), theo (2.126).
Bây giờ, giả sả Ω dν > 1. Khi {uj}j∈N là dãy (PS)c của Jγ, l p lu n
như trong Bő đe 2.2.3 (công thác (2.104)) chúng ta có
(u )
1 ′
(u )(u ) sγ u ǁ − a |Ω| − a
|Ω
2∗−
∗
σ u ǁ . (2.127)
Jγ j —
2
Jγ j j ≥
n
ǁ j 2∗ 1
2 | 2 ǁ j 2∗
khi j → +∞ trong (2.127) và áp dụng (2.102), (2.113) ta có
sγ
n
dν ≤c + a1|Ω| + a2|Ω|
σ
2∗ σ 2∗
2 dν
Ω
σ
2∗−σ 2∗
≤ M + a1|Ω| + a2|Ω| 2∗
dν
=(M + A)
σ
2∗
dν ,
Ω
Vì c ≤ M và định nghĩa của A cho trong (2.107). Do đó ta có
∫
dν ≤
2∗
2∗−σ
sγ
. (2.128)
Tà (2.106) và γ < γ∗, ta suy ra
2∗−σ
1
n/2s−2∗/(2∗−σ)
n
γ < (S(n, s))2s
s ,
n(M + A)
nghĩa là
2∗
,
n(M + A)
n
γ2s
Ω
#
s 2∗−σ
∫

53
n
(
M+ A)
S
(
n
,
s
)
0
0
Ω Ω
v y
2∗ n
2∗σ 2s
< .
sγ γ
Ket hợp với (2.128) suy ra (2.125). Do đó, Bước 2 được cháng minh và
νi0 = 0.
Bư c 3. Cháng minh (2.112) đúng.
Chúng minh. Xét i0 tùy ý trong Bước 1, chúng ta suy ra νi = 0 với moi
i ∈ J. Do đó, tà (2.113) và (2.114) kéo theo uj → u trong L2∗
(Ω) khi
j → +∞. V y, tà (2.100), ta có
Jγ
′
(uj) → 0 khi j → +∞ (2.129)
({uj}j∈N là dãy (PS)c của Jγ ) và Định lý h®i tụ, chúng ta có
lim
j→+∞
ǁujǁ2
= γ
∫
|u(x)|2∗
dx +
∫
f(x, u(x))u(x)dx. (2.130)
Hơn nǎa, do uj ~ u trong Xs
(Ω) và theo ((2.100), (2.129), Định lý h®i tụ
chúng ta có
⟨u, ϕ⟩ = γ
∫
|u(x)|2∗
−2
u(x)ϕ(x)dx +
∫
f(x, u(x))ϕ(x)dx, (2.131)
với moi ϕ ∈ Xs
(Ω). Do đó, ket hợp (2.130) và (2.131) với ϕ = u chúng tôi
suy ra (2.112), Bước 3 được cháng minh.
Do đó, Bő đe 2.2.4 hoàn toàn được cháng minh.
Ký hi u {λj}j∈N là dãy các giá trị riêng của bài toán sau
(−∆)s
u = λu trong Ω
u = 0 trong Rn
Ω.
(2.132)
Ω
Ω

54
0
0
0
0
0
r
0 0
với
0 < λ1 < λ2 ≤ ... ≤ λj ≤ λj+1 ≤ ... (2.133)
λj → +∞ khi j → +∞,
với ej là hàm riêng tương áng với λj. Hơn nǎa, chon {ej}j∈N chuȁn hóa sao
cho dãy là cơ sở trực chuȁn của L2
(Ω) và cơ sở trực giao của Xs
(Ω). Nghiên
cáu ve phő của toán tả Laplace (−∆)s
.
Với moi j ∈ N, Đ t
Pj+1 = {Xs
(Ω) : ⟨u, ei⟩ = 0 với moi i = 1, ..., j}( với P1 = Xs
(Ω)),
được định nghĩa, khi đó
Hj = span{e1, ..., ej}
là không gian con tuyen tính tạo bởi các hàm riêng đau tiên j của (−∆)s
.
De thay Pj+1 = Ḣj
⊥
với tích vô hướng trong Xs
(Ω) được định nghĩa trong
(2.97). Do đó, vì Xs
(Ω) là không gian Hilbert và (2.11)), chúng ta có
Xs
(Ω) = Hj ⊕ Pj+1
với moi j ∈ N. Hơn nǎa, khi {ej}j∈N là cơ sở trực giao của Xs
(Ω), de thay
với moi j ∈ N
Pj+1 = spanei : i ≥ j + 1.
Trước khi nghiên cáu và cháng minh tính chat hình hoc của Jγ chúng ta
can đieu ki n mạnh của phép nhúng Sobolev cő đien. Trong đó hang so của
phép nhúng được lựa chon.
Bo đe 2.2.5. Cho r ∈ [2, 2∗) và δ > 0.
Khi đó, ton tại j ∈ N sao cho ǁuǁr
≤ δǁuǁr
với moi u ∈ Pj+1.

55
r
0
0
0
0
Σ
Chúng minh. Ta cháng minh bang phản cháng. Giả sả ton tại δ > 0 sao cho
moi j ∈ N ton tại uj ∈ Pj+1 thỏa mãn ǁujǁr
> δǁujǁr
. Xét vj = uj/ǁujǁr
,
ta có vj ∈ Pj+1,
ǁvjǁr = 1 (2.134)
và ǁvjǁ < 1/δ với moi j ∈ N. Như v y, dãy {vj}j∈N bị ch n trong Xs
(Ω)
suy ra ton tại v ∈ Xs
(Ω) sao cho
vj ~ v trong Xs
(Ω)
và
vj → v trong LR
(Ω) (2.135)
khi j → +∞. Do đó, tà(2.134) và (2.135) ta suy ra
ǁvǁr = 1. (2.136)
Hơn nǎa, khi {ej}j∈N là cơ sở trực giao của Xs
(Ω), chúng ta có
∞
v = ⟨v, ej⟩ ej.
j=1
Bây giờ, cho k ∈ N ta có ⟨vj, ek⟩ = 0 với moi j ≥ k, vì vj ∈ Pj+1. Tà đó
suy ra ⟨v, ek⟩ = 0 với moi k ∈ N, nghĩa là v ≡ 0. M t khác, đieu này mâu
thuan với (2.136). Do đó, Bő đe 2.2.5 được cháng minh.
Sau đây, ta cháng minh Đinh lý 2.2.1. Đe cháng minh Định lý 2.2.1,
chúng ta cháng minh rang hàm năng lượng Jγ thỏa mãn (I2) và (I3) của
Định lý 2.2.2. Chúng ta xét V = Hj và X = Pj+1 , với j ∈ N.
Bo đe 2.2.6. Cho f thóa mãn 2.92. Khi đó, ton tại γ̃ > 0, j ∈ N và,
ρ, α > 0 sao cho Jγ(u) ≥ α, với moi u ∈ Pj+1 với ǁuǁ = ρ và 0 < γ < γ̃.

56
θ ∗
2
0
∗
2
∗
2
8
0
J
1
γ 1
2
Chúng minh. Lay γ > 0. Theo (2.92) chúng ta có hang so c > 0 sao cho
Jγ(u) ≥ ǁuǁ2
− b 1ǁuǁθ − b2 |Ω| − γcǁuǁ , (2.137)
với moi u ∈ Xs
(Ω). Cho δ > 0 đủ lớn. Theo (2.137) và Bő đe 2.2.5 suy ra
ton tại j ∈ N sao cho
J (u) ≥ ǁuǁ2 1
− b δǁuǁθ−2
− b |Ω| − γcǁuǁ , (2.138)
2
với moi u ∈ Pj+1.
Bây giờ, xét ǁuǁ = ρ = ρ(δ), với ρ sao cho b1δρθ−2
= 1/4, do đó
Jγ(u) ≥
với moi u ∈ Pj+1, theo (2.138).
1 2∗
4
ρ2 − b2|Ω| − γcρ
De thay ρ(δ) → +∞ khi δ → 0, vì θ > 2. Do đó, chúng ta có the
chon δ đủ nhỏ sao cho ρ2
/4 − b2|Ω| ≥ ρ2
/8, trong đó
Jγ(u) ≥
với moi u ∈ Pj+1 với ǁuǁ = ρ.
1
ρ2
8
— γcρ ,
Cuoi cùng, cho γ̃ > 0 sao cho 1
ρ2
− γ̃cρ2∗
= α > 0. Khi đó, ta có
Jγ(u) ≥ Jγ̃(u) ≥ α
với moi u ∈ Pj+1 với ǁuǁ = ρ và moi γ ∈ (0, γ̃), Bő đe được cháng minh.
Bo đe 2.2.7. Cho f thóa mãn (2.93). Và l ∈ N. Khi đó, ton tại không gian
con W của Xs
(Ω) và hang so Ml > 0, đ®c l¾p của γ, sao cho dimW = l và
max 0(u) < Ml.
u∈W
Chúng minh. Xét trường hợp toán tả Laplacian cő đien. Chúng ta sả dụng
các tính chat của hàm riêng của (−∆)s
.
2

57
0
Theo Bő đe 2.2.6 ta thay j ∈ N và γ̃ > 0 sao cho Jγ thỏa mãn (I2)
trong X = Pk+1, với moi 0 < γ < γ̃. Theo Bő đe 2.2.7, với moi k ∈ N có
không gian con W ⊂ Xs
(Ω) với dim W = k + j sao cho Jγ thỏa mãn (I3)
với M = Mj+k > 0 với moi γ > 0, vì Jγ < J0.
Cuoi cùng, tà Bő đe 2.2.4, xét γ đủ nhỏ đe Jγ thỏa mãn (I4) với moi
0 < γ < γ̃. Do đó, áp dụng Định lý 2.2.2 suy ra Jγ có k c p điem tới
hạn không tam thường với γ > 0 đủ bé. Do đó, Định lý 2.2.1 được cháng
minh.
Ket quả tiep theo, tính ke cả b®i của nghi m cho (2.85) giả sả rang
F nguyên hàm thỏa mãn tăng tới hạn chung (2.92). Tuy nhiên, ta can đieu
ki n mạnh hơn (2.93). Nghĩa là, cho j, k ∈ N với j ≤ k, ta xét các phiên
bản khác của (2.92) và (2.93)
ton tại hàm đo được a : Ω → R sao cho
F(x, t)
lim sup 2
t→0 |t|2
= a(x) đeu trong Ω, (2.139)
a(x) ≤ γj trong Ω và a(x) < γj trên t p dương đo được trong Ω;
ton tại B > 0 sao cho
|t|2 (2.140)
F (x, t) ≥ γk
2
− B với moi t ∈ R và a.e. x ∈ Ω,
trong đó γj ≤ γk là giá trị riêng của (−∆)s
. Áp dụng Định lý Mountain
Pass [1], ta thu được ket quả sau:
Định lj 2.2.8. Cho s ∈ (0, 1), n > 2s, Ω là t¾p con mớ b ch¾n của Rn
với
biên liên tực. Cho j, k ∈ N, với j ≤ k và f là hàm thóa mãn (2.87), (2.88),
(2.90), (2.91), (2.139) và (2.140).
Khi đó, ton tại γk,j ∈ (0, +∞] sao cho (2.85) có ít nhat c¾p k − j + 1
nghi m không tam thường với moi γ ∈ (0, γk,j).

58
0
2
0 0
i i
i
i 2
Ω
Ω
Chúng minh Đ nh lý 2.2.8. Áp dụng Định lý 2.2.2 với hàm Jγ. Xét λj ≤ λk
trong ((2.139) và (2.140), chúng ta có hai trường hợp. Khi j = 1 ta đ t
V = {0}, vì v y X = Xs
(Ω): đieu này phù hợp với P1 = Xs
(Ω). Neu j > 1
xét X = Pj và V = Hj−1. Hơn nǎa, W = Hv là không gian con của Xs
(Ω)
trong (I3).
Bây giờ, đe cháng minh đieu ki n (I2) và (I3) trong Định lý 2.2.2 xét
hai đ c điem khác của giá trị riêng của (−∆)s
. Với moi j ∈ N chúng ta có
ǁuǁ2
λj = min 2 , (2.141)
tà [19] de thay
u∈Pj {0} ǁuǁ2
ǁuǁ2
λj = max 2
(2.142)
u∈Hj {0} ǁuǁ2
Hơn nǎa, chúng ta có bő đe sau:
Bo đe 2.2.9. Cho a : Ω → R là hàm đo được trong (2.139). Khi đó, ton
tạiβ > 0 sao cho với moi u ∈ Pj
ǁuǁ2
−
∫
a(x)|u(x)|2
dx ≥ βǁuǁ2
.
Chúng minh. Ta cháng minh bang phản cháng. Giả sả với moi i ∈ N ton
tại ui ∈ Pj sao cho
ǁu ǁ2
−
∫
a(x)|u (x)|2
dx <
1
ǁu ǁ2
. (2.143)
Cho vi = ui/ǁuiǁ2. Hien nhiên, vi ∈ Pj và
ǁviǁ2 = 1 (2.144)

59
0
0 0
Ω
Ω
với moi i ∈ N. Tà (2.139), (2.141), (2.143) và (2.144) chúng ta có
λj ≤ǁviǁ2
<
∫
a(x)|v (x)|2
dx +
1
≤λj
∫
i
|vi(x)|
1
i
1
dx +
i
(2.145)
≤λj +
i
với moi i ∈ N. Tà đây, chúng ta có {vi}i∈N là dãy bị ch n trong Xs
(Ω). Do
đó, ton tại v ∈ Xs
(Ω) như v y, vi h®i tụ yeu đen v trong Xs
(Ω), h®i tụ
mạnh trong L2
(Ω) khi j → +∞ và |vi| ≤ h ∈ L2
(Ω) trong Ω. Do đó, tà
(2.144) chúng ta có ǁvǁ2 = 1, v y v hau khap nơi khác với 0 trong Ω, tác là
v /≡ 0 trong Ω. (2.146)
khi i → +∞ trong (2.145) và áp dụng Định lý h®i tụ và (2.143), chúng ta
suy ra
∫
(λj − a(x))|v(x)|2
dx = 0. (2.147)
Khi đó, (2.139), (2.146) và (2.147) ta có
a(x) = λj trong Ω,
mâu thuan với giả định (2.139). Do đó, Bő đe 2.2.9 được cháng minh.
Bây giờ chúng ta cháng minh Jγ thỏa mãn (I2) và (I3) của Định lý
2.2.2.
Bo đe 2.2.10. Cho f thóa mãn (2.87), (2.90) và (2.139).
Khi đó, với moi γ > 0 ton tại ρ, α > 0 sao cho Jγ(u) ≥ α với moi
u ∈ Pj với ǁuǁ = ρ.
Ω
2

60
1 + ε
′1 + ε
1 + ε′ 1 + ε 2
ǁ —
2∗
ǁ
dx —
2∗
(γ + Cε)ǁuǁ2∗ −
2
ǁuǁ2
Ω
Ω
Ω
γ
2
2∗
Ω
Chúng minh. Co định γ > 0. Theo (2.87), (2.90) và (2.139), suy ra với moi
ε > 0 ton tại Cε > 0 sao cho
|F(x, t)| ≤
Cε 2∗
2∗
|t| +
a(x) + ε 2
2
|t| , (2.148)
với moi t ∈ R và x ∈ Ω. Bây giờ, giả sả β > 0 như trong Bő đe 2.2.9 và
ε > 0 sao cho β − ε′λj > 0. Do đó, theo (2.139) và Bő đe 2.2.9, chúng ta có
ǁuǁ2
−
∫
a(x)|u(x)|2
dx
=
1 + ε′
ǁuǁ2
−
∫
a(x)|u(x)|2
dx
ε′
=
1 + ε′
ǁuǁ2
+
1
ǁuǁ2
−
∫
a(x)|u(x)|2
dx − ε′
∫
a(x)|u(x)|2
dx
≥
ε′
ǁuǁ2
+
1
(βǁuǁ2
− ε′
∫
a(x)|u(x)|2
dx)
ε′
≥
1 + ε′
ε′
ǁuǁ2
+
∫
2
(β − ε′λj )|u(x)|2
dx
≥
1 + ε′
ǁuǁ ,
với moi u ∈ Pj. Tà (2.148) chúng tôi có
J (u) = ǁu uǁ −
∫
F(x, u(x))dx
1 2 γ 2∗
1 2
∫ 2 1
2∗ ε 2
ε′
2 1 2∗ ε 2
≥
2(1 + ε′)
ǁuǁ —
2∗
(γ + Cε)ǁuǁ2∗ −
2
ǁuǁ2,
với moi u ∈ Pj. Do đó, ε > 0 đủ nhỏ, suy ra ton tại hang so K, C > 0 sao
cho
Jγ(u) ≥ Kρ2
− Cρ2∗
(2.149)
với moi u ∈ Pj với ǁuǁ = ρ. Lay ρ > 0 đủ nhỏ, (2.149) kéo theo
Jγ(u) ≥ α
Ω
Ω
≥
2
ǁuǁ − a(x)|u(x)|
Ω
Ω

61
J
−
0
với α > 0 và 2∗ > 2. Bő đe được cháng minh.
Bo đe 2.2.11. Cho f thóa mãn (2.140).
Khi đó, với moi γ > 0 ton tại hang so M > 0, không phự thu®c vào γ, sao
cho max γ(u) < M.
u∈Hk
Chúng minh. Co định γ > 0. Tà (2.140) và (2.142), với moi u ∈ Hk{0} ta
có
1 2 λk 2 γ 2∗
Jγ(u) ≤
2
ǁuǁ —
2
ǁuǁ2 −
2∗
ǁuǁ2∗ + B|Ω|
γ 2∗
≤B|Ω| −
2∗
ǁuǁ2∗
<B|Ω|,
Bő đe 2.2.11 được cháng minh .
Sau đây, ta cháng minh Định lý 2.2.8. Theo Bő đe 2.2.4, 2.2.10 và
2.2.11, ton tại γ∗ > 0 đủ nhỏ sao cho Jγ thỏa mãn (I2)-(I4) của Định lý
2.2.2 với moi γ ∈ (0, γ∗). Lại có Pj = Hj
⊥
1, ta có codim Pj = j − 1. Do
đó, theo Định lý 2.2.2 ta suy ra Jγ có k − j + 1 c p điem tới hạn không
tam thường với moi γ ∈ (0, γ∗). V y, Định lý 2.2.8 hoàn toàn được cháng
minh.
Nh n xét 2.2.12. Chúng tôi muon chỉ ra rang khi j = 1, chúng tôi cũng
có the thay the (2.59) bang (2.57) và Định lý 2.2.8 van đúng. Th t v y,
chúng ta l p lu n tương tự như trong cháng minh Định lý 2.2.2, bang cách
sả dụng Bő đe 2.2.10 (với P1 = Xs
(Ω)) thay vì Bő đe 2.2.6.
M®t câu hỏi tự nhiên là đieu gì xảy ra khi f không đoi xáng? Bang
cách sả dụng Định lý Mountain Pass chúng ta thu được ít nhat hai nghi m
khác nhau:

62
∈ I ≤
(−∆)s
u = γu2∗
−1
+ f
˜(x, u) trong Ω
Định lj 2.2.13. Cho s ∈ (0, 1), n > 2s, Ω là t¾p con mớ b ch¾n của
Rn
với biên liên tực. Giả sủ f thóa mãn f (x, 0) = 0, (2.87), (2.90), (2.91),
(2.139) và (2.140) với j = k = 1.
Khi đó, ton tại γ1 > 0 sao cho (2.85) có m®t nghi m không tam thường
không âm và m®t nghi m không âm, không tam thường với moi γ ∈ (0, γ1).
Đe cháng minh Định lý 2.2.13, chúng ta áp dụng Định lý Mountain
Pass:
Định lj 2.2.14. Cho E là m®t không gian Banach thực. Giả sủ I ∈
C1
(E, R) là m®t hàm thóa mãn các đieu ki n sau:
(I1) I(0) = 0;
(I2) ton tại hang so ρ > 0 sao cho I|∂Bρ ≥ 0;
(I3) ton tại v1 ∂B1 và M > 0 sao cho sup (tv1) M;
t≥0
(I4) xét M > 0 tù (I3), I(u) thóa mãn đieu ki n (PS)c với 0 ≤ c ≤ M.
Khi đó, I có điem tới hạn không tam thường.
Chúng minh Đ nh lý 2.2.13. Bài toán (2.85) có nghi m không địa phương
không tam thường. Chúng ta nghiên cáu bài toán sau
trong đó
u ≥ 0 trong Ω
u = 0 trong Rn
Ω,
f
˜(x, t) =
f(x, t) neu t > 0
0 neu t ≤ 0.
(2.150)
(2.151)

63
1 2 γ
˜
0
∗
2
F(x, t) = f(x, τ)dτ.
Th t v y, nghi m không tam thường của (2.150) là nghi m không địa phương
không tam thường của (2.85).
Hàm năng lượng (2.150) được đưa ra bởi
J
˜ (u) = ǁuǁ −
∫
(u(x))2∗
dx −
∫
F̃(x, u(x))dx, (2.152)
γ
2
trong đó
2∗
Ω
˜
Ω
∫ t
˜
Chúng ta có hàm ch t f˜ thỏa mãn (2.87), (2.90), (2.91) và (2.139),
trong khi đó (2.140) đúng với
t < 0.
f˜ với moi t ≥ 0 nhưng không đúng với moi
Th t v y, đe áp dụng Định lý 2.2.14, chúng ta lưu ý rang Jγ van thỏa
mãn (I2) theo Bő đe 2.2.10 với P1 = Xs
(Ω). Đe cháng minh (I3) của Định
lý 2.2.14 chúng ta cháng minh như sau.
Cho e1 là hàm riêng của (−∆)s
áng với λ1. Vì e1 dương, theo suy ra
F̃(x, te1(x)) = F(x, te1(x)) với moi t > 0 và x ∈ Ω. Vì v y, chúng ta áp
dụng (2.140) với moi t > 0
J
˜γ(te1
1
) =
2
ǁte1ǁ
t2
2
γ
—
2∗
ǁte1
t2
ǁ2∗
−
∫
2
F̃(x, te1 (x))dx
≤
2
ǁe1ǁ
=B|Ω|,
—
2
λ1ǁe1ǁ2 + B|Ω|
theo tính chat của e1. Suy ra J
˜γ thỏa mãn (I3) với moi γ > 0.
Đe cháng minh (I4) của Định lý 2.2.14 l p lu n như trong cháng minh
Bő đe 2.2.3 và Bő đe 2.2.4 ((2.87), (2.90) và (2.91)).
Cuoi cùng, tat cả đieu ki n của Định lý 2.2.14 được thỏa mãn J
˜γ,
v y với moi γ ∈ (0, γ∗), J
˜γ có m®t điem tới hạn không tam thường đó là
Ω
0
2

64
nghi m không địa phương không tam thường của (2.85). Tương tự, có the
cháng minh sự ton tại của nghi m âm không tam thường của (2.85). Định
lý 2.2.13 hoàn toàn được cháng minh.

65
Ket lu n
Trong lu n văn này chúng tôi đã thu được nhǎng ket quả sau.
- Chương 1, chúng tôi h thong lại m®t so kien thác cơ sở của không gian
Sobolev thá.
- Chương 2, chúng tôi nghiên cáu sự ton tại vô hạn nghi m yeu của Bài
toán biên Dirichlet cho toán tả Laplace phân thá , sự ton nhieu nghi m của
Bài toán biên Dirichlet với so mũ tới hạn Sobolev thá.

66
Tài li u tham khảo
[1] H. Brezis, L. Nirenberg (1983), Positive solutions of nonlinear elliptic
equations involving critical Sobolev exponents, Comm. Pure Appl. Math.
36(4), 437-477.
[2] C. Bucur, E. Valdinoci (2016), Nonlocal Diffusion and Applications,
Lecture Notes of the Unione Matematica Italiana. 20, Springer.
[3] L. Caffarelli, L. Silvestre (2007), An Extension Problem Related to
the Fractional Laplacian, Communications in Partial Differential Equa-
tions.32, 1245-1260.
[4] X. Cabre, J. Tan (2010), Positive solutions of nonlinear problems in-
volving the square root of the Laplacian, Advances in Mathematics. 224,
2052-2093.
[5] A. Fiscella, G. M. Bisci và R. Servadei (2018), Multiplicity results for
fractional Laplace problems with critical growth, Manuscripta mathe-
matica. 155(3-4), 369-388.
[6] B. M. Giovanni, V. D. Radulescu and R. Servadei (2016), Variational
Methods for Nonlocal Fractional Equations, Encyclopedia Math. Appl.
162, Cambridge University Press, Cambridge.
[7] G. M. Bisci, D. Repovs và R. Servadei (2016), Nontrivial solutions of
superlinear nonlocal problems, Forum Math. 28, 1095-1110.
[8] B. M. Giovanni, D. Repovs và R. Servadei (2016), Nontrivial solutions
of superlinear nonlocal problems, Forum. Math. 28, 1095-1110.

67
[9] E. D. Nezza, G. Palatucci và E. Valdinoci (2012), Hitchhiker’s guide to
the fractional Sobolev spaces, Bull. Sci. Math. 136, 521-573.
[10] R. Servadei, E. Valdinoci (2013), Variational methods for non-local op-
erators of elliptic type, Discrete Contin. Dyn. Syst. 33, 2105-2137.
[11] R. Servadei, E. Valdinoci (2015), The Brezis-Nirenberg result for the
fractional Laplacian, Trans. Amer. Math. Soc. 367, 67-102.
[12] M. Xiang, B. Zhang, M. Ferrara (2015), Existence of solutions for
Kirchhoff type problem involving the non-local fractional p-Laplacian,
J. Math. Anal. Appl. 424(2), 1021-1041.
[13] A. Fiscella, R. Servadei, E. Valdinoci (2015), Density properties for
fractional Sobolev spaces. Ann. Acad. Sci. Fenn. Math. 40, 235–253.
[14] R. Servadei, E. Valdinoci (2012),Mountain Pass solutions for non-local
elliptic operators. J. Math. Anal. Appl. 389, 887–898.
[15] S. B. Liu (2010), On superlinear problems without Am- brosetti–
Rabinowitz condition, Nonlinear Anal. 73 , no. 3, 788–795.

Nghiệm Yếu Của Bài Toán Biên Dirichlet Chứa Toán Tử Laplace Phân Thứ.docx

Recommended

Recommended

More Related Content

Similar to Nghiệm Yếu Của Bài Toán Biên Dirichlet Chứa Toán Tử Laplace Phân Thứ.docx

Similar to Nghiệm Yếu Của Bài Toán Biên Dirichlet Chứa Toán Tử Laplace Phân Thứ.docx (20)

More from DV Viết Luận văn luanvanmaster.com ZALO 0973287149

More from DV Viết Luận văn luanvanmaster.com ZALO 0973287149 (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Nghiệm Yếu Của Bài Toán Biên Dirichlet Chứa Toán Tử Laplace Phân Thứ.docx