GIÁO ÁN HỌC PHẦN: Nhập môn Lý thuyết xác suất và thống kê Toán LỚP DẠY: Đại học Tiểu học khóa 2017- 2021

1. TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂN TRÀO
KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC
GIÁO ÁN
HỌC PHẦN: Nhập môn Lý thuyết xác suất và thống kê Toán
LỚP DẠY: Đại học Tiểu học khóa 2017- 2021
Họ và tên giảng viên: Lê Danh Tuyên
Bộ môn: Toán
Năm học 2017 - 2018

2. Ngày soạn:
Lớp dạy:
Ngày dạy:
Chương I: CÁC KHÁI NIỆM VỀ XÁC SUẤT
Bài 1: Phép thử. Quan hệ giữa các biến cố
Số tiết: 2 tiết
I. Mục tiêu:
1. Kiến thức:
Cung cấp những khái niệm: Phép thử, biến cố, quan hệ giữa các biến cố. Các
định nghĩa về xác suất.
2. Kỹ năng:
Hình thành và rèn cho người học các kĩ năng:
- Phân biệt các loại biến cố và các quan hệ giữa các loại biến cố
3. Thái độ:
Chủ động tìm tòi, phát hiện và khám phá các ứng dụng của lí thuyết xác suất
trong việc dạy học toán.
II. Chuẩn bị
1. Giảng viên:
- Tài liệu chính:
[1] Đào Hữu Hồ (2008), Xác suất - Thống kê , NXB GD Hà Nội , Hà Nội
- Tài liệu tham khảo:
[2] Trần Diên Hiển, Vũ Viết Yên (2007), Nhập môn lí thuyết xác suất và Thống
kê toán, NXBGD & NXB ĐHSP, Hà Nội.
[3] Đào Hữu Hồ (2006), Hướng dẫn giải các bài toán Xác suất thống kê, NXB
ĐHQG Hà Nội. Hà Nội.
[4] Đỗ Đức Thái - Nguyễn Tiến Dũng (2010), Nhập môn hiện đại xác suất và
Thống kê, NXB ĐHSP, Hà Nội.
2. Sinh viên:

3. - Chuẩn bị tài liệu
- Ôn lại kiến thức ( phần cơ bản của đại số tổ hợp trong chương trình toán
THPT)
III. Phương pháp, phương tiện dạy học
- Thuyết trình, Gợi mở - Vấn đáp.
- Giáo án, giáo trình.
IV. Nội dung bài giảng
Hoạt động của GV và SV Nội dung
- Ví dụ: Khối 12 có 3 lớp, lớp 12A1
có 30 học sinh, lớp 12A2 có 35 học
sinh, lớp 12A3 có 32 học sinh. Cần
chọn 10 học sinh đi trực nhật sao cho
10 học sinh này gồm ba lớp và có ít
nhất 7 học sinh của lớp 12A1. Hỏi có
bao nhiêu cách chọn?
- Cho phép thử là tung hai lần một
đồng xu, hãy xác định các biến cố
ngẫu nhiên,biến cố sơ cấp, biến cố
thứ cấp…?
I. Các kiến thức bổ trợ, phép thử, các
loại biến cố, quan hệ giữa các biến cố
1. Các kiến thức bổ trợ:
a) Quy tắc cộng, quy tắc nhân
b) Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp
* Chú ý phân biệt giữa chỉnh hợp và tổ
hợp
2. Phép thử, biến cố:
+) Phép thử: là sự thực hiện một nhóm
các điều kiện xác định(có thể lặp lại vô
số lần)
+) Một sự kiện có tính chất xảy ra hay
không xảy ra khi một phép thử được
thực hiện gọi là một biến cố ngẫu nhiên.
Ta dùng các chữ cái A,B,C,... để kí hiệu
các biến cố ngẫu nhiên.
Ví dụ: Gieo một lần một đồng xu đồng
chất, cân đối là thực hiện một phép thử
và có các biến cố ngẫu nhiên là S:”biến
cố xuất hiện mặt sấp” và N:”biến cố xuất
hiện mặt ngửa”
+) Biến cố sơ cấp là biến cố ngẫu nhiên
mà không thể phân tích thành các biến
cố nhỏ hơn, kí hiệu 
+) Biến cố thứ cấp là biến cố ngẫu nhiên
nhưng có thể phân tích thành các biến cố
nhỏ hơn
Ví dụ: Trong phép thử gieo một lần một
con xúc xắc, xét biến cố thứ cấp là
C:”biến cố xuất hiện số chấm lẻ”
+)Biến cố không xảy ra khi phép thử

4. - Trong Ví dụ biến cố hiệu nếu C:
biến cố xuất hiện mặt chẵn chấm” thì
A-C là biến cố gì?
được thực hiện gọi là biến cố rỗng, kí
hiệu 
Ví dụ: Trong phép thử gieo một lần một
con xúc xắc thì biến cố  :”biến cố xuất
hiện mặt 7 chấm”
+) Biến cố chắc chắn sẽ xảy ra trong một
phép thử gọi là biến cố chắc chắn, kí
hiệu 
3. Quan hệ giữa các biến cố
+) Biến cố A kéo theo( thuận lợi) đối với
biến cố B nếu sự xảy ra của A dẫn đến
sự xảy ra của B, kí hiệu A B
Ví dụ: Xét phép thử gieo một lần một
con xúc xắc thì A:”biến cố xuất hiện mặt
5 chấm” và B:”biến cố xuất hiện mặt lẻ”
+) Biến cố A gọi là bằng biến cố B nếu
đồng thời A B và B A, kí hiệu A=B
Ví dụ: Xét phép thử gieo một lần một
con xúc xắc thì A:”biến cố xuất hiện mặt
lẻ” và B:”biến cố không xuất hiện mặt
chẵn”
+) Biến cố tổng: Tổng của hai biến cố A
và B, kí hiệu AB là biến cố chỉ xảy ra
khi ít nhất một trong hai biến cố A,B xảy
ra
Ví dụ: Xét phép thử gieo một lần một
con xúc xắc thì A:”biến cố xuất hiện mặt
một chấm” và B:”biến cố xuất hiện mặt
ba chấm” và C:”biến cố xuất hiện mặt
năm chấm” thì ABC:”biến cố xuất
hiện số mặt lẻ”
+) Biến cố hiệu: Hiệu của hai biến cố A
và B, kí hiệu AB là biến cố chỉ xảy ra
khi biến cố A xảy ra và biến cố B không
xảy ra
Ví dụ: Xét phép thử gieo một lần một
con xúc xắc thì A:”biến cố xuất hiện số
chấm lẻ” và B:”biến cố xuất hiện mặt
chấm nguyên tố” thì AB:”biến cố xuất
hiện mặt một chấm”
+) Biến cố tích: Tích của hai biến cố A
và B, kí hiệu AB là biến cố chỉ xảy ra
khi cả hai biến cố A,B xảy ra

5. - Chú ý: hai biến cố đối lập với nhau
thì xung khắc với nhau.nhưng điều
ngược lại không đúng
Ví dụ: Xét phép thử gieo một lần
một con xúc xắc thì A:”biến cố xuất
hiện số chấm lẻ” và B:”biến cố xuất
hiện mặt hai chấm” thì A và B là hai
biến cố xung khắc nhưng không phải
là hai biến cố đối lập
- Ví dụ: Hệ {Qnt, Q1,Q4,Q6} là một
hệ đầy đủ các biến cố trong phép thử
gieo xúc xắc
Ví dụ: Xét phép thử gieo một lần một
con xúc xắc thì A:”biến cố xuất hiện số
chấm lẻ” và B:”biến cố xuất hiện mặt số
chấm lớn hơn ba chấm” thì AB:”biến
cố xuất hiện mặt năm chấm”
+) Biến cố xung khắc: hai biến cố A và
B gọi là xung khắc với nhau nếu AB=

Ví dụ: Xét phép thử gieo một lần một
con xúc xắc thì A:”biến cố xuất hiện số
chấm lẻ” và B:”biến cố xuất hiện mặt
chẵn chấm” thì AB=
+) Dãy n biến cố B1,B2,…,Bn gọi là xung
khắc từng đôi một nếu Bi Bj= với i#j
và i,j=1,n
+) Hệ đầy đủ các biến cố: Dãy n biến cố
B1,B2,…,Bn lập thành hệ đầy đủ các biến
cố nếu nó thỏa mãn:
i) B1 B2 …Bn=
ii) Bi Bj= với i#j và i,j=1,n
+ Nếu các biến cố Bi, thỏa mãn hai điều
kiện trên và ngoài ra các Bi đều là các
biến cố sơ cấp thì ta nói hệ B1,B2,…,Bn
là một không gian biến cố sơ cấp, kí hiệu
 (Biến cố chắc chắn; Không gian mẫu)
+) Biến cố đối lập: Gọi A=A là biến
cố đối lập của biến cố A
V. Hướng dẫn sinh viên học tập
1. Nhắc lại định nghĩa phép thử, các loại biến cố, quan hệ giữa các biến cố.
2. Xét phép thử gieo hai lần đồng xu, hãy xác định không gian mẫu, và lấy ví dụ về
hai biến cố xung khắc?
Hướng dẫn
=”SS, SN,NS,NN”
A:”biến cố hai lần xuất hiện mặt sấp”
B”biến cố ít nhất xuất hiện một mặt ngửa”
Thì A và B là hai biến cố xung khắc vì AB=, hơn nữa A và B còn là hai biến cố
đối lập

6. Ngày soạn:
Lớp dạy:
Ngày dạy:
Bài 2: Các định nghĩa xác suất. Tính chất của xác suất. Các công thức tính xác
suất
Số tiết: 2 tiết
I. Mục tiêu:
1. Kiến thức:
Cung cấp những kiến thức: Các định nghĩa xác suất, tính chất của xác suất, các
công thức tính xác suất.
2. Kỹ năng:
Hình thành và rèn cho người học các kĩ năng:
- Nắm vững các định nghĩa về xác suất, từ các định nghĩa khác nhau về xác suất
thấy được ý nghĩa của từng các định nghĩa
- Biết tính xác suất bằng định nghĩa
- Nắm vững các công thức tính xác suất vận dụng vào làm các dạng bài tập
khác nhau.
3. Thái độ:
Chủ động tìm tòi, phát hiện và khám phá các ứng dụng của lí thuyết xác suất
trong việc dạy học toán.
II. Chuẩn bị
1. Giảng viên:
- Tài liệu chính:
[1] Đào Hữu Hồ (2008), Xác suất - Thống kê , NXB GD Hà Nội , Hà Nội
- Tài liệu tham khảo:
[2] Trần Diên Hiển, Vũ Viết Yên (2007), Nhập môn lí thuyết xác suất và Thống
kê toán, NXBGD & NXB ĐHSP, Hà Nội.

7. [3] Đào Hữu Hồ (2006), Hướng dẫn giải các bài toán Xác suất thống kê, NXB
ĐHQG Hà Nội. Hà Nội.
[4] Đỗ Đức Thái - Nguyễn Tiến Dũng (2010), Nhập môn hiện đại xác suất và
Thống kê, NXB ĐHSP, Hà Nội.
2. Sinh viên:
- Chuẩn bị tài liệu
- Ôn lại kiến thức bài trước.
III. Phương pháp, phương tiện dạy học
- Thuyết trình, Gợi mở - Vấn đáp.
- Giáo án, giáo trình.
IV. Nội dung bài giảng
Hoạt động của GV và SV Nội dung
- Ví dụ: Gieo đồng thời 2 con xúc
sắc cân đối và đồng chất.Tìm xác
suất để:
i) Tổng số chấm ở mặt trên hai con
xúc sắc bằng 8
ii) Số chấm ở mặt trên hai con xúc
sắc bằng nhau
Chú ý: Vì gieo đồng thời hai con
súc sắc đồng chất nên cặp (x,y) và
cặp (y,x) không phân biệt x, y lần
lượt là số chấm mỗi con súc sắc.
Vậy không gian mẫu  gồm 21
phần tử.
Còn nếu gieo không đồng thời
không gian mẫu  gồm 36 phần
tử.
I. Các định nghĩa xác suất
1. Định nghĩa cổ điển
Cho một phép thử có không gian mẫu  gồm n
phần tử, biến cố A có m phần tử (hay m khả
năng xảy ra A, hay m thuận lợi xảy ra tính chất
A) thì số P(A)=
m
n
Ví dụ: Tung đồng xu hai lần liên tiếp. Tính xác
suất:
i) A:”hai lần xuất hiện mặt sấp”
ii) B:”một sấp, một ngửa”
iii) C:”lần thứ nhất là mặt sấp”
Giải
i)Ta có =”SS,SN,NS,NN”
Và A=”SS” nên P(A)=
1
4
ii) B=”SN,NS” nên P(B)=
2 1
4 2

iii) C=”SS,SN” nên P(C)=
2 1
4 2

2. Định nghĩa theo thống kê
Giả sử ta có n phép thử và trong đó có m lần
xuất hiện biến cố A trong n phép thử đó thì ta

8. - Giả sử cho phép thử gieo con xúc
sắc thì xác suất xuất hiện mặt 1
chấm là
1
6
nhưng khi gieo lần I
không thấy xuất hiện mặt 1 chấm,
lần II cũng không xuất hiện mặt 1
chấm,… vậy câu hỏi đặt ra là con
số
1
6
ở đây là gì?như vậy xác suất
xuất hiện mặt 1 chấm phải bằng 0
chứ?
- Ví dụ minh họa t/c 3 P( l nt
Q Q
 )=
2
3
- Từ công thức tính xác suất tích
hai biến cố ngẫu nhiên độc lập ta có
trường hợp tổng quát cho công thức
có lim ( )
n
m
P A
n


Xét trong ví dụ trên thì ta có với n phép thử đủ
lớn thì lim ( )
n
m
P A
n

 =
1
6
3. Tính chất của xác suất
i) Nếu A B thì P(A)≤P(B)
ii) P( )=0, P()=1
iii) P(AB)=P(A)+P(B) - P(AB)
iv) P(AB)=P(A)-P(A.B) vớiP(AB)= P(A.B)
v) P(A)=1-P( A)
vi) 0≤P(A)≤1
*) Hai biến cố ngẫu nhiên độc lập
Xét phép thử:”Gieo một đồng xu và một con
xúc xắc”
Mỗi biến cố phép thử này có dạng:
NQk hoặc SQk ,với k=1,2,…6
Số biến cố trong phép thử là 12
Tìm xác suất của biến cố NB=:”Trên đồng xu
xuất hiện mặt ngửa và con xúc xắc xuất hiện
mặt 3 chấm hoặc 6 chấm”
Có hai biến cố NQ3 và NQ6 thuận lợi cho
biến cố NB. Vì vậy
P(NB)=
2
12
=
1
2
.
2
6
=P(N).P(B)
Ta nói hai biến cố N và biến cố B hai biến cố
ngẫu nhiên độc lập với nhau
Định nghĩa: Cho A và B là hai biến cố của
phép thử. Ta nói rằng hai biến cố A và B độc
lập với nhau, nếu
P(AB)=P(A).P(B)
4. Xác suất có điều kiện. Công thức xác suất
tích. Công thức xác suất toàn phần. Công
thức Bayes
+) Công thức xác suất có điều kiện, công thức
xác suất tích: Giả sử A và B là hai biến cố ngẫu
nhiên và P(A)>0 thì tỉ số
( . )
( )
P A B
P A
là xác suất có
điều kiện của biến cố B với điều kiện biến cố A
đã xảy ra và kí hiệu P(B/A)=
( . )
( )
P A B
P A
Từ định nghĩa xác suất có điều kiện, ta suy ra

9. xác suất tích cho hai biến cố bất kì
trong cùng một phép thử.
- Trong ví dụ này nếu thay câu hỏi
là tính xác suất để lần I là bi xanh
và lần II là bi đỏ thì xác suất tính
như thế nào?
- Chú ý: Với một phép thử bất kì có
thể có nhiều hệ đầy đủ các biến cố
của nó
Ví dụ: phép thử gieo một con xúc
xắc thì hệ B1,B2,…,B6 là một hệ đầy
công thức xác suất tích như sau
P(A.B)=P(A).P(B/A)=P(B).P(A/B)
Ví dụ: Một hộp gồm có 10 bi trong đó có 4 bi
đỏ và 6 bi xanh. Lấy liên tiếp không hoàn lại 2
bi. Tìm xác suất để lần I lấy bi đỏ và lần II lấy
bi xanh?
Giải
Gọi A là biến cố:” bi lấy lần I là bi đỏ”
Gọi B là biến cố:”bi lấy lần II là bi xanh”
Thì ta cần tính P(A.B)=?
Ta sử dụng công thức nhân
P(A.B)=P(A).P(B/A)=
4
10
.
6
9
=
4
15
+) Công thức xác suất toàn phần, công thức
Bayes: Cho B1,B2,…,Bn là một hệ đầy đủ biến
cố của một phép thử cho trước, và A là biến cố
bất kì có liên quan. Khi đó
P(A)=
1
( ). ( / )
n
i i
i
P B P A B

 gọi là công thức xác
suất toàn phần
1
( ). ( / )
( / )
( ). ( / )
k k
n
k
i i
i
P B P A B
P B A
P B P A B



gọi là công thức
Bayes
Trong đó P(Bi), i=1,n gọi là xác suất tiên
nghiệm
Ví dụ: Cho ba lô sản phẩm. Lô thứ I có 30 sản
phẩm trong đó có 20 sản phẩm tốt và 10 sản
phẩm xấu. Lô thứ II có 30 sản phẩm trong đó cả
30 sản phẩm đều là tốt. Lô thứ III có 30 sản
phẩm gồm 15 sản phẩm tốt, 15 sản phẩm xấu.
Lấy ngẫu nhiên một lô và từ lô đó lấy ngẫu
nhiên ra một sản phẩm
i) Tìm xác suất để sản phẩm lấy ra là sản phẩm
tốt
ii) Giả sử sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt. Tìm
xác suất để sản phẩm lấy ra là của lô III
Giải
i)Gọi A là biến cố” sản phẩm lấy ra là sản phẩm
tốt”
Gọi Bi là biến cố” sản phẩm lấy ra là của lô thứ
i” (i=1,2,3)

10. đủ biến cố. Mặt khác với A:”biến
cố xuất hiện số chấm lẻ” và B:”xuất
hiện số chấm chẵn” cũng tạo thành
một hệ đầy đủ các biến cố của phép
thử này.
- Ví dụ: n lần phép thử bà mẹ sinh
con (mỗi lần sinh một con) là một
dãy n phép thử Bernoulli vì:
i) Dãy đó độc lập
ii)Trong mỗi phép thử ={A, A}
iii) P(A)=1/2 không thay đổi trong
n lần sinh con.
Ta có B1,B2,B3 lập thành một hệ đầy đủ các
biến cố. Bởi vì sản phẩm không lấy ở lô I thì lấy
ở lô II hoặc lô III. Hay B1 B2 B3=. Và ta
có B1,B2,B3 đôi một xung khắc.
Theo công thức xác xuất toàn phẩn có
P(A)=P(B1).P(A/B1)+P(B2).P(A/B2)+
P(B3).P(A/B3)
=
1 20 1 30 1 15 13
. . .
3 30 3 30 3 30 18
  
ii) Giả sử sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt tức là
A đã xảy ra.
Lời giải của ý này là tìm xác suất điều kiện của
B3 với điều kiện A đã xảy ra. Áp dụng công
thức Bayes
P(B3/A)= 3 3
1 15
.
( ). ( / ) 3
3 30
13
( ) 13
18
P B P A B
P A
 
5. Xác suất nhị thức:
Định nghĩa: Dãy n phép thử G1,G2,…,Gn được
gọi là dãy n phép thử Bernoulli nếu thỏa mãn
các điều kiện sau:
i) Dãy đó độc lập.
ii) Trong mỗi phép thử Gi chỉ có 2 biến cố A
hoặc A có thể xảy ra
iii) Xác suất biến cố A xuất hiện trong mỗi phép
thử không thay đổi bằng p.
Bài toán: Tìm xác suất để trong n phép thử
Bernoulli biến cố A xuất hiện đúng k lần?
Giải
Kí hiệu xác suất phải tìm là Pn(k). Thì Pn(k)=
. .(1 )
k k n k
n
p p
C


Ví dụ: Gieo 20 lần một đồng tiền xu cân đối,
đồng chất. Tìm xác suất để:
i) Có đúng một lần xuất hiện mặt sấp
ii) Có ít nhất hai lần xuất hiện mặt sấp
Giải
Gieo 20 lần đồng tiền cân đối và đồng chất
được xem như là tiến hành 20 phép thử
Bernoulli. Xác suất của biến cố A”biến cố xuất
hiện mặt sấp” là không đổi trong mỗi lần gieo

11. và bằng
1
2
i) Theo công thức xác suất nhị thức:
n=20,k=1,p=
1
2
Vậy P20(1)=
1
1 20 1
20
1 1
. .(1 )
2 2
C

 

 
 
ii)
V. Hướng dẫn sinh viên học tập
1. Nhắc lại định nghĩa xác suất, các tính chất xác suất, công thức xác suất toàn phần,
công thức Bayes, xác suất nhị thức.

12. 2. Một bà mẹ sinh 2 con( mỗi lần sinh một con). Giả sử xác suất sinh con trai là 0,51.
Tìm xác suất để trong người con đó:
i) Có đúng một con trai
ii) Không có con trai
iii) Có hai con trai
Hướng dẫn

13. Ngày soạn:
Lớp dạy:
Ngày dạy:
BÀI TẬP
Số tiết: 4 tiết
I. Mục tiêu:
1. Kiến thức:
Củng cố những kiến thức: cách tính xác suất bằng định nghĩa,sử dụng các tính
chất,hay áp dụng công thức xác suất toàn phần, công thức Bayes, xác suất nhị thức
2. Kỹ năng:
Hình thành và rèn cho người học các kĩ năng:
- Biết cách tính xác suất bằng định nghĩa
- Biết cách tính xác suất bằng công thức xác suất toàn phần, công thức Bayes
- Biết cách tính xác suất bằng công thức Bernoulli
3. Thái độ:
Chủ động tìm tòi, phát hiện và khám phá các ứng dụng của lí thuyết xác suất
trong việc giải các dạng bài toán trong chương I.
II. Chuẩn bị
1. Giảng viên:
- Tài liệu chính:
[1] Đào Hữu Hồ (2008), Xác suất - Thống kê , NXB GD Hà Nội , Hà Nội
- Tài liệu tham khảo:
[2] Trần Diên Hiển, Vũ Viết Yên (2007), Nhập môn lí thuyết xác suất và Thống
kê toán, NXBGD & NXB ĐHSP, Hà Nội.
[3] Đào Hữu Hồ (2006), Hướng dẫn giải các bài toán Xác suất thống kê, NXB
ĐHQG Hà Nội. Hà Nội.
[4] Đỗ Đức Thái - Nguyễn Tiến Dũng (2010), Nhập môn hiện đại xác suất và
Thống kê, NXB ĐHSP, Hà Nội.

14. 2. Sinh viên:
- Chuẩn bị tài liệu
- Ôn lại kiến thức đã học trong chương I
III. Phương pháp, phương tiện dạy học
- Thuyết trình, Gợi mở - Vấn đáp.
- Giáo án, giáo trình.
IV. Nội dung bài giảng
Hoạt động của GV và
SV
Nội dung
- Áp dụng công thức cộng
xác suất
P(AB)=P(A)+P(B)-P(A
B)
Bài 1: Có 30 đề thi trong đó có 10 đề khó, 20 đề trung
bình. Tìm xác suất để:
i)Một Học sinh bắt một đề gặp được đề trung bình.
ii) Một Học sinh bắt hai đề, được ít nhất một đề trung
bình.
Giải
i) Gọi A là biến cố Học sinh bắt được đề trung bình:
1
20
1
30
C 20 2
P(A)
C 30 3
  
ii) Gọi B là biến cố học sinh bắt được 1 đề trung bình và
một đề khó
Gọi C là biến cố học sinh bắt được 2 đề trung bình.
Gọi D là biến cố học sinh bắt hai đề, được ít nhất một đề
trung bình.
Khiđó:
1 1 2
20 10 20
2
30
C .C C 200 190
P(D) 0,896
C 435
 
  
Bài 2: Có hai lớp 5A và 5 B mỗi lớp có 45 học sinh, số
học sinh giỏi văn và số học sinh giỏi toán được cho trong
bảng sau. Có một đoàn thanh tra, hiệu trưởng nên mời
vào lớp nào để khả năng gặp được một em giỏi ít nhất
một môn là cao nhất?
Giải
Gọi V là biến cố học sinh giỏi Văn, T là biến cố học sinh
giỏi Toán.
Giỏi
5A 5B
Văn 25 25
Toán 30 30
Văn và Toán 20 10
Lớp

15. - Áp dụng công thức cộng
xác suất và tính chất
P(A)=1-P( A)
Ta có: Lớp 5A
25 30 20 7
P(V T) P(V) P(T) P(V.T)
45 45 45 9
       
Lớp 5B:
25 30 10
P(V T) P(V) P(T) P(V.T) 1
45 45 45
       
Vậy nên chọn lớp 5B.
Bài 3: Lớp có 100 Sinh viên, trong đó có 50 SV giỏi Anh
Văn, 45 SV giỏi Pháp Văn, 10 SV giỏi cả hai ngoại ngữ.
Chọn ngẫu nhiên một sinh viên trong lớp. Tính xác suất:
a) Sinh viên này giỏi ít nhất một ngoại ngữ.
b) Sinh viên này không giỏi ngoại ngữ nào hết.
c) Sinh viên này chỉ giỏi đúng một ngoại ngữ.
d)Sinh viên này chỉ giỏi duy nhất môn Anh Văn.
Giải
a) Gọi A là biến cố sinh viên giỏi Anh Văn.
Gọi B là biến cố sinh viên giỏi Pháp Văn.
Gọi C là biến cố sinh viên giỏi ít nhất một ngoại ngữ.
50 45 10
P(C) P(A B) P(A) P(B) P(A.B) 0,85
100 100 100
        
b) Gọi D là biến cố sinh viên này không giỏi ngoại ngữ
nào hết.
P(D) 1 P(C) 1 0,85 0,15
    
c)
P((A B) (B A)) P(A B) P(B A) P((A B) (B A))
ma P((A B) (B A)) P( ) 0vaP(A B) P(B A)
P((A B) (B A)) P(A) P(B) 2P(A.B)
50 45 10
2. 0,75
100 100 100
    
    
   
   
d)
50 10
P(A B) P(A) P(A.B) 0,4
100 100
    
Bài 4: Một lô hàng có 20 sản phẩm trong đó có 15 sản
phẩm tốt. Lấy ngẫu nhiên từ lô hàng ra 10 sản phẩm. Tìm
xác suất để trong 10 sản phẩm lấy ra có đúng 7 sản phẩm
tốt?
Giải
Số sản phẩm xấu của lô hàng là 20-15=5 (sản phẩm)
Số khả năng lấy 10 sản phẩm trong 20 sản phẩm là 10
20
C
Số khả năng lấy 7 sản phẩm tốt trong 15 sản phẩm tốt là
7
15
C
Số khả năng lấy 10 sản phẩm từ lô hàng trong đó có 7

16. - Áp dụng công thức xác
suât toàn phần
sản phẩm tốt và 3 sản phẩm xấu là 7
15
C . 3
5
C
Vậy xác suất phải tìm là
P(A)=
7 3
15 5
10
20
.
C C
C
=
225
646
Bài 5: Có 2 chuồng thỏ. Chuồng 1 có 15 con thỏ trong đó
10 con thỏ trắng và 5 con thỏ đen. Chuồng 2 có 10 con
thỏ trong đó 5 con thỏ trắng và 5 con thỏ đen. Bắt ngẫu
nhiên 1 con thỏ từ chuồng 1 bỏ vào chuồng 2 và từ
chuồng 2 lại bắt ngẫu nhiên ra 1 con thỏ. Tìm xác suất để
con thỏ bắt ra sau cùng là thỏ đen.
Giải
Gọi A là biến cố "con thỏ bắt ra sau cùng là thỏ đen"
B1 là b/c "con thỏ bắt từ chuồng 1 sang chuồng 2 là thỏ
trắng"
B2 là biến cố "con thỏ bắt từ chuồng 1 sang chuồng 2 là
thỏ đen"
Khi đó: B1, B2 lập thành hệ đầy đủ với phép thử bắt ngẫu
nhiên một con thỏ từ chuồng 1 bỏ vào chuồng 2
Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:
P(A) = P(B1)P(A/B1) + P(B2)P(A/B2)
P(A) =
10
15
.
5
11
+
5
15
.
6
11
=
16
33
Bài 6: Có 2 hộp cầu. Hộp 1 có 12 quả cầu trong đó 8 quả
cầu trắng và 4 quả cầu đen. Hộp 2 có 13 quả cầu trong đó
7 quả cầu trắng và 6 quả cầu đen. Lấy ngẫu nhiên 1 quả
cầu từ hộp 1 bỏ vào hộp 2 và từ hộp 2 lại lấy ngẫu nhiên
ra 1 quả cầu. Tìm xác suất để quả cầu lấy ra sau cùng là
cầu đen.
Giải
Gọi A là biến cố "quả cầu lấy ra sau cùng là cầu đen"
B1 là b/c "quả cầu lấy từ hộp 1 sang hộp 2 là cầu trắng"
B2 là biến cố "quả cầu lấy từ hộp 1 sang hộp 2 là cầu

17. - Áp dụng công thức
Bernoulli
đen"
Khi đó: B1, B2 lập thành hệ đầy đủ với phép thử lấy ngẫu
nhiên 1 quả cầu từ hộp 1 sang hộp 2
Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:
P(A) = P(B1)P(A/B1) + P(B2)P(A/B2)
P(A) =
8
12
.
6
14
+
4
12
.
7
14
=
19
42
Bài 7: Cho 2 lô sản phẩm. Lô 1 có 25 sản phẩm trong đó
20 sản phẩm tốt và 5 sản phẩm xấu. Lô 2 có 35 sản phẩm
trong đó 30 sản phẩm tốt và 5 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu
nhiên 1 lô và từ lô đó lấy ngẫu nhiên 1 sản phẩm. Tìm
xác suất để sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt.
Giải
Gọi A là biến cố "sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt"
B1 là biến cố "sản phẩm lấy ra từ lô 1"
B2 là biến cố "sản phẩm lấy ra từ lô 2"
Khi đó: B1, B2 lập thành hệ đầy đủ với phép thử lấy ngẫu
nhiên một lô sản phẩm
Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:
P(A) = P(B1)P(A/B1) + P(B2)P(A/B2)
P(A) =
1
2
.
20
25
+
1
2
.
30
35
=
29
35
Bài 8: Gieo 10 đồng tiền cân đối đồng chất. Tìm xác suất
để:
i) Có đúng 6 lần xuất hiện mặt sấp
ii) Có nhiều nhất hai lần xuất hiện mặt sấp
iii) Có ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp
Giải
Gieo 10 lần đồng tiền cân đối đồng chất được xem như
tiến hành 10 phép thử Bernoulli. Xác suất của biến cố
A”biến cố xuất hiện mặt sấp” không đổi trong mỗi lần
gieo và bằng p=
1
2
Theo công thức xác suất nhị thức, ta có:
Pn(k)= . .(1 )
k k n k
n
p p
C



18. i) k=6;n=10;p=
1
2
Vậy P10(6)=
6 10 6
6 6
10 10 10
1 1 1
. . 1 .
2 2 2
C C

   
 
   
   
ii) Ta có P10(k≤2)=P10(0)+ P10(1)+ P10(2)=
2
10
10
0
1
2
k
k
C


iii) Xác suất phải tìm là P10(k≥1)
trước hết ta tìm xác suất của biến cố đối lập với biến cố
“k≥1” tức là P10(k<1)= P10(0)= 0
10 10 10
1 1
.
2 2
C 
Vậy P10(k≥1)=1- 10
1
2
V. Hướng dẫn sinh viên học tập
1. Nhắc lại các dạng bài toán thường gặp và áp dụng những công thức xác suất toàn
phần, công thức Bayes, xác suất nhị thức. Chú ý cho các em các bài toán sử dụng
công thức xác suất toàn phần, thì các biến cố Bi là các biến cố xảy ra trước biến cố A,
và biến cố A là biến cố có liên quan đến phép thử mà các biến cố Bi lập thành một hệ
đầy đủ.
2. Một sọt Cam có 10 trái trong đó có 4 trái hư. Lấy ngẫu nhiên ra ba trái.
i) Tính xác suất lấy được 3 trái hư.
ii)Tính xác suất lấy được 1 trái hư.
iii)Tính xác suất lấy được ít nhất một trái hư.
iv)Tính xác suất lấy được nhiều nhất 2 trái hư.
Giải
i)
3
4
3
10
C 4
P(A) 0,03
C 120
  
ii)
1 2
4 6
3
10
C C 60
P(B) 0,5
C 120
  
iii)
3
6
3
10
C
P(C 1) 1 P(C 1) 1 0,83
C
      
iv) P(D 2) P(D 0) P(D 1) P(D 2) 0,97
       

19. Ngày soạn:
Lớp dạy:
Ngày dạy:
Chương II: ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN VÀ HÀM PHÂN PHỐI
Bài 1: Biến ngẫu nhiên rời rạc
Số tiết: 4 tiết
I. Mục tiêu:
1. Kiến thức:
Cung cấp những khái niệm: Đại lượng ngẫu nhiên (biến ngẫu nhiên), biến ngẫu
nhiên rời rạc, hàm phân phối của biến ngẫu nhiên rời rạc, các số đặc trưng của biến
ngẫu nhiên rời rạc.
2. Kỹ năng:
Hình thành và rèn cho người học các kĩ năng:
- Lập được bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc
- Biết cách lập hàm phân phối của biến ngẫu nhiên rời rạc
- Biết cách tính các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên rời rạc.
3. Thái độ:
Chủ động tìm tòi, phát hiện và khám phá các ứng dụng của lí thuyết biến ngẫu
nhiên rời rạc trong việc dạy học toán.
II. Chuẩn bị
1. Giảng viên:
- Tài liệu chính:
[1] Đào Hữu Hồ (2008), Xác suất - Thống kê , NXB GD Hà Nội , Hà Nội
- Tài liệu tham khảo:
[2] Trần Diên Hiển, Vũ Viết Yên (2007), Nhập môn lí thuyết xác suất và Thống
kê toán, NXBGD & NXB ĐHSP, Hà Nội.
[3] Đào Hữu Hồ (2006), Hướng dẫn giải các bài toán Xác suất thống kê, NXB
ĐHQG Hà Nội. Hà Nội.

20. [4] Đỗ Đức Thái - Nguyễn Tiến Dũng (2010), Nhập môn hiện đại xác suất và
Thống kê, NXB ĐHSP, Hà Nội.
2. Sinh viên:
- Chuẩn bị tài liệu
- Ôn lại kiến thức tính xác suất phần chương I
III. Phương pháp, phương tiện dạy học
- Thuyết trình, Gợi mở - Vấn đáp.
- Giáo án, giáo trình.
IV. Nội dung bài giảng
Hoạt động của GV và SV Nội dung
I. Biến ngẫu nhiên, biến ngẫu nhiên rời rạc
1. Các định nghĩa:
Định nghĩa 1: Biến ngẫu nhiên(bnn) còn gọi là
đại lượng ngẫu nhiên. Ánh xạ X từ không gian
mẫu  vào tập số thực R
 
:
X R
X R
 
 

Được gọi là bnn kí hiệu là X, Y,… còn giá trị
của nó kí hiệu là x, y,…
Và X được gọi là biến ngẫu nhiên rời rạc (bnnrr)
khi X( ) là hữu hạn hay vô hạn đếm được
Ví dụ: Gọi X là chỉ số con trai trong một lần
sinh(mỗi lần sinh một con). Khi đó X là biến
ngẫu nhiên rời rạc. Các giá trị có thể nhận của X
là 0,1.
Ví dụ: Gọi X là chỉ số viên đạn trúng đích khi
bắn 3 viên đạn vào một mục tiêu thì X là biến
ngẫu nhiên rời rạc. Giá trị X có thể nhận là
0,1,2,3.
Ví dụ: Gọi X là chỉ số lần xuất hiện mặt ngửa
khi tung một đồng xu liên tiếp 2 lần. Khi đó X
là biến ngẫu nhiên rời rạc. Các giá trị X có thể
nhận được là 0,1,2.
Định nghĩa 2: (Bảng phân phối)
Ta gọi dãy P[X=xi]=pi, i=1,2,…. Là phân phối
xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc X
Ta có bảng phân phối xác suất

21. - Chú ý: Nói cách khác muốn tính
giá trị hàm phân phối tại x là giá trị
bất kí ta đi tính tổng của xác suất
trước x
Với
1
1
i
i
p




Định nghĩa 3(Hàm phân phối)
Tính chất hàm phân phối:
i) 0≤F(x)≤1
ii) Hàm phân phối luôn là hàm không giảm, tức
là x1<x2 suy ra F(x1)<F(x2)
iii) lim ( ) 1,lim ( ) 0
x x
F x F x
 
 
iv) P(a≤x≤b)=F(b)-F(a)

23. - Kì vọng toán E(X) hay còn được
kí hiệu bẳng µ
- Chú ý: Phương sai còn được kí
hiệu là Var(X), hoặc  
2
X

Và ta thường dùng hai tính chất
này để tính phương sai
- Chú ý: ModX có thể có nhận
nhiều giá trị, còn MedX chỉ có một
giá trị
2.Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên rời
rạc
+) Kì vọng toán: cho bảng phân phối xác suất
Thì tổng
1
.
i i
i
x p


 được gọi là kì vọng toán của
biến ngẫu nhiên rởi rạc X. Kí hiệu E(X)=
1
.
i i
i
x p



+) Phương sai: Ta gọi E(X-E(X))2
là phương
sai của biến ngẫu nhiên X và kí hiệu là DX=
E(X-E(X))2
Các t/c của phương sai
Ý nghĩa: Đo mức độ phân tán của các giá trị của
X so với vị trí kì vọng E(X) của nó. Về toán
học, phương sai là độ lệch bình phương trung
bình giữa các X so với kì vọng E(X).
+) Độ lệch chuẩn: ( )
X
D X
 
+) Momen gốc: Gọi momen gốc bậc k của biến
ngẫu nhiên X là E(Xk
). Khi k=1
   
k
E X E X
  là kì vọng toán của X
+) Trung vị (Median): Giá trị xMe của biến ngẫu
nhiên X được gọi là trung vị nếu F(xMe)=
1
2
, kí
hiệu Med(X)
+) Mod: Giá trị xmod của biến ngẫu nhiên X
được gọi là mod nếu P[X= xmod] là số lớn nhất,
kí hiệu Mod X
Ví dụ: Cho phân phối xác suất của X là
X -1 0 1
P[X] 1
6
2
3
1
6
Tính kì vọng, phương sai, X
 , ModX, MedX?
Giải

24. EX=(-1).
1
6
+0.
2
3
+1.
1
6
=0
E(X2
)= =(-1)2
.
1
6
+02
.
2
3
+12
.
1
6
=
1
3
Vậy DX=
1
3
-02
=
1
3
( )
X
D X
  =
1
3
ModX=0
MedX=0
Ví dụ: Giả sử biến ngẫu nhiên X có phân phối
như sau:
X -1 0 1
P[X] 1
3
1
3
1
3
Tính E(X3
), ModX, E(X-EX)4
Giải
Ta có E(X3
)=
3
3
1
.
i i
i
x p

 =(-1)3
.
1
3
+03
.
1
3
+(1)3
.
1
3
=0
EX=
3
1
.
i i
i
x p

 =0
E(X-EX)4
=  
3 3
4 4
1 1
EX . .
i i i i
i i
x p x p
 
 
  =
2
3
ModX=-1; ModX=0; ModX=1
Ví dụ: Một hộp đựng 10 quả trong đó 8 quả
cam và 2 quả quýt. Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 4
quả. Gọi X là số quả quýt trong 4 quả lấy ra.
Lập phân phối xác suất của X?
Giải
Các giá trị X có thể nhận là: 0; 1; 2.
Với X = 0  P(X = 0) = C0
2 . C4
8 / C4
10 =
70
210
Với X = 1  P(X = 1) = C1
2 . C3
8 / C4
10 =
112
210
Với X = 2  P(X = 2) = C2
2 . C2
8 / C4
10 =
28
210

25. Phân phối xác suất của X là
X 0 1 2
P[X] 70
210
112
210
28
210
V. Hướng dẫn sinh viên học tập
1. Nhắc lại định nghĩa biến ngẫu nhiên, biến ngẫu nhiên rời rạc, hàm phân phối, các
số đặc trưng của biến ngẫu nhiên rời rạc
2. Cho phân phối xác suất của X là:
X 1 2 3
P[X] 1
6
2
3
1
6
Tìm EX, DX, ModX, E(X3
)?
Hướng dẫn
EX=2; E(X2
)=
26
6
DX=
1
3
; ModX=2; và E(X3
)=10

26. Ngày soạn:
Lớp dạy:
Ngày dạy:
Bài 2: Biến ngẫu nhiên liên tục. Một số phân phối thường gặp
Số tiết: 4 tiết
I. Mục tiêu:
1. Kiến thức:
Cung cấp những khái niệm: Biến ngẫu nhiên liên tục, các tính chất, hàm phân
phối, các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên liên tục.
2. Kỹ năng:
Hình thành và rèn cho người học các kĩ năng:
- Biết cách chứng minh f(x) là hàm mật độ
- Biết cách tìm hàm phân phối xác suất
- Biết cách tìm các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên liên tục.
3. Thái độ:
Chủ động tìm tòi, phát hiện và khám phá các ứng dụng của lí thuyết biến ngẫu
nhiên liên tục trong việc dạy học toán.
II. Chuẩn bị
1. Giảng viên:
- Tài liệu chính:
[1] Đào Hữu Hồ (2008), Xác suất - Thống kê , NXB GD Hà Nội , Hà Nội
- Tài liệu tham khảo:
[2] Trần Diên Hiển, Vũ Viết Yên (2007), Nhập môn lí thuyết xác suất và Thống
kê toán, NXBGD & NXB ĐHSP, Hà Nội.
[3] Đào Hữu Hồ (2006), Hướng dẫn giải các bài toán Xác suất thống kê, NXB
ĐHQG Hà Nội. Hà Nội.
[4] Đỗ Đức Thái - Nguyễn Tiến Dũng (2010), Nhập môn hiện đại xác suất và
Thống kê, NXB ĐHSP, Hà Nội.

27. 2. Sinh viên:
- Chuẩn bị tài liệu
- Ôn lại kiến thức ( phần tích phân xác định trong chương trình toán THPT)
III. Phương pháp, phương tiện dạy học
- Thuyết trình, Gợi mở - Vấn đáp.
- Giáo án, giáo trình.
IV. Nội dung bài giảng
Hoạt động của GV và SV Nội dung
- Chú ý: biến ngẫu nhiên liên tục
khác với biến ngẫu nhiên rời rạc
là trong hàm phân phối thay vì
tính tổng của các xác suất ta thay
bằng hàm mật độ xác suất được
lấy tích phân trên khoảng tương
ứng
- ý nghĩa của t/c3 tức là đối với
biến ngẫu nhiên liên tục ta chỉ xét
trên một khoảng, nhiều khoảng,
hay cả R và X nhận giá trị lấp đầy
khoảng đang xét, và diện tích của
I. Biến ngẫu nhiên liên tục
1. Các định nghĩa
Định nghĩa 1: Biến ngẫu nhiên liên tục là biến
ngẫu nhiên và thỏa mãn X( ) là một khoảng,
một số khoảng hay toàn bộ R
Định nghĩa 2(hàm phân phối): Biến ngẫu nhiên
X có phân phối liên tục nếu F(x)=
  ,
x
f x dx x R



Từ tính chất của tích phân ta suy ra F’
(x)=f(x)
+) Hàm f(x) gọi là hàm mật độ của biến ngẫu
nhiên X
2. Các tính chất của hàm phân phối, hàm mật
độ
Nhận xét: biến ngẫu nhiên liên tục có đầy đủ các
tính chất của hàm phân phối của biến ngẫu nhiên.
+) T/c1:Xác suất để biến ngẫu nhiên liên tục nhận
giá trị tại một điểm luôn bằng 0
P[X=a]=P[a≤X≤a]=F(a)-F(a)=0
+)T/c2: Nếu X là biến ngẫu nhiên liên tục thì
P[a≤X≤b]= P[a<X≤b]= P[a≤X<b]= P[a<X<b]=
 
b
a
f x dx
 =F(b)-F(a)
+)T/c3: f(x)≥0 và     1
b
a
f x dx f x dx


 
 
3. Các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên liên
tục
+) Điểm phân vị: MedX=xp với điều kiện
Tải bản FULL (58 trang): https://bit.ly/3nUmi6S
Dự phòng: fb.com/TaiHo123doc.net

28. miền lấy tích phân trên khoảng
đang xét có giá trị bằng 1
- Chú ý: điểm phân vị xp chính là
hoành độ chia đôi diện tích lấy
tích phân ra làm 1/2 (khác với
điểm phân vị trong biến ngẫu
nhiên rời rạc là chia tương đối
tổng xác suất hai bên điểm phân
vị đó)
 
1
2
p
x
f x dx



+) ModX: nếu X có hàm mật độ là f(x) thì tại
X=xmod hàm f(x) đạt giá trị cực đại
Chú ý: modX trong đây có thể là một khoảng
+) Kì vọng: EX=  
.
x f x dx



+) Phương sai:
Ví dụ: Cho X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm
mật độ xác suất
 
 
 
2
2 0 2
0 0;2
kx x khi x
f x
khi x
  

 


i) Tìm hằng số k?
ii) Tìm xác suất P(1<x<3)
Giải
i) Ta có   1
f x dx




mà  
f x dx


 =
0
0dx

 +  
2
2
0
2
kx x dx

 +
2
0dx


=0+k.  
2
2
0
2
x x dx

 +0=
4
3
k
do đó k=
3
4
ii) P(1<x<3)=  
3
1
f x dx
 =  
2
1
f x dx
 +  
3
2
f x dx
 =
 
2
2
1
2
kx x dx

 +
3
2
0dx
 =
11
12
k
+0
=
11
16
Ví dụ: Cho X là biến ngẫu nhiên liên tục và hàm
f(x) như sau

29. - Chú ý: để tìm hàm phân phối ta
chia ra làm các khoảng rồi cộng
dồn tích phân để xác định hàm
phân phối tương ứng
- Ví dụ: Cho X là biến ngẫu nhiên
liên tục và hàm f(x) như sau
0 0
1
0
2
3 1 3
( )
4 2 2
3
2 2
2
0 2
khi x
x khi x
f x khi x
x khi x
khi x



  



  



  


  


i) Chứng minh f(x) là hàm mật độ
của của biến ngẫu nhiên X
ii) Tìm hàm phân phối xác suất.
Tính P(
5 7
4 4
X
  )
Hướng dẫn
2
2
0 0
1
0
2 2
3 1 1 3
( )
4 2 2
3
2 1 2
2 2
1 2
khi x
x
khi x
x
F x khi x
x
x khi x
khi x



  


 
  



   


  


0 0
1
4 0
2
( )
1
4 4 1
2
0 1
khi x
x khi x
f x
x khi x
khi x



  

 
   

   

i) Chứng minh f(x) là hàm mật độ của của biến
ngẫu nhiên X
ii) Tìm hàm phân phối xác suất? Tính P(
1 3
4 5
X
  )
Giải
i) Dựa vào tính chất   1
f x dx




ii) Ta có F(t)=  
t
f x dx


Khi t<0 thì F(t)=  
t
f x dx

 = 0
t
dx

 =0
Khi 0≤t<
1
2
thì F(t)=  
t
f x dx

 =  
0
f x dx

 +
 
0
t
f x dx
 =
0
0dx

 +
0
4
t
xdx

=
2
0
2
t
x =2t2
Khi
1
2
≤t<1 thì F(t)=  
t
f x dx

 =
 
0
f x dx

 +  
1
2
0
f x dx
 +  
1
2
t
f x dx
 =
0
0dx

 +
1
2
0
4xdx
 +
1
2
(4 4 )
t
x dx

 =4t-2t2
-1
Khi 1≤t thì F(t)=  
t
f x dx

 =  
0
f x dx


+  
1
2
0
f x dx
 +  
1
1
2
f x dx
 +  
1
t
f x dx
 =1
Ta tính P(
1 3
4 5
X
  )=F(
3
5
)-F(
1
4
)=
17
25
-
1
8
=
111
200
Tải bản FULL (58 trang): https://bit.ly/3nUmi6S
Dự phòng: fb.com/TaiHo123doc.net

30. - Ví dụ: Cho X là biến ngẫu
nhiên liên tục và hàm f(x) như
sau:
4
0 0
6
( ) 0 1
5
6
1
5
khi x
x
f x khi x
khi x
x

 


  






i) Chứng minh f(x) là hàm mật độ
của của biến ngẫu nhiên X
ii) Tìm hàm phân phối xác suất?
Ví dụ: Cho X là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm
mật độ xác suất là
 
 
2
1 3
0 1;3
k
khi x
f x x
khi x

 

 
 

i) Tìm hằng số k?
ii) Tìm EX, và MedX?
Giải
i) Ta có   1
f x dx




mà  
f x dx


 =
1
0dx

 +
3
2
1
k
dx
x
 +
3
0dx

 =0+k.
3
2
1
1
dx
x
 +0=
2
3
k
do đó k=
3
2
ii) Ta có EX=  
.
x f x dx


 =  
3
1
.
x f x dx
 =
=
3
2
1
3
.
2
x dx
x
 =
3
ln3
2
Ta có MedX=xp với điều kiện  
1
2
p
x
f x dx


 =
 
1
p
x
f x dx
 = 2
1
3
2
p
x
dx
x
 suy ra
1
3 1
.
2 2
p
p
x
x

 vậy xp=
3
2
II. Một số phân phối thường gặp
1. Phân phối nhị thức
Giả sử ta có một lược đồ Bernoulli, tức là
tiến hành n phép thử độc lập, trong mỗi phép thử
chỉ có hai trường hợp, hoặc biến cố A xuất hiện,
hoặc A không xuất hiện, xác suất xuất hiện biến
cố A đều bằng p, như vậy xác suất A không xuất
hiện trong mỗi phép thử đều bằng: q = 1- p.
Gọi X là “số lần xuất hiện biến cố A trong
n phép thử độc lập” nói trên thì X là đại lượng
ngẫu nhiên rời rạc với các giá trị có thể có
0,1,2, ...,
X n
 , xác suất để X nhận các giá trị
tương ứng được tính bằng công thức Bernoulli:
5482219