định lý tách các tập lồi

1. Tuyển tập Báo cáo “Hội nghị Sinh viên Nghiên cứu Khoa học” lần thứ 6 Đại học Đà Nẵng - 2008
284
CÁC ĐỊNH LÝ TÁCH TẬP LỒI
THE SEPARATION THEOREM OF CONVEX SETS
SVTH : TR N TH T NH .
Lớp: 05TT, Trường Đại Học Sư Phạm.
GVHD : THS.NGUY N HOÀNG THÀNH.
Khoa Toán, Trường Đại Học Sư Phạm.
TÓM TẮT
Mục tiêu của đề tài là trình bày các định lý tách tập lồi. Các định lý này có nhiều ứng dụng
trong quy hoạch toán học.
ABSTRACT
The aim of this topic is to introduce separation theorem of convex sets. This theorem has many
applications in mathematical programming.
1. Mở đầu.
Khái niệm tập lồi trong không gian vectơ là sự khái quát khái niệm hình lồi trong hình
học sơ c p. Nó giữ vai trò quan trọng trong nhiều v n đề giải tích hàm. Đặc biệt, lý thuyết các
hàm và tập lồi ( gọi là giải tích lồi) có nhiều ứng dụng trong lý thuyết các bài toán cực tr , quy
hoạch toán học, cũng nh trong nhiếu v n đề kinh tế, kỹ thuật.
Mục tiêu của đề tài là trình bày các đ nh lý tách tập lồi. Các đ nh lý này th ng dùng
làm nền tảng của lý thuyết t i u hiện đại, mà một dạng t ơng đ ơng của nó trong giải tích
hàm là đ nh lý Hanh-Banach về khuếch phiếm hàm tuyến tính.
Tr ớc khi nêu ra kết quả chính, ta đ a ra một s khái niệm:
Định nghĩa 1. (Tập afin) Trong không gian tuyến tính cho một tập con A khác rỗng. A được
gọi là tập afin nếu với mọi x, y thuộc A thì cả đường thẳng qua x, y cũng thuộc A.
Tức là: A là tập afin nếu    n
 , x, y A, (1- )x+  yA.
Định nghĩa 2. (Tập lồi) Trong không gian tuyến tính cho tập con C khác rỗng. C được gọi là tập lồi
nếu với mọi a, b thuộc C thì đoạn thẳng chứa a, b đều thuộc C.
Tức là: C là tập lồi nếu     CbaCba   11,0,, .
Dĩ nhiên mọi tập afin đều là tập lồi.
Tính chất 2. 1. Giao của một họ bất kì các tập lồi là một tập lồi.
Tính chất 2.2. Trong không gian n
 cho tập con D và E, khác rỗng. Nếu D,E là tập lồi, a là
một điểm , là số thực thì các tập sau đây cũng lồi.
D+a = {x+a / xD }, D-E = {x-y/ xD, yE},
D+E = {x+y/ xD, yE},  D = { x/ xD}.
Tính chất 2.3. Trong không gian n
 cho tập con C khác rỗng. Khi đó clC là tập lồi.
Định nghĩa 3. (Điểm bọc) Trong không gian n
 cho tập con C khác rỗng. Điểm aC gọi là
điểm bọc nếu với mọi x thuộc C, tồn tại số  >0 sao cho a- (x-a) cũng thuộc C.
Tập các điểm bọc của C, ký hiệu: riC.

2. Tuyển tập Báo cáo “Hội nghị Sinh viên Nghiên cứu Khoa học” lần thứ 6 Đại học Đà Nẵng - 2008
285
Khi đó riC khác rỗng và là một tập lồi.
Tính chất 2.4. Trong không gian n
 cho tập lồi C khác rỗng. Nếu a riC , b C thì mọi điểm u trên
đoạn [a,b) -( tức là u =  ba   1 với 0<  1 ) đều thuộc riC.
H qu 2.4.1. Cho C là tập lồi khác rỗng trong n
 .
Nếu a riC thì x là điểm biên của C khi và chỉ khi x là điểm đầu tiên không thuộc riC trên nửa
đường thẳng phát xuất từ a đi qua x.
2. Các kết qu chính.
Định nghĩa 4. Trong không gian n
 cho 2 tập C, D lồi khác rỗng và rời nhau.
Cho   , Siêu phẳng xt, ; 0t 
tách 2 tập lồi C,D nếu ytxt
DyCx
,inf,sup

 .
Cho   , Siêu phẳng xt, ; 0t 
tách hẳn 2 tập C,D nếu ytxt
DyCx
,inf,sup

 .
Bổ đề 1. Trong  n
cho một tập lồi đóng C  0 và một điểm a C. Bao giờ cũng có một điểm
duy nhất x0
 C sao cho:
0, 00
 xxxa ,  xC .
Định lý tách I. Nếu 2 tập lồi C,D không rỗng mà rời nhau thì có một siêu phẳng tách chúng.
Chứng minh.
Xét C-D := DyCxyx  ,  C-D lồi và 0 C-D
Thật vậy, giả sử 0  C-D  x-y = 0  x = y  C  D (Vô lý)
Đặt E := cl(C-D).
 a ri C D   do 0 C-D  Đi m đ u tiên không thuộc  ri C D trên đoạn  0,a là
một đi m biên của C –D. Suy ra 0 E hoặc 0 E riE .
*Nếu E0 . Theo bổ đề 1 có: 00: 00
 xtEx .
Sao cho Exxxt  ,0, 0
 Exzt  ,0, .
sup 0, zt .
 DyCxyxt  ,,0, . .
 ytxtxt
Cx
,,sup, 

,  yD , xC.
 xt,    yt, ,  yD , xC. Với  = xt
Cx
,sup

.
 tách hai tập C, D.
*Nếu 0E riE. L y một đi m u riE và dãy ak
=
k
u
, k=1,2,ầ
{ak
}  n
E và ak
 0 khi k + 

3. Tuyển tập Báo cáo “Hội nghị Sinh viên Nghiên cứu Khoa học” lần thứ 6 Đại học Đà Nẵng - 2008
286
Theo bổ đề 1, ta có : zk
 E ; zk
 ak
0,  kkk
zzza , Ez .
 kk
za 
1
0,  kkk
zzza , Ez .
 0, 

 k
kk
kk
zz
za
za
, Ez .
Đặt tk
= kk
kk
za
za


 0,  kk
zzt , Ez .
 zt, kk
zt , , Ez .
Do k
t =1 và mặt c u S={ tk
  n
/ k
t =1} là compact.
Nên có t0
 S : tk
 t0
với k
t =1 .
Mà ak
 0  zk
 0 nên kk
zzt ,  zt ,0
.
 zt ,0
0, EDCz  .
 yxt ,0
0, xC, yD.
T ơng tự với  = xt
Cx
,sup 0

.
 Siêu phẳng  tách C,D. 
Định lý tách II. Nếu 2 tập C,D lồi đóng C,D không rỗng mà rời nhau và một trong 2 tập ấy compact
thì có một siêu phẳng tách hẳn chúng.
Chứng minh. Giả sử C : compact.
Đặt E = C-D  E đóng.
Thật vậy : Giả sử zk
=xk
– yk
, xk
 C, yk
 D.
Do compact  x0
 C : xk
 x0
Mà zk
 z0
và yk
= xk
– zk
 yk
= xk
– zk
 x0
– z0
Mà D đóng  y0
=
k
lim yk
 D  z0
= y0
– z0
 E đóng.
0  E nên theo bổ đề 2 có t  0: zt, < 0,  zE DyCxyxt  ,,0, .
Vậy tồn tại  = xt
Cx
,sup

tách hẳn C, D. 
Chú ý. đ nh lý này nếu thiếu giả thiết 1 trong 2 tập compact thì đ nh lý không còn đúng nữa.
Ví dụ. C= {(x1,x2)   2
/x1x2 1} lồi đóng.
D= {(x1,x2)   2
/x2 0} lồi đóng.
C D = 
Nh ng C,D không tách hẳn đ ợc.

4. Tuyển tập Báo cáo “Hội nghị Sinh viên Nghiên cứu Khoa học” lần thứ 6 Đại học Đà Nẵng - 2008
287
Tách hẳn đ ợc và không tách hẳn đ ợc
Định nghĩa 5. Nếu x0
C thì một siêu phẳng tựa 0
, xxt  =0 (đi qua x0
) sao cho
0
, xxt   0,  xC gọi là một siêu phẳng tựa của C tại x0
. Ta cũng nói H = {x/
0
, xxt   0} là một nửa không gian tựa của C tại x0
.
Khi có một siêu phẳng tựa của C tại x0
C thì x0
phải là một đi m biên của C. Ng ợc lại:
Định lý. Qua mỗi điểm biên x0
của một tập lồi C có ít nhất một siêu phẳng tựa.
Tập NC (x0
)={t  n
Cxxxt  0, 0
} là nón pháp tuyến của C tại xo
.
3. Kết luận.
Đề tài đư trình bày đ ợc các đ nh lý tách của tập lồi.
H ớng nghiên cứu sắp tới là tìm hi u các ứng dụng của các đ nh lý tách.
TÀI LI U THAM KH O
[1] Lê Hoàng Trí (2005), Bài giảng Giải tích hàm nâng cao, tài liệu Cao học ĐHĐN.
[2] Hoàng Tụy(2003), Lí thuyết tối ưu- Bài giảng lớp cao học, Viện toán học Hà Nội.
[3] Hoàng Tụy(2003), Hàm thực và giải tích hàm, Viện Toán Học, NXB Đại học
qu c gia Hà Nội.