Nhận viết luận văn Đại học , thạc sĩ - Zalo: 0917.193.864 Tham khảo bảng giá dịch vụ viết bài tại: vietbaocaothuctap.net Download luận văn thạc sĩ ngành toán học với đề tài: Tính artin của các môđun đối đồng điều địa phương suy rộng phân bậc, cho các bạn làm luận văn tham khảo

1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRẦN THỊ HIẾU NGHĨA
TÍNH ARTIN CỦA CÁC MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA
PHƯƠNG SUY RỘNG PHÂN BẬC
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thành phố Hồ Chí Minh 2012

2. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRẦN THỊ HIẾU NGHĨA
TÍNH ARTIN CỦA CÁC MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA
PHƯƠNG SUY RỘNG PHÂN BẬC
Chuyên ngành : Đại số và Lí thuyết số
Mã số: 60 46 05
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn
PGS.TS. Trần Tuấn Nam
Thành phố Hồ Chí Minh 2012

3. MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN..................................................................................................4
MỞ ĐẦU ..........................................................................................................5
DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU..........................................................................8
CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ.......................................................9
1.1 MỘT SỐ TÍNH CHẤT VỀ VÀNH VÀ MÔĐUN.................................................9
1.2 ĐỘ DÀI, DÃY CÁC PHẦN TỬ CHÍNH QUY CỦA MỘT MÔĐUN ...............11
1.3 GIỚI HẠN THUẬN .............................................................................................13
1.4 MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG......................................................15
1.5 MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG.................................17
1.7 DÃY PHỔ.............................................................................................................23
CHƯƠNG 2: TÍNH ARTIN CỦA CÁC MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU
ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG PHÂN BẬC ..................................................28
2.1 MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG PHÂN BẬC ...........28
2.2 MỘT SỐ TÍNH CHẤT VỀ TÍNH ARTIN CỦA CÁC MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG
ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG PHÂN BẬC ......................................................29
KẾT LUẬN....................................................................................................45
TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................46

4. LỜI CẢM ƠN
Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS
Trần Tuấn Nam. Tác giả xin chân thành cảm ơn thầy vì đã lựa chọn một đề tài mà
qua đó tác giả củng cố được các kiến thức về đại số giao hoán, đại số đồng điều và
làm quen được với những kiến thức cơ bản của lí thuyết đối đồng điều địa phương.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy trong khoa Toán - Tin
học trường Đại học Sư phạm TP. Hồ Chí Minh và Đại học Khoa học Tự nhiên TP.
Hồ Chí Minh đã giúp đỡ tác giả nâng cao trình độ chuyên môn và phương pháp làm
việc hiệu quả trong quá trình học tập tại trường.
Xin cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Sau đại học trường Đại học Sư phạm TP.
Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện để tác giả hoàn thành luận văn này.
Nhân dịp này, tác giả muốn gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã động viên và
tạo điều kiện thuận lợi để tác giả học tập trong suốt thời gian qua.
Và tôi cũng tỏ lòng biết ơn tới những tác giả các tài liệu mà tôi đã tham khảo
trong quá trình thực hiện đề tài này.

5. MỞ ĐẦU
Năm 1974, J. Herzog đã giới thiệu khái niệm đối đồng điều địa phương suy
rộng lần đầu tiên trong tài liệu [7]. Đây là khái niệm mở rộng của khái niệm đối
đồng điều địa phương cổ điển của Grothendieck. Một cách tự nhiên, các tính chất
của đối đồng điều địa phương cổ điển được tổng quát hóa thành các tính chất của
đối đồng điều địa phương suy rộng. Chúng ta sẽ xét đến một trong những tính chất
quan trọng được tổng quát lên, đó là tính Artin của các môđun đối đồng điều địa
phương.
Tính Artin của các môđun đối đồng điều địa phương đã được nghiên cứu bởi
các nhà toán học S.H.Tahamtan, H.Zakeri, Reza Sazeedeh, ... và thu được nhiều kết
quả quan trọng. Sau đó, nhiều nhà toán học đã mở rộng các kết quả này cho các
môđun đối đồng điều địa phương suy rộng. Việc nghiên cứu tính Artin của các
môđun đối đồng điều địa phương cổ điển và suy rộng đến nay vẫn là vấn đề mở.
Với mong muốn tiếp cận hướng nghiên cứu này, chúng tôi bắt đầu bằng việc tìm
hiểu những kết quả cơ bản về tính Artin của các môđun đối đồng điều địa phương
suy rộng phân bậc trong các bài báo:
[1.] “On graded generalized local cohomology” của Nazer Zamani (2006,
Achiv der Mathematik, Birkhäuser Verlag, Basel).
[2.]“Artinianess of graded generalized local cohomology modules” của
Tahamman S. (2011, Mathematics Scientific Journal, Vol. 7, No. 1, 107 -117).
[3.]“Some finiteness properties of generalized graded local cohomology
modules” của Ismael Akray, Adil Kadir Jabbar, Reza Sazeedeh (2012, International
Journal of Algebra, Vol. 6, no. 11, 539 – 547).

6. Từ các bài báo này, chúng tôi chọn trình bày lại chi tiết một số kết quả về
tính Artin của các môđun đối đồng điều địa phương suy rộng phân bậc trong một số
trường hợp đặc biệt nào đó. Và do vậy luận văn mang tên: "Tính Artin của các
môđun đối đồng điều địa phương suy rộng phân bậc". Luận văn bao gồm phần mở
đầu, hai chương nội dung và phần kết luận. Cụ thể:
Phần mở đầu: Nêu xuất xứ của vấn đề.
Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Giới thiệu các khái niệm cơ bản về môđun
đối đồng điều địa phương và trình bày những kiến thức về vành và môđun cần thiết
cho các chứng minh ở chương 2.
Chương 2: TÍNH ARTIN CỦA CÁC MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG
SUY RỘNG PHÂN BẬC
Giới thiệu môđun đối đồng điều địa phương suy rộng phân bậc ( , )i
IH M N với R là
vành phân bậc, I là iđêan phân bậc của R và M , N là các R -môđun phân bậc.
Sau đó, chúng tôi trình bày một số điều kiện đủ để một số môđun đối đồng điều địa
phương suy rộng phân bậc là Artin.
Phần kết luận: Đưa ra nhận xét và những vấn đề mở cần tiếp tục nghiên cứu.
Trong khuôn khổ một luận văn cao học, chúng tôi cố gắng trình bày lại các
kết quả đã có trong một hệ thống, với các chứng minh chi tiết nhất có thể và nêu ra
được các tính chất cơ bản mà các tác giả đã sử dụng. Một số kết quả trong phần
kiến thức chuẩn bị chúng tôi không nêu chứng minh vì đã được trình bày rõ trong
các tài liệu tham khảo. Chúng tôi trình bày một số bổ đề liên quan trực tiếp đến các
kết quả chương 2 hay một số bài tập mà các tác giả đưa ra trong tài liệu tham khảo.

7. Các kí hiệu được dùng trong bản luận văn này hoặc là các kí hiệu thông dụng
hoặc sẽ được giải thích khi sử dụng lần đầu (xem Danh mục các kí hiệu). Để trích
dẫn một số kết quả, chúng tôi dùng cách trích dẫn quen thuộc. Chẳng hạn, xem [[3],
Theorem 2.3] nghĩa là xem Định lí 2.3 trong tài liệu [3].
Cuối cùng, mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn cũng khó tránh khỏi
những thiếu sót. Vì vậy rất mong sự đóng góp ý kiến của các Thầy Cô và các bạn.
Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 8 năm 2012.

8. DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU
Ký hiệu

Ab
( )C R
( )*
C R
( , )R m
( , )RHom M N
( )RZ M
( )Spec R
( )RAss M
( )Supp M
( )dimR M
( )RPd M
( )RId M
( ),i
RExt M −
( )Ex ,i
Rt N−
( ),R
iTor A −
( ),R
iTor B−
Ý nghĩa
Tập hợp các số tự nhiên
Phạm trù các nhóm abel
Phạm trù các R -môđun
Phạm trù các R -môđun phân bậc
R là vành địa phương với m là iđêan tối đại duy nhất
Tập tất cả các R -đồng cấu từ M đến N
Tập tất cả các ước của 0 của R -môđun M
Tập tất cả các iđêan nguyên tố của vành R
Tập tất cả các iđêan nguyên tố liên kết của R -môđun M
Giá của môđun M
Chiều Krull của R -môđun M
Chiều xạ ảnh của R -môđun M
Chiều nội xạ của R -môđun M
Các hàm tử mở rộng
Các hàm tử xoắn

9. CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong suốt luận văn này, nếu không nói gì thêm, chúng tôi luôn giả sử R là
vành giao hoán có đơn vị 1 0≠ . Chương này trình bày một số kết quả đã được đề
cập trong đại số đại cương, đại số giao hoán và đại số đồng điều có liên quan đến
chương 2 của luận văn.
1.1 MỘT SỐ TÍNH CHẤT VỀ VÀNH VÀ MÔĐUN
Mệnh đề 1.1.1:
i. Cho 1 2, ,..., nP P P là các iđêan nguyên tố và I là iđêan của R thỏa mãn
1
n
i
i
I P
=
⊂  .
Khi đó tồn tại { }1,2,....,i n∈ sao cho iI P⊂ .
ii. Cho 1 2, ,..., nI I I là các iđêan và P một iđêan nguyên tố của R thỏa mãn
1
n
i
i
I P
=
⊂
. Khi đó tồn tại { }1,2,....,i n∈ sao cho iI P⊂ .
Bổ đề 1.1.2: (Bổ đề Nakayama)
M là R -môđun hữu hạn sinh, I là một iđêan của R và I là con của căn
Jacobson của R . Khi đó, nếu IM M= thì 0M = .
Mệnh đề 1.1.3 Cho R là một vành, I là iđêan của R và M là một R -môđun. Ta
có ( ) // RR I M M IM⊗ ≅ .
Mệnh đề 1.1.4 Cho R là vành địa phương, M và N là các R -môđun hữu hạn
sinh. Khi đó, nếu 0RM N⊗ =thì 0M = hoặc 0N = .
Mệnh đề 1.1.5 Cho dãy khớp ngắn các R -môđun
0 0M N P→ → → → . Khi đó ta có N Artin khi và chỉ khi M và P Artin.
Từ điều này ta suy ra nếu dãy các R -môđun
M N P→ → khớp tại N và M , P là các môđun Artin thì N cũng là môđun Artin.

10. Mệnh đề 1.1.6 Vành R Artin khi và chỉ khi R Noether và dim 0R = .
Mệnh đề 1.1.7
Cho R là vành, I là một iđêan của R và M là một R -môđun. Khi đó, với mọi số
tự nhiên n tồn tại đẳng cấu: ( ) ( )/ , 0:n n
R MHom R I M I≅ .
Định nghĩa 1.1.8
Cho R là một vành, M là một R -môđun, iđêan nguyên tố P của R được gọi là
iđêan nguyên tố liên kết của M nếu tồn tại { } 0x M∈ sao cho ( )P Ann x= .
Tập hợp tất cả các iđêan nguyên tố liên kết của R -môđun M được kí hiệu là
( )RAss M .
Giá của R -môđun M , kí hiệu ( ) ( ){ }: 0 .PSupp M P Spec R M=∈ ≠
PM là địa phương hóa của môđun M theo tập con nhân R P .
Đặt ( ) ( ){ }:V I P Spec R I P=∈ ⊂ .
Mệnh đề 1.1.9 Nếu M là R -môđun hữu hạn sinh thì ( ) ( )( )Supp M V Ann M= .
Mệnh đề 1.1.10
Nếu R là vành Noether và I là một iđêan của R thì ( / ) ( )R ISu p Vp I=
Mệnh đề 1.1.11 Cho R là vành Noether, M là một R -môđun hữu hạn sinh, I là
một iđêan của R . Khi đó ( ) ( )Supp M V I⊂ khi và chỉ khi tồn tại số nguyên k sao
cho 0k
I M = .
Mệnh đề 1.1.12
Cho M , N là các R -môđun hữu hạn sinh. Khi đó
( ) ( ) ( )RSupp M N Supp M Supp N⊗ = ∩
Từ mệnh đề trên và Mệnh đề 1.1.3 ta suy ra kết quả sau:
Hệ quả 1.1.13
Cho M là một R -môđun hữu hạn sinh, I là một iđêan bất kì của R , khi đó
( ) ( ) ( )( ) ( )( )/ .Supp M IM V I V Ann M V I Ann M=∩ =+

11. Mệnh đề 1.1.14
Cho R là vành Noether, M là R -môđun khác 0.
i. Phần tử tối đại của ( ){ }:Ann x x M∈ là iđêan nguyên tố liên kết của M , hay
( )As Rs M ≠ ∅.
ii. Tập hợp tất cả các ước của không của M là hợp của tất cả các iđêan nguyên tố
liên kết của M .
Mệnh đề 1.1.15
Cho M , N , P là các R -môđun và dãy khớp 0 0M N P→ → → → thì ta có các kết
quả sau:
i. ( ) ( ) ( )As As AsR R Rs N s M s P⊂ ∪
ii. ( ) ( ) ( )Supp N Supp M Supp P= ∪
Mệnh đề 1.1.16
Cho R là vành Noether và M là R -môđun hữu hạn sinh. Khi đó ta có:
i. ( )As Rs M có hữu hạn phần tử
ii. ( ) ( )As Rs M Supp M⊂
iii. Phần tử tối tiểu của ( )As Rs M và ( )Supp M như nhau.
Mệnh đề 1.1.17
Cho M , N là các R -môđun và ( )RPd M n= . Ta có: ( , ) 0i
RExt M N = với mọi i n> .
1.2 ĐỘ DÀI, DÃY CÁC PHẦN TỬ CHÍNH QUY CỦA MỘT MÔĐUN
a. Độ dài:
Một dãy các R -môđun con của môđun M là dãy ( )0i i n
M ≤ ≤
các môđun con phân biệt
của M thỏa mãn 0 1 ... 0nM M M M= ⊃ ⊃ ⊃ = .
Ta nói n là độ dài của dãy này.
Một chuỗi hợp thành của M là dãy tối đại các môđun con của M , tức là không thể
thêm vào một môđun con nào nữa hay các môđun thương

12. 1/i iM M + là đơn.
Độ dài của chuỗi hợp thành của một R -môđun M là đại lượng không đổi và được
kí hiệu là ( )Rl M và gọi là độ dài của R -môđun M .
Nhận xét:
Độ dài của R -môđun M tồn tại khi và chỉ khi R -môđun M Artin và Noether.
Mệnh đề 1.2.1
Cho R là vành Noether, M là R -môđun hữu hạn sinh. Khi đó các điều sau là
tương đương:
i. ( )Rl M < ∞
ii. Mọi phần tử thuộc ( )As Rs M đều là iđêan tối đại của R .
iii. Mọi phần tử thuộc ( )Supp M đều là iđêan tối đại của R .
Hệ quả 1.2.2
Cho R là vành Noether, M là R -môđun hữu hạn sinh, N là R -môđun bất kì. Nếu
( )Rl N < ∞ thì ( )( ),R Rl Hom M N < ∞ .
Do đó nếu N là R -môđun Artin thì ( ),RHom M N cũng là R -môđun Artin.
b. Dãy chính quy:
Định nghĩa 1.2.3
Cho M là một R -môđun, một phần tử r R∈ được gọi là M -chính quy nếu
{ }0, 0rx x M≠ ∀ ∈ .
Định nghĩa 1.2.4
Một dãy các phần tử
1 2, ,..., na a a của R là một M -dãy chính quy nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:
i. 1a là M -chính quy, 2a là
1/M a M -chính quy,…, na là 1 2 1/ , ,..., nM a a a M−< > -chính quy;
ii. 1 2, ,..., nM a a a M≠< > .
Chú ý: Khi ta hoán vị các phần tử của M –dãy chính quy thì không chắc dãy mới là
M -dãy chính quy.

13. Mệnh đề 1.2.5
Cho R là vành Noether địa phương, M là R -môđun hữu hạn sinh và
1 2, ,..., na a a là một M -dãy chính quy thì ta có:
( )( )1 2 1 2dim / , ,..., , ,..., dim .n nM a a a M a a a M M n< > = −
1.3 GIỚI HẠN THUẬN
Trong phạm vi luận văn này, chúng tôi chỉ xét khái niệm giới hạn thuận trong phạm
trù các R -môđun.
a. Định nghĩa giới hạn thuận:
Định nghĩa 1.3.1 (Tập sắp thứ tự thuận)
Một tập hợp Λ sắp thứ tự bộ phận được gọi là tập sắp thứ tự thuận nếu với mọi
,i j ∈Λ tồn tại k ∈Λ sao cho i k≤ và j k≤ .
Định nghĩa 1.3.2 (Hệ thống thuận)
Cho ( )i i
M ∈Λ
là một họ các R -môđun được đánh chỉ số trên tập sắp thứ tự thuận
Λ . Với mỗi cặp phần tử ,i j ∈Λ mà i j≤ cho R -đồng cấu :i
j i jM Mµ → thỏa mãn
các điều kiện sau:
i. ,i
i
i MId iµ= ∀ ∈Λ
ii. , i ji j i
k k j kµ µ µ= ° ∀ ≤ ≤
Khi đó, họ ( );
; i
i j i j
M µ
∈Λ
Ω = các R -môđun iM và R -đồng cấu i
jµ được gọi là một
hệ thống thuận.
Định nghĩa 1.3.3 Giới hạn thuận của hệ thống thuận ( );
; i
i j i j
M µ
∈Λ
Ω = là môđun
lim i
i
M
∈Λ
 và họ các đồng cấu : limi i i
i
M Mµ
∈Λ
→  thỏa mãn những điều kiện sau:
i. i
j j iµ µ µ= với mọi i j≤ ,

14. ii. Với N là một R -môđun bất kì, các đồng cấu :i if M N→ thỏa mãn i
j j if fµ = với
mọi i j≤ . Khi đó tồn tại duy nhất đồng cấu :lim i
i
M Nθ
∈Λ
→ sao cho biểu đồ sau giao
hoán.
Mệnh đề 1.3.4 Giới hạn thuận của một hệ thống thuận ( );
; i
i j i j
M µ
∈Λ
Ω = luôn tồn tại.
Ta có thể chỉ ra giới hạn thuận đó là tập /i
i
M M D
∈Λ
= ⊕ , với D là R -môđun con của
i
i
M
∈Λ
⊕ được sinh bởi các phần tử ( ) ( )i
j j i i im mµ µ µ− với i im M∈ , i j≤ , :i iM Mµ →
là đơn cấu.
b. Đồng cấu giữa hai hệ thống thuận
Cho hai hệ thống thuận các R -môđun ( );
; i
i j i j
M µ
∈Λ
Ω = và ( );
; i
i j i j
N v
∈Λ
Φ = cùng
đánh chỉ số trên tập sắp thứ tự thuận Λ .
Gọi M , N là các giới hạn thuận tương ứng và :i iM Mµ → , :i iv N N→ là các đồng
cấu tự nhiên. Một đồng cấu :Ψ Ω → Φ được định nghĩa là một họ các R -môđun
:i i iM Nψ → thỏa mãn , .i i
j j j i i jψ µ ν ψ° = ° ∀ ≤
Khi đó, đồng cấu :Ψ Ω → Φ sẽ cảm sinh R -đồng cấu lim :
i
M Nψ
∈Λ
= → thỏa mãn
,i i i iψµ ν ψ= ∀ ∈Λ .
c. Tính chất:
Một dãy các hệ thống thuận Ω → Φ → Π được gọi là khớp nếu các dãy tương ứng
của các R -môđun và R -đồng cấu là khớp.
Ta có các mệnh đề sau:

15. Mệnh đề 1.3.5 Cho một dãy khớp các hệ thống thuận Ω → Φ → Π . Khi đó, dãy
cảm sinh sau cũng là khớp: lim lim lim
i i i∈Λ ∈Λ ∈Λ
Ω → Φ → Π   .
Mệnh đề 1.3.6 Cho R là một vành, N là một R -môđun và ;{( ; ) }i
i j i jM µ ∈Λ là một hệ
thống thuận các R -môđun. Khi đó ta có: lim( ) (lim )i R i R
i i
M N M N
∈Λ ∈Λ
⊗ ≅ ⊗ 
1.4 MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG
Trong mục này ta giả sử R là vành Noether, giao hoán, có đơn vị khác 0, M ,
N là các R -môđun và I là một iđêan của R . Chúng tôi sẽ trình bày khái niệm và
một số tính chất về môđun đối đồng điều địa phương cần sử dụng trong chương sau.
Các chứng minh cho các tính chất này có thể tham khảo ở các tài liệu [3], [6].
a. Định nghĩa hàm tử I -xoắn:
Với mỗi R -môđun M , ( ) ( ): 0: n
I M
n
M I
∈
Γ =

 là một R -môđun con của M .
Với mỗi đồng cấu R -môđun :f M N→ , ta có ( )( ) ( )I If M NΓ ⊂ Γ nên ta có thể
định nghĩa ( ) ( ) ( ):I I If M NΓ Γ → Γ là đồng cấu thu hẹp của f lên ( )I MΓ .
Hơn nữa với :g M N→ và :h N L→ là các đồng cấu R -môđun và r là phần tử
thuộc R ta có các tính chất:
( ) ( ) ( )I I Ihg h gΓ =Γ Γ
( ) ( ) ( )I I If g f gΓ + = Γ + Γ
( ) ( )I Irf r fΓ =Γ
( ) ( )II M M
Id IdΓ
Γ =
Do đó
( )IΓ − là hàm tử hiệp biến và cộng tính từ phạm trù các R -môđun vào chính nó.
( )IΓ − còn được gọi là hàm tử I -xoắn.
Nhận xét:
Hàm tử ( )IΓ − là hàm tử khớp trái.

16. Ta có đẳng cấu: ( ) ( )lim ,/ n
I R
n
M Hom R I M
∈
Γ ≅ 

.
Định nghĩa 1.4.1 Với mỗi i∈ , hàm tử dẫn xuất phải thứ I của ( )IΓ − được kí
hiệu là ( )i
IH − và được gọi là hàm tử đối đồng điều địa phương thứ i theo iđêan I .
Ta nói M là I -không xoắn nếu ( ) 0I MΓ =và M là I -xoắn nếu ( )I M MΓ =.
Ta kiểm tra được
( ) ( )limExt / ,i i n
I R
i
H M R I M
∈
≅ 

và ( )i
IH M được gọi là môđun đối đồng điều địa
phương thứ i của môđun M theo iđêan I .
Mệnh đề 1.4.2 Cho M là một R -môđun. Khi đó ta có:
i. Nếu I chứa một phần tử không là ước của không đối với M thì M là I -không
xoắn.
ii. Giả sử M là hữu hạn sinh. Khi đó M là I -không xoắn khi và chỉ khi I chứa
phần tử không là ước của không đối với M .
Chứng minh:
( ) { } ( )0 0 , : 0: n
I MM m M n m IΓ ≠ ⇒ ∃ ∈ ∃ ∈ ∈
Đặt { }0 min : (0: )n
Mn n m I= ∈ ∈ .
Khi đó, ( )0 0 1
0n n
I m I I m−
= = .
Do cách đặt 0n nên 0 01 1
0 : 0n n
I m b I bm− −
≠ ⇒ ∃ ∈ ≠ .
Khi đó với mọi a thuộc I ta có 0abm = . Suy ra
( )RI Z M⊂ .
Ngược lại, M hữu hạn sinh nên ( )As Rs M hữu hạn (theo Mệnh đề 1.1.6). Giả sử
( ) { }1 2As , ,...,R rs M p p p= .
( )
( )As R
R
p s M
I Z M p
∈
⊂ = suy ra { }1,2,..., : ii r I p∃ ∈ ⊂ . (theo Mệnh đề 1.1.1)
Mà ( )Asi Rp s M∈
{ } ( ) 0 : iv M p Ann v⇒ ∃ ∈ =

17. ( )i IIv p v v M⇒ ⊂ ⇒ ∈Γ
( ) 0I M⇒ Γ ≠ . 
Mệnh đề 1.4.3 Nếu M là R -môđun nội xạ thì ( )I MΓ là nội xạ.
Hệ quả 1.4.4 Cho M là R -môđun nội xạ thì dãy khớp
( ) ( )0 / 0I IM M M M→ Γ → → Γ → chẻ.
Hệ quả 1.4.5
Cho M là R -môđun I -xoắn. Khi đó có một phép giải nội xạ của M mà tất cả các
thành phần đều là R -môđun I -xoắn.
Mệnh đề 1.4.6 (Định lí Melkersson)
Nếu M là một R -môđun I xoắn và ( )0:M I Artin thì M cũng Artin.
1.5 MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG
Cho R là vành Noether giao hoán có đơn vị 1 0≠ , I là một iđêan của vành R ,
M và N là các R -môđun. Khi đó, với mỗi số tự nhiên i ,
( ) ( / , ), limExi i
I R
n N
n
H M I MM N t N
∈
≅  được gọi là môđun đối đồng điều địa phương suy
rộng thứ i của môđun N ứng với M theo iđêan I .
Trường hợp riêng, với M là R ta có ( ) ( ),i i
I IH R N H N≅ .
Khi M là một R -môđun hữu hạn sinh thì ta có thể tiếp cận môđun
( ),i
IH M N theo một số cách khác (xem ở [16]). Ở đây chúng tôi chọn trình bày cách
tiếp cận mà các hàm tử dùng để mô tả môđun này là các hàm tử quen thuộc: hàm tử
đối đồng điều địa phương cổ điển ( )i
IH − , hàm tử Hom và hàm tử đối đồng điều
( )i
H − .
Mệnh đề 1.5.1

18. ( ) ( )( ) ( )( )0 0 0
, , ,I I IH M N H Hom M N Hom M H N≅ ≅ .
Mệnh đề 1.5.2
Cho M là một R -môđun hữu hạn sinh, N là R -môđun bất kì,
•
J là phép giải nội xạ của N . Khi đó, với mọi số tự nhiên i , ta có:
( ) ( )( )( ) ( )( )( )0 • 0 •
, , ,i i i
I I IH M N H H Hom M J H Hom M H J≅ ≅ .
Mệnh đề 1.5.3
Cho dãy khớp ngắn các R -môđun 0 0X Y Z→ → → → và M , N là các R -môđun
hữu hạn sinh thì ta có các dãy khớp dài các môđun đối đồng điều địa phương suy
rộng sau:
( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 1
0 , , , , ...I I I IH M X H M Y H M Z H M X→ → → → →
( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 1
và 0 , , , , ...I I I IH Z N H Y N H X N H Z N→ → → → →
Hàm tử I -xoắn cho một môđun có thể được mở rộng cho một cặp môđun như sau:
( , ) : li (H / ,m o )mI R
n N
n
N I MM M N
∈
Γ = .
Theo [[6], 1.1.2] ta có mệnh đề:
Mệnh đề 1.5.4
Nếu I , J là các iđêan của R thì ( )( ) ( )I J I JM M+Γ Γ =Γ với mọi R -môđun M .
Mệnh đề sau là một kết quả tổng quát hơn:
Mệnh đề 1.5.5
Cho I , J là các iđêan của R . Khi đó ta có
( ) ( )( ) ( )( ), , ,I J I J J IM N M N M N+Γ =Γ Γ =Γ Γ với mọi R -môđun M .
Mệnh đề 1.5.6
Cho I , J là các iđêan của R , N là R -môđun J -xoắn, M là R -môđun bất kì. Khi
đó
( ) ( ), , ,i i
I J IH M N H M N i+ ≅ ∀ ∈ .
Mệnh đề 1.5.7

19. Cho M , N là các R -môđun trong đó M hữu hạn sinh. Khi đó ta có:
( )( ) ( ),i
ISupp H M N V I⊂ và ( )( ) ( ) ( ),i
ISupp H M N Supp M Supp N⊂ ∩ .
Mệnh đề 1.5.8
Cho M là R -môđun hữu hạn sinh, N là R -môđun bất kì.
i. ( ),i
IH M N là I -xoắn với mọi giá trị của i .
ii. Nếu N là I -xoắn thì ( ) ( ), Ex ,i i
I RH M N t M N≅ .
Hệ quả 1.5.9 Cho N là R -môđun I -xoắn. Khi đó ta có:
i. Nếu M là R -môđun xạ ảnh thì ( ), 0, 0.i
IH M N i= ∀ >
ii. Nếu ( )Pd M n= thì ( ), 0,i
IH M N i n= ∀ > .
iii. Nếu ( )Id N n= thì ( ), 0,i
IH M N i n= ∀ > .
Mệnh đề 1.5.10
Cho M , N là các R -môđun hữu hạn sinh, m là iđêan tối đại của R . Khi đó
( ),i
H M Nm là môđun Artin với mọi 0i ≥ .
Từ Mệnh đề 1.5.6 và 1.5.10 ta có hệ quả:
Hệ quả 1.5.11
Cho I , J là các iđêan của R , N là R -môđun J -xoắn, M là R -môđun bất kì,
I J+ là iđêan tối đại của R . Khi đó ( ),i
IH M N Artin với mọii∈ .
Mệnh đề 1.5.12
Cho /R I Artin và M là R -môđun hữu hạn sinh. Khi đó ( )i
IH M Artin với mọi
i∈ .
1.6 VÀNH VÀ MÔĐUN PHÂN BẬC
a. Vành phân bậc:
Định nghĩa 1.6.1 Một vành R được gọi là phân bậc (cụ thể là  -phân bậc) nếu
tồn tại một họ các nhóm con (đối với phép toán cộng) { }n nR ∈ của R thỏa mãn các
điều kiện sau:
i. n nR R∈= ⊕ 

20. ii. .n m n mR R R +⊆ với mọi m , n thuộc 
Từ định nghĩa trên ta suy ra được:
Phần tử đơn vị 01 R∈
0R là vành con của R
Với mọi số nguyên n , nR là 0R -môđun con của R
Nếu vành phân bậc n nR R∈= ⊕  có 0nR = với mọi 0n < thì ta gọi R là vành  -
phân bậc (hay là vành phân bậc dương).
Cho R là vành phân bậc dương, ta có 1: n nR R+ ≥= ⊕ là một iđêan của R .
Ta nhắc lại một mệnh đề quan trọng sau:
Mệnh đề 1.6.2 Cho R là vành phân bậc dương, ta có các điều sau tương đương:
i. R là vành Noether.
ii. 0R Noether và R là một 0R -đại số hữu hạn sinh.
Ta xét đến một loại vành phân bậc đặc biệt sau:
Định nghĩa 1.6.3 Vành phân bậc dương R được gọi là thuần nhất nếu R được xem
như là một 0R -đại số với biến thuộc 1R ( 0 1[ ]R R R= ).
Lúc này ta gọi 0R là vành cơ sở của R .
Mệnh đề sau cho ta mô tả R trong một trường hợp cụ thể:
Mệnh đề 1.6.4
Cho R là một vành phân bậc dương. Khi đó các điều sau tương đương:
i. R thuần nhất và Noether
ii. 0R Noether và R+ được sinh bởi hữu hạn phần tử của 1R
iii. 0R Noether và R là 0R -đại số được sinh bởi hữu hạn phần tử của 1R
Phần tử x R∈ được gọi là thuần nhất (homogeneous) nếu tồn tại n∈ sao cho
nx R∈ . Trường hợp 0x ≠ thì n là duy nhất và ta gọi số n đó là bậc của x , kí hiệu
( )deg x n= .
Iđêan I của vành phân bậc R được gọi là iđêan phân bậc nếu nó được sinh bởi các
phần tử thuần nhất.

21. Định nghĩa 1.6.5
Iđêan phân bậc tối đại của vành phân bậc R là iđêan m thỏa mãn các điều kiện
sau:
i. m là iđêan phân bậc thực sự của R .
ii. Nếu iđêan phân bậc thực sự a thỏa mãn ⊆m a thì =m a
Chú ý: Một iđêan phân bậc tối đại thì không chắc là iđêan tối đại của R .
Trong trường hợp R là vành phân bậc dương thì ta có thể mô tả các iđêan phân bậc
tối đại của R qua mệnh đề sau:
Mệnh đề 1.6.6 Cho R là vành phân bậc dương. Khi đó iđêan phân bậc tối đại của
R có dạng 0 R++m , với 0m là iđêan tối đại của 0R . Đặc biệt, iđêan phân bậc tối
đại của R cũng là iđêan tối đại của R .
b. Môđun phân bậc:
Định nghĩa 1.6.7 Cho R là vành phân bậc và M là một R -môđun. M được gọi là
R -môđun phân bậc nếu tồn tại một họ { }n nM ∈ các nhóm con của M (đối với phép
toán cộng) sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn:
i. n nM M∈= ⊕ 
ii. .n m n mR M M +⊆ với mọi m , n thuộc 
Mỗi nhóm con nM là 0R -môđun con của M và ta gọi nó là textit{thành phần phân
bậc thứ n } của M .
Bậc của phần tử thuộc môđun phân bậc được định nghĩa tương tự như bậc của phần
tử trong vành.
Cho n nM M∈= ⊕  , n nN N∈= ⊕  là các R -môđun phân bậc, một đồng cấu thuần nhất
giữa các R -môđun phân bậc là một R -đồng cấu :f M N→ thỏa mãn ( )n nf M N⊆
với mọi n∈.
Tập hợp tất cả các R -môđun phân bậc và R -đồng cấu thuần nhất lập thành một
phạm trù, ta kí hiệu phạm trù này là ( )*
C R .
Cho t ∈ , ta xét hàm tử t -chuyển như sau: ( )( ) ( ) ( )* *
. : .t C R C R→

22. Với mỗi M= n
n
M
∈
⊕

ta có ( ) n tn
M t M += và với mỗi R -đồng cấu thuần nhất
:f M N→ ta có ( ) ( )| | n tn
MM t
f t f +
= với mọi n∈.
Một đồng cấu :f M N→ được gọi là thuần nhất cấp i nếu ( )n n if M N +⊆ với mọi
n∈.
Chú ý rằng đồng cấu thuần nhất cấp i trên có thể được xem là thuần nhất nếu xem
f như là đồng cấu từ ( )M i− đến N .
Ta kí hiệu ( ),iHom M N là tập tất cả các đồng cấu thuần nhất cấp i từ M đến N .
Khi đó ta có
( ) ( )*
, : ,R i
i
Hom M N Hom M N
∈
= ⊕

là một R -môđun con của ( ),RHom M N .
Với i
i
R R
∈
= ⊕

là vành Noether phân bậc, M= n
n
M
∈
⊕

, N= n
n
N
∈
⊕

là các R -môđun phân
bậc. Ta có mệnh đề:
Mệnh đề 1.6.8 (xem [[4], 1.5.19])
Nếu M là hữu hạn sinh thì ( ) ( )*
, ,R RHom M N Hom M N= .
Mệnh đề 1.6.9
Cho R là vành phân bậc thuần nhất và M là R -môđun phân bậc hữu hạn sinh.
Khi đó các điều sau tương đương:
i. Tồn tại t ∈ : ( ) 0t
R M+ =
ii. 0nM = với mọi n đủ lớn (nghĩa là tồn tại số tự nhiên 0n sao cho với mọi 0n n≥
thì 0nM = )
iii. M là R+ -xoắn
Mệnh đề 1.6.10
Nếu M là R -môđun Noether thì nM là 0R -môđun Noether.
Mệnh đề 1.6.11
Cho R là một vành phân bậc dương và M là một R -môđun phân bậc. Khi đó
( ) ( )0R Rl M l M= .
Mệnh đề 1.6.12

23. Cho R là vành phân bậc dương với vành cơ sở địa phương 0 0( , )R m và M là một
R -môđun phân bậc hữu hạn sinh. Khi đó ta có: 0( / ) 0 ( )R Rdim M M M M+
≤ ⇔ =Γm
Mệnh đề 1.6.13
Nếu 0( / ) 0Rdim M M >m thì tồn tại phần tử thuần nhất x R+∈ thỏa mãn:
0 0(( / ) / ( / )) ( / ) 1.R Rdim M xM M xM dim M M= −m m
c. Môđun cofinite tương ứng với một iđêan - Môđun minimax:
Định nghĩa 1.6.14 Cho R là vành phân bậc, I là iđêan phân bậc của R và M là
R -môđun phân bậc. Ta nói M là I -cofinite nếu
( ) ( )Supp M V I⊂ và ( , )/i
RExt R I M phân bậc hữu hạn sinh với mọi i∈ .
Định nghĩa 1.6.15 Một R -môđun phân bậc M là minimax nếu tồn tại một R -
môđun con phân bậc hữu hạn sinh 'M sao cho /M M ′ Artin.
Ta có thể chứng minh được kết quả sau:
Định lí 1.6.16 Cho 0 0L M N→ → → → là dãy khớp các R -môđun phân bậc và R
-đồng cấu thuần nhất. Khi đó M minimax khi và chỉ khi L và N minimax.
1.7 DÃY PHỔ
Trong mục này, chúng tôi trình bày khái niệm dãy phổ và dãy phổ Grothendieck
cần dùng trong chương 2.
a. Khái niệm dãy phổ
Định nghĩa 1.7.1 Một môđun song phân bậc là một họ các môđun được đánh hai
chỉ số ( ){ }, | ,p qM M p q= ∈ ×  .
Phần tử x thuộc ,p qM được kí hiệu lại là ,p qx .
Môđun thương của môđun song phân bậc M là , ,{/ }'/p q p qM M M M′ =
,{M' }p qM M′= ⊂ .
Cho { },p qM M= , { },p qN N= là các môđun song phân bậc và
( ),a b ∈ × . Ta nói đồng cấu :f M N→ có song cấp là

24. ( ),a b nếu ( ), ,p q p a q bf M N + +⊂ với mọi cặp số ( ),p q ∈ × .
Đặt ,, : | p qp q Mf f= . Khi đó f là họ đồng cấu ( ){ }, | ,p qf p q ∈ ×  .
Một cặp khớp là một cặp các môđun song phân bậc D , E và các đồng cấu song
cấp
, ,α β γ sao cho tam giác sau là khớp tại mỗi đỉnh:
Kí hiệu cặp khớp này là( ), , , ,D E α β γ .
Xét cặp khớp D , E và các đồng cấu , ,α β γ có song cấp lần lượt là
( )1, 1− , ( )0,0 , ( )1,0− . Ta sẽ xây dựng một cặp khớp khác từ cặp khớp này.
Xây dựng 1
:d E E→ xác định bởi 1
:d βγ= .Khi đó ta có 1 1
0d d = nên tồn tại môđun
đồng điều ( )1 1 1
, : / ImH E d Kerd d= , kí hiệu là 2
E . Nó lại là một môđun song phân
bậc.
Cho ( ),p q ∈ ×  bất kì,
nên 1
d có song cấp là ( )1,0− .
2
E là một môđun thương của môđun song phân bậc nên ta có 2 1 1
, , 1,er I/ mp q p q p qE K d d +=
.
Ta xây dựng môđun song phân bậc 2
: ImD α= . Vì α có song cấp ( )1, 1− nên ta có
( )2
, 1, 1 1, 1 1, 1 ,Imp q p q p q p q p qD D Dα α− + − + − += = ⊂ . Tiếp theo ta xây dựng bộ ba đồng cấu song
cấp 2 2 2
, ,α β γ như sau: 2
2
: |D
α α= .
Ánh xạ đồng nhất : Imi Dα → có song cấp ( )0,0 nên đồng cấu 2
iα α= ° có song
cấp giống α là ( )1, 1− .
Đồng cấu 2 2 2
: D Eβ → biến ( )( )1
y cls yβα−
 nên tồn tại 2
, ,p q p qy D∈ sao cho

25. 1, 1 1, 1p q p qx D− + − +∈ . Vì vậy ( ), 1, 1 1, 1p q p q p qy xα − + − += , tức là 2
β có song cấp ( )1,1− .
Đồng cấu 2 2 2
: E Dγ → , 2
, , , , 1,( )p q p q p q p q p qcls z z Dγ γ −∈ . Ta kiểm tra được
2
γ được định nghĩa tốt và có song cấp như γ là ( 1,0)− .
Định lí 1.7.2 Với cách xây dựng như trên thì ta có
là một cặp khớp với 2 2 2
, ,α β γ lần lượt có song cấp là ( ) ( ) ( )1, 1 , 1,1 , 1,0− − − .
Cặp khớp ( )2 2 2 2 2
, , , ,D E α β γ được gọi là cặp khớp dẫn xuất của ( ), , , ,D E α β γ .
Ta lặp lại quá trình này và thu được một dãy các cặp khớp
Trong đó cặp khớp thứ 1r + là dẫn xuất của cặp khớp thứ r .
Định lí 1.7.3 Cho ( ), , , ,D E α β γ là một cặp khớp với , ,α β γ có song cấp lần lượt là
( ) ( ) ( )1, 1 , 0,0 , 1,0− − . Cặp dẫn xuất thứ r ( ), , , ,r r r r r
D E α β γ
có các đặc điểm sau:
i. , ,r r r
α β γ lần lượt có song cấp là ( ) ( ) ( )1, 1 , 1 , 1 , 1,0r r− − − −
ii. :r r r
d β γ= có song cấp là ( ), 1r r− − và được cảm sinh bởi 1r
βα γ− +
.
Định nghĩa 1.7.4 Một dãy phổ là một dãy { } 1
,r r
r
E d
≥
(có thể viết gọn là { }r
E ) các
môđun song phân bậc và các đồng cấu r
d thỏa mãn 0r r
d d = sao cho
( )1
,r r r
E H E d+
= như là các môđun song phân bậc.
Kí hiệu 1
:E E= thì ta có mỗi cặp khớp cảm sinh một dãy phổ.
Cho { , }r r
E d là một dãy phổ thì 2
E là một môđun con của môđun thương của 1
E .
Do đó ta có thể giả sử 2 2 2
/E Z B= với 2 2 1
B Z E⊆ ⊆ .

26. Đến lượt 3
E là môđun con của môđun thương của 2
E nên nó lại viết được dưới
dạng 3 3 2 3 2
( / ) / ( / )E Z B B B= , trong đó 3 2 3 2 2 2
/ / /B B Z B Z B⊆ ⊆ .
Suy ra 2 3 3 2 1
B B Z Z E⊆ ⊆ ⊆ ⊆
Tương tự như vậy ta có dây chuyền
2 2 1
... ...r r
B B Z Z E⊆ ⊆ ⊆ ⊆ ⊆ ⊆
Định nghĩa 1.7.5 Kí hiệu , ,
r
p q p q
r
Z Z∞
=  , , ,
r
p q p q
r
B B∞
=  và , , ,/p q p q p qE Z B∞ ∞ ∞
= .
Môđun song phân bậc E∞
được gọi là giới hạn của dãy phổ { }r
E .
b. Dãy phổ Grothendieck
Định nghĩa 1.7.6 Phạm trù abel  là đủ vật nội xạ (enough injectives) nếu với
mọi vật A thuộc phạm trù  đều tồn tại vật nội xạ E và một đơn cấu từ A đến E
.Đối ngẫu lại,  là đủ vật xạ ảnh (enough projectives) nếu với mọi vật A thuộc
phạm trù  đều tồn tại vật xạ ảnh E và một toàn cấu từ A đến E .
Phạm trù các R -môđun và R -đồng cấu là đủ vật xạ ảnh và đủ vật nội xạ.
Định nghĩa 1.7.7 Cho  là một phạm trù abel đủ vật xạ ảnh (hoặc đủ vật nội xạ)
và :F → Ab là hàm tử cộng tính. Vật B trong  được gọi là F -không tuần hoàn
phải nếu ( ) 0p
R F B = với mọi 1p ≥ , với p
R F là hàm tử dẫn xuất phải thứ p của F .
Vật B trong  được gọi là F -không tuần hoàn trái nếu ( ) 0pL F B = với mọi 1p ≥ ,
với pL F là hàm tử dẫn xuất trái thứ p của F .
Định nghĩa 1.7.8 Cho vật A thuộc phạm trù  . Một lọc của A là một họ các vật
con của A , { }p
pF A ∈ sao cho 1 1
... ...p p p
F A F A F A− +
⊆ ⊆ ⊆ ⊆
Đặc biệt:
Một lọc của một môđun M là một họ { }p pM ∈ các môđun con của M sao cho
1 1... ...p p pM M M− +⊆ ⊆ ⊆ ⊆
Định nghĩa 1.7.9 Một lọc ( p
F M ) của môđun phân bậc M là bị chặn nếu với mỗi
n , tồn tại số nguyên ( )s s n= và ( )t t n= sao cho 0t
nF M = và s
n nF M M= .

27. Định nghĩa 1.7.10 Cho H là một môđun phân bậc. Một dãy phổ { }r
E hội tụ đến
H , kí hiệu 2
,p q n
p
E H⇒ nếu có một lọc bị chặn { }p
HΦ của H sao cho $
1
, /p p
p q n nE H H∞ −
≅ Φ Φ $ với mọi p , q và n p q= + .
Tiếp theo, chúng tôi nhắc lại một dãy phổ Grothendieck cần dùng trong chương 2.
Có bốn dãy phổ Grothendieck: hai dãy ở góc phần tư thứ nhất (đồng điều) và hai
dãy ở góc phần tư thứ ba (đối đồng điều). Định lí sau sẽ chỉ ra sự tồn tại một dãy ở
góc phần tư thứ ba.
Định lí 1.7.11 (Định lí Grothendieck, xem [[11], Theorem 10.47])
Cho :G →  và :F →  là các hàm tử hiệp biến với  ,  ,  là các phạm trù
đủ vật nội xạ. Giả sử rằng F là khớp trái và GE là F -không tuần hoàn phải với
mọi vật nội xạ E . Khi đó với mọi vật A trong phạm trù  , tồn tại dãy phổ góc
phần tư thứ ba
,
2 ( )( ) ( )p q p q n
p
E R F R G A R FG A= ⇒
Ta nhắc lại kết quả ở 5.2.2 trong tài liệu [17].
Mệnh đề 1.7.12 Cho một dãy phổ { }r
E hội tụ tới *H thỏa mãn 2
, 0p qE = với mọi
1q > . Khi đó tồn tại dãy khớp dài

28. CHƯƠNG 2: TÍNH ARTIN CỦA CÁC MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU
ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG PHÂN BẬC
2.1 MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG PHÂN BẬC
Cho R là một vành phân bậc, I là một iđêan phân bậc của R , M là R -môđun
phân bậc hữu hạn sinh và N là R -môđun bất kì. Khi đó R -môđun ( ),i
IH M N có
cấu trúc phân bậc.
Ta sẽ sử dụng Mệnh đề 1.6.8 để chứng minh điều này.
Xét phép giải xạ ảnh của / n
M I M trong ( )*
C R .
Áp dụng hàm tử ( )*
,RHom N− vào phức trên. Lấy dãy đối đồng điều ta có môđun
( )*
Ex / ,i n
Rt M I M N là một R -môđun phân bậc.
M hữu hạn sinh nên theo Mệnh đề 1.6.8 ta có:
( ) ( )*
Ex , Ex ./ / ,i n i n
R Rt M I M N t M I M N=
Do đó
( ) ( / , ), limExi i
I R
n N
n
H M I MM N t N
∈
=  có cấu trúc của một R -môđun phân bậc.
Trong mục 2.2 của chương này, ta sẽ xét các môđun đối đồng điều địa phương suy
rộng phân bậc được giới hạn như sau:
Cho n
n
R R
∈
= ⊕

là vành Noether phân bậc thuần nhất với vành cơ sở địa phương
( )0 0,R m , M , N là các R -môđun phân bậc và kí hiệu
1
n
n
R R+
≥
= ⊕ .
Đặt
0 R+= +m m . Ta chứng minh được nó là iđêan phân bậc tối đại duy nhất của R .
Trong phần còn lại của chương 2, chúng tôi chọn trình bày một số kết quả về tính
Artin của các môđun đối đồng điều địa phương suy rộng phân bậc
( ),i
RH M N+
, ( )0
,i
H M Nm và một số môđun cảm sinh từ chúng.

29. 2.2 MỘT SỐ TÍNH CHẤT VỀ TÍNH ARTIN CỦA CÁC MÔĐUN ĐỐI
ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG PHÂN BẬC
Bổ đề 2.2.1
Cho n
n
R R
∈
= ⊕

là vành phân bậc và I là một iđêan sinh bởi các phần tử bậc dương.
Cho 1 2, ,..., np p p là các iđêan nguyên tố (khác nhau) thỏa mãn { }, 1,2,...,iI p i n⊂ ∀ ∈/
. Khi đó, tồn tại phần tử thuần nhất x I∈ và 1 2 ... nx p p p∉ ∪ ∪ ∪ .
Chứng minh:
Ta chứng minh quy nạp theo n là số các iđêan nguyên tố trên.
Từ 1I p⊂/ và I sinh bởi các phần tử bậc dương phải có một phần tử sinh của I
không thuộc 1p . Vì nếu mọi phần tử sinh của I đều nằm trong 1p thì
1I p⊂ .
Giả thiết rằng bổ đề trên đúng với 1n − . Không mất tính tổng quát, giả sử
np là phần tử tối tiểu của tập { }1 2, ,..., np p p . Theo giả thiết quy nạp tồn tại phần tử
thuần nhất x I′∈ và 1 2 1... nx p p p −
′∉ ∪ ∪ ∪ .
Nếu nx p′∉ , ta có điều cần chứng minh.
Nếu nx p′∈ , ta lại áp dụng bổ đề trên cho trường hợp 1n = thì tồn tại phần tử thuần
nhất
1
1
n
i n
i
r p p
−
=
∈ và phần tử thuần nhất ny I p∈ . Khi đó ( ) ( )
m n
x x ry′= + thuần nhất
với bậc phù hợp (chẳng hạn nếu ( )deg x a′ = và ( )deg ry b= ta chọn m b= và n a= )
thỏa mãn x I∈ và 1 2 ... nx p p p∉ ∪ ∪ ∪ . 
Mệnh đề 2.2.2
Giả sử ( )0 0,R m là vành địa phương, N hữu hạn sinh, ( )Rp Pd M= < ∞ và
( )0dim /d N m N= . Khi đó ( ), 0,i
RH M N i p d+
= ∀ > + .
Chứng minh:
Với 1d = − . ( )0dim / 1N N = −m suy ra 0N = . Do vậy ta có điều cần chứng minh.

30. Tiếp theo ta sẽ chứng minh mệnh đề bằng phương pháp quy nạp theo d .
0d = : N là môđun R+ -xoắn nên ( ) ( ), Ex ,i i
R RH M N t M N+
≅ .
Mà ( )Ex , 0,i
Rt M N i p= ∀ > nên ta có ( ), 0,i
RH M N i p+
= ∀ > .
Ta giả sử mệnh đề đã đúng với các giá trị nhỏ hơn 0d > .
Từ dãy khớp ngắn ( ) ( )0 / 0R RN N N N+ +
→ Γ → → Γ → suy ra dãy khớp dài
( )( )... ( , ( )) ( , ) , /i i i
R R R R RH M N H M N H M N N+ + + + +
→ Γ → → Γ → ( )( )1
, ...i
R RH M N+ +
+
Γ →
Vì ( )R N+
Γ là môđun R+ -xoắn nên ( )( ) ( )( ), Ex ,i i
R R R RH M N t M N+ + +
Γ ≅ Γ . Mặt khác
( )Ex ( , ) 0i
R Rt M N+
Γ =, i p∀ > nên ta có: ( , ) ( , / ( )), .i i
R R RH M N H M N N i p+ + +
≅ Γ ∀ >
Vì vậy ta có thể giả sử ( ) 0R N+
Γ =. Do đó theo Mệnh đề 1.4.2 ta có ( )RR Z N+ ⊂/ . Vì
0d > nên
( )0/p MinAss N m N
R p+
∈
⊂/  .Do đó theo Bổ đề 2.2.1 tồn tại một phần tử thuần nhất
a R+∈ ( ( )degt a= ) không là ước của không trên N và
0dim(( / ) / ( / )) 1N aN N aN n= −m
Từ dãy khớp ngắn 0 ( ) ( / )( ) 0a
N N t N aN t→ → → → và sử dụng giả thiết quy
nạp ta có ( ) ( )( )1 1
, ,p d i p d i
R RH M N H M N t+ +
+ + + + + +
≅ , với mọi 0i ≥ . Mọi phần tử của
( )1
,p d i
RH M N+
+ + +
đều bị linh hóa bởi một số mũ nào đó của R+
nên ta có điều phải chứng minh. 
Mệnh đề 2.2.3 Cho 0 0( , )R m là vành địa phương, N hữu hạn sinh, ( )p pd M= < ∞
và 0dim( / )d N N= m . Khi đó, R -môđun 00 0/ ( , )p d
R RR H M N+
+
⊗m là Artin.
Chứng minh:
Chứng minh quy nạp theo d
Trường hợp 0d ≤ : ( )R N N+
Γ =. Suy ra ( ) ( ), Ext ,p d p d
R RH M N M N+
+ +
≅ hữu hạn sinh
và bị linh hóa bởi một số mũ nào đó của R+ .

31. Do đó, 00 0 0( / ( , )) { }p d
R RSupp R H M N R+
+
+⊗ ⊂ +m m . Suy ra 00 0/ ( , )p d
R RR H M N+
+
⊗m
Artin. (theo Mệnh đề 1.2.1)
Trường hợp 0d > . Giả sử kết quả trên đúng với mọi môđun N' mà
0( / ) 1dim N N d′ ′= −m .
Do ( ), ( , / ( ))i i
R R RH M N H M N N+ + +
≅ Γ (theo Mệnh đề 2.2.2) nên ta có thể giả sử
( ) 0R N+
Γ =.
Khi đó tồn tại phần tử thuần nhất a R+∈ ( ( )deg a t= ) và không là ước của 0 trên N
thỏa mãn 0(( / ) / ( / )) 1Rdim N aN N aN d= −m .
Từ dãy khớp ngắn 0 ( ) ( / )( ) 0a
N N t N aN t→ → → → suy ra các dãy khớp
Theo giả thiết
0
1
0 0/ ( , / )p d
R RR H M N aN+
+ −
⊗m Artin nên 00 0/ ( )RR Im δ⊗m Artin.
0 0 0
/ ( , )
ker (0: )p d
R RR H M N
a a+
+
⊗
= m
là ảnh đồng cấu của 00 0/ ( )RR Im δ⊗m nên nó Artin. 
Bổ đề 2.2.4
Cho N là R -môđun Artin, M là 0R -môđun hữu hạn sinh. Khi đó với bất kì i∈ ,
R -môđun ( )0
,R
iTor M N Artin.
Chứng minh:
Lấy một phép giải tự do của M : 0 10 ... ...iM F F F← ← ← ← ← ←
Trong đó các môđun tự do iF là tổng trực tiếp của hữu hạn bản sao của
0R vì M là 0R -môđun hữu hạn sinh. Ta có ( )0
,R
iTor M N là một 0R -môđun thương
của ( )0 00
s
i R R
s
F N R N
∈Λ
⊗ ≅ ⊕ ⊗ ( )0
s
s
R N N
∈Λ Λ
≅ ⊕ ⊗ ≅ ⊕ là môđun Artin. Do đó

32. ( )0
,R
iTor M N Artin. 
Mệnh đề 2.2.5
Cho i∈ , 0 00 0/ ( , / ( ))i
R R RR H M N N+
⊗ Γmm Artin. Khi đó 00 0/ ( , )i
R RR H M N+
⊗m
Artin.
Chứng minh:
Kí hiệu 0
/ ( )RN N N= Γm . Ta có dãy khớp ( )0
0 0R N N N→ Γ → → →m .
Áp dụng hàm tử ( , )i
RH M+
− vào dãy khớp trên, ta có dãy khớp:
Từ đó suy ra các dãy khớp:
( , ) / , ( , ) / và ( , ).i i i
R R RA H M N Img B H M N Imf C H M N+ + +
= = =
Theo giả thiết 00 0/ RR C⊗m Artin. Ta có: A là môđun Artin vì nó là môđun con của
( )( )0
1
,i
R m RH M N+
+
Γ và ( )( )0
1
,i
R m RH M N+
+
Γ Artin (theo Mệnh đề 1.5.6 và 1.5.10)
A là R -môđun Artin, 0 0/R m là 0R -môđun nên ta có 0
1 0 0( / , )R
Tor R Am Artin. (theo
Bổ đề 2.2.4)
Từ dãy khớp:
0
0 01 0 0 0 0 0 0... ( / , ) / /R
R RTor R A R B R C→ → ⊗ → ⊗ →m m m 00 0/ 0RR A⊗ →m
suy ra: 00 0/ RR B⊗m Artin.
Và từ dãy khớp:

33. 0 0 00 0 0 0... / ( , ( ) / ( , )i i
R R R R RR H M N R H M N+ +
→ ⊗ Γ → ⊗ →mm m 00 0/ 0RR B⊗ →m
Suy ra 00 0/ ( , )i
R RR H M N+
⊗m Artin. 
Mệnh đề 2.2.6
Cho i∈ và ( ),i
RH M N+
là R+ -cofinite. Khi đó ta có ( )( )0
,i
R RH M N+
Γm Artin.
Chứng minh:
( , )i
RH M N+
là R+ -cofinite suy ra:
( )( ) ( )( )0
/ , , ,/ ,i i
R R R RHom R R H M N Ext R R H M N+ ++ +≅
nên nó là môđun hữu hạn sinh phân bậc và là R+ -xoắn (vì ( ),i
RH M N+
là R+ - xoắn).
Theo Mệnh đề 1.1.6 tồn tại các đẳng cấu:
( )( )( )0
/ , ,i
R R RHom R R H M N++Γm ( )( )0 ,
0: i
R
R H M N
R
+
+≅ Γm ( )( )0
,
0: i
m R RH M N
R
+
+Γ
 ≅  
 
Do vậy ( )( )0
,
0: i
R RH M N
R
+
+Γ
 
 
 m
hữu hạn sinh, 0m -xoắn và R+ -xoắn.
Suy ra nó bị linh hóa bởi một số mũ của m . Vậy theo Mệnh đề 1.1.9 và 1.2.1 nó là
môđun Artin. Mà ( )( )0
,i
R RH M N+
Γm là R+ -xoắn nên ( )( )0
,i
R RH M N+
Γm là Artin.
(theo Định lí Melkersson) 
Ta nhắc lại vài kết quả cần dùng cho chứng minh của mệnh đề tiếp theo.
Kí hiệu ( )( ): { : 0}i
R Rc N Sup i H N++ =∈ ≠ . Khi đó ta có 0( / ) ( )R Rdim N N c N+=m .
Định lí 2.2.7
Cho 0 0( , )R m là vành địa phương, 0: ( / )Rn dim N N= m . Ta có: 0( ) / ( )n n
R RH N H N+ +
m
Artin.
Mệnh đề 2.2.8
Cho M là R -môđun hữu hạn sinh có số chiều xạ ảnh hữu hạn ( )RPd M n= và
: ( )Rc c N+= . Khi đó ta có 0( , ) / ( , )n c n c
R RH M N H M N+ +
+ +
m Artin.
Chứng minh:

34. Ta chứng minh quy nạp theo n .
0n = : theo Định lí 2.2.8 ta có điều cần chứng minh.
Giả sử mệnh đề trên đúng với mọi giá trị nhỏ hơn 0n > . Ta cần chứng minh nó
đúng với n .
Vì ( )RPd M n= và M hữu hạn sinh nên tồn tại số nguyên dương t và một dãy
khớp các R -môđun phân bậc 0 0t
K R M→ → → → mà ( ) 1RPd K n= − . Áp dụng
hàm tử
( ),n c
RH N+
+
− vào dãy khớp trên ta có dãy khớp sau:
( ) ( ) ( )1
, , , .n c n c n c t
R R RH K N H M N H R N+ + +
+ − + +
→ →
Để ý rằng ( )Rn c c c N+
+ > = nên ( ) 0n c
RH N+
+
= .Do đó ( ), 0n c t
RH R N+
+
= .
Áp dụng hàm tử 00 0/ RR ⊗ −m vào dãy khớp trên ta có toàn cấu:
( ) ( ) ( ) ( )1 1
0 0, / , , / , .n c n c n c n c
R R R RH K N H K N H M N H M N+ + + +
+ − + − + +
→m m
Sử dụng giả thiết quy nạp ta có môđun ( ) ( )1 1
0, / ,n c n c
R RH K N H K N+ +
+ − + −
m là Artin.
Từ toàn cấu trên ta suy ra 0( , ) / ( , )n c n c
R RH M N H M N+ +
+ +
m Artin. 
Kí hiệu ( , ): { | ( , ) không Artin }i
R Ra M N Sup i H M N+ +
= ∈
và ( ): { | ( ) không Artin }i
R Ra N Sup i H N+ +
= ∈
Khi đó ta có mệnh đề sau:
Mệnh đề 2.2.9
Cho M là R -môđun hữu hạn sinh có số chiều xạ ảnh ( ): Rn pd M= hữu hạn. Khi đó
ta có:
i. ( ) ( ) ( ),R R Ra M N Pd M a N+ +
≤ + ;
ii. ( ) ( )0, / ,a n a n
R RH M N H M N+ +
+ +
m Artin với ( ): Ra a N+
= và ( ): Rn Pd M= .
Chứng minh:
i. Ta sẽ chứng minh quy nạp theo n .
0n = : (i) đúng.

35. Giả sử kết quả trên đã đúng cho mọi giá trị nhỏ hơn 0n > , ta sẽ chứng minh nó
cũng đúng đối với n .
M là R -môđun hữu hạn sinh nên tồn tại số nguyên dương t sao cho 1/t
M R M≅
và 1M có số chiều xạ ảnh là 1n − . Từ đó ta có dãy khớp ngắn
10 0.t
M R M→ → → →
Suy ra dãy khớp
Ta cần chứng tỏ với mọi i > a + n thì ( ),i
RH M N+
Artin.
Ta có ( ) ( )11 1 R Ri a n a N Pd M+
− > + −= + và i a n a> + > .
Theo giả thiết quy nạp ta có
( )1
1,i
RH M N+
−
và ( )i
RH N+
Artin. Do đó từ dãy khớp (*) ta có ( ),i
RH M N+
Artin.
ii. Ta tiếp tục chứng minh quy nạp theo n .
0n = : (ii) đúng theo [[13], Theorem 2.4].
Giả sử kết quả trên đã đúng cho mọi giá trị nhỏ hơn 0n > , ta sẽ chứng minh nó
cũng đúng đối với n .
Tương tự như mục (i) ta có dãy khớp
Đặt ImA α= và ImB β= . Vì a n a+ > nên ( )a n
RH N+
+
Artin. Do đó ( )
ta n
RB H N+
+
⊂
Artin.
Suy ra 0/B Bm Artin.
Tác động hàm tử 00 0/ RR ⊗ −m vào dãy khớp
ta có dãy khớp

36. 0
1 1
0 0 1 0 1 0/ ( , ) / ( , ) / 0.a n a n
R R RR Ker H M N H M N A Aα + +
+ − + −
⊗ → → →m m m
Mặt khác, theo giả thiết quy nạp
( ) ( )1 1
1 0 1, / ,a n a n
R RH M N H M N+ +
+ − + −
m Artin nên 0/A Am Artin.
Tác động hàm tử 00 0/ RR ⊗ −m vào dãy khớp
ta có dãy khớp 0 0 0/ ( , ) / ( , ) /a n a n
R RA A H M N H M N B B+ +
+ +
→ →m m m với
0/A Am và 0/B Bm Artin nên ( ) ( )0/, ,a n a n
R RH M N H M N+ +
+ +
m Artin. 
Bổ đề 2.2.10
Cho M là một R -môđun minimax. Nếu M là R+ -xoắn thì các R -môđun
0
0 0 0or ( / , )R
R MT m m và ( )0
i
H Mm Artin với mọi i∈ .
Chứng minh:
Vì M là môđun minimax nên tồn tại môđun con phân bậc hữu hạn sinh 'M của M
sao cho /M M′ Artin.
Từ dãy khớp ngắn 0 / 0M M M M′ ′→ → → → suy ra các dãy khớp
'M hữu hạn sinh và R+ -xoắn nên
( )0
0 0/or ,R
iT R M′m và ( )0
i
H M′m bị linh hóa bởi một lũy thừa của m . Do đó chúng là
môđun Artin.
/M M′ Artin nên ( )0
0 0or / , /R
iT R M M′m và ( )0
/i
H M M′m Artin.
Do vậy từ các dãy khớp trên ta có điều cần chứng minh. 
Kí hiệu:

37. ( ) ( ){ }, sup 0 | , không minimaxi
R Rs M N i H M N+ +
= ≥
và
( ) ( ){ }, inf 0 | , không minimaxi
R Rt M N i H M N+ +
= ≥
Bổ đề 2.2.11
Với các kí hiệu như trên, ta có:
Với mọi i∈ , R -môđun ( )00 0/ ,i
R RR H M N+
⊗m Artin khi và chỉ khi
( )( )0 00 0/ , /i
R R mR H M N N+
⊗ Γm Artin.
Chứng minh:
Tác động hàm tử ( ),i
RH M+
− vào dãy khớp ngắn
ta có dãy khớp
0 R+= +m m là iđêan tối đại của R nên ( )0
,( )i
H M NΓm m Artin.
Mặt khác, ( )0
NΓm là 0m -xoắn nên ta có
Từ dãy khớp trên ta có minimax khi và chỉ khi ( )0
( , / )i
RH N NM+
Γm minimax. Tức
là ta có (i).
Ta cũng có erK α và kerCo α Artin.
Các dãy khớp ( )0 er , Im 0i
RK H M Nα α+
→ → → →
cho ta các dãy khớp sau:

38. 0 0 00 0 0 0 0 0/ / ( , ) / 0i
R R R RR Ker R H M N R Imα α+
⊗ → ⊗ → ⊗ →m m m
và
Các môđun 00 0/ erRR K α⊗m , ( )0
1 0 0/or , erR
T R Cok αm và 00 0/ erRR Cok α⊗m Artin.
Do đó ( )00 0/ ,i
R RR H M N+
⊗m Artin khi và chỉ khi 00 0/ RR Imα⊗m Artin;
00 0/ RR Imα⊗m Artin khi và chỉ khi 0 00 0 (M, N// ( ))i
R RR H N+
⊗ Γmm Artin. Vậy ta có
điều cần chứng minh. 
Mệnh đề 2.2.12
Đặt ( ),Rt t M N+
= . Khi đó với mọi i t≤ ta có:
i. R -môđun ( )00 0/ ,R i
R RH M N+
⊗m Artin;
ii. ( )( )0 ,j i
RH H M N+
Artin với mọi 0 1j≤ ≤ .
Chứng minh:
i. Theo Bổ đề 2.2.10, (i) đúng khi i t< .
Ta chỉ còn phải chứng minh ( )00 0/ ,t
R RR H M N+
⊗m Artin. Theo Bổ đề 2.2.11 ta có
thể giả sử ( )0
0NΓ =m . Khi đó tồn tại phần tử 0a∈m không là ước của không trên
N .
Ta có dãy khớp ngắn
suy ra dãy khớp dài
Theo dãy khớp trên ta có:
Với i t< thì ( )1
, /i
RH M N aN+
−
minimax. Do vậy ( ), / 1Rt M N aN t+
≥ − .
Với i t= , từ dãy khớp trên suy ra dãy khớp

39. Trong đó, ( )00 0/ , 0t
R RR aH M N+
⊗ =m vì 0a∈ m .
Do đó nếu ( )0
1
0 0/ , /t
R RR H M N aN+
−
⊗m Artin thì ( )00 0/ ,t
R RR H M N+
⊗m Artin.
Dùng nguyên lí quy nạp ta có điều cần chứng minh.
ii. Theo Bổ đề 1.1.10 (ii) đúng khi i t< .
Xét trường hợp i t= .
Xét dãy phổ
( )0
,
2 : ( ( , )) ,p q p q p q
R
p
E H H M N H M N+
+
= ⇒m m
quy ước ,
2 0p q
E = với mọi 0p < .
Vì vậy nếu 0 1j≤ ≤ thì với mọi 2i ≥ dãy , , , 1
10 j t j t j r t r
r r rE E E + − +
+→ → → khớp.
Theo Bổ đề 2.2.10 môđun cuối trong dãy là Artin vì 1t r t− + < .
Đặt { },p q
E∞ là giới hạn của dãy phổ này và 0 2r ≥ là số nguyên mà
0 0
, , ,
1 2 ...j t j t j t
r rE E E+ + ∞= = = .
0
, ,
1
j t j t
rE E∞ += Artin vì nó là môđun con của môđun thương của ( ),j t
H M N+
m .
Ta có dãy 0 0
0 0 0
, 1, ,
10 j r t rj t j t
r r rE E E + − +
+→ → → khớp và 0 0
0
, 1j r t r
rE + − +
Artin nên 0
,j t
rE Artin.
Lặp lại suy luận này ta có 0 0
, , ,
1 2 3, ,..,j t j t j t
r rE E E− − và ( )( )0
,
2 : ,j t j t
RE H H M N+
= m Artin. 
Mệnh đề 2.2.13
Đặt ( ),Rs s M N+
= . Khi đó R -môđun ( )00 0/ ,i
R RR H M N+
⊗m Artin với mọi i s≥ .
Chứng minh:
Theo Bổ đề 2.2.10 mệnh đề trên đúng với mọi i s> .
Ta cần chứng minh ( )00 0/ ,s
R RR H M N+
⊗m Artin.
Thực hiện quy nạp theo ( ): dimRn N= .

40. Nếu 0n = thì N Artin. Do đó ta có điều cần chứng minh.
Giả thiết mệnh đề trên đúng với mọi R -môđun phân bậc hữu hạn sinh 'N có số
chiều là 1n − với 0n > .
Từ Bổ đề 2.2.11 ta có thể xem ( )0
0NΓ =m . Do đó tồn tại phần tử 0a∈m không là
ước của không trên N .
Ta có dãy khớp ngắn
Từ đó suy ra dãy khớp
0
1
01 0 0 0 0( , )
( / ,(0: )) / ( , ) / ( , )s
R
R s s
R R RH M N
Tor R a R H M N aH M N+
+ +
+
→ ⊗ →m m
00 0/ ( , / ).s
R RR H M N aN+
→ ⊗m
1
( , )
(0: )s
RH M N
a+
+
là con của môđun minimax ( )1
,s
RH M N+
+
nên cũng là môđun minimax.
Vì vậy theo Bổ đề 2.2.11 0
11 0 0 ( , )
( / ,(0: ))s
R
R
H M N
Tor R a+
+
m Artin.
Vì ( )/dim 1R N aN n= − và ( )/, 1Rs M N aN s+
≤ − nên theo giả thiết quy nạp
( )00 0/ , /s
R RR H M N aN+
⊗m Artin.
Do đó ( )0 00 0 0 0/ , / ( , ) / ( , )s s s
R R R R RR H M N R H M N aH M N+ + +
⊗ ≅ ⊗m m Artin. 
Mệnh đề 2.2.14
Cho ( ),Rs s M N+
= và ( )0dimd R= . Khi đó ta có:
i. ( )( )0
,j i
RH H M N+m Artin với 1d j d− ≤ ≤ và i s≥ ;
ii. ( )( )0
2
,d s
RH H M N+
−
m Artin khi và chỉ khi ( )( )0
1
,d s
RH H M N+
−
m Artin.
Chứng minh:
i. Xét dãy phổ
( )0
,
2 : ( ( , )) ,p q p q p q
R
p
E H H M N H M N+
+
= ⇒m m
Gọi ,
{ }p q
E∞ là giới hạn của dãy phổ trên.
Vì ,p q
E∞ là môđun thương của ( , )p q
H M N+
m nên nó Artin với mọi p , q .

41. • i s> : (i) đúng (theo Bổ đề 2.2.11)
• i s= : 1d j d− ≤ ≤ .
Xét đồng cấu , 1 ,
: j r s r j s
r rE Eα − + −
→
Vì ,
2 0p q
E = với mọi p d> nên ta có , ,
1 /j s j s
r rE E Imα+ = với mọi 2r > .
Ta có 1s r s+ − > nên Imα Artin (theo Bổ đề 2.2.11)
Gọi 0 2r ≥ là số tự nhiên thỏa 0 0
, , ,
1 2 ...j s j s j s
r rE E E+ + ∞= = = .
Do ,j s
E∞ Artin nên 0
,
1
j s
rE + và suy ra 0
,j s
rE Artin.
Lặp lại suy luận này ta suy ra 0
,
2 : ( ( , )j s j s
RE H H M N+
= m Artin.
ii. Tiếp tục sử dụng dãy phổ ở (i) ta suy ra dãy khớp:
trong đó 2,
2
d s
K Kerd −
= , ( )( )0
2, 2
2 ,d s d s
RE H H M N+
− −
= m và ( )( )0
, 1 1
2 ,d s d s
RE H H M N+
− −
= m .
Để chứng minh (ii), ta chỉ cần chứng minh K và , 1
3
d s
E −
Artin.
Xét đồng cấu 4, 1 2,
2 2: d s d s
E Eβ − + −
→ .
2,
3 /d s
E K Imβ−
= và 2, 2,
3 /d s d s
E E L− −
∞ = , với L là một môđun con Artin của 2,
3
d s
E −
.
Ta có 2,d s
E −
∞ , 4, 1
2
d s
E − +
Artin nên K Artin.
Tương tự, ta có , 1 , 1
3 /d s d s
E E L− −
∞
′= với 'L là mô đun con Artin của , 1
3
d s
E −
. Từ đó ta có
, 1
3
d s
E −
Artin. 
Mệnh đề 2.2.15
Cho 0 1dimR ≤ . Khi đó ta có 0
1
( , ( ))i
R RH M H N+ m Artin với mọi i∈ .
Chứng minh:
Trường hợp 0 0dimR = : ta có 0
1
( ) 0RH N =m . Do đó ta có 0
1
( , ( ))i
R RH M H N+ m Artin.
Trường hợp 0 1dimR = : xét dãy phổ ( )0
,
2 : ( , ( )) ,p q p q p q
R R
p
E H M H N H M N+
+
= ⇒m m
Vì 0 1dimR = nên 0
( ) 0q
RH N =m với mọi 1q > .

42. Suy ra ,
2 0p q
E = với mọi 0,1q ≠ . Do vậy ta áp dụng [[17], 5.2.2] trong trường hợp
đối ngẫu để có dãy khớp: 1,0 1 ,1 2,0 2
2 2 2( , ) ( , )p p p p p
E H M N E E H M N+ + + +
→ → → →m m
0 0
2,0 2 2
2 ( , ( )) ( , ( ))p p p
R R RE H M N H M N+
+ + +
= Γ = Γm m m Artin.
Do vậy từ dãy khớp trên ta có 0
,1 1
2 ( , ( ))p p
R RE H M H N+
= m Artin. 
Ta nhắc lại một kết quả được dùng để chứng minh mệnh đề tiếp theo
Định lí 2.2.16 (xem [[3], Theorem 2.5])
Cho 0 1dimR ≤ và i∈ . Khi đó ta có:
i. R -môđun 00 0/ ( )i
R RR H M+
⊗m Artin.
ii. R -môđun 0
( ( ))i
RH M+
Γm và 0
1
( ( ))i
RH H M+m Artin.
Mệnh đề 2.2.17 (xem [[8], 2.11])
Cho 0 1dimR ≤ . Khi đó ta có 0
( , ( ))j i
R RH M H N+m Artin với mọi , .i j ∈
Chứng minh:
Trường hợp 0 0dimR = : N hữu hạn sinh nên nó là 0m -xoắn.
Theo Mệnh 1.5.12 ( )i
RH N Artin+
nên nó là 0m -xoắn.
Do đó, 0
( , ( )) ( , ( ))j i j i
R R R RH M H N Ext M H N+ +
≅m . Suy ra ( , ( ))j i
R RExt M H N+
Artin.
Trường hợp 0 1dimR = : Ta chứng minh quy nạp theo j .
• 0j = : Theo Mệnh đề 1.5.1, 0 0
0
( , ( )) ( , ( ( )))i i
R R R R RH M H N Hom M H N+ +
≅ Γm m . Theo
[[3], Theorem 2.5] ta có 0
( ( ))i
R RH N+
Γm Artin. Vì thế theo kết quả suy ra từ Hệ quả
1.2.2 ta có 0
( , ( ( )))i
R R RHom M H N+
Γm Artin.
• 0j > : Giả sử mệnh đề trên đúng với mọi giá trị nhỏ hơn 0j > . Ta cần chứng
minh mệnh đề đúng với j .
M hữu hạn sinh nên tồn tại số nguyên dương t và dãy khớp ngắn các R -môđun
sau: 0 0t
K R M→ → → →
Áp dụng hàm tử 0
( , ( ))j i
R RH H N+
−m vào dãy khớp trên ta có dãy khớp:

43. 0 0 0
1
( , ( )) ( , ( )) ( , ( ))j i j i j t i
R R R R R RH K H N H M H N H R H N+ + +
−
→ →m m m
Sử dụng giả thiết quy nạp ta có 0
1
( , ( ))j i
R RH K H N+
−
m Artin.
Sử dụng Định lí 2.2.17 mục b) ta có 0
1
( , ( ))t i
R RH R H N+m Artin.
Ta cũng có 0
( , ( ))j t i
R RH R H N+m Artin với mọi 1j > .
Vậy từ dãy khớp trên ta có 0
( , ( ))j i
R RH M H N+m Artin. 
Mệnh đề 2.2.18
Cho 0 1dimR ≤ . Khi đó, với mọi số i∈ , môđun 0( , ) / ( , )i i
R RH M N H M N+ +
m Artin.
Chứng minh:
0 0dimR = : N là 0m -xoắn. Do đó ( , )i
RH M N+
Artin.
Trường hợp 0 1dimR = :
Áp dụng hàm tử ( , )i
RH M+
− vào dãy khớp ngắn:
0 0
0 ( ) / ( ) 0R RN N N N→ Γ → → Γ →m m
ta được dãy khớp:
0 0
( , ( )) ( , ) ( , / ( ))i i i
R R R R RH M N H M N H M N N+ + +
Γ → → Γ →m m 0
1
( , ( ))i
R RH M N+
+
Γm
0
( )R NΓm là 0m -xoắn nên với mọi i ta có 0
( , ( ))i
R RH M N+
Γm Artin.
Do vậy 00 0/ ( , )i
R RR H M N+
⊗m Artin khi và chỉ khi 0 00 0/ ( , / ( ))i
R R RR H M N N+
⊗ Γmm
Artin.
Vì thế ta có thể giả sử 0
( ) 0R NΓ =m . Khi đó, tồn tại phần tử 0a∈m không là ước của
0 của N .
Áp dụng hàm tử ( , )i
RH M+
− vào dãy khớp ngắn:
ta được dãy khớp

44. 0 1dimR = nên /N aN là 0m -xoắn. Khi đó ( , / )i
RH M N aN+
Artin.
Ta có 00 0/ ( , ) / ( , )i i
R R RR H M N aH M N+ +
⊗m Artin.
Áp dụng hàm tử 00 0/ RR ⊗ −m vào dãy khớp trên ta có:
0 00 0 0 0/ ( , ) / ( , ) / ( , )i i i
R R R R RR H M N R H M N aH M N+ + +
⊗ ≅ ⊗m m . Vậy ta có điều phải
chứng minh. 

45. KẾT LUẬN
1. Trong luận văn này chúng tôi đã trình bày được một số vấn đề chủ yếu như sau:
Mệnh đề 2.2.2 về tính triệt tiêu của môđun ( , )i
RH M N+
Mệnh đề 2.2.3 về tính Artin của môđun 00 0/ ( , )i
R RR H M N+
⊗m .
Mệnh đề 2.2.6 về tính Artin của ( , )i
RH M N+
.
Mệnh đề 2.2.7 về tính Artin của 0
( ( , ))i
R RH M N+
Γm
Một số mệnh đề về tính Artin của các môđun 0( , ) / ( , )i i
R RH M N H M N+ +
m
0
1
( , ( ))i
R RH M H N+ m ,...
2. Các hướng mở cần tiếp tục nghiên cứu:
Tìm các ví dụ và phản ví dụ minh họa cho các kết quả đã trình bày.
Khái quát các kết quả về tính Artin của môđun đối đồng điều địa phương
phân bậc sang trường hợp suy rộng.
Tìm kiếm các điều kiện đủ khác để môđun đối đồng điều địa phương suy
rộng phân bậc là Artin.
Nghiên cứu các tính chất trên đối với môđun đối đồng điều địa phương suy
rộng phân bậc tổng quát với M , N là các R -môđun phân bậc và I là một iđêan
phân bậc tùy ý của R .
Nghiên cứu các tính chất khác của môđun đối đồng điều địa phương suy
rộng phân bậc và môđun đối đồng điều địa phương suy rộng tổng quát.
Tóm lại, luận văn này chỉ mới là sự tiếp cận lí thuyết về môđun đối đồng
điều địa phương bằng cách tìm hiểu, phân tích và tổng hợp các kết quả đã có sẵn.
Để có những kết quả mới, đòi hỏi tác giả phải tiếp tục đi sâu nghiên cứu. Điều này
cần nhiều thời gian và công sức. Trong thời gian tới chúng tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu
vấn đề này theo các hướng đã nêu. Chúng tôi hi vọng đề tài này cũng sẽ thu hút sự
quan tâm của các bạn học viên cao học và trong các khóa sau đề tài này sẽ ngày
càng hoàn thiện và thu được nhiều kết quả tốt hơn.

46. TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Atiyah M. F., Macdonald I. G. (1969), Introduction to commutative Algebra,
Perseus Books Publishing.
[2] Brodmann M., Fumasoli S., Tajarod R. (2002), “Local cohomology over
homogeneous rings with one-dimensional local base ring”, Mathematics Subject
Classification.
[3] Brodmann M. P., Fumasoli S., Rohrer F. (2007), First lectures on local
cohomology, University of Zürich.
[4] Bruns W., Herzog J. (1993), Cohen - Macaulay Rings, Cambridge.
[5] Brodmann M.P., Hellus M. (2002), "Cohomological patterns of coherent
sheaves over projective schemes", J. Pure Appl. Algebra 172(2002), 165 - 182.
[6] Brodmann M. P., Sharp R.Y. (1998), Local Cohomology: an algebraic
introduction with geometric applications, Cambridge University Press.
[7] Herzog J. (1970), Komplexe, Auflösungen und dualität in der lokalen Algeba,
Habilitationsschrift, Universität Regensburg.
[8] Ismael Akray, Adil Kadir Jabbar, Reza Sazeedeh (2012), “Some finiteness
properties of generalized graded local cohomology modules”, International Journal
of Algebra, Vol. 6, no. 11, 539 – 547.
[9] Matsumura H. (1980), Commutative Algebra, Second Edition, Benjamin,
Reading.
[10] Nazer Zamani (2006), “On graded generalized local cohomology”, Achiv der
Mathematik, Birkhäuser Verlag, Basel.
[11] Rotman J. (1979), Introduction to homology algebra, Academic Press.
[12] Rotthaus C., Sega L. M. (2005), “Some properties of graded local cohomology
modules”, Journal of Algebra 283, pp. 232 – 247.
[13] Sazeedeh R. (2007), “Artinianess of graded local cohomology modules”, AMS.
[14] Suzuki N. (1978), “On the generalized local cohomology and its duality”, J.
Math. Kyoto University, pp. 71 – 85.

47. [15] Tahamman S. (2011), “Artinianess of graded generalized local cohomology
modules”, Mathematics Scientific Journal, Vol. 7, No. 1, 107 -117.
[16] Zamani N. (2003), “On the homogeneous pieces of graded generalized local
cohomology modules”, Colloquium Mathematicum, Vol. 97, No. 2.
[17] Weibel C.A. (1994), An introduction to homological algebra,
Camb.Univ.Press.