積分と収束

1. 閉区間I=[0,1]で定義された実数値連続関数p(x)について、以下の問に答えよ。
(1)T>0に対して𝐼 𝑡 = 0
1
exp −𝑡𝑥 𝑝 𝑥 𝑑𝑥と置くとき、|I(t)|≦M/tとなることを示
せ。ただし,Mは関数|p(x)|のIにおける最大値。
(2)t>0 0<r≦1 に対してJ(t,r)=t 0
𝑟
exp −𝑡𝑥 𝑝 𝑥 𝑑𝑥とおく。
0<r<1のとき、lim
𝑡→∞
𝐽 𝑡, 1 − 𝐽 𝑡, 𝑟 = 0が成り立つことを示せ。
(3)（２）で定義されたJ(t,r)に対してlim
𝑡→∞
𝐽 𝑡, 1 = 𝑝 0 を示せ。

2. 閉区間I=[0,1]で定義された実数値連続関数p(x)について、以下の問に答えよ。
(1)T>0に対して𝐼 𝑡 = 0
1
exp −𝑡𝑥 𝑝 𝑥 𝑑𝑥と置くとき、|I(t)|≦M/tとなることを示
せ。ただし,Mは関数|p(x)|のIにおける最大値。
(2)t>0 0<r≦1 に対してJ(t,r)=t 0
𝑟
exp −𝑡𝑥 𝑝 𝑥 𝑑𝑥とおく。
0<r<1のとき、lim
𝑡→∞
𝐽 𝑡, 1 − 𝐽 𝑡, 𝑟 = 0が成り立つことを示せ。
(3)（２）で定義されたJ(t,r)に対してlim
𝑡→∞
𝐽 𝑡, 1 = 𝑝 0 を示せ。
証明
(1) |I(t)|≦ 0
1
exp −𝑡𝑥 | 𝑝 𝑥 |𝑑𝑥≦M 0
1
exp −𝑡𝑥 𝑑𝑥 ＝𝑀 −
exp −𝑡𝑥
𝑡 0
1
=
𝑀
𝑡
1 −
1
exp 𝑡
≦
𝑀
𝑡
(2) J(t,1)-J(t,r)=t 0
1
exp −𝑡𝑥 𝑝 𝑥 𝑑𝑥-t 0
𝑟
exp −𝑡𝑥 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑡 𝑟
1
exp −𝑡𝑥 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 ≦
𝑀 − exp −𝑡𝑥 𝑟
1
= 𝑀 exp −𝑡𝑟 − exp −𝑡 = 𝑀𝑒𝑥𝑝 −𝑡 exp 𝑟 − 1 →0
よってlim
𝑡→∞
𝐽 𝑡, 1 − 𝐽 𝑡, 𝑟 = 0
(3) t 0
𝑟
exp −𝑡𝑥 𝑝 𝑥 𝑑𝑥 = −
exp −𝑡𝑥
1 0
1
=[1-exp(-tr)]→1
P(0)=lim
𝑡→∞
t 0
𝑟
exp −𝑡𝑥 𝑝 𝑥 𝑑𝑥
lim
𝑡→∞
𝐽 𝑡, 1 − 𝑝 0 ＝ lim
𝑡→∞
|𝑡 1
0
exp −𝑡𝑥 (𝑝 𝑥 − 𝑝(0) 𝑑𝑥| ≦ lim
𝑡→∞
t 0
1
exp −𝑡𝑥 |𝑝 𝑥 − 𝑝 0 | 𝑑𝑥
p(x)は連続より
全てのε>0に対してある0<δ<1が存在し|x-0|<δ |p(x)-p(0)|<ε
lim
𝑡→∞
𝐽 𝑡, 1 − 𝑝 0 ＝ 𝜀 lim
𝑡→∞
𝑡 0
𝛿
exp −𝑡𝑥 𝑑𝑥＝εlim
𝑡→∞
1 − exp −𝑡𝛿 = 𝜀