平行六面体と体積の最大値

1. ( I ) 空間内の領域D = {( x , y , z ); 亜≧( x≧0、 y ≧0 , z ≧0 , x + y + z ≦1 } 上の 次の3 重積分I を計算しなさ
い.
I= 𝐷
𝑥𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
(II)a-(1,1,1),b=(2,2,0),x=(x,y,z)とする
( 1 ) 3 つのベクトルa , b , x で張られる平行六面体の体積V( x ) をx,y , z を用 いて表しなさい.
( 2 ) S = { x=(x,y,z) ; | x | = 1 } を単位球面とするx がS 上を動くときV(x ) の最 大値, および最大値をあた
える点x をすべて求めなさい .

2. ( I ) 空間内の領域D = {( x , y , z ); 亜≧( x≧0、 y ≧0 , z ≧0 , x + y + z ≦1 } 上の 次の3 重積分I を計算しなさ
い.
I= 𝐷
𝑥𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧
計算
𝐷
𝑥𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧＝ 0
1
𝑑𝑥 0
1−𝑥
𝑑𝑦 0
1−𝑥−𝑦
𝑥𝑦𝑑𝑧 = 0
1
𝑑𝑥 0
1−𝑥
𝑥 1 − 𝑥 𝑦 − 𝑦2
)𝑑𝑦 = 0
1 1
6
𝑥 1 − 𝑥 3
𝑑𝑥 =
1
120
(II)a-(1,1,1),b=(2,2,0),x=(x,y,z)とする
( 1 ) 3 つのベクトルa , b , x で張られる平行六面体の体積V( x ) をx, y , z を用 いて表しなさい.
計算
外積を用意て|tatbtx|＝det
1 2 𝑥
1 2 𝑦
1 0 𝑧
=-2(x-y)
( 2 ) S = { x=(x,y,z) ; | x | = 1 } を単位球面とするx がS 上を動くときV(x ) の最 大値, および最大値をあた
える点x をすべて求めなさい .
f(x,y,z)=2(y-x)+μ(𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 − １)とすると
𝑓𝑥 = −2 + 2𝜇𝑥
𝑓𝑦 = 2 + 2𝜇𝑦
𝑓𝑧 = 2𝜇𝑧
𝑓𝑥 = 𝑓𝑦 = 𝑓𝑧 = 0より(x,y,z)=(1/μ,-1/μ,0) また𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2=1よりμ＝± 2
𝑓𝑥 = 𝑓𝑦 = 𝑓𝑧 = 0の時𝑓𝑥x＋𝑓𝑦 𝑦 + 𝑓𝑧 𝑧 = 0 から2(y-x)+2μ(𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2
)=0
(2)からV(x)-(x-y)=-1μ よってV(x)の最大値はμの最小値に等しい。
よってV(x)はμ＝- 2 つまり(x,y,z)=(-1/ 2,1/ 2,0)の時、最大値2 2を取る。