Pointwise estimates of solutions to the wave equation (in Japanese)

1. 波動方程式の解の各点評価
n ≥ 1 とし，空間 n 次元の波動方程式の初期値問題を考える．





∂2
u
∂t2
(t, x) − ∆u(t, x) = 0, (t, x) ∈ Rn+1
,
u(0, x) = u0(x),
∂u
∂t
(0, x) = u1(x), x ∈ Rn
.
(1)
Theorem 5 (各点評価)
初期値は u0 ∈ C[n
2 ]+2
(Rn
), u1 ∈ C[n
2 ]+1
(Rn
) をみたし（Theorems 1,2 の仮定）
，
さらに台がコンパクト：
∃R > 0 s.t. supp u0, supp u1 ⊂ {x ∈ Rn
; |x| < R}
であるとする．このとき，ある定数 C = C(n, R, u0, u1) > 0 が存在して，初期値
問題 (1) の解 u ∈ C2
(R1+n
) は，任意の (t, x) ∈ [0, ∞) × Rn
に対し次の評価をみ
たす．
(i) n が奇数のとき，|u(t, x)| ≤ C(1 + t)− n−1
2 ;
(ii) n が偶数のとき，|u(t, x)| ≤ C(1 + t)− n−1
2 (1 + |t − |x||)− n−1
2 .
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2. 注意：定数の初期値への依存性
定理の主張に現れる定数 C(n, R, u0, u1) はより具体的には
n = 1 のとき，
C(n, R, u0, u1) = ∥u0∥L∞ +
1
2
∥u1∥L1 .
n が 3 以上の奇数のとき，
C(n, R, u0, u1) = C(n)
(
∥u0∥
W
n+1
2
,1 + ∥u0∥
W
n−1
2
,∞ + ∥u1∥
W
n−1
2
,1 + ∥u1∥
W
n−3
2
,∞
)
.
n が偶数のとき，
C(n, R, u0, u1) = C(n, R)
(
∥u0∥
W
n+2
2
,1 + ∥u0∥W
n
2
,∞ + ∥u1∥W
n
2
,1 + ∥u1∥
W
n−2
2
,∞
)
.
の形で与えられる．偶数次元では定数は R にも依存するが，結論を弱めて
|u(t, x)| ≤ C(1 + t)− n−1
2
の形の評価にすると定数 C は R に独立にとることができる．
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3. 注意：偶数次元での各点評価の意味
偶数次元での各点評価
|u(t, x)| ≤ C(1 + t)− n−1
2 (1 + |t − |x||)− n−1
2
より，|x| が t に比べて十分小さいとき，解 u の大きさも小さくなることを意味
している．
偶数次元では Huygens の原理は成立しないので，解の台については Theorem 3
で得られた
supp u(t, ·) ⊂ {x ∈ Rn
; |x| < t + R}
より詳しいことは一般には分からない．しかし，上の評価から，台の内側に行く
ほど |u(t, x)| が小さくなることが分かる．
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4. Theorem 5 の証明：n = 1 の場合
まず n = 1 の場合を考える．この場合は d’Alembert の公式より，解 u は
u(t, x) =
1
2
(u0(x + ct) + u0(x − ct)) +
1
2
∫ x+ct
x−ct
u1(y) dy
で与えられる．これよりただちに，
|u(t, x)| ≤
1
2
(∥u0∥L∞ + ∥u0∥L∞ )
1
2
∫ ∞
−∞
|u1(y)| dy
≤ ∥u0∥L∞ +
1
2
∥u1∥L1
となり，C = ∥u0∥L∞ + 1
2 ∥u1∥L1 とおけば
|u(t, x)| ≤ C ((t, x) ∈ [0, ∞) × Rn
).
これより結論を得る．
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