補足資料に対する質問への回答

1. 第1回の補足の補足
●
運動方程式の解の例のところで質問がありました。
– 調和振動子の解で、
から
– になったのはなぜ？Bはどこから来たの？
●
確かにちょっと雑だったので補足します。

2. ●
まず、調和振動子（と自由粒子の場合も）の場合、すべて左
辺に移項して = 0の形にすると
と書けることに注意して下さい。これは、
[x(t)を含まない演算]*x(t)という形です。
– この演算の部分には、定数、任意の具体的に与えられたtの関数、
微分操作、それらの加減乗除による組み合わせが有り得ます。
● 一方、重力/静電気力の場合、逆二乗の項のせいでこうは書
けないことに注意して下さい。
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3. ● 1. 単体での物理的意味を考える必要は
ありません。数学的には広く「微分演算子」というくくり
になります。
● ２. すみません、これは上の式が下の式になるという意
味ではありません。上の式が調和振動子（f = - kx) の
場合、下の式が自由粒子(f = 0)の場合です。第一回の
資料と見比べて下さい。自由粒子の式はここでは「必
要」ではありませんが、調和振動子の場合と同じく線形
であるという特徴を持つことから言及しておきました。
● ３. これはおそらく、納得するには自分で[x(t)を含まない
演算]*x(t)の形に書こうとしてみることが必要です。「書
けるじゃん！」と思ったらやってみて、私に見せてくださ
い。それはどこか違うはずなので、指摘します。そのとき
始めて、ああ、これはやってはいけない操作なのか、そ
れじゃ無理だな、と納得できるでしょう。

4. ● 「x(t)を含まないなんらかの演算」の部分をDと書くと
ということですが、このような方程式のことを「x(t)について線形」
といいます。
● 線形方程式の一般的な性質として、x1、x2をそれぞれこのDx(t)
= 0の解、α、βを定数として、以下のようなことが言えます。
● つまり、x1とx２の任意の線形結合もまたDx(t) = 0の解になりま
す。別の言い方をすれば、Dx(t) = 0の解全体はベクトル空間を
なすと言ってもいい。
● また、今の場合、k/mが実数なので、
つまり、ある解の複素共役もやはり解になります。
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5. ● ４. 関数という認識でOKです。物理ではx(t)と書きま
すが、これは厳密に言うと確かに時刻tにおけるxの
値のみを表しており、関数全体を表現してはいない
ので、数学的に正しくものを言おうとすると
– 「実数体Rから実数体Rへの無限回微分可能な関数の
作る集合をSとすると、xはその要素であり、Dはxを別の
Sの要素Dxに移す線形演算子である。」
という抽象的な表現になります。しかし、現実的に
は物理的な問題ではその後実際にxに関する計算
をやらなければならず、その際x(t)という具体的な
書き方がどっちみち必要になるので、上記のような
ことを了解した上で、時間tの関数であるxを表すの
にx（t）と書きます。

6. ● ５. ここは理解が逆です。x1、x2をそれぞれこのDx(t) = 0の解
とすると、と言っているので、先にDx1(t) = 0、Dx2(t) = 0が与
えられており、そこからD（αx1(t) + βx2(t)) = 0を導いていま
す。
● 6. 「ベクトル空間」というのが、「足し算とスカラー倍について
閉じている集合」のことなので、論理的にはここは単なる同
値な言い換えにすぎません。
そういう意味では、ベクトル空間について知らないとこう言っ
たからといって直接何かが分かるわけではありませんが、後
でベクトル空間について一般的に成り立つ性質（それこそが
「線形代数」ということですが）を何か学んだとき、それがこの
方程式にも適用できることが直ちに分かるわけです。またこ
の方程式の性質を考えるとき、線形代数の結果が直ちに適
用できることを知っていれば役立つでしょう。そういった意味
で、「線形微分方程式の解→ベクトル空間」と念仏のごとく
（表現が古いな…）頭に入れておくことは無意味ではありま
せん。

7. ● と書いた段階ではxが実数であると
いう制約を考慮していなかったので、xを実数に制限し
ます。「xの実数部」は、
と書けますが、これが前頁で調べた複素共役と、線形
結合の組み合わせでできていることに注目して下さ
い。そうでなかったとしたら、「実数に制限する」という
操作自体が、xが方程式の解であるという性質を壊し
てしまう可能性があったわけです。
● ところで、Aとθは任意の複素数で良かったのですが、
実は なので、θはAに含めてし
まう（ を改めてAと考える）ことができます。つまりθ
は冗長であり、ここでは必要ありませんでした。
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8. ● ７. 大丈夫です。我々がもし、実世界との対応を気にせ
ず、「複素数で表される空間を運動する粒子」を考え
ているのであればもちろん虚数部も落とせなくなりま
すが、今は実数の座標値を取る粒子を考えています。
また、そもそもこの微分方程式の解の形として、指数
関数を持ち出さずに最初から三角関数を「これが解で
す」として出していればそもそもこの疑問自体出な
かったかもしれません。
しかし、量子論まで行けば複素数自由度の系も自然
に出てきます。また、実は超弦理論のモデル化におい
ても、似た考えは出てきます。つまり、方程式の解全体
が作る空間に、何らかの物理的要請を条件として課す
ことにより、物理的な解を制限するという考えです。（こ
こでは、何らかの物理的要請というのが「座標は実数
値を取る」という条件であったわけです）

9. ● 8. という演算を
1.複素共役を取る
2.加算
3.スカラー倍
の３ステップに分解して図示してみます。
いずれのステップでも、→の出発点が解であれば、行き先も解
になるというのが補足で説明した内容です（加算のところは
入力2本、出力一本の三股で一つの→と考えます）。各ステッ
プでこれが成り立つので、全体を合成したものも解を解に写
す操作であるということです。
複素共役
加算
スカラー倍

10. ●
以上を踏まえた上で、公式
を用いると、
● A = α + iβ (α、βは実数）と置くと
● α、-βをそれぞれ改めてA、Bと置き直すと
と書けます。（θは不要だったわけです）
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11. ● 9. おっしゃる通り、間違っていました。Reは全体にかかりま
す。TeXは括弧が入り組んでくると見づらいですな…
● 10. そうです、別物です。プログラムにおけるローカル変数の使い
まわしと似たようなものとお考え下さい。
● １１. Re(x(t)) = x(t)が「x(t)が実数である」ことの式による表現であ
ることはいいでしょうか。7、8の説明とも関係しますが、要は「運動
方程式からだけでは自動的に出てこない、xは実数であるという
制限を物理的要請として課す」ということです。言い回しとして
は、
– x(t) = Re(x(t))
– x(t) ←Re（x(t))
– 演算子Q(x(t)) := x(t) - x*(t)を定義して、解の空間をQ(x(t)) = 0を満た
すものに制限する。
などがありえますが、言っていることはどれも同じです。「モデル
化」の手続きの一部と考えて下さい。