More Related Content
Similar to ウィナーフィルタと適応フィルタ
Similar to ウィナーフィルタと適応フィルタ (20)
ウィナーフィルタと適応フィルタ
- 3. 似た問題
• 線形自己回帰
x[n] = Σk=1
M h[k] x[n-k]
• 多チャンネル信号の重みつき平均
y[n] = Σk=1
M wk xk[n]
• 回帰分析
y = Σk=1
M wk fk(x)
3
- 5. 2乗誤差基準
• 誤差信号の2乗平均を最小にする.
J[h] = E |e[n]|2 = E |d[n] - y[n]|2
= E |d[n] - hTx[n] |2 → min
ここで,
•h = [h[0], ..., h[M-1]]T
•x[n] = [x[n], x[n-1], ..., x[n-(M-1)]]T
•E[・] は信号の期待値 ∫(・) p(x) dx
5
- 8. Xの定義
8
X =
x[0] x[ 1] · · · x[ (M 1)]
x[1] x[0] · · · x[ (M 2)]
...
...
...
x[N 1] x[N 2] · · · x[N M]
x1 x2 xM
- 10. 正規方程式
• d と Xh が最短になる(J[h]が最小にな
る)のは,Xh が d の Xの列ベクトルの張
る部分空間への正射影と一致するとき.
• このとき,X の列ベクトルと (d-Xh) が直
交するため
XT(d-Xh) = 0 より XTXh = XTd
10
- 12. 一般的なウィナーフィルタ
• 出力信号 y = hTx (x ∈ CN),原信号 d ∈ C
• 評価関数 J[h] = Ex,d |d - hTx|2
• この最小解は,原信号を観測信号xの各要
素が張る空間に射影したもの.
• 確率的直交条件 E[x (d - hTx)] = 0
• E[xxT]h = E[xd] より h=(E[xxT])-1E[xd]
12
- 16. 相関行列がわからない場合
• ウィナーフィルタの評価関数
J[h] = Ex,d|d - hTx|2
=E|d|2 - tr{2E[dxT]h - hTE[xxT]h}
相関行列Rdx=E[dxT],Rxx=E[xxT] が必要.
• 実際にはわからない.推定しなくては.
•方法1: 幾つか観測しておく(説明済)
•方法2: 適応フィルタ 16
- 17. 適応フィルタ
• 時々刻々とフィルタ係数 h を更新する.
• 代表的なもの
• 確率勾配法(Least Mean Square;
LMS)
• アフィン射影法(APA)
• Recursive Least Square (RLS)
17
計算速い
収束速い
- 19. 確率勾配法(LMS)
• 評価関数
J[h] = 1/2[E|d|2 - tr{2E[dxT]h - hTE[xxT]h}]
をhで偏微分する.
∂J/∂h = -E[xd] + E[xxT]h
• これを ∂J/∂h = 0 とおけば解が得られる
が,ここで期待値を瞬時値で置き換える.
• このとき ∂J/∂h ≒ -x[n]d[n] + x[n]x[n]Th[n] 19
- 20. LMSの逐次更新則
• ∂J/∂h ≒ -x[n]d[n] + x[n]x[n]Th[n]
= -(d[n] - y[n]) x[n]
= -e[n] x[n]
• この勾配を用いた最急降下法(確率勾配
法)は
h[n+1] = h[n] + µ e[n] x[n]
• µは小さい定数.(本当は範囲がある)
20
- 22. 2次元 h=[h1, h2]Tの場合
• h が満たすべき方程式は
h1 x1[n] + h2 x2[n] = d[n]
h1 x1[n+1] + h2 x2[n+1] = d[n+1]
22
h1
h2
h*
xTh = d
- 23. L次元に一般化
• 解は直線 xT[n] h = d[n] (n=0, ..., L-1) 上に
存在する.
• h[n-1] を解空間(直線)に射影する.
23
h1
h2
h* xT [n] h = d[n]
h[n-1]
h[n]
xT [n+1] h = d[n+1]
- 24. 解直線への射影
• 直線の方程式 xT[n] h = d[n] より,射影方
向は法線ベクトル x[n] に沿う.
• h[n] = h[n-1] + α x[n] よりαが決まる.
24
h1
h2
xT [n] h = d[n]
h[n-1]
h[n]
x[n]
- 25. 凸射影(Convex Projection)
• 凸集合 Cn に対して射影Pnが決まる.
• P = PN PN-1・・・P2 P1 を定義すると
• [定理] 異なる凸集合への射影を繰り返す
と,共通部分の元に収束する.
Pkh → h* ∈ C1∩C2∩・・・∩CN
• 直線(線形多様体)は凸集合
25
- 26. 更新則
• αは
• したがって,アフィン射影法の更新則は
• 正規化LMS(Normalized LMS)
26
=
d[n] xT
[n]h[n 1]
x[n] 2
h[n] = h[n 1] +
x[n]
x[n] 2
(d[n] xT
[n]h[n 1])
h[n] = h[n 1] + µ
x[n]
x[n] 2 +
(d[n] xT
[n]h[n 1])
- 27. 線形多様体への射影
• hnはH上の最もhn-1
に近い点.
hn = Xa + PN(X
T
)hn-1
• XT(Xa)=dより
a=(XTX)-1d
• また
PN(X
T
)=I-X(XTX)-1XT
27N(XT)=R(X)⊥
: XTh=0
H: XTh=d
hn-1
R(X): Xの列ベクトルが張る空間
O
hn
Xa
PN(X
T
)hn-1