ディジタル社会が成立する理論的根拠であるサンプリング定理についてまとめました．

1. ディジタル信号処理：
サンプリング定理
2020/04/22
東京農⼯⼤学
⽥中 聡久
1

2. 信号の離散化
2
信号処理
ADC
ディジタル
信号処理
(DSP, CPU)
DAC
離散
連続 連続
離散
信号をディジタルにしても，もとのアナログの情報を失わない
（なにも処理しなければ基に戻る）ことを理論的に保証したい．

3. 昔話
■ コンパクトディスク（CD）が出たとき，評論家たちは
「アナログレコード（LP）のような温かみに⽋ける」
「機械的な⾳がする」などとけなしていた．
■ その理由として，
■ CDはディジタルだから，⾳が⾶び⾶びになる．データ間隔
の間の情報を失ってしまっている．
■ 私も⼤学院⽣になるまでそれを信じていた．
3
デジタルにすると間の
⾳が消えて，それが
CDの無機質な⾳の原
因だ！

4. 内容
■ 正弦波のサンプリングとサンプリング周波数
■ ⼀般の信号とフーリエ変換，最⾼周波数とサンプリング
周波数
■ サンプリング周波数は「最⾼周波数×2以上」
■ 信号再構成の意味でのサンプリング定理とその証明
■ なぜ「最⾼周波数×2以上」でもとの信号を完全再構成でき
るのか．
4

5. サンプリング（標本化）
5
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 2 4 6 8 10 12 14
line 1
間隔がTs
標本化周波数
（サンプリング周波数）
連続信号を間隔 Ts 秒で離散化してみよう．
標本化周期
（サンプリング周期）
間隔 Ts
その逆数 Fs = 1/Ts
1秒間に Fs 点のサンプル

6. サンプリングした信号の表し方
連続信号 x(t) = A sin(Ωt) を周期 Ts でサンプリングするとき
t = 0, Ts, 2Ts, 3Ts, . . . の時間で値をるので，t = nTs を代入す
ると，
x(nTs) = A sin(ΩnTs) = A sin(2πFTsn) = A sin 2π
F
Fs
n
と表現できる．
いちいち Ts を書くのは面倒なので，ω = 2πF/Fs とおいて，
x[n] = A sin(ωn)
と書く．カッコ ( ) を [ ] にすることで，離散信号であること
を示す．
正弦波のサンプリング
6

7. 表現可能な周波数が限られる
7
正規化周波数
ω = ΩTs =
Ω
Fs
= 2π
F
Fs
[rad]: 正規化角周波数（範囲は
−π ∼ π）
f =
F
Fs
: 正規化周波数（範囲は −1/2 ∼ 1/2）
離散信号では，主に正規化角周波数を使う．
実際の周波数 [Hz] −Fs 0 · · · Fs
角周波数 [rad] −π · · · 0 · · · π
正規化周波数 −1/2 0 1/2
N = Fs/F = 1/f は，正弦波 1 周期（2π）を表すのに，何点取って
いるかを表している．（ω = 2π/N）各周波数ωに対する，負の周波数 -ωは，位相が反転しているだ
け． sin(-ωn) = -sin(ωn)
したがって，通常は，正の周波数 0∼π だけ⾒れば良い．
実際の周波数 F [Hz] -Fs/2 … 0 … Fs/2
正規化⾓周波数 ω [rad] -π … 0 … π
正規化周波数 [無次元] -1/2 … 0 … 1/2
ω=2πf

8. 離散正弦波の表現まとめ
■ 離散信号は
x[n] = A sin (ωn - θ) = A sin (2πfn - θ)
で表現できる．
■ ここで，
■ A: 振幅
■ ω: 正規化⾓周波数（-π∼π）[rad]
■ 「正規化」を省略する場合もある．
■ f: 正規化周波数（-0.5〜0.5）[無次元]
■ θ: 位相 [rad]
8

9. サンプル点削減の限界
• 周波数 F [Hz] の正弦波の
サンプル点は，どこまで減
らすことができるか?
→ ⼭と⾕をサンプリングす
る（Fs = 2F)と，もとの正
弦波を補間できる．
•これ以上⾼い周波数の信号
は補間できない．
9
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1

10. エリアシングとナイキスト周波数
• エリアシング
（Aliasing）
• F=Fs/2より低いレートで
サンプリングすると，F
[Hz] の正弦波をを再現で
きない．
• ナイキスト周波数
• Fsでサンプリングした
ときに復元できる最⼤
の周波数
10
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1

11. 正弦波以外の⼀般の信号
■ ⼀般の信号 x(t) のサンプリング
■ 疑問
■ サンプリング周波数 Fs をいくつに取れば，もとの信
号を復元できるか?
11

12. フーリエ変換
■ 信号 x(t) に対して
■ フーリエ変換
■ フーリエ逆変換
12
信号x(t)には，周波数Ωの
正弦波が X(Ω) の強さで
含まれている，という意味．
任意の信号 x(t) は，様々な周波数 Ω の（複素）正弦波
の線形和で表現できる．
x(t) =
1
2π ∫
∞
−∞
X(Ω)ejΩt
dΩ
X(Ω) =
∫
∞
−∞
x(t)e−jΩt
dt
Ω
X(Ω)

13. フーリエ変換（周波数による表現）
■ Ω=2πf なので，変数変換より
なる関係を得る．（2πのスケーリングがない）
■ 周波数の表現を⽤いると，ユニタリ性が成り⽴
つ:
■ これは，パーセバルの等式．
■ ⾓周波数を使うと 1/(2π) が右辺につく．
13
( ) = ( )
| ( )| = | ( )|
( ) = ( )

14. サンプリング定理（概要）
■ 連続信号 x(t) をサンプリングした離散信号 x[n] から，
もとの連続信号を，以下の条件を満たせば，またそのと
きに限り，完全に再構成できる．
■ 条件：信号は |f| ≦ Fm に帯域制限されている．
■ 最も「細かい」正弦波 Fm [Hz]
に着⽬すれば良い．
■ サンプリング周波数 Fs ≧ 2Fm
14
f
X(f)
Fm
x(t) =
∫
Fm
−Fm
X(f )ei2πft
df

15. ⾝の回りのサンプリング周波数
■ ⾳声信号
■ コンパクトディスク（CD）44.1 kHz
■ 地上ディジタル放送 48 kHz
■ ⼈間の可聴域
■ 20 Hz 〜 20 kHz
15
⽊村淑志 - ⽇本⽿⿐咽喉
科学会会報, 1972

16. 染⾕・シャノンのサンプリング定理
16
x(t) =
∞
∑
n=−∞
x[n]
sin π(t − nT)/T
π(t − nT)/T
染谷・シャノンの標本化定理
離散信号からの再構成 (D/A 変換) はどうするか．
.
定理 (染谷・シャノン・ホイッタッカー)
..
......
原信号が Fs ≥ 2Fmax の条件を満たして標本化されるとき，標本化
信号 x[n] = x(nT) から，完全に原信号を再構成できる．つまり，
以下の再構成式が成り立つ．
x(t) =
∞
n=−∞
x(nT)
sin π(t − nT)/T
π(t − nT)/T
. (1)
Whittaker が 1935 年に補間理論として発見．
それとは独立に，Shannon が 1949 年に通信理論として発見
(“Communication in the presence of noise”)．
それとは独立に，染谷勲が 1949 年に発見 (「波形傳送」)．
15/37
sinc関数
定理
信号x(t)がF≦Fmで帯域制限されていて，サンプリング周波数
Fs≧2Fmで標本化されたサンプル（データ点）をx[n]とする．
このとき，x[n]から完全に信号を再構成できる．すなわち，
T=1/Fsのとき，以下の再構成式が成り⽴つ：

17. Practicalな疑問
17
A/Dコンバータを持っています．
（ある範囲でサンプリング周波数を設定できる）
何らかの信号を測定して，⼿持ちのコンピュータに取り
込もうとしています．
しかしながら，その信号の最⾼の周波数を知りません．
どうしましょう?
解決策を考えて下さい

18. 現実には Fm なんてわからない
連続信号の最高周波数 Fm [Hz] を測定するのは不可能．
そこで，アナログフィルタで，Fm [Hz] 以上をカットして，強
制的に最高周波数を設定する．
.
一般の信号のサンプリング手順..
......
...1 カットしても構わない最高周波数 Fm を決める．(音声の場合，
可聴域以上など)
...2 適当なローパスアナログフィルタで，Fm 以上をカットする．
...3 A/D コンバータで，サンプリング周波数 Fs を 2Fm に設定し
て，標本化する．
14/37
最⾼周波数Fmの設定⽅法
18
サンプリングする．
ローパスフィルタのcutoff周波数Fmは，センサの物理的性質や，
アプリケーションから決めることができる．

19. サンプリング定理の証明
■ を⽰せば良い．
■ 証明の⼿順
1.x(t) の t=nT における瞬時値 x(nT) を係数に持つデ
ルタ関数の級数 xd(t) を定義し，そのフーリエ変換
Xd(f)をx[n]で表現する．
2. Xd(f) が，x(t)のフーリエ変換 X(f）を平⾏移動した
もの（image）で表現されることを⽰す．
3.Fs≧2Fmを満たしていればimageの重なりが無いの
で，Xd(Ω) から X(Ω) を歪み無しで切り出す事ができ
る．
x(t) =
∞
∑
n=−∞
x[n]
sin π(t − nT)/T
π(t − nT)/T
19

20. x(t) のサンプリング
■ x(t) の離散化を，デルタ関数列で表す．
xd(t) = Σn x(nT) δ(t-nT)
ちなみに，x(nT) = ∫x(t) δ(t-nT) dt
■ 両辺をフーリエ変換すると
Xd(f) = Σn x(nT) e-jn(2πf)T
■ ここからわかるのは，スペクトルが 1/T で周期的であると
いうこと．
■ なお，ω=2πfT とおいたもの
Xd(f) = X(ejωt) = Σn x[n] e-jωn
は離散時間フーリエ変換（DTFT）と呼ばれる．
20
f(t-a)のフーリエ変換は
F(f)e-ja(2πf)
デルタ関数 δ(t)
∫δ(t)dt = 1
∫f(t)δ(t)dt=f(0)

21. 参考：デルタ関数のフーリエ変換
■ フーリエ変換対
■ δ(t) <—> 1
■ 1 <̶> δ(f)
■ シフトの影響
■ x(t-τ) <̶> e-j(2πf)τX(f)
■ ej(2πα)tx(t) <̶> X(f-α) （別名: 変調）
■ 複素正弦波
■ ejat <̶> δ(f-a/(2π))
（変調の式でx(t)=1とおいた）
21

22. 周波数スペクトルとサンプリング
22
t f
フーリエ変換
サンプリング
t
x(t)
xd(t) = Σn x(nT) δ(t-nT)
X(f)
Xd(f) = Σn x(nT) e-jn(2πf)T

23. 離散信号のスペクトル Xd(f)
■ x(t) を離散化した xd(t) のスペクトル Xd(f) はどうなる
だろうか?（周期 1/T で周期的であることはわかった）
■ x(t) をTで離散化する際，関係
x(nT)δ(t-nT) = x(t)δ(t-nT)
を⽤いれば，
xd(t) = Σn x(nT) δ(t-nT) = x(t) Σn δ(t-nT)
と表現できる．Σn δ(t-nT) は「ディラックの櫛」呼ばれる．
■ 両辺をフーリエ変換すれば
Xd(f) = X(f) * F [ Σn δ(t-nT) ] = X(f) * C(f)
掛け算のフーリエ変換はフーリエ変換の畳込み
■ C(f)=F [Σnδ(t-nT)] はディラックの櫛のフーリエ変換．
23

24. デルタ関数のフーリエ変換
■ デルタ関数δ(t)のフーリエ変換は F[δ(t)]=∫δ(t) ejωtdt
= e0 = 1
24
t0 ω0
1
t0
… …
C(f) = F [ Σn δ(t-nT) ]Σn δ(t-nT)

25. ディラックの櫛のフーリエ変換
25
Fourier Transform of a Dirac’s Comb
.
定理
..
......
The Fourier transform of a Dirac’s comb is again a Dirac’s comb:
c(t) =
∞
n=−∞
δ(t − nT) ⇔ C(Ω) =
2π
T
∞
n=−∞
δ Ω −
2πk
T
.
t0 T 2T 3T-T-2T-3T
c(t)
Ω0-6π/T
C(Ω)
-4π/T -2π/T 2π/T 4π/T 6π/T
田中 聡久 (東京農工大学) Advanced Signal Processing — 信号処理特論 June 18, 2013 54 / 215
ディラックの櫛は周期Tの信号であることに注意．

26. 証明
26
Proof of the Relationship of Dirac’s Combs
周期 T の周期関数 x(t) にはフーリエ級数展開
x(t) =
∞
k=−∞
ck ejk 2π
T t
が存在する．
この両辺のフーリエ変換をとると，
X(Ω) =
∞
k=−∞
ck
∞
−∞
ejk 2π
T t
e−jΩt
dt =
∞
k=−∞
ck
∞
−∞
e−j(Ω−k 2π
T )t
dt
= 2π
∞
k=−∞
ck δ Ω − k
2π
T
.
ここで，δ(t) の逆フーリエ変換が 1
2π
であることを使った．
田中 聡久 (東京農工大学) Advanced Signal Processing — 信号処理特論 June 18, 2013 56 / 215
ディラックの櫛 c(t) =
∞
n=−∞
δ(t − nT) は周期 T の周期関数であ
る．したがってフーリエ級数展開が可能で，フーリエ係数は
ck =
1
T
T/2
−T/2
c(t)e−jk 2π
T t
dt =
1
T
T/2
−T/2
δ(t)e−jk 2π
T t
dt
=
1
T
∞
−∞
δ(t)e−jk 2π
T t
=
1
T
e−jk 2π
T 0
=
1
T
.
したがって，ディラックの櫛のフーリエ級数展開をフーリエ
ck =
1
T ∫
T/2
−T/2
c(t)e−jk 2π
T t
dt =
1
T ∫
T/2
−T/2
δ(t)e−jk 2π
T t
dt
=
1
T ∫
∞
−∞
δ(t)e−jk 2π
T t
=
1
T
e−jk 2π
T 0
=
1
T
T/2-T/2

27. 証明（続き）
27
⼀⽅，⼀般的に，周期関数 のフーリエ級数
のフーリエ変換は
x(t) =
∞
∑
k=−∞
ckejk 2π
T t
X(Ω) =
∞
∑
k=−∞
ck
∫
∞
−∞
ejk 2π
T t
e−jΩt
dt =
∞
∑
k=−∞
ck
∫
∞
−∞
e
−j(Ω − k 2π
T )t
dt
= 2π
∞
∑
k=−∞
ckδ
(
Ω − k
2π
T )
C(Ω) =
2π
T
∞
∑
n=−∞
δ
(
Ω −
2πk
T )
ディラックの櫛 c(t) においては，ck = 1/T なので C(Ω)
のフーリエ変換
を得る．

28. 最終的に xd(t) のフーリエ変換を得る
28
再び
xd(t) = x(t)
∞
n=−∞
δ(t − nT) = x(t)c(t).
両辺のフーリエ変換をとると，最終的に次の関係を得る．
Xd(Ω) =
1
2π
X(Ω) ∗ C(Ω) =
1
T
∞
n=−∞
X(Ω) ∗ δ Ω −
2πk
T
=
1
T
∞
n=−∞
X Ω −
2πk
T
,
We have used f ∗ δ(t) = f(t).
田中 聡久 (東京農工大学) Advanced Signal Processing — 信号処理特論 June 18, 2013 55 / 215
ここで，デルタ関数と畳み込みの関係
をもちいた．
x(t) * δ(t) = x(t)

29. 周波数 f で書き直すと
■ c(t) = Σk δ(t-kT) の周波数fに関するフーリエ変換は
C(f) = Σk ck δ(f-k/T)
なので，C(f) = (1/T) Σk δ(f-k/T)
である．
■ これより，
Xd(f) = X(f)*C(f)
= (1/T) Σk X(f)*δ(f-k/T)
= (1/T) Σk X(f-k/T)
29

30. Xd(f)のスペクトル
■ (1/T)X(f) が F=1/T 周期で出現する．
■ F はサンプリング周波数
30
f0-3/2T
X(f)
-1/T -1/2T 1/2T 1/T 3/2T
X (f)d
X(f) X(f 1/T)
1
T
1
T
X(f+1/T)
1
T
0-3/2T -1/T -1/2T 1/2T 1/T 3/2T f

31. 折り返し歪み Aliasing
31
原信号の最⾼⾓周波数（ナイキスト周波数）が F=1/T [Hz]
よりも⾼い場合，サンプリングによりスペクトルの重なりが
発⽣する．これにより，原信号が歪んでしまう．
f0-3/2T
X(f)
-1/T -1/2T 1/2T 1/T 3/2T
X (f)d
X(f) X(f 1/T)
1
T
1
T
X(f+1/T)
1
T
0-3/2T -1/T -1/2T 1/2T 1/T 3/2T f

32. 歪のないサンプリング周波数
32
f0-3/2T
X(f)
-1/T -1/2T 1/2T 1/T 3/2T
X (f)d
X(f) X(f 1/T)
1
T
1
T
X(f+1/T)
1
T
0-3/2T -1/T -1/2T 1/2T 1/T 3/2T f
信号の最⾼周波数 Fm が 1/(2T) 以下に帯域制限されてい
れば，スペクトルに歪みが⽣じない．
Fm ≦ 1/(2T) = Fs/2 すなわち Fs ≧ 2Fm
Fm

33. ■ インディケータ関数
I[a,b] = 1 （[a,b]のとき）, 0（それ以外）
を⽤いれば，X(f) と Xd(f)の関係
X(f) = T I[-1/(2T),1/(2T)] Xd(f)
を得る．
■ この逆フーリエ変換により x(t) が得られる．
33
Xd(f) から x(t) を戻すには
f0-3/2T
X(f)
-1/T -1/2T 1/2T 1/T 3/2T
X (f)d
X(f) X(f 1/T)
1
T
1
T
X(f+1/T)
1
T
0-3/2T -1/T -1/2T 1/2T 1/T 3/2T f

34. x(t)の復元（サンプリング定理証明終）
34
F [ [ , ] ( )] = [ , ] ( )
= ( ) ( )
= ( ) ( )( )
= ( )
( )
( )( )
= ( )
( )/
( ) ( )
= ( )
sin ( )/
( )/

35. サンプリング定理の直交展開性
■ 信号が f≦Fm で帯域制限されているとき，1/T≧2Fm を
満たす周期Tでサンプリングすれば，もとの信号を完全
に再構成できる．
■ 関数解析の⾔葉で⾔えば，帯域制限信号 x(t) は，正規
直交系 で直交展開できる．
■ ここで， （sinc関数）
{ϕn(t)}
ϕn(t) =
sin π(t − nT)/T
π(t − nT)/T
35
x(t) =
∞
∑
n=−∞
x[n]
sin π(t − nT)/T
π(t − nT)/T
x(t) =
∑
n
x[n]ϕn(t), x[n] = ⟨x(t), ϕn(t)⟩

36. いくつかコメント
■ x(t) は周波数領域で2乗可積分 X(f)∈L2[-1/T,1/T]
■ x(t) = sin(t) のような単純な信号は，この条件を満たさない．
t=0, ±π, ±2π, … でサンプリングをすると，すべてのnに対し
て， x[n] = 0 となる！
■ 再構成の等号は，ヒルベルト空間での収束を意味してい
る．つまり，
■ デルタ関数についてより詳しく突っ込むには，超関数論
を必要とする．私にはお⼿上げである．
x(t) −
N
∑
n=−N
x[n]
sin π(t − nT)/T
π(t − nT)/T
→ 0
36

37. コメントつづき
■ サンプリング定理は，理想条件下での理論．
■ 理想条件とは
■ 瞬時値をサンプリングしている．x[n] = x(nT) など，現実
には無理．→ 現実パルスによるサンプリングを定式化する必
要がある．（ADコンバータの問題）
■ sinc関数は無限値域をもつので，そんな関数で補完できるわ
けない．→ 因果的インパルス応答をもつアナログフィルタを
考える必要がある．（DAコンバータの問題）
■ 昔のCDの⾳が悪かったのは，あながち間違いではな
い．ADC，DACの性能が良くなかった．
37