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1. §1. 2 階線形双曲型偏微分方程式の初期値問題
n ≥ 1 とし，波動方程式の微分作用素である d’ALembertian □ = ∂2
t − ∆ を一般
化した微分作用素
L =
n
X
j,k=0
gjk
(t, x)∂j∂k +
n
X
j=0
bj
(t, x)∂j + a(t, x)
について，初期値問題
(
Lu(t, x) = F(t, x), (t, x) ∈ R × Rn
,
(u(0, x), ∂0u(0, x)) = (u0(x), u1(x)), x ∈ Rn
を考える．ただし，ここで
• ∂0 = ∂t, ∂j = ∂xj
(j = 1, . . . , n)
• gjk
, bj
, a ∈ C2
(R × Rn
)：実数値，gjk
= gkj
(j, k = 0, . . . , n)
• F(t, x)：外力（given）
，実数値
• u0(x), u1(x)：初期値（given）
，実数値
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2. 初期値問題の適切性
初期値問題
(
Lu(t, x) = F(t, x), (t, x) ∈ R × Rn
,
(u(0, x), ∂0u(0, x)) = (u0(x), u1(x)), x ∈ Rn
が適切（well-posed）
であるとは，
1 解の存在
2 解の一意性
3 解のデータに関する連続依存性
が成立することをいう（Hadamard, 1902）
．
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3. 双曲型作用素
以下，すべての (t, x) ∈ R × Rn
について g00
(t, x) ̸= 0 とする．微分作用素
L =
n
X
j,k=0
gjk
(t, x)∂j∂k +
n
X
j=0
bj
(t, x)∂j + a(t, x)
に対し，最高階の微分の部分
L0 =
n
X
j,k=0
gjk
(t, x)∂j∂k
を L の主要部（principal part）
という．
また，L0 の ∂ = (∂0, ∂1, . . . , ∂n) を ξ = (ξ0, ξ′
) = (ξ0, ξ1, . . . , ξn) でおきかえて
得られる ξ の多項式
p0(t, x, ξ0, ξ′
) =
n
X
j,k=0
gjk
(t, x)ξjξk
を L の特性多項式（characteristic polynomial）
という．
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4. いま，g00
(t, x) ̸= 0 の仮定より，特性多項式
p0(t, x, ξ0, ξ′
) =
n
X
j,k=0
gjk
(t, x)ξjξk
を ξ0 の多項式とみると，2 次の多項式となる．その根は
λ±
(t, x, ξ′
) =
1
g00



−
n
X
j=1
g0j
ξj ±







n
X
j=1
g0j
ξj


2
− g00
n
X
j,k=1
gjk
ξjξk





1/2



 .
これらを L の特性根（characteristic roots）
という．
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5. Definition 1
微分作用素 L が（t 方向に）双曲型（hyperbolic）
であるとは，任意の
(t, x, ξ′
) ∈ R × Rn
× Rn
に対して，L の特性根 λ±
(t, x, ξ′
) が実数であるときを
いう．
また，L が正規双曲型（regularly hyperbolic）
であるとは，L が双曲型でありかつ，
inf
(t,x)∈R×Rn
|ξ′
|=1
|λ+
(t, x, ξ′
) − λ−
(t, x, ξ′
)| > 0
が成立するときをいう．
※ L が d’Alembertian に適当な意味で十分近い
（i.e., 行列 (gjk
)0≤j,k≤n が diag(1, −1, . . . , −1) に十分近い）ならば，L は正規
双曲型となる．
目標
L が d’Alembertian に適当な意味で十分近いときに，L に対する初期値問題の適
切性を証明すること．
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6. §2. 弱解の定義
T > 0 として，微分作用素
L =
n
X
j,k=0
gjk
(t, x)∂j∂k +
n
X
j=0
bj
(t, x)∂j + a(t, x)
に対する初期値問題
(
Lu(t, x) = F(t, x), (t, x) ∈ (0, T) × Rn
,
(u(0, x), ∂0u(0, x)) = (u0(x), u1(x)), x ∈ Rn
(IVP)
を考える．係数 gjk
, bj
, a は C2
([0, T) × Rn
) に属し，実数値であるとする．また
gjk
= gkj
とする．
u ∈ C2
([0, T) × Rn
) は (IVP) の解であるとしよう ∗
．C2
級の関数で (IVP) を各
点の意味でみたすものを古典解（classical solution）
とよぶ．
∗このとき u0 ∈ C2(Rn), u1 ∈ C1(Rn), F ∈ C([0, T) × Rn) がしたがう．
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7. いま，テスト関数 ψ ∈ C∞
0 ((−∞, T) × Rn
) を任意に取り，方程式 Lu = F に掛
けて (0, T) × Rn
で積分すると，
ZZ
(0,T )×Rn
ψF dtdx =
ZZ
(0,T )×Rn
ψLu dtdx
=
ZZ
(0,T )×Rn
ψ



n
X
j,k=0
gjk
∂j∂ku +
n
X
j=0
bj
∂ju + au



dtdx.
ここで，部分積分により，
ZZ
(0,T )×Rn
ψg00
∂2
0 u dtdx
= −
Z
Rn
ψ(0, x)g00
(0, x)u1(x) dx −
ZZ
(0,T )×Rn
∂0(ψg00
)∂0u dtdx
= −
Z
Rn
ψ(0, x)g00
(0, x)u1(x) dx +
Z
Rn
(∂0(ψg00
))(0, x)u0(x) dx
+
ZZ
(0,T )×Rn
∂2
0 (ψg00
)u dtdx.
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8. 同様に，
ZZ
(0,T )×Rn
ψ
n
X
j=1
gj0
∂j∂0u dtdx
ZZ
(0,T )×Rn
ψ
n
X
k=1
g0k
∂0∂ku dtdx も同じ
!
= −
ZZ
(0,T )×Rn
n
X
j=1
∂j(ψgj0
)∂0u dtdx
=
Z
Rn
n
X
j=1
(∂j(ψgj0
))(0, x)u0(x) dx +
ZZ
(0,T )×Rn
n
X
j=1
∂0∂j(ψgj0
)u dtdx,
ZZ
(0,T )×Rn
ψb0
∂0u dtdx
= −
Z
Rn
ψ(0, x)b0
(0, x)u0(x) dx −
ZZ
(0,T )×Rn
∂0(ψb0
)u dtdx.
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9. 以上より，作用素 L∗
を
L∗
ψ =
n
X
j,k=0
∂j∂k(gjk
ψ) −
n
X
j=0
∂j(bj
ψ) + aψ
と定義すると，等式
ZZ
(0,T )×Rn
ψF dtdx
=
ZZ
(0,T )×Rn
(L∗
ψ)u dtdx
−
Z
Rn
ψ(0, x)g00
(0, x)u1(x) dx
+
Z
Rn



(∂0(ψg00
))(0, x) − (ψb0
)(0, x) + 2
n
X
j=1
(∂j(ψgj0
))(0, x)



u0(x) dx
を得る．
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10. 上で得られた等式は，u の微分可能性がなくても意味をもつ式である．これをも
とに，(IVP) の弱解を以下のように定義する．
記号
s ∈ N ∪ {0} に対し，
Hs
(Rn
) :=
f ∈ L2
(Rn
); ∀α ∈ (N ∪ {0})n
(|α| ≤ s), ∂α
x f ∈ L2
(Rn
) .
ただし，微分は超関数の意味の微分とする．この空間を Sobolev 空間とよぶ．特
に H0
(Rn
) = L2
(Rn
) である．また，負の整数 s に対して，
Hs
(Rn
) := (H−s
(Rn
))′
と定める †
．
また，区間 I ⊂ R, Banach 空間 X に対し，
C(I; X) := {u : I → X;
（X の位相について）連続 },
C1
(I; X) := {u : I → X;
（X の位相について）C1
級 },
L1
(I; X) := {u : I → X; Bochner 可積分 }.
†Fourier 変換を用いてすべての s ∈ R に対して Sobolev 空間 Hs(Rn) を定義することができる．
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11. Definition 2
s ∈ N ∪ {0} とする．u0 ∈ Hs+1
(Rn
), u1 ∈ Hs
(Rn
), F ∈ L1
([0, T); Hs
(Rn
)) と
する．u ∈ C([0, T); Hs+1
(Rn
)) ∩ C1
([0, T); Hs
(Rn
)) が初期値問題 (IVP) の弱解
（weak solution）
であるとは，任意の ψ ∈ C∞
0 ((−∞, T) × Rn
) に対して等式
ZZ
(0,T )×Rn
ψF dtdx
=
ZZ
(0,T )×Rn
(L∗
ψ)u dtdx
−
Z
Rn
ψ(0, x)g00
(0, x)u1(x) dx
+
Z
Rn



(∂0(ψg00
))(0, x) − (ψb0
)(0, x) + 2
n
X
j=1
(∂j(ψgj0
))(0, x)



u0(x) dx
が成立するときをいう ．
s が負の整数のときも，空間変数の積分を ⟨·, ·⟩Hs,H−s の意味に適宜読み替え，係数にも追加の
滑らかさを仮定すれば同様にして弱解が定義できる．
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12. §3. エネルギー不等式
§3.1 d’Alembertian に対するエネルギー不等式
u′
= ∇u := (∂0u, ∂1u, . . . , ∂nu)
g0 = (gjk
0 )j,k=0,...,n := diag(1, −1, . . . , −1) =





1
−1
...
−1





□ := ∂2
0 − ∆ =
Pn
j,k=0 gjk
0 ∂j∂k
Theorem 3
n ≥ 1, T 0 とする．関数 u = u(t, x) は，u ∈ C2
([0, T] × Rn
) かつ，ある
R 0 が存在して supp u ⊂ [0, T] × {x ∈ Rn
; |x| R} であるとする．このとき，
∥u′
(t, ·)∥L2(Rn) ≤ ∥u′
(0, ·)∥L2(Rn) +
Z t
0
∥□u(s, ·)∥L2(Rn) ds (t ∈ [0, T])
が成立する．特に □u = 0 ((t, x) ∈ [0, T] × Rn
) のときは等号で成立する：
∥u′
(t, ·)∥L2(Rn) = ∥u′
(0, ·)∥L2(Rn) (t ∈ [0, T]).
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13. 証明
e0(u), ej(u) (j = 1, . . . , n) を以下で定義する：
e0(u) := |u′
|2
=
n
X
k=0
|∂ku|2
= g00
0 |∂0u|2
−
n
X
j,k=1
gjk
0 ∂ju∂ku,
（後で一般化する場合に見通しを良くするため，あえてこのようにも書いておく）
ej(u) := −2∂0u∂ju
= 2
n
X
k=0
gjk
0 ∂0u∂ku (j = 1, . . . , n).
このとき，次が成立する．
(1) 2∂0u□u = ∂0|u′
|2
− 2
n
X
j=1
∂j(∂0u∂ju) =
n
X
j=0
∂jej(u).
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14. 式 (1) の証明：
∂0|u′
|2
= ∂0

|∂0u|2
+
n
X
j=1
|∂ju|2

 = 2

∂2
0 u∂0u +
n
X
j=1
∂0∂ju∂ju

 ,
−2
n
X
j=1
∂j(∂0u∂ju) = −2
n
X
j=1
∂j∂0u∂ju + ∂0u∂2
j u
.
この右辺どうしの和をとると 2∂0u□u になる．
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15. supp u ∈ [0, T] × {x ∈ Rn
; |x| R} に注意して ∥u′
(t, ·)∥2
L2(Rn) を t で微分す
ると，
∂0∥u′
(t, ·)∥2
L2(Rn) =
Z
Rn
∂0|u′
|2
dx
=
Z
Rn

∂0|u′
|2
− 2
n
X
j=1
∂j(∂0u∂ju)

 dx
（∵ u は空間遠方で 0）
=
Z
Rn
n
X
j=0
∂jej(u) dx
= 2
Z
Rn
∂0u□u dx （∵ 式 (1)）
≤ 2∥u′
(t, ·)∥L2(Rn)∥□u(t, ·)∥L2(Rn).
下から 2 行目までの等式から，特に □u ≡ 0 なら ∂0∥u′
(t, ·)∥2
L2(Rn) = 0 となり
∥u′
(t, ·)∥L2(Rn) は一定となることが分かる（定理の主張の後半部分）
．
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16. 一方，左辺は（∥u′
(t, ·)∥L2(Rn) 0 である限りは）
∂0∥u′
(t, ·)∥2
L2(Rn) = 2∥u′
(t, ·)∥L2(Rn)∂0∥u′
(t, ·)∥L2(Rn)
であるから，これを前の不等式に用いて
2∥u′
(t, ·)∥L2(Rn)∂0∥u′
(t, ·)∥L2(Rn) ≤ 2∥u′
(t, ·)∥L2(Rn)∥□u(t, ·)∥L2(Rn),
すなわち
∂0∥u′
(t, ·)∥L2(Rn) ≤ ∥□u(t, ·)∥L2(Rn).
（もしすべての s ∈ [0, t] について ∥u′
(s, ·)∥L2(Rn) 0 ならば）
上式で t を s に置
き換えたものを [0, t] 上で積分して，
∥u′
(t, ·)∥L2(Rn) ≤ ∥u′
(0, ·)∥L2(Rn) +
Z t
0
∥□u(s, ·)∥L2(Rn) ds
を得る．
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17. もし ∥u′
(t, ·)∥L2(Rn) 0 かつ，ある s ∈ [0, t) について ∥u′
(s, ·)∥L2(Rn) = 0 とな
る場合には，そのような s のうち [0, t) における最大のもの s∗ をとって，[0, t] の
代わりに s ∈ [s∗, t] で積分すれば
∥u′
(t, ·)∥L2(Rn) ≤ ∥u′
(s∗, ·)∥L2(Rn) +
Z t
s∗
∥□u(s, ·)∥L2(Rn) ds
=
Z t
s∗
∥□u(s, ·)∥L2(Rn) ds
（∵ ∥u′
(s∗, ·)∥L2(Rn) = 0 ）
≤ ∥u′
(0, ·)∥L2(Rn) +
Z t
0
∥□u(s, ·)∥L2(Rn) ds
となってやはり求める不等式を得る．
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18. §3.2. 変数係数双曲型作用素に対するエネルギー不等式
微分作用素
L =
n
X
j,k=0
gjk
(t, x)∂j∂k
を考える．
• gjk
∈ C2
([0, T] × Rn
), gjk
= gkj
(j, k = 0, . . . , n)
• (gjk
0 ) = diag(1, −1, . . . , −1)
• rjk
(t, x) := gjk
(t, x) − gjk
0 (t, x)
とし，
n
X
j,k=0
|rjk
(t, x)| ≤
1
2
((t, x) ∈ [0, T] × Rn
)
を仮定する．
Lemma 4
上の仮定のもとで，L は（t 方向に）正規双曲型となる．
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19. 証明
特性多項式は，
p0(t, x, ξ0, ξ′
) =
n
X
j,k=0
gjk
(t, x)ξjξk
= ξ2
0 − |ξ′
|2
+
n
X
j,k=0
rjk
(t, x)ξjξk
= (1 + r00
)ξ2
0 + 2
n
X
k=1
r0k
ξk
!
ξ0 − |ξ′
|2
+
n
X
j,k=1
rjk
ξjξk.
これを ξ0 の 2 次多項式とみて，判別式 D を計算すると，
D
4
=
n
X
k=1
r0k
ξk
!2
+ (1 + r00
)

|ξ′
|2
−
n
X
j,k=1
rjk
ξjξk

 .
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20. ここで，仮定
n
X
j,k=0
|rjk
(t, x)| ≤
1
2
((t, x) ∈ [0, T] × Rn
)
より，
1
2
≤ 1 + r00
≤ 2
および
|ξ′
|2
−
n
X
j,k=1
rjk
ξjξk ≥ |ξ′
|2
−


n
X
j,k=1
|rjk
|

 |ξ′
|2
≥
1
2
|ξ′
|2
.
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21. したがって，|ξ′
| = 1 のとき，
D
4
=
n
X
k=1
r0k
ξk
!2
+ (1 + r00
)

|ξ′
|2
−
n
X
j,k=1
rjk
ξjξk

 ≥
1
4
となり，D ≥ 1 を得る．よって特性根 λ±
(t, x, ξ′
) は実であり，
inf
(t,x)∈R×Rn
|ξ′
|=1
|λ+
(t, x, ξ′
) − λ−
(t, x, ξ′
)| ≥ inf
(t,x)∈R×Rn
|ξ′
|=1
D
1 + r00
≥
1
2
が成立する．よって作用素 L は（t 方向に）正規双曲型である．
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22. エネルギー不等式
• gjk
∈ C2
([0, T] × Rn
), gjk
= gkj
(j, k = 0, . . . , n), L =
n
X
j,k=0
gjk
(t, x)∂j∂k
• (gjk
0 ) = diag(1, −1, . . . , −1)
• rjk
(t, x) := gjk
(t, x) − gjk
0 (t, x),
n
X
j,k=0
|rjk
(t, x)| ≤
1
2
((t, x) ∈ [0, T] × Rn
)
Theorem 5
n ≥ 1, T 0 とし，係数 gjk
は上の仮定をみたすとする．関数 u = u(t, x) は，
u ∈ C2
([0, T] × Rn
) かつ，ある R 0 が存在して
supp u ⊂ [0, T] × {x ∈ Rn
; |x| R} であるとする．このとき，
∥u′
(t, ·)∥L2(Rn) ≤ 2
∥u′
(0, ·)∥L2(Rn) +
Z t
0
∥Lu(s, ·)∥L2(Rn) ds
× exp


Z t
0
2
n
X
i,j,k=0
∥∂igjk
(s, ·)∥L∞(Rn) ds

 (t ∈ [0, T]).
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23. 証明
e0(u), ej(u) (j = 1, . . . , n) を以下で定義する：
e0(u) := g00
|∂0u|2
−
n
X
j,k=1
gjk
∂ju∂ku
= |u′
|2
+ r00
|∂0u|2
−
n
X
j,k=1
rjk
∂ju∂ku,
ej(u) := 2
n
X
k=0
gjk
∂0u∂ku (j = 1, . . . , n).
また，
R0 := (∂0g00
)|∂0u|2
−
n
X
j,k=1
(∂0gjk
)∂ju∂ku,
Rj := 2
n
X
k=1
(∂jgjk
)∂0u∂ku (j = 1, . . . , n)
とおく．
奏理音ムイ（Vtuber） 23 / 32

24. このとき，次が成立する．
(2) 2∂0uLu =
n
X
j=0
∂jej(u) −
n
X
j=0
Rj.
(∵) 左辺は
2∂0uLu = 2∂0u
n
X
j,k=0
gjk
∂j∂ku.
右辺第 1 項は，gjk
= gkj
を用いると
∂0e0(u) = 2g00
∂0u∂2
0 u − 2
n
X
j,k=1
gjk
∂ju∂0∂ku + R0,
∂jej(u) = 2
n
X
k=0
gjk
(∂j∂0u∂ku + ∂0u∂j∂ku) + Rj (j = 1, . . . , n)
となる．これらの和を計算すると式 (2) が成立することがわかる．
奏理音ムイ（Vtuber） 24 / 32

25. また，e0(u) について次が成立する．
(3)
1
2
|u′
|2
≤ e0(u) ≤ 2|u′
|2
(∵) e0(u) = |u′
|2
+ r00
|∂0u|2
−
n
X
j,k=1
rjk
∂ju∂ku だった．ここで
r00
|∂0u|2
≤
1
2
|∂0u|2
,
n
X
j,k=1
rjk
∂ju∂ku ≤
n
X
j,k=1
|rjk
|
n
X
l=1
|∂lu|2
≤
1
2
n
X
l=1
|∂lu|2
.
よって，
e0(u) ≥ |u′
|2
−
1
2
|∂0u|2
−
1
2
n
X
l=1
|∂ju|2
≥
1
2
|u′
|2
,
e0(u) ≤ |u′
|2
+
1
2
|∂0u|2
+
1
2
n
X
l=1
|∂ju|2
≤ 2|u′
|2
.
奏理音ムイ（Vtuber） 25 / 32

26. さらに，R :=
n
X
j=0
Rj について次が成立する．
(4) |R| ≤ 4e0(u)
n
X
i,j,k=0
|∂igjk
|.
(∵)
|R| ≤ |∂0g00
||∂0u|2
+
n
X
j,k=1
|∂0gjk
||∂ju∂ku| + 2
n
X
j,k=1
|∂jgjk
||∂0u∂ku|
≤ |∂0g00
||∂0u|2
+
n
X
j,k=1
|∂0gjk
|
n
X
l=1
|∂lu|2
+
n
X
j,k=1
|∂jgjk
|(|∂0u|2
+ |∂ku|2
)
≤ 2|u′
|2
n
X
i,j,k=0
|∂igjk
|
≤ 4e0(u)
n
X
i,j,k=0
|∂igjk
|.
奏理音ムイ（Vtuber） 26 / 32

27. 以上の準備のもと，
E(t) :=
Z
Rn
e0(u)(t, x) dx
を評価しよう．
∂0E(t) =
Z
Rn
∂0e0(u) dx
=
Z
Rn
n
X
j=0
∂jej(u) dx
（∵ u は空間遠方で 0）
式 (2)
=
Z
Rn
2∂0uLu dx +
Z
Rn
R dx
≤ 2∥Lu(t)∥L2(Rn)∥∂0u(t)∥L2(Rn) + ∥R∥L1(Rn)
式 (3),(4)
≤ 2
√
2∥Lu(t)∥L2(Rn)E(t)
1
2 + 4


n
X
i,j,k=0
∥∂igjk
(t)∥L∞(Rn)

 E(t).
奏理音ムイ（Vtuber） 27 / 32

28. よって，（E(t) 0 である限りは）
∂0
E(t)
1
2
=
1
2
E(t)− 1
2 ∂0E(t)
≤
√
2∥Lu(t)∥L2(Rn) + 2


n
X
i,j,k=0
∥∂igjk
(t)∥L∞(Rn)

 E(t)
1
2 .
したがって，
∂0

E(t)
1
2 exp

−2
Z t
0
n
X
i,j,k=0
∥∂igjk
(s)∥L∞(Rn) ds




≤
√
2∥Lu(t)∥L2(Rn) exp

−2
Z t
0
n
X
i,j,k=0
∥∂igjk
(s)∥L∞(Rn) ds


≤
√
2∥Lu(t)∥L2(Rn).
奏理音ムイ（Vtuber） 28 / 32

29. よって，（もしすべての s ∈ [0, t] で E(s) 0 なら）
上式を [0, t] で積分して，
E(t)
1
2 ≤
E(0)
1
2 +
√
2
Z t
0
∥Lu(s)∥L2(Rn) ds
× exp


Z t
0
2
n
X
i,j,k=0
∥∂igjk
(s)∥L∞(Rn) ds

 .
最後に式 (3) を使えば
∥u′
(t)∥L2(Rn) ≤ 2
∥u′
(0)∥L2(Rn) +
Z t
0
∥Lu(s)∥L2(Rn) ds
× exp


Z t
0
2
n
X
i,j,k=0
∥∂igjk
(s)∥L∞(Rn) ds

 .
※ [0, T] のどこかで E(t) = 0 となる場合の議論については Theorem 3（前回）
と同じ．
奏理音ムイ（Vtuber） 29 / 32

30. 記号表
• t ∈ R：時間変数
• x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Rn
：空間変数
• ∂0 = ∂t, ∂j = ∂xj (j = 1, . . . , n)
• u′
= ∇u = (∂0u, ∂1u, . . . , ∂nu)
• □ = ∂2
t − ∆：d’ALembertian
• g0 = (gjk
0 )j,k=0,...,n = diag(1, −1, . . . , −1)
• gjk
, bj
, a ∈ C2
(R × Rn
)：実数値，gjk
= gkj
(j, k = 0, . . . , n)
• u = u(t, x)：未知関数
• F(t, x)：外力（given）
，実数値
• u0(x), u1(x)：初期値（given）
，実数値
奏理音ムイ（Vtuber） 30 / 32

31. 記号表
微分作用素
L =
n
X
j,k=0
gjk
(t, x)∂j∂k +
n
X
j=0
bj
(t, x)∂j + a(t, x)
に対して，
• L0 =
n
X
j,k=0
gjk
(t, x)∂j∂k：主要部
• p0(t, x, ξ0, ξ′
) =
n
X
j,k=0
gjk
(t, x)ξjξk (ξ0 ∈ R, ξ′
= (ξ1, . . . , ξn) ∈ Rn
)：特性
多項式
• λ±
(t, x, ξ′
)：特性根
• L∗
ψ =
n
X
j,k=0
∂j∂k(gjk
ψ) −
n
X
j=0
∂j(bj
ψ) + aψ：L の共役作用素
奏理音ムイ（Vtuber） 31 / 32

32. 記号表
s ∈ N ∪ {0} に対し，
Hs
(Rn
) :=
f ∈ L2
(Rn
); ∀α ∈ (N ∪ {0})n
(|α| ≤ s), ∂α
x f ∈ L2
(Rn
) .
ただし，微分は超関数の意味の微分とする．この空間を Sobolev 空間とよぶ．特
に H0
(Rn
) = L2
(Rn
) である．また，負の整数 s に対して，
Hs
(Rn
) := (H−s
(Rn
))′
と定める ‡
．
また，区間 I ⊂ R, Banach 空間 X に対し，
C(I; X) := {u : I → X;
（X の位相について）連続 },
C1
(I; X) := {u : I → X;
（X の位相について）C1
級 },
L1
(I; X) := {u : I → X; Bochner 可積分 }.
‡Fourier 変換を用いてすべての s ∈ R に対して Sobolev 空間 Hs(Rn) を定義することができる．
奏理音ムイ（Vtuber） 32 / 32