Закономерности в таблице квадратов

1. Государственное учреждение «Средняя общеобразовательная
школа имени Махмета Кайырбаева»
Актогайского района Павлодарской области
Закономерности в таблице квадратов
(математика)
Исполнитель: Зайва Даниил
Ученик 10 класса СОШ им.М.Кайырбаева
Павлодарской обл. Актогайского района
Руководитель: Щепко Г.В.- учитель
математики СОШ им.М.Кайырбаева
Актогай 2017 год.

2. Оглавление
Аннотация……………………………………………………………….2стр.
Введение………………………………………………………………. .3стр.
1.Основнаячасть....................................................................................4стр.
1.1. Из истории таблицы квадратов…………………………………4стр.
1.2. Первая закономерность………………………………………… 4стр.
1.3. Втораязакономерность…………………………………………6стр.
1.4. Третья закономерность..................................................................7стр.
2. Заключениеи выводы…………………………………………….. 10 стр.
3. Список используемой литературы................................................10стр.

3. Аннотация
В девятом классе на уроке алгебры, мы находили закономерностив
последовательностичисел. Однойиз последовательностей была:1; 4; 9; 16;
25; 36. Я сразуне заметил, что это квадраты натуральных чисел и начал
искать закономерность в ее составлении. Я заметил что с каждым разом
разность междупоследовательнымиквадратами увеличивалась на 2, т.е.: 4-
1=3; 9-4=5; 16-7=9; 25-16=9; 36-25=11.Когда я рассказалэто учителю, она
сказала, что есть такая закономерность, но необходимо проверитьне
прерывается ли она. Я решил это проверить это с помощью таблицы
квадратов (от 1 до 100), которая была напечатана в начале учебника. И на
удивление, эта закономерность выполнялась напротяжении всей таблицы.
После я нашёл ещё несколько закономерностей, о которыхя расскажу вам
позже.
А как можно использовать эти закономерности?Можно ли вывести каким-то
образом формулы из этих закономерностей?И можно ли использовать их в
дальнейшем?
Ответы на эти вопросы можно найтина страницах этой работы.
Входе работы я не только расширил своизнания по даннойтеме, но и
научился вычислять квадраты не способом умножения чиселсамих на себя, а
с помощьюсвоихформул (почему я называю их своими, потомучто я искал
подобноев интернете и не чего не нашёл)
Эта работа адресованатем, кто интересуется математикой и хочет узнать о
ней больше, чем рассказано на уроках и написано в книгах. Эти
закономерностипомогутвам находить квадраты чисел другимиспособами,
возможно болееудобными.

4. Введение
Математика довольно сложный, но интересный предмет. Она требует
усидчивостиинастойчивости, есливы решили изучать ее не поверхностно.
Математика – нужна в многих профессияхи в повседневнойжизни. На
уроках мы довольно часто возводим числав квадраты, что бы найти
площадь квадрата, решить уравнение, построить параболуи многоедругое.
Цель работы: вывестиформулы нахождения квадратов натуральных чисел и
научиться их использовать.
В ходе работы я использовалтаблицу квадратов(от1 до 100) и после
нахождения закономерностей, всёвнимательно было проверено с помощью
калькулятора на больших числах. И в проекте будет использованобольшое
количество таблиц.
Методы, использованныеприразработкеданного пректа:
поисковыйметод (использованиесправочнойиучебной литературы, а также
информационныхресурсов глобальнойсетиИнтернет);
исследовательскийметод (выявление новыхзакономерностейтаблицы
квадратов и созданиеформул);
практический метод (проверка формул и закономерностей).
Новизна проекта проявляется в организациисамостоятельногопоиска
нужной информации, проведении учебного исследования по теме проекта и в
представлении аналитических выводов своихисследований.

5. 1. Основная часть
1.1. Из истории таблицы квадратов
В древней Греции жил одинучённый. Он был известенна всю Грецию, а в
наше время и на весь Мир. Его имя – Пифагор(570 – 490 гг. до н.э.).У него
была целая школа, и всех его учеников называли пифагорейцами. Они
придумали, что каждое число можно представить в виде фигур. Например,
числа 4, 9, 16 они представлялив виде квадратов. Тогдаи появились первые
квадраты чисел. Кто в дальнейшем продолжилтруд пифагорейцев и смог
сделать таблицу с этими числами, не известно.
Пифагор по мимо математики занимался философией, этикой, музыкальной
гармонией, политикой. Он дал толчокразвитию таблицы квадратов и
придумал своюформулу для прямоугольныхтреугольников.
1.2. Первая закономерность
Если взять первые числа из таблицы квадратов: 1; 4; 9; 16; 25; 36
то можно заметить закономерность: 4-1=3 9-4=5 16-9=7 25-16=9 36-25=11
Разность между квадратами увеличивается на 2 (Я проверилэту
закономерность на таблице 1-1000) .
Таким образом можно получить цепочку квадратов натуральных чисел, на
возводя числав квадрат, а получая рекуррентным способом.
Что бы пользоваться этойзакономерностью нужно знать квадраты десятков.
(10^2) 100+21=121+23=144+25=169…

6. (20^2) 400+41=441+43=484+45=529…
(30^2) 900+61=961+63=1024+65=1089…
(40^2) 1600+81=1681+83=1764+85=1849…
(50^2) 2500+101=2601+103=2704+105=2809…
(60^2) 3600+121=3721+123=3844+125=3969…
(70^2) 4900+141=5041+143=5184+145=5329…
(80^2) 6400+161=6561+163=6724+165=6889…
(90^2) 8100+181=8281+183=8464…9604+197=9801+199=10000
Что бы понять с какого числа нужно прибавлять нужна формула Аk=20k+1
А-число котороенужно прибавлять к квадратному десятку и прибавлять по
этой закономерностидля нахождения следующего квадрата.
k-номер строкиили десяток.
Пример: N8=20*8+1=161 теперь мы знаем с какого числа надо начинать
прибавлять в 8-ой строкек 6400 и дальше прибавлять по этой
закономерности .
Можно найти сразучисло, котороевам нужно прибавить к квадратному
числу, что бы получить следующее, тогдавам понадобится эта формула:
A=20k+2n+1
0 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A 7 A 8 A 9 A
1 100 21 121 23 144 25 169 27 196 29 225 31 256 33 289 35 324 37 361 39
2 400 41 441 43 484 45 529 47 576 49 625 51 676 53 729 55 784 57 841 59
3 900 61 961 63 1024 65 1089 67 1156 69 1225 71 1296 73 1369 75 1444 77 1521 79
4 1600 81 1681 83 1764 85 1849 87 1936 89 2025 91 2116 93 2209 95 2304 97 2401 99
5 2500 101 2601 103 2704 105 2809 107 2916 109 3025 111 3136 113 3249 115 3364 117 3481 119
6 3600 121 3721 123 3844 125 3969 127 4096 129 4225 131 4356 133 4489 135 4624 137 4761 139
7 4900 141 5041 143 5184 145 5329 147 5476 149 5625 151 5776 153 5929 155 6084 157 6241 159
8 6400 161 6561 163 6724 165 6889 167 7056 169 7225 171 7396 173 7569 175 7744 177 7921 179
9 8100 181 8281 183 8464 185 8649 187 8836 189 9025 191 9216 193 9409 195 9604 197 9801 199

7. А – число. Котороенужно прибавить к квадрату для получения следующего
числа (или разность двух соседнихквадратов).
k - номер строкиили десяток.
n – номер столбца или единицы.
Пример: возьмём 15^2=225 и найдём следующий квадрат.A=20*1+2*5+1=31
Проверяем: 31+225=256=16^2
1.3. Втораязакономерность.
Q
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 100 121 144 169 196 225 256 289 324 361
Разность
300 320 340 360 380 400 420 440 460 480
2 400 441 484 529 576 625 676 729 784 849
Разность
500 520 540 560 580 600 620 640 660 680
3 900 961 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 1521
Разность
700 720 740 760 780 800 820 840 860 880
4 1600 1681 1764 1849 1936 2025 2116 2209 2304 2401
Разность
900 920 940 960 980 1000 1020 1040 1060 1080
5 2500 2601 2704 2809 2916 3025 3136 3249 3364 3481
Разность
1100 1120 1140 1160 1180 1200 1220 1240 1260 1280
6 3600 3721 3844 3969 4096 4225 4356 4489 4624 4761
Разность
1300 1320 1340 1360 1380 1400 1420 1440 1460 1480
7 4900 5041 5184 5329 5476 5625 5776 5929 6084 6241
Разность
1500 1520 1540 1560 1580 1600 1620 1640 1660 1680
8 6400 6561 6724 6889 7056 7225 7396 7569 7744 7921
Разность
1700 1720 1740 1760 1780 1800 1820 1840 1860 1880
9 8100 8281 8464 8649 8836 9025 9216 9409 9604 9801
f
+0 +20 +40 +60 +80 +100 +120 +140 +160 +180
Я хочу доказать эту закономерность формулой:Mn=300+20n+200(Q-1)
n-номер столбца или единицы.
Q-строкаразности.
M-это разность большего и меньшего квадрата в столбце.
Пример:M4=300+20*4+200(4-1)=980
Проверяем:54^2-44^2=2916-1936=980
Доказано, дальше можно прибавлять по этой же формуле или к примеру
прибавить к Q из 0-ого столбцаи f из любого столбцаи тем самым

8. получить следующий квадрат ( к сведенью что бы найти f нужна формула
f=20n,а это значит, что формулу которая с верху ,можно просто заменить
20n на fn) .
Пример:60^2-50^2=3600-2500=1100(эта разность V или Q5 0-ого
столбца), после к Q5 0-ого столбца прибавим f5 и получим
1100+20*5=1200 Проверяем: 65^2-55^2=4225-3025=1200 Доказано
1.4. Третья закономерность.
Как и предыдущие закономерностиона служит для другого метода
нахождения квадрата натурального числа.
Что бы пользоваться этой закономерностью нужно знать вторую.
Если взять квадраты столбцов с одинаковымицифрамина концах, то можно
заметить ещё одну закономерность.
1 Разность
T
9
1 121 240 361
2 441 400 841
3 961 560 1521
4 1681 720 2401
5 2601 880 3481
6 3721 1040 4761
7 5041 1200 6241
8 6561 1360 7921
9 8281 1520 9801
f +20 +160 +180
2 Разность
T
8
1 144 180 324
2 484 300 784
3 1024 420 1444
4 1764 540 2304
5 2704 660 3364
6 3844 780 4624
7 5329 900 6084
8 6889 1020 7744
9 8649 1140 9604
F +40 +120 +160
4 Разность
T
6
1 196 60 256
2 576 100 676
3 1156 140 1296
4 1936 180 2116
5 2916 220 3136
6 4096 260 4356
7 5476 300 5776
8 7056 340 7396
9 8836 380 9216
F +80 +40 +120
3 Разность
T
7
1 169 120 289
2 529 200 729
3 1089 280 1369
4 1849 360 2209
5 2809 440 3249
6 3969 520 4489
7 5329 600 5929
8 6889 680 7569
9 8649 760 9409
f +60 +80 +140

9. Можно заметить, что закономерность работает, но как и в любом правиле
есть исключения.
Данное исключение – это столбцы 0-ой с 5-ым.
Можно заметить, что у квадратов этих столбцов цифры на концах не схожи,
но закономерность работает.
Учитывая, что у 5-ого столбца нет пары ( по конечным цифрам), то можно
взять его пару в качестве 0-ого столбца. Поскольку с 0-ого столбца
начинается возрастание f и он является универсальным к другим столбцам,
то я и беру его, как пару к 5-ому столбцу.
Я хочу доказать эту закономерность формулой:Zk=D+T(k-1)
D-это разность первыхквадратов из сталбцов, т.е. квадрат большего столбцо
отнять квадрат меньшего столбца, если представить это формулой,то это
будет выгледеть так: D=nб-nм
Т=fб-fм
f-это число обозначаетна сколько больше разность междуквадратами
столбца по отношению к 0-ому столбцу.
Z-разность квадратов в той или иной строке.
Пример: возьмём 1-ый и 9–ый столбец и найдём разность квадратов во 2-ой
строке.Z(2)=(361-121)+(180-20)(2-1)=240+160*1=400
0 Разность
T
5
1 100 125 225
2 400 225 625
3 900 325 1225
4 1600 425 2025
5 2500 525 3025
6 3600 625 4225
7 4900 725 5625
8 6400 825 7225
9 8100 925 9025
F +0 +100 +100

10. Проверяем:29^2-21^2=841-441=400 Доказано, т.е. если прибавлять каждый
раз к разностипо Т , а после прибавлять к квадрату из nм , то мы будем
получать квадраты из nб, так же можно проделать это решение и наоборот
просто на простанайти nм через nб.
Пример: найдём следующий квадрат с этими же столбцамизная 31^2=961
прибавив к 400 ещё Т=160 Получим 560 и после получим
961+560=1521=39^2
2. Заключениеи выводы.
С помощьюопределил закономерностиивывел формулы, с помощью,
которыхможно находить квадраты чисел другим способом.Этиформулы
работают в гораздо большихтаблицах. Но что мы конкретно получили из
этого проекта?
1) Возможность находить квадратныечисла не способом умножения
числа само на себя, а с помощью формул.
2) Доказательство эти формулы.
3) Применять их на уроках математике или на определённойработе,
которая требует эти знания.
3. Рекомендации.
Эти закономерностииформулы к ним можно использовать,тем ученикам , у
которыхначинаются большие квадратные числа. Почему я всё время
употреблял фразу “рациональным способом”?Потому что эти формулы
действительно рациональней обычного. Ведь многим людям тяжело
умножать такие числасамих на себя:74^2, 86^2, 67^2. А с помощью этих
способов, ученикипомогутими быстреевозвестичисла в квадрат. Я считаю,
что эти закономерности иформулы к ним можно внести даже в учебную
программуи уделить им 3-4 урока, максимум 5 уроков. Если даже не в
учебную программу, то добавить в кружок, дополнительный, факультатив и
уделить ему столько же времени.
4. Список используемой литературы:
1.Таблица квадратов
2. Интернет - ресурс: http://ru.wikiped