امروزه در علوم مهندسی و بخصوص مهندسی صنایع و رایانه، علم آمار کاربرد زیادی پیدا کرده است به طوری که هیچ طرح تحقیقاتی بدون استفاده از فنون آماری انجام نمی‌گیرد. آگاهی از روش‌های آماری در انجام امور کنترل کیفیت تولید نقش مهمی دارد. بنابراین آموزش آمار برای رشته های غیرآماری ضرورت پیدا کرده است. سرفصل هایی که در این آموزش به آن پرداخته شده است: درس اول: آمار توصیفی درس دوم: احتمال درس سوم: توزیع‌های احتمال درس چهارم: متغیر تصادفی پیوسته درس پنجم: نمونه گیری و توزیع های نمونه ای ... برای توضیحات بیشتر و تهیه این آموزش لطفا به لینک زیر مراجعه بفرمائید: http://faradars.org/courses/fvst9405

1. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫مهندسی‬ ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬
‫مدرس‬:
‫بد‬ ‫ری‬ ‫آرمان‬
‫آمار‬ ‫دکتری‬ ‫دانشجوی‬
‫بیرجند‬ ‫دانشگاه‬
1
‫فرض‬ ‫آزمون‬
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

2. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫هفتم‬ ‫فصل‬-‫آزمون‬‫فرض‬
•‫ای‬‫فاصله‬ ‫برآورد‬
–‫تعیین‬‫برآورد‬‫برای‬‫پارامتر‬‫جامعه‬‫براساس‬‫تابع‬‫محوری‬(‫تابعی‬‫از‬‫آماره‬‫و‬‫پارامتر‬‫که‬‫توزیع‬‫آن‬‫به‬‫پارامتر‬‫بستگی‬‫ندارد‬.)‫و‬‫میزان‬
‫اطمینان‬
•‫فرض‬ ‫آزمون‬
–‫مشخص‬ ‫خطای‬ ‫سطح‬ ‫در‬ ‫آزمون‬ ‫آماره‬ ‫توزیع‬ ‫و‬ ‫آزمون‬ ‫آماره‬ ‫براساس‬ ،‫جامعه‬ ‫پارامتر‬ ‫مورد‬ ‫در‬ ‫آزمون‬
2
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

3. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫آزمون‬‫فرض‬
•‫است‬ ‫جامعه‬ ‫شکل‬ ‫و‬ ‫توزیع‬ ‫حتی‬ ‫یا‬ ‫جامعه‬ ‫پارامترها‬ ‫یا‬ ‫پارامتر‬ ‫مورد‬ ‫در‬ ‫حدسی‬ ،‫آماری‬ ‫فرض‬.
•‫آماری‬ ‫های‬‫فرض‬ ‫مورد‬ ‫در‬ ‫استنباط‬ ‫انجام‬ ،‫آماری‬ ‫فرض‬ ‫آزمون‬
•‫آزمون‬‫فرض‬‫آماری‬:‫دو‬‫فرضیه‬‫با‬‫دو‬‫توصیف‬‫مختلفی‬‫از‬‫خصوصیت‬‫جامعه‬
•‫عدم‬‫وجود‬‫اشتراك‬‫بین‬‫دو‬‫فرضیه‬
–‫صفر‬ ‫فرض‬Null Hypothesis H0
‫جامعه‬ ‫پارامتر‬ ‫برای‬ ‫اولیه‬ ‫حدس‬(‫است‬ ‫فرض‬ ‫این‬ ‫کردن‬ ‫رد‬ ،‫تحقیق‬ ‫انجام‬ ‫از‬ ‫محقق‬ ‫هدف‬).
–‫مقابل‬ ‫فرض‬Alternative Hypothesis H1
‫جامعه‬ ‫پارامتر‬ ‫برای‬ ‫محقق‬ ‫حدس‬(‫است‬ ‫مقابل‬ ‫فرض‬ ‫کمک‬ ‫به‬ ‫جامعه‬ ‫پارامتر‬ ‫در‬ ‫تغییر‬ ‫دادن‬ ‫نشان‬ ،‫تحقیق‬ ‫انجام‬ ‫از‬ ‫محقق‬ ‫هدف‬)
3
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

4. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫فرض‬ ‫آزمون‬
•‫ای‬‫نمونه‬‫از‬‫های‬‫آزمون‬‫فرض‬:
–‫آیا‬‫متوسط‬‫قد‬‫دانشجویان‬‫برابر‬167‫متر‬‫سانتی‬‫است؟‬‫در‬‫مقابل‬‫که‬‫آن‬‫میانگین‬‫قد‬‫برابر‬‫با‬167
‫متر‬‫سانتی‬‫نیست‬!
–‫آیا‬‫انحراف‬‫از‬‫معیار‬‫قد‬‫دانشجویان‬‫برابر‬30‫متر‬‫سانتی‬‫است؟‬‫در‬‫مقابل‬‫آن‬‫که‬‫انحراف‬‫معیار‬‫قد‬
‫دانشجویان‬‫برابر‬‫با‬30‫متر‬‫سانتی‬‫نیست‬!
–‫ایا‬‫متوسط‬‫قد‬‫دانشجویان‬‫دختر‬‫و‬‫پسر‬‫با‬‫یکدیگر‬‫برابر‬‫است؟‬‫در‬‫مقابل‬‫آن‬‫که‬‫متوسط‬‫قد‬
‫دانشجویان‬‫دختر‬‫و‬‫پسر‬‫با‬‫یکدیگر‬‫تفاوت‬‫داری‬‫معنی‬‫دارد؟‬
4
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

5. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫فرض‬ ‫آزمون‬
•‫کنید‬ ‫توجه‬ ‫زیر‬ ‫مثال‬ ‫به‬:
–‫مسئول‬‫بخش‬‫کنترل‬‫کیفیت‬‫یک‬‫کارخانه‬‫تولید‬‫های‬‫لوله‬،‫آب‬‫باید‬‫مطئمن‬‫شود‬‫که‬‫قطر‬‫هر‬‫لوله‬‫برابر‬
5‫متر‬‫سانتی‬‫است‬.‫او‬‫یک‬‫نمونه‬‫از‬‫از‬‫ها‬‫لوله‬‫انتخاب‬‫کرده‬‫و‬‫قطر‬‫ها‬‫آن‬‫را‬‫اندازه‬‫گیری‬‫کرده‬‫است‬.‫ب‬‫رای‬
‫آزمون‬‫برابر‬‫بودن‬‫قطر‬‫های‬‫لوله‬‫تولید‬‫شده‬‫از‬‫یک‬‫آزمون‬‫آماری‬‫براساس‬‫نمونه‬‫انتخابی‬‫فرضیه‬‫های‬‫زیر‬
‫را‬‫سازد‬‫می‬.
–‫صفر‬ ‫فرض‬-Null Hypothesis: H0
–‫اع‬ ‫استاندارد‬ ‫مقدار‬ ‫برابر‬ ‫ها‬‫لوله‬ ‫قطر‬ ‫میانگین‬ ‫مقدار‬ ‫که‬ ‫شود‬‫می‬ ‫ایجاد‬ ‫اساس‬ ‫این‬ ‫بر‬ ‫اولیه‬ ‫فرض‬‫شده‬ ‫الم‬
‫همان‬ ‫یعنی‬5‫است‬ ‫متر‬‫سانتی‬.
– H0: m = 5
5
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

6. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫فرض‬ ‫آزمون‬
–‫مقابل‬ ‫فرض‬Alternative Hypothesis: H1 or HA
–‫مقابل‬ ‫فرض‬ ‫مختلف‬ ‫حاالت‬
‫تصور‬‫مقابل‬ ‫فرض‬
‫ميانگين‬‫جمعيت‬‫كمتر‬‫از‬‫مقدار‬‫حدسي‬‫است‬.m < 5
‫ميانگين‬‫جمعيت‬‫بيشتر‬‫از‬‫مقدار‬‫حدسي‬‫است‬.m > 5
‫ميانگين‬‫جمعيت‬‫مخالف‬‫مقدار‬‫حدسي‬‫است‬(‫جهت‬‫مهم‬‫نيس‬‫ت‬)m ≠ 5
6
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

7. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫فرض‬ ‫آزمون‬
•‫ها‬‫آزمون‬ ‫انواع‬:
–‫دامنه‬ ‫یک‬ ‫آزمون‬:‫طرفه‬ ‫یک‬ ‫صورت‬ ‫به‬ ‫مقابل‬ ‫فرض‬(<‫یا‬<)‫باشد‬.
–‫دامنه‬ ‫دو‬ ‫آزمون‬:‫دو‬ ‫صورت‬ ‫به‬ ‫مقابل‬ ‫فرض‬‫طرفه‬(≠)‫باشد‬.
• H0: m = 5
• H1: m ≠5
• H0: m =5
• H1: m < 5
• H0: m =5
• H1: m >5
‫آزمون‬‫دامنه‬ ‫دو‬
‫دامنه‬ ‫یک‬ ‫آزمون‬
‫دامنه‬ ‫یک‬ ‫آزمون‬
7
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

8. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫فرض‬ ‫آزمون‬
•‫ها‬‫فرض‬ ‫انواع‬:
–‫ساده‬:‫باشد‬ ‫مشخص‬ ‫کامال‬ ‫فرض‬ ‫توسط‬ ‫آماری‬ ‫جامعه‬ ‫توزیع‬.
–‫مرکب‬:‫نباشد‬‫مشخص‬ ‫فرض‬ ‫توسط‬ ‫آماری‬ ‫جامعه‬ ‫توزیع‬.
• m = 5 ‫ساده‬ ‫فرض‬:
• m ≠5 ‫مرکب‬ ‫فرض‬:
• m < 5 ‫مرکب‬ ‫فرض‬:
• m < 5 ‫مرکب‬ ‫فرض‬:
8
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

9. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫خطا‬ ‫انواع‬
–‫اول‬ ‫نوع‬ ‫خطای‬
•‫فرض‬ ‫رد‬H0‫که‬ ‫صورتی‬ ‫در‬H0‫است‬ ‫درست‬.
–‫دوم‬ ‫نوع‬ ‫خطای‬
•‫فرض‬ ‫رد‬H1‫که‬ ‫صورتی‬ ‫در‬H1‫است‬ ‫درست‬.
(‫فرض‬ ‫قبول‬H0‫که‬ ‫صورتی‬ ‫در‬H1‫است‬ ‫درست‬).
9
‫واقعیت‬/
‫نتیجه‬‫آزمون‬
‫بودن‬ ‫صحیح‬
‫صفر‬ ‫فرض‬
‫بودن‬ ‫ناصحیح‬
‫صفر‬ ‫فرض‬
‫فرض‬ ‫رد‬ ‫عدم‬
‫صفر‬
‫بدون‬‫خطا‬‫دوم‬ ‫نوع‬ ‫خطای‬
‫صفر‬ ‫فرض‬ ‫رد‬‫اول‬ ‫نوع‬ ‫خطای‬‫خطا‬ ‫بدون‬
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

10. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫خطا‬ ‫انواع‬
–‫اول‬ ‫نوع‬ ‫خطای‬ ‫احتمال‬
=P(‫صفر‬ ‫فرض‬ ‫است|رد‬ ‫صحیح‬ ‫صفر‬ ‫فرض‬ )
–‫دوم‬ ‫نوع‬ ‫خطای‬ ‫احتمال‬
=P(‫مقابل‬ ‫فرض‬ ‫است|رد‬ ‫صحیح‬ ‫مقابل‬ ‫فرض‬ )
–‫آزمون‬ ‫توان‬
1- = P(‫مقابل‬ ‫فرض‬ ‫رد‬ ‫است|عدم‬ ‫صحیح‬ ‫مقابل‬ ‫فرض‬ )
10
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

11. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫بحرانی‬ ‫ناحیه‬
•‫صفر‬ ‫فرض‬ ‫رد‬ ‫عدم‬ ‫یا‬ ‫رد‬ ‫برای‬ ‫مالکی‬.
•‫دوم‬ ‫و‬ ‫اول‬ ‫نوع‬ ‫خطای‬ ‫کردن‬ ‫حداقل‬ ‫برای‬ ‫مناسب‬ ‫مالك‬ ‫انتخاب‬
•‫شود‬‫می‬ ‫تعیین‬ ‫بحرانی‬ ‫ناحیه‬ ،‫اول‬ ‫نوع‬ ‫خطای‬ ‫مقدار‬ ‫براساس‬.
•‫نمایش‬‫ناحیه‬‫بحرانی‬C={X1,X2,…,Xn| (x)> c}‫یا‬C={X1,X2,…,Xn|(x)< c}‫که‬(X)‫آماره‬‫آزمون‬‫که‬
‫تابعی‬‫از‬‫نمونه‬‫تصادفی‬‫است‬.
11
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

12. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫بحرانی‬ ‫ناحیه‬
•‫مسئله‬:‫برای‬‫یک‬‫نمونه‬‫تصادفی‬25‫تایی‬‫از‬‫توزیع‬‫نرمال‬‫با‬‫میانگین‬‫نامعلوم‬‫و‬‫واریانس‬4،‫مقدار‬‫احتمال‬‫خطای‬‫اول‬‫و‬‫دوم‬‫را‬‫با‬
‫توجه‬‫به‬‫آزمون‬‫و‬‫ناحیه‬‫بحرانی‬‫زیر‬‫تعیین‬‫کنید‬.
12







1
0
1
0
m
m
:H
:H }.X|X,...,X,X{(C n 5021 
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

13. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫بحرانی‬ ‫ناحیه‬
•‫مسئله‬:‫برای‬‫یک‬‫نمونه‬25‫تایی‬‫تصادفی‬‫از‬‫توزیع‬‫نرمال‬‫با‬‫میانگین‬‫نامعلوم‬‫و‬‫واریانس‬4‫مقدار‬‫به‬‫ازاء‬‫چه‬‫مقداری‬‫از‬c‫احتمال‬
‫خطای‬‫نوع‬‫اول‬‫برابر‬‫با‬0.1‫خواهد‬‫شد‬.
13







1
0
1
0
m
m
:H
:H }cX|X,...,X,X{(C n  21
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

14. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫فرض‬ ‫آزمون‬ ‫انجام‬ ‫مراحل‬
•‫مقابل‬ ‫فرض‬ ‫و‬ ‫صفر‬ ‫فرض‬ ‫تعیین‬(‫طرفه‬ ‫دو‬ ‫یا‬ ‫طرفه‬ ‫یک‬ ‫آزمون‬ ‫نوع‬)
•‫اول‬ ‫نوع‬ ‫خطای‬ ‫میزان‬ ‫تعیین‬(‫داری‬‫معنی‬ ‫سطح‬)
•‫آزمون‬ ‫آماره‬ ‫انتخاب‬(‫شده‬ ‫گرفته‬ ‫نمونه‬ ‫به‬ ‫وابسته‬ ‫و‬ ‫پارامتر‬ ‫ای‬‫نقطه‬ ‫برآوردگر‬ ‫براساس‬)
•‫بحرانی‬ ‫ناحیه‬ ‫تعیین‬(‫آزمون‬ ‫نوع‬ ‫به‬ ‫توجه‬ ‫با‬–‫آن‬ ‫توزیع‬ ‫و‬ ‫آزمون‬ ‫وآماره‬ ‫اول‬ ‫نوع‬ ‫خطای‬ ‫میزان‬ ،‫مقابل‬ ‫فرض‬)
•‫شده‬ ‫گرفته‬ ‫نمونه‬ ‫براساس‬ ‫آزمون‬ ‫آماره‬ ‫مقدار‬ ‫محاسبه‬.
•‫بحرانی‬ ‫ناحیه‬ ‫با‬ ‫آزمون‬ ‫آماره‬ ‫مقدار‬ ‫مقایسه‬(‫شود‬‫می‬ ‫رد‬ ‫صفر‬ ‫فرض‬ ‫بحرانی‬ ‫ناحیه‬ ‫در‬ ‫آزمون‬ ‫آماره‬ ‫مقدار‬ ‫قرارگیری‬ ‫درصورت‬‫در‬
‫ندارد‬ ‫وجود‬ ‫صفر‬ ‫فرض‬ ‫رد‬ ‫برای‬ ‫دلیلی‬ ‫غیراینصورت‬-‫شود‬‫می‬ ‫تایید‬ ‫صفر‬ ‫فرض‬).
14
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

15. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫فرض‬ ‫آزمون‬ ‫انجام‬ ‫مراحل‬
‫مثال‬:‫طول‬‫درمان‬‫یک‬‫بیماری‬‫به‬‫روش‬‫معمول‬‫دارای‬‫میانگین‬15‫و‬‫انحراف‬‫معیار‬3‫روز‬‫است‬.‫داروی‬‫جدیدی‬‫به‬‫بازار‬
‫آمده‬‫است‬‫که‬‫طول‬‫دوره‬‫درمان‬‫را‬‫کاهش‬‫دهد‬‫می‬.(‫با‬‫فرض‬‫ثابت‬‫بودن‬‫انحراف‬‫معیار‬)‫این‬‫داروی‬‫جدید‬‫روی‬70‫بیمار‬
‫آزمایش‬‫است‬‫شده‬‫و‬‫میانگین‬‫مدت‬‫درمان‬‫برابر‬‫با‬14‫روز‬‫است‬‫شده‬.‫آیا‬‫داروی‬‫معرفی‬،‫شده‬‫در‬‫کاهش‬‫طول‬‫درمان‬‫در‬
‫میزان‬‫آزمون‬0/025‫موثر‬‫است؟‬
15
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

16. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫فرض‬ ‫آزمون‬ ‫انجام‬ ‫مراحل‬
•‫اول‬ ‫گام‬-‫مقابل‬ ‫فرض‬ ‫و‬ ‫صفر‬ ‫فرض‬ ‫تعیین‬
•‫دوم‬ ‫گام‬–‫آزمون‬ ‫میزان‬ ‫تعیین‬(‫اول‬ ‫نوع‬ ‫خطای‬ ‫میزان‬)
•‫سوم‬ ‫گام‬-‫بحرانی‬ ‫ناحیه‬ ‫انتخاب‬
•‫چهارم‬ ‫گام‬-‫بحرانی‬ ‫ناحیه‬ ‫با‬ ‫مقایسه‬ ‫و‬ ‫آزمون‬ ‫آماره‬ ‫مقدار‬
•‫گیری‬ ‫نتیجه‬ ‫پنجم‬ ‫گام‬–‫بحرانی‬ ‫ناحیه‬ ‫در‬ ‫آزمون‬ ‫آماره‬ ‫قرارگیری‬=‫صفر‬ ‫فرض‬ ‫رد‬
16
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

17. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫نرمال‬ ‫جامعه‬ ‫میانگین‬ ‫به‬ ‫مربوط‬ ‫های‬‫آزمون‬
H0 H1 ‫آزمون‬ ‫آماره‬ ‫بحرانی‬ ‫ناحیه‬
mm0 ‫یا‬ m=m0
m>m0 ‫معلوم‬ Z>z1-
mm0 ‫یا‬ m=m0 m<m0 ‫معلوم‬ “ “ Z<-z1-
m=m0 mm0 ‫معلوم‬ “ “ |Z|>z1-/2
mm0 ‫یا‬ m=m0 m>m0
‫نامعلوم‬
T>t(n-1,1-)
mm0 ‫یا‬ m=m0 m<m0 ‫نامعلوم‬ “ “ T<-t(n-1,1-)
m=m0 mm0
‫نامعلوم‬ “ “ |T|>t(n-1,1-/2)
17
n
X
Z

m0

n
S
X
T 0m

‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

18. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫اطمینان‬ ‫فاصله‬ ‫و‬ ‫طرفه‬ ‫دو‬ ‫فرض‬ ‫آزمون‬ ‫بین‬ ‫رابطه‬
•‫است‬ ‫اطمینان‬ ‫فاصله‬ ‫مکمل‬ ‫طرفه‬ ‫دو‬ ‫آزمون‬ ‫برای‬ ‫بحرانی‬ ‫ناحیه‬.
•‫سطح‬ ‫در‬ ‫اطمینان‬ ‫فاصله‬ ‫یافته‬ ‫اگر‬1-‫مقدار‬ ‫شامل‬0m‫آزمون‬ ‫میزان‬ ‫با‬ ‫صفر‬ ‫فرض‬ ‫باشد‬‫شود‬‫نمی‬ ‫رد‬.
•‫اطمینان‬ ‫فاصله‬ ‫یافته‬ ‫اگر‬‫سطح‬ ‫در‬1-‫مقدار‬ ‫شامل‬0m‫آزمون‬ ‫میزان‬ ‫با‬ ‫صفر‬ ‫فرض‬ ،‫نباشد‬‫شود‬‫می‬ ‫رد‬.
18
|Z|>z1-/2|Z|<z1-/2
n
X
Z

m0

‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

19. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫نرمال‬ ‫جامعه‬ ‫میانگین‬ ‫آزمون‬
•‫مسئله‬:‫یک‬‫روانشناس‬‫خواهد‬‫می‬‫میزان‬‫عکس‬‫العمل‬‫افراد‬‫در‬‫برابر‬‫وضعیت‬‫خطر‬‫را‬‫بررسی‬‫کند‬.‫در‬‫های‬‫کتاب‬‫پزشکی‬‫متوسط‬
‫زمان‬‫عکس‬‫العمل‬‫در‬‫این‬‫وضعیت‬‫برابر‬‫با‬0.56‫ثانیه‬‫و‬‫با‬‫انحراف‬‫استاندارد‬0.082‫ذکر‬‫شده‬‫است‬.‫او‬‫نیز‬‫براساس‬‫یک‬‫نمونه‬
35‫تایی‬‫میانگین‬‫زمان‬‫را‬‫برابر‬‫با‬0.59‫بدست‬‫آورده‬‫است‬.‫آیا‬‫مطلب‬‫های‬‫کتاب‬‫پزشکی‬‫در‬‫میزان‬‫آزمون‬5‫درصد‬‫با‬‫توجه‬‫به‬
‫نمونه‬‫رد‬‫شود؟‬‫می‬
19
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

20. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫نامعلوم‬ ‫واریانس‬ ‫با‬ ‫نرمال‬ ‫جامعه‬ ‫میانگین‬ ‫آزمون‬
•‫مسئله‬:‫میزان‬‫چربی‬‫در‬‫یک‬‫نوع‬‫غذا‬‫به‬‫طور‬‫متوسط‬‫باید‬‫برابر‬‫با‬30%‫باشد‬.‫توسط‬‫یک‬‫ی‬‫نمونه‬8‫تایی‬‫های‬‫داده‬‫میانگین‬‫برابر‬‫با‬
31.38‫و‬‫انحراف‬‫استاندارد‬‫برابر‬0.756‫محاسبه‬‫شده‬‫است‬.‫آیا‬‫توان‬‫می‬‫استاندارد‬‫بودن‬‫این‬‫نوع‬‫غذا‬‫را‬‫در‬‫میزان‬‫آزمون‬‫یک‬
‫درصد‬‫تایید‬‫کرد؟‬
20
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

21. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫نرمال‬ ‫جامعه‬ ‫واریانس‬ ‫به‬ ‫مربوط‬ ‫های‬‫آزمون‬
H0 H1 ‫آزمون‬ ‫آماره‬ ‫بحرانی‬ ‫ناحیه‬
20
2 ‫یا‬ 2=0
2
2>0
2 X2>2
(n-1,1-)
20
2 ‫یا‬ 2=0
2
2<0
2 “ “ X2<2
(n-1,1-)
2=0
2 20
2 “ “
X2>2
(n-1,1-/2)
‫یا‬
X2<2
(n-1,/2)
21
2
0
2
2 1

S)n(
X


‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

22. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫نرمال‬ ‫جامعه‬ ‫واریانس‬ ‫به‬ ‫مربوط‬ ‫آزمون‬
•‫مسئله‬:‫انحراف‬‫معیار‬‫میزان‬‫مقاومت‬‫یک‬‫نوع‬‫میخ‬‫طبق‬‫ادعای‬‫تولید‬،‫کننده‬‫برابر‬‫با‬10‫نیوتن‬‫است‬.‫یک‬‫نمونه‬‫تصادفی‬10‫تایی‬
‫تهیه‬‫شده‬‫است‬‫و‬‫واریانس‬‫میزان‬‫مقاومت‬‫این‬‫ها‬‫میخ‬‫گیری‬‫اندازه‬‫و‬‫برابر‬‫با‬195‫نیوتن‬‫مربع‬‫گزارش‬‫شده‬‫است‬.‫با‬‫توجه‬‫به‬‫میزان‬
‫آزمون‬5%‫ادعای‬‫تولید‬‫کننده‬‫را‬‫بسنجید‬.
22
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

23. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫آماره‬‫مستقل‬ ‫جامعه‬ ‫دو‬ ‫میانگین‬ ‫برابری‬ ‫آزمون‬
•‫باشند‬ ‫معلوم‬ ‫جامعه‬ ‫دو‬ ‫های‬‫واریانس‬ ‫اگر‬.
•‫باشند‬ ‫برابر‬ ‫ولی‬ ‫نامعلوم‬ ‫جامعه‬ ‫دو‬ ‫واریانس‬ ‫مقدار‬.
23
2
2
2
1
2
1
21
nn
d)XX(Z



21
21
11
nn
S
d)XX(T
p 

2
)1()1(
21
2
22
2
11



nn
SnSn
Sp
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

24. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫مستقل‬ ‫جامعه‬ ‫دو‬ ‫واریانس‬‫برابری‬ ‫آزمون‬ ‫آماره‬
•‫دوم‬ ‫جامعه‬ ‫به‬ ‫اول‬ ‫جامعه‬ ‫واریانس‬ ‫نسبت‬
24
2
2
2
1
S
S
F 
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

25. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫مستقل‬ ‫نرمال‬ ‫جامعه‬ ‫دو‬ ‫میانگین‬ ‫تفاضل‬ ‫به‬ ‫مربوط‬ ‫های‬‫آزمون‬
H0 H1 ‫آزمون‬ ‫آماره‬ ‫بحرانی‬ ‫ناحیه‬
m1-m2=d ‫یا‬
m1-m2d
m1-m2>d
‫واریانس‬‫معلوم‬ ‫ها‬
Z>z1-
m1-m2=d ‫یا‬
m1-m2d
m1-m2<d “ “ “ “ Z<-z1-
m1-m2=d m1-m2d “ “ “ “ |Z|>z1-/2
m1-m2=d ‫یا‬
m1-m2d
m1-m2>d
‫ها‬‫واریانس‬‫نامعلوم‬
‫برابر‬ ‫ولی‬ T>t(n1+n2-2,1-)
m1-m2=d ‫یا‬
m1-m2d m1-m2<d “ “ “ “ T<-t(n-1,1-)
m1-m2=d m1-m2d “ “ “ “ |T|>t(n-1,1-/2)
25
2
2
2
1
2
1
011
nn
d)XX(
Z




21
011
11
nn
S
d)XX(
T
p 


‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

26. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫مستقل‬ ‫جامعه‬ ‫دو‬ ‫واریانس‬ ‫نسبت‬ ‫به‬ ‫مربوط‬ ‫های‬‫آزمون‬
H0 H1 ‫آزمون‬ ‫آماره‬ ‫بحرانی‬ ‫ناحیه‬
1
22
2 ‫یا‬ 1
2=2
2
1
2>2
2 F>F(n1-1,n2-1,1-)
1
22
2 ‫یا‬ 1
2=2
2
2<0
2 “ “ F<F(n1-1,n2-1,)
1
2=2
2 20
2 “ “
F<F(n1-1,n2-1,1-/2)
‫یا‬
F>F(n1-1,n2-1,1-/2)
26
2
2
2
1
S
S
F 
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

27. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫نرمال‬ ‫جامعه‬ ‫دو‬ ‫میانگین‬ ‫تفاضل‬ ‫آزمون‬
•‫مسئله‬:‫آیا‬‫میزان‬‫قد‬‫نوزدان‬‫دخترها‬‫و‬‫پسرهای‬‫دارای‬‫اختالف‬‫معنی‬‫داری‬‫است؟‬‫یک‬‫نمونه‬120‫تایی‬‫از‬‫دخنرها‬‫و‬‫یک‬‫نمونه‬
150‫تایی‬‫از‬‫پسرهای‬‫یک‬‫بیمارستان‬‫گرفته‬‫شده‬‫است‬.‫اطالعات‬‫به‬‫صورت‬‫زیر‬‫است‬:
27
622861150
502762120
222
111
.S,.x,n
.S,.x,n


‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

28. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫نرمال‬ ‫جامعه‬ ‫دو‬ ‫میانگین‬ ‫تفاضل‬ ‫آزمون‬
•‫مسئله‬:‫دانشجویان‬‫پسر‬‫ادعا‬‫دارند‬‫که‬‫در‬‫درس‬‫ریاضی‬‫نسبت‬‫به‬‫دخترها‬‫باالتر‬‫هستند‬.‫نمرات‬‫ریاضی‬‫ترم‬‫اول‬‫این‬‫د‬‫انشجویان‬
‫به‬‫صورت‬‫زیر‬‫است‬.‫این‬‫ادعا‬‫را‬‫در‬‫سطح‬5‫درصد‬‫آزمون‬‫کنید‬.
28
‫پسر‬ 10 17 14 12 11 16 18 19
‫دختر‬ 16 18 17 13 14 11‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

29. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫نرمال‬ ‫جامعه‬ ‫دو‬ ‫واریانس‬ ‫برابری‬ ‫آزمون‬
•‫مسئله‬:‫در‬‫درس‬‫زبان‬‫در‬‫دو‬‫کالس‬‫نیمه‬‫خصوصی‬‫ای‬‫موسسه‬‫اطالعات‬‫زیر‬‫بدست‬‫آمده‬‫است‬.‫با‬‫فرض‬‫نرمال‬‫بودن‬‫نمرات‬‫و‬
‫استقالل‬‫دو‬‫کالس‬‫برابری‬‫واریانس‬‫نمرات‬‫دو‬‫کالس‬‫را‬‫آزمون‬‫کنید‬
29
5817
4859
222
111


S,x,n
S,x,n
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

30. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫نسبت‬ ‫پارامتر‬ ‫آزمون‬ ‫و‬ ‫اطمینان‬ ‫فاصله‬
•X1,X2,…Xn‫یک‬‫نمونه‬‫تصادفی‬‫از‬‫توزیع‬‫برنولی‬‫با‬‫پارامتر‬p
•‫فاصله‬‫اطمینان‬‫پارامتر‬p
–‫با‬‫حجم‬‫نمونه‬‫زیاد‬‫و‬‫قضیه‬‫حد‬‫مرکزی‬
•‫فاصله‬‫اطمینان‬‫برای‬‫تفاضل‬‫پارامترهای‬‫دو‬‫جامعه‬‫مستقل‬p1-p2
30
)
n
qˆpˆ
zpˆ,
n
qˆpˆ
zpˆ( /a/a 2121  
)
n
qˆpˆ
n
qˆpˆ
zpˆpˆ,
n
qˆpˆ
n
qˆpˆ
zpˆpˆ( /a/a
2
22
1
11
2121
2
22
1
11
2121  
xqˆ,x
n
x
pˆ i

 1
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

31. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫نسبت‬ ‫پارامتر‬ ‫آزمون‬ ‫و‬ ‫اطمینان‬ ‫فاصله‬
•‫برای‬‫بررسی‬‫هدفمندی‬‫های‬‫یارانه‬‫از‬‫یک‬‫ی‬‫نمونه‬100‫نفری‬‫استفاده‬‫است‬‫شده‬‫که‬59‫نفر‬‫موافق‬‫اند‬‫بوده‬.‫یک‬‫فاصله‬‫اطمینان‬
95%‫برای‬‫نسبت‬‫های‬‫موافق‬‫با‬‫هدفمندی‬‫ها‬‫یارانه‬‫به‬‫صورت‬
31
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

32. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫مستقل‬ ‫جامعه‬ ‫دو‬ ‫نسبت‬ ‫تفاضل‬ ‫و‬ ‫جامعه‬ ‫یک‬ ‫در‬ ‫نسبت‬ ‫برای‬ ‫آماری‬ ‫آزمون‬
32
H0 H1
‫آزمون‬ ‫آماره‬ ‫بحرانی‬ ‫ناحیه‬
p=p0 p<p0 Q<-z1-
p=p0 p>p0 “ “ “ “ Q>z1-
p=p0 pp0 “ “ “ “ |Q|>z1-/2
n
qˆpˆ
ppˆ
Q 0

H0 H1
‫آزمون‬ ‫آماره‬ ‫بحرانی‬ ‫ناحیه‬
p1=p2 p1<p2 Q<-z1-
p1=p2 p1>p2 “ “ “ “ Q>z1-
p1=p2 p1p2 “ “ “ “ |Q|>z1-/2
pˆqˆ
,
nn
)pˆnpˆn(
pˆ,
)
nn
(qˆpˆ
pˆpˆ
Q







1
11 21
2211
21
21
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

33. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫برای‬ ‫آزمون‬‫مستقل‬ ‫جامعه‬ ‫دو‬ ‫نسبت‬ ‫تفاضل‬
•‫در‬‫یک‬‫نمونه‬200‫تایی‬‫از‬‫کارکنان‬‫وزارت‬،‫نفت‬120‫نفر‬‫متاهل‬‫هستند‬.‫در‬‫وزارت‬‫کار‬‫نیز‬‫تعداد‬‫متاهلین‬‫از‬‫بین‬500‫نفر‬‫برابر‬
‫با‬240‫نفر‬‫است‬.‫با‬‫میزان‬5%‫آزمون‬‫کنید‬‫که‬‫نسبت‬‫متاهلین‬‫در‬‫هر‬‫دو‬‫وزارت‬‫خانه‬‫برابر‬‫است‬.
33
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

34. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫فرادرس‬ ‫در‬ ‫شده‬ ‫مطرح‬ ‫نکات‬ ‫مبنای‬ ‫بر‬ ‫ها‬ ‫اسالید‬ ‫این‬
«‫مهندسی‬ ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬ ‫آموزش‬»
‫است‬ ‫شده‬ ‫تهیه‬.
‫نمایید‬ ‫مراجعه‬ ‫زیر‬ ‫لینک‬ ‫به‬ ‫آموزش‬ ‫این‬ ‫مورد‬ ‫در‬ ‫بیشتر‬ ‫اطالعات‬ ‫کسب‬ ‫برای‬.
faradars.org/fvst9405
34
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org