امروزه در علوم مهندسی و بخصوص مهندسی صنایع و رایانه، علم آمار کاربرد زیادی پیدا کرده است به طوری که هیچ طرح تحقیقاتی بدون استفاده از فنون آماری انجام نمی‌گیرد. آگاهی از روش‌های آماری در انجام امور کنترل کیفیت تولید نقش مهمی دارد. بنابراین آموزش آمار برای رشته های غیرآماری ضرورت پیدا کرده است. سرفصل هایی که در این آموزش به آن پرداخته شده است: درس اول: آمار توصیفی درس دوم: احتمال درس سوم: توزیع‌های احتمال درس چهارم: متغیر تصادفی پیوسته درس پنجم: نمونه گیری و توزیع های نمونه ای ... برای توضیحات بیشتر و تهیه این آموزش لطفا به لینک زیر مراجعه بفرمائید: http://faradars.org/courses/fvst9405

1. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫مهندسی‬ ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬
‫مدرس‬:
‫بد‬ ‫ری‬ ‫آرمان‬
‫آمار‬ ‫دکتری‬ ‫دانشجوی‬
‫بیرجند‬ ‫دانشگاه‬
1
‫ای‬ ‫نمونه‬ ‫های‬ ‫توزیع‬ ‫و‬ ‫گیری‬ ‫نمونه‬
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

2. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫پنجم‬ ‫فصل‬-‫ای‬‫نمونه‬ ‫های‬‫توزیع‬ ‫و‬ ‫گیری‬ ‫نمونه‬
•‫آماری‬ ‫جامعه‬-‫آماری‬ ‫نمونه‬
•‫آماری‬ ‫جامعه‬:‫مطالعه‬ ‫مورد‬ ‫کیفی‬ ‫یا‬ ‫کمی‬ ‫های‬‫داده‬ ‫با‬ ‫ویژگی‬ ‫چند‬ ‫یا‬ ‫یک‬ ‫بررسی‬ ‫منظور‬ ‫به‬ ‫که‬ ‫افرادی‬ ‫یا‬ ‫اشیاء‬ ‫ی‬‫مجموعه‬‫قرار‬
‫شود‬‫می‬ ‫گفته‬ ‫آماری‬ ‫جامعه‬ ،‫گیرند‬‫می‬
–‫متناهی‬ ‫آماری‬ ‫جامعه‬-‫نامتناهی‬
•‫آماری‬ ‫نمونه‬:‫شود‬‫می‬ ‫انتخاب‬ ‫خاصی‬ ‫قانون‬ ‫طبق‬ ‫که‬ ‫آماری‬ ‫جامعه‬ ‫از‬ ‫قسمتی‬.
•‫نمونه‬‫گیری‬‫تصادفی‬:‫روشی‬‫برای‬‫انتخاب‬‫نمونه‬‫از‬‫جامعه‬‫آماری‬‫بطوری‬‫که‬‫هر‬،‫نمونه‬‫شانس‬‫یکسانی‬‫نسبت‬‫به‬‫بق‬‫یه‬‫ها‬‫نمونه‬‫در‬
‫انتخاب‬‫داشته‬‫باشد‬.
2
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

3. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫متناهی‬ ‫جامعه‬ ‫از‬ ‫گیری‬ ‫نمونه‬
•‫متناهی‬ ‫جامعه‬ ‫برای‬ ‫تصادفی‬ ‫نمونه‬
‫حجم‬ ‫به‬ ‫نمونه‬ ‫یک‬n‫اندازه‬ ‫با‬ ‫ای‬‫جامعه‬ ‫از‬N‫نمونه‬ ‫هر‬ ‫اگر‬ ،‫است‬ ‫تصادفی‬ ،n‫قابل‬ ‫حاالت‬ ‫تعداد‬ ‫به‬ ‫که‬ ‫تایی‬
‫شود‬ ‫انتخاب‬ ‫احتمال‬ ‫با‬ ‫است‬ ‫انتخاب‬.
‫حجم‬ ‫به‬ ‫جامعه‬ ‫در‬N=5‫مثال‬ ‫برای‬(a,b,c,d,e)‫به‬ ‫است‬ ‫ممکن‬ ‫تایی‬ ‫سه‬ ‫نمونه‬ ‫یک‬10‫شود‬ ‫ایجاد‬ ‫حالت‬.‫یک‬ ‫هر‬ ‫انتخاب‬ ‫نتیجه‬ ‫در‬
‫احتمال‬ ‫با‬ ‫ها‬‫نمونه‬ ‫این‬ ‫از‬1/10‫بود‬ ‫خواهد‬.‫است‬ ‫تصادفی‬ ،‫نمونه‬ ‫این‬ ‫نتیجه‬ ‫در‬.
3






n
N
1






n
N
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

4. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫نامتناهی‬ ‫جامعه‬ ‫از‬ ‫گیری‬ ‫نمونه‬
•‫نامتناهی‬ ‫جامعه‬ ‫برای‬ ‫تصادفی‬ ‫نمونه‬
‫باشد‬ ‫مستقل‬ ‫و‬ ‫توزیع‬ ‫هم‬ ‫تصادفی‬ ‫متغیرهای‬ ‫از‬ ‫مقادیری‬ ‫شامل‬ ‫اگر‬ ،‫گویند‬ ‫تصادفی‬ ‫را‬ ‫نمونه‬ ‫یک‬.
‫گوییم‬‫می‬X1,X2, …,Xn‫باشند‬ ‫مستقل‬ ‫هم‬ ‫به‬ ‫نسبت‬ ‫و‬ ‫توزیع‬ ‫هم‬ ‫اگر‬ ‫هستند‬ ‫تصادفی‬ ‫نمونه‬ ‫یک‬.
X1,X2,…Xn are iid (independent identical distribution)
•‫استقالل‬‫متغیرهای‬‫تصادفی‬:‫متغیرهای‬‫تصادفی‬X , Y‫را‬‫مستقلند‬‫اگر‬‫توزیع‬(‫احتمال‬)‫هر‬‫یک‬‫از‬‫متغیرها‬‫روی‬‫دیگری‬‫اثری‬
‫نداشته‬‫باشند‬.
• P(X<x|Y)=P(X<x) ‫یا‬ P(Y<y|X)=P(Y<y)
4
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

5. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫تصادفی‬ ‫متغیر‬ ‫از‬ ‫تابعی‬ ‫امیدریاضی‬
•X‫و‬ ‫تصادفی‬ ‫متغیر‬ ‫یک‬g(X)‫باشد‬ ‫تصادفی‬ ‫متغیر‬ ‫از‬ ‫تابعی‬
‫پیوسته‬ ‫تصادفی‬ ‫متغیر‬‫گسسته‬ ‫تصادفی‬ ‫متغیر‬
5



 dx)x(f)x(g)]X(g[E,)x(f)x(g)]X(g[E X
x
X
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

6. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫تصادفی‬ ‫متغیر‬ ‫از‬ ‫تابعی‬ ‫امیدریاضی‬
•‫تصادفی‬ ‫متغیر‬ ‫از‬ ‫خطی‬ ‫تابعی‬ ‫واریانس‬ ‫و‬ ‫ریاضی‬ ‫امید‬:Y=aX+b
6
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

7. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫تصادفی‬ ‫متغیر‬ ‫از‬ ‫تابعی‬ ‫امیدریاضی‬
•‫تصادفی‬ ‫متغیر‬ ‫میانگین‬ ،‫واریانس‬ ‫و‬ ‫ریاضی‬ ‫امید‬:
7
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

8. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫گیری‬‫نمونه‬ ‫توزیع‬
•‫میانگین‬،‫نمونه‬‫میانه‬،‫نمونه‬‫نما‬‫نمونه‬‫و‬‫انحراف‬‫استاندارد‬‫نمونه‬‫از‬‫ای‬‫نمونه‬‫به‬‫ی‬‫نمونه‬‫دیگر‬‫متفاوت‬‫است‬.‫پس‬‫این‬‫مقادیر‬‫یک‬
‫متغیر‬‫تصادفی‬‫هستند‬.
‫متناهی‬ ‫جامعه‬ ‫برای‬
•‫با‬ ‫است‬ ‫برابر‬ ‫تصادفی‬ ‫نمونه‬ ‫میانگین‬
‫با‬ ‫است‬ ‫برابر‬ ‫تصادفی‬ ‫نمونه‬ ‫میانگین‬ ‫واریانس‬
‫با‬ ‫است‬ ‫برابر‬ ‫تصادفی‬ ‫نمونه‬ ‫میانگین‬ ‫استاندارد‬ ‫انحراف‬
8
)X(E
1
2



N
nN
.
n
)X(V

1


N
nN
.
n
)X(SD

‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

9. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫گیری‬‫نمونه‬ ‫توزیع‬
•‫میانگین‬،‫نمونه‬‫میانه‬،‫نمونه‬‫نما‬‫نمونه‬‫و‬‫انحراف‬‫استاندارد‬‫نمونه‬‫از‬‫ای‬‫نمونه‬‫به‬‫ی‬‫نمونه‬‫دیگر‬‫متفاوت‬‫است‬.‫پس‬‫این‬‫مقادیر‬‫یک‬
‫متغیر‬‫تصادفی‬‫هستند‬.
‫نامتناهی‬ ‫جامعه‬ ‫برای‬
•‫با‬ ‫است‬ ‫برابر‬ ‫تصادفی‬ ‫نمونه‬ ‫میانگین‬
‫با‬ ‫است‬ ‫برابر‬ ‫تصادفی‬ ‫نمونه‬ ‫میانگین‬ ‫واریانس‬
‫با‬ ‫است‬ ‫برابر‬ ‫تصادفی‬ ‫نمونه‬ ‫میانگین‬ ‫استاندارد‬ ‫انحراف‬
9
)X(E
n
)X(V
2


n
)X(SD


‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

10. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫مرکزی‬ ‫حد‬ ‫قضیه‬-Central Limit Theorem
•‫قضیه‬‫حد‬‫مرکزی‬:‫اگر‬‫یک‬‫نمونه‬‫تصادفی‬‫به‬‫اندازه‬n‫از‬‫یک‬‫جامعه‬‫نامتناهی‬‫با‬‫میانگین‬‫و‬‫انحراف‬‫معیار‬‫گرفته‬‫شود‬‫آنگاه‬
‫برای‬n‫به‬‫اندازه‬‫کافی‬‫بزرگ‬‫داریم‬
•‫بگ‬ ‫نظر‬ ‫در‬ ‫نرمال‬ ‫توزیع‬ ‫را‬ ‫نمونه‬ ‫میانگین‬ ‫تصادفی‬ ‫متغیر‬ ‫توزیع‬ ‫توانیم‬‫می‬ ‫بزرگ‬ ‫کافی‬ ‫اندازه‬ ‫به‬ ‫نمونه‬ ‫اندازه‬ ‫با‬‫یریم‬.
10
),(N~
n
X
Z 10



)
n
,(N~X
2

‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

11. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫مرکزی‬ ‫حد‬ ‫قضیه‬-Central Limit Theorem
•‫مسئله‬:
‫در‬‫یک‬‫نمونه‬64‫تایی‬‫از‬‫ای‬‫جامعه‬‫نامتناهی‬‫با‬‫میانگین‬‫و‬‫انحراف‬‫استاندارد‬20،‫با‬‫چه‬‫احتمالی‬‫توان‬‫می‬‫میزان‬‫خطای‬‫برآورد‬‫میانگین‬
‫جامعه‬‫توسط‬‫میانگین‬‫نمونه‬‫را‬‫کمتر‬‫از‬5‫واحد‬‫در‬‫نظر‬‫گرفت‬.
•‫داد؟‬ ‫خواهد‬ ‫رخ‬ ‫احتمال‬ ‫میزان‬ ‫در‬ ‫تغییری‬ ‫چه‬ ،‫شود‬ ‫بزرگتر‬ ‫نمونه‬ ‫اندازه‬ ‫اگر‬(n=100)
11
?)|X(|P  5 ‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

12. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫ای‬‫نمونه‬ ‫های‬‫توزیع‬
•‫پارامتر‬:‫ی‬‫مشخصه‬‫جامعه‬‫آماری‬
•‫آماره‬:‫ی‬‫مشخصه‬‫نمونه‬‫آماری‬
•‫تعریف‬‫آماره‬-Statistic:‫هر‬‫تابعی‬‫از‬‫نمونه‬‫تصادفی‬‫است‬‫که‬‫به‬‫مقدار‬‫پارامتر‬‫جامعه‬‫بستگی‬‫ندارد‬.
–‫میانگین‬،‫نمونه‬‫واریانس‬‫نمونه‬‫و‬...
‫آماره‬‫تصادفی‬ ‫متغیر‬
‫شود‬‫می‬ ‫تعیین‬ ‫آماره‬ ‫توزیع‬ ،‫تصادفی‬ ‫متغیر‬ ‫توزیع‬ ‫به‬ ‫توجه‬ ‫با‬.
12
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

13. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫توزیع‬2
-Chi Square
‫اگر‬Z1,Z2, …,Zn‫یک‬‫نمونه‬‫تصادفی‬‫از‬‫توزیع‬‫نرمال‬‫استاندارد‬‫باشند‬:.
•Y‫را‬‫متغیر‬‫تصادفی‬‫با‬‫توزیع‬‫کای‬2‫با‬‫درجه‬‫آزادی‬n‫گویند‬.Degree of Freedom= df
•‫تابع‬‫چگالی‬
•‫که‬(n/2)‫مقدار‬‫تابع‬‫گاما‬‫در‬‫نقطه‬n/2‫است‬.
13
222
2
2
1 )n(n ~Z...ZZY 
0
2
22
2
1
2




y,
)
n
(
ey
)y(f n
yn
Y




0
1
0x,dtet)x( tx
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

14. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫توزیع‬ ‫خصوصیات‬2
‫میانگین‬‫و‬‫واریانس‬‫متغیر‬‫تصادفی‬‫با‬‫توزیع‬‫کای‬2
•‫خاصیت‬‫پذیری‬‫جمع‬
14
2
21
22
2
2
1
21
21
)n...nn(k
)n(k)n()n(~
k
k
~Y...YY
~Y,...~Y,Y
 

n)Y(Var
n)Y(E
2

‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

15. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫توزیع‬2
‫نمودار‬‫تابع‬‫چگالی‬‫احتمال‬‫برای‬‫متغیر‬‫تصادفی‬‫کای‬2‫با‬‫درجه‬‫های‬‫آزادی‬‫مختلف‬
15
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

16. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫توزیع‬2
16
‫مقدار‬‫احتمال‬‫درجه‬
‫آزادی‬
‫احتمال‬
‫جدول‬‫تابع‬‫توزیع‬‫متغیر‬‫تصادفی‬2
X~2
(9)
P(X<2.7)= 0.025
P(X>15)=1-P(X<15)=1-0.9=0.1
2
(0.95,9)=16.919
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

17. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫تی‬ ‫توزیع‬-t
•‫اگر‬Z‫یک‬‫متغیر‬‫تصادفی‬‫با‬‫توزیع‬‫نرمال‬‫استاندارد‬‫باشد‬‫و‬Y‫یک‬‫متغیر‬‫تصادفی‬‫با‬‫توزیع‬2
‫با‬n‫درجه‬‫آزادی‬‫باشد‬.
•T‫را‬‫متغیر‬‫تصادفی‬‫با‬‫توزیع‬t‫با‬n‫درجه‬‫آزادی‬‫گویند‬.
•‫تابع‬‫چگالی‬
17
)n(t~
n
Y
Z
T 







t,)
n
t
(
n)
n
(
)
n
(
)t(f
n
T
2
12
1
2
2
1

‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

18. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫تی‬ ‫توزیع‬ ‫خصوصیات‬
•‫امیدر‬‫ریاضی‬‫و‬‫واریانس‬
18
,...,n,
n
n
)T(Var
,...,n,)T(E
t~T )n(
43
2
320




‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

19. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫تی‬ ‫توزیع‬ ‫خصوصیات‬-T
•،‫چگالی‬‫متقارن‬‫و‬‫زنگی‬‫شکل‬‫است‬.
•‫چگالی‬‫مشابه‬‫تابع‬‫چگالی‬‫نرمال‬‫استاندارد‬
•‫دارای‬‫های‬‫دم‬‫تر‬‫سنگین‬
(‫دارای‬‫احتمال‬‫بیشتر‬‫در‬‫های‬‫دم‬‫توزیع‬)
19
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

20. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫تی‬ ‫توزیع‬
20
•‫توزیع‬ ‫بحرانی‬ ‫نقاط‬ ‫جدول‬t
•X~t(10)
P(X< 0.260)= 0.6
P(X>1.1)=1-P(X<1.1)=1-0.85=0.15
t(0.05,1)= -6.314
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

21. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫فیشر‬ ‫توزیع‬-F Distribution
•‫اگر‬X‫متغیر‬‫تصادفی‬‫با‬‫توزیع‬2
‫با‬n1‫و‬Y‫متغیر‬‫تصادفی‬‫با‬‫توزیع‬2
‫با‬n2‫درجه‬‫آزادی‬‫و‬‫نسبت‬‫به‬‫هم‬‫مستقل‬‫باشد‬.
•F‫را‬‫متغیر‬‫تصادفی‬‫از‬‫توزیع‬‫فیشر‬‫با‬‫درجه‬‫آزادی‬n1‫و‬n2‫گویند‬.
•‫تابع‬‫چگالی‬
21
)n,n(F~
n
Y
n
X
F 21
2
1

x,
)x
n
n
(
x
n
n
)
n
()
n
(
)
nn
(
)x(f nn
nn
F 










 

0
1
22
2
2
2
1
1
22
2
1
21
21
21
11
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

22. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫فیشر‬ ‫توزیع‬ ‫خصوصیات‬
•‫امیدر‬‫ریاضی‬‫و‬‫واریانس‬
•‫رابطه‬‫احتمال‬‫و‬‫درجه‬‫آزادی‬‫در‬‫توزیع‬‫فیشر‬
22
4
42
22
2
2
2
2
2
21
21
2
2
2
2
2
21







n,
)n()n(n
)nn(n
)F(Var
n,
n
n
)F(E
F~F )n,n(
1 2
2 1
( , , )
(1 , , )
(0.95,15,10)
(0.05,10,15)
1 ,
112.845
0.351
a n n
a n n
F
F
F
F


  
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

23. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
n1=1 , n2=1
n1=10 , n2=20
n1=5 , n2=4
‫فیشر‬ ‫توزیع‬ ‫خصوصیات‬-F
•،‫چگالی‬‫چوله‬‫به‬،‫راست‬‫مقادیر‬‫مثبت‬‫متغیر‬‫تصادفی‬
23
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

24. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫فیشر‬ ‫توزیع‬
24
•‫فیشر‬ ‫توزیع‬ ‫بحرانی‬ ‫نقاط‬ ‫جدول‬
•F~F(2,1)
•P(F<199.5)=0.95
F(2,1,0.95)=199.5
‫ها‬‫جدول‬ ‫از‬ ‫بعضی‬ ‫در‬‫البته‬
a‫راست‬ ‫سمت‬‫احتمال‬ ‫را‬
‫دارند‬ ‫نظر‬ ‫در‬.
‫صورت‬ ‫آزادی‬ ‫درجه‬=n1
‫درجه‬
‫آزادی‬
‫مخرج‬=n
2
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

25. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫ای‬‫نمونه‬ ‫های‬‫توزیع‬
•‫میانگین‬‫نمونه‬
–‫اگر‬X1,X2, …,Xn‫یک‬‫نمونه‬‫تصادفی‬‫از‬‫توزیع‬‫نرمال‬‫با‬‫پارامترهای‬‫معلوم‬‫میانگین‬‫و‬‫واریانس‬2‫باشد‬.‫آنگاه‬
•‫در‬‫نتیجه‬‫داریم‬:
25
)
n
,(N~X
2


),(N~
n
X
Z 10



‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

26. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫ای‬‫نمونه‬ ‫های‬‫توزیع‬
•‫واریانس‬‫نمونه‬
–‫اگر‬X1,X2, …,Xn‫یک‬‫نمونه‬‫تصادفی‬‫از‬‫توزیع‬‫نرمال‬‫با‬‫میانگین‬‫و‬‫واریانس‬‫نامعلوم‬2‫باشد‬.‫آنگاه‬
•‫و‬‫میانگین‬‫نمونه‬‫و‬‫واریانس‬‫نمونه‬S2‫از‬‫یکدیگر‬‫مستقل‬‫هستند‬.
26
)n(t~
n
S
X
t 1



X
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

27. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫ای‬‫نمونه‬ ‫های‬‫توزیع‬
•‫میانگین‬‫نمونه‬
–‫اگر‬X1,X2, …,Xn‫یک‬‫نمونه‬‫تصادفی‬‫از‬‫توزیع‬‫نرمال‬‫با‬‫پارامترهای‬‫میانگین‬‫و‬‫واریانس‬2‫باشد‬.‫آنگاه‬:
27
2
12
2
2
2
1
1
)n(
i
i
~
S)n(
n
)XX(
S








‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

28. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫فرادرس‬ ‫در‬ ‫شده‬ ‫مطرح‬ ‫نکات‬ ‫مبنای‬ ‫بر‬ ‫ها‬ ‫اسالید‬ ‫این‬
«‫مهندسی‬ ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬ ‫آموزش‬»
‫است‬ ‫شده‬ ‫تهیه‬.
‫نمایید‬ ‫مراجعه‬ ‫زیر‬ ‫لینک‬ ‫به‬ ‫آموزش‬ ‫این‬ ‫مورد‬ ‫در‬ ‫بیشتر‬ ‫اطالعات‬ ‫کسب‬ ‫برای‬.
faradars.org/fvst9405
28
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org