آموزش آمار و احتمال مهندسی - بخش سوم

‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫مهندسی‬ ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬
‫مدرس‬:
‫بد‬ ‫ری‬ ‫آرمان‬
‫آمار‬ ‫دکتری‬ ‫دانشجوی‬
‫بیرجند‬ ‫دانشگاه‬
1
‫‌های‌احتمال‬‫ع‬‫توزی‬
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

‫تصادفی‬ ‫متغیر‬-Random Variable
•‫تصادفی‬ ‫متغیر‬:‫شود‬‫می‬ ‫تعیین‬ ‫احتمال‬ ‫براساس‬ ‫حقیقی‬ ‫اعداد‬ ‫مقادیر‬ ‫از‬ ‫ای‬‫مجموعه‬ ‫از‬ ‫مقدارش‬ ‫که‬ ‫کمیتی‬.
•‫حقی‬ ‫اعداد‬ ‫از‬ ‫فاصله‬ ‫هر‬ ‫برای‬ ‫تابع‬ ‫این‬ ‫معکوس‬ ‫که‬ ‫شکلی‬ ‫به‬ ‫حقیقی‬ ‫اعداد‬ ‫به‬ ‫پیشامدها‬ ‫از‬ ‫تابعی‬‫یک‬ ‫قی‬
‫باشد‬ ‫پیشامد‬.
•‫تصادفی‬ ‫متغیر‬ ‫گاه‬ ‫تکیه‬:‫تصادفی‬ ‫متغیر‬ ‫یک‬ ‫مقادیری‬ ‫مجموعه‬-Sx
•‫گسسته‬ ‫تصادفی‬ ‫متغیر‬-Discrete Random Variable:‫پذی‬ ‫شمارش‬ ‫نامتناهی‬ ‫یا‬ ‫متناهی‬ ‫مقادیر‬ ‫مجموعه‬ ‫با‬ ‫تصادفی‬ ‫متغیر‬‫ر‬
•‫پیوسته‬ ‫تصادفی‬ ‫متغیر‬-Continues Random Variable:‫نامتناهی‬ ‫مقادیر‬ ‫مجموعه‬ ‫با‬ ‫تصادفی‬ ‫متغیر‬
•‫کوچک‬ ‫حروف‬ ‫با‬ ‫آن‬ ‫مقدار‬ ‫و‬ ‫بزرگ‬ ‫حرف‬ ‫با‬ ‫تصادفی‬ ‫متغیر‬ ‫نمایش‬X=x
2
RS X

‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

‫تصادفی‬ ‫متغیر‬-Random Variable
•X:‫سکه‬ ‫دو‬ ‫پرتاب‬ ‫در‬ ‫شیرها‬ ‫تعداد‬Sx={0,1,2} ,‫تصادفی‬ ‫متغیر‬ ‫این‬ ‫با‬ ‫مرتبط‬ ‫پیشامدهای‬ ‫و‬S={HH,HT,TH,TT}
•X:،‫شش‬ ‫اولین‬ ‫مشاهده‬ ‫تا‬ ‫تاس‬ ‫پرتاب‬ ‫تعداد‬Sx={1,2,3,4,…}
•‫تصادفی‬ ‫متغیر‬ ‫این‬ ‫با‬ ‫مرتبط‬ ‫پیشامدهای‬ ‫و‬S={A,AA, AAA,…}‫که‬A:‫شش‬ ‫شماره‬ ‫مشاهده‬ ‫پیشامد‬
•X:،‫محور‬ ‫مرکز‬ ‫تا‬ ‫اعداد‬ ‫محور‬ ‫روی‬ ‫انتخابی‬ ‫نقطه‬ ‫یک‬ ‫فاصله‬Sx=(0,x)‫که‬
3
TT
HT
TH
HH
X
0 21
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

‫احتمال‬ ‫توزیع‬-Probability Distribution
•‫تصادفی‬ ‫متغیر‬ ‫گاه‬ ‫تکیه‬ ‫از‬ ‫مقدار‬ ‫هر‬ ‫برای‬ ‫احتمال‬ ‫مقدار‬
• X=1 A={HT,TH} P(A)=P({TH,HT})=2/4=0.5
•‫احتماالت‬ ‫جدول‬(‫احتمال‬ ‫توزیع‬)
•‫احتماالت‬ ‫جدول‬(‫احتمال‬ ‫توزیع‬)‫و‬ ‫تاس‬ ‫پرتاب‬X:‫شده‬ ‫مشاهده‬ ‫عدد‬
4
‫مقدار‬ 0 1 2 ‫جمع‬
‫احتمال‬ 1/4 2/4 1/4 1
‫مقدار‬ 1 2 3 4 5 6 ‫جمع‬
‫احتمال‬ 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

‫احتمال‬ ‫توزیع‬-Probability Distribution
•‫نامنفی‬ ‫احتماالت‬
•‫برابر‬ ‫احتمال‬ ‫مقدارهای‬ ‫جمع‬1‫است‬.
‫مسئله‬:
•‫باشد؟‬ ‫احتمال‬ ‫توزیع‬ ‫یک‬ ‫تواند‬‫می‬ ‫زیر‬ ‫تابع‬ ‫آیا‬
5
321
12
2
,,x,
x
)x(f 


‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

‫تصادفی‬ ‫متغیر‬ ‫ریاضی‬ ‫امید‬-Mathematical Expectation
•‫گسسته‬ ‫تصادفی‬ ‫متغیر‬ ‫برای‬
•‫میانگین‬ ‫مقدار‬(‫انتظار‬ ‫مورد‬)‫تصادفی‬ ‫متغیر‬
E(X)=1(1/6)+2(1/6)+3(1/6)+4(1/6)+5(1/6)+6(1/6)=21/6=3.5
6
 
i
ii
i
iii )x(f.x)xX(P.x)X(E
‫مقدار‬ 1 2 3 4 5 6 ‫جمع‬
‫احتمال‬ 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

‫تصادفی‬ ‫متغیر‬ ‫واریانس‬-Variance
•‫گسسته‬ ‫تصادفی‬ ‫متغیر‬ ‫برای‬
•‫میانگین‬ ‫به‬ ‫نسبت‬ ‫تصادفی‬ ‫متغیر‬ ‫پراکندگی‬ ‫میزان‬
E(X2)=1(1/6)+4(1/6)+9(1/6)+16(1/6)+25(1/6)+36(1/6)=91/6=15.17
E2(X)=12.25
V(X)=15.17-12.25=2.92
7
)X(E)X(E
)x(f.))X(Ex()X(V
i
i
22
2

 
‫مقدار‬ 1 2 3 4 5 6 ‫جمع‬
‫احتمال‬ 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

‫توزیع‬ ‫تابع‬-Distribution Function
•‫اگر‬X‫تابع‬ ،‫باشد‬ ‫تصادفی‬ ‫متغیر‬ ‫یک‬FX(x)‫تصادفی‬ ‫متغیر‬ ‫توزیع‬ ‫تابع‬ ‫را‬X‫اگر‬ ‫گویند‬
•X‫و‬ ‫تصادفی‬ ‫متغیر‬ ‫نام‬x‫است‬ ‫آن‬ ‫مقدار‬.
•‫صورت‬ ‫به‬ ‫احتمال‬ ‫توزیع‬ ‫اگر‬
•‫صورت‬ ‫به‬ ‫تصادفی‬ ‫متغیر‬ ‫توزیع‬ ‫تابع‬
8
( ) ( ),XF x P X x x R  
‫مقدار‬ 0 1 2 ‫جمع‬
‫احتمال‬ 1/4 2/4 1/4 1












2
21
10
0
1
43
41
0
x
x
x
x
/
/
)x(FX
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

•‫توزیع‬ ‫تابع‬ ‫خواص‬
•‫است‬ ‫احتمال‬ ‫جنس‬ ‫از‬ ‫توزیع‬ ‫تابع‬
•‫است‬ ‫غیرنزولی‬ ‫تابعی‬ ،‫توزیع‬ ‫تابع‬.
•‫توزیع‬ ‫تابع‬ ‫هر‬ ‫برای‬F‫داشت‬ ‫خواهیم‬F()=1 , F(- )=0
•‫تابع‬‫توزیع‬‫از‬‫راست‬‫پیوسته‬‫است‬x=a‫عدد‬‫حقیقی‬‫باشد‬‫آنگاه‬F(a+)=F(a)
9
XX Sx,)x(F  10
XXX Sxx),x(F)x(F  2121
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

•‫توزیع‬ ‫تابع‬ ‫روی‬ ‫از‬ ‫احتمال‬ ‫محاسبه‬:
•‫باشیم‬ ‫داشته‬ ‫اگر‬ ‫بخصوص‬:
•‫بود‬ ‫خواهد‬ ‫صفر‬ ‫با‬ ‫برابر‬ ‫باشد‬ ‫پیوسته‬ ‫نیز‬ ‫چپ‬ ‫از‬ ‫توزیع‬ ‫تابع‬ ‫که‬ ‫حالتی‬ ‫در‬ ‫که‬( .‫پیوس‬ ‫تصادفی‬ ‫متغیرهای‬ ‫برای‬‫نقطه‬ ‫تک‬ ‫احتمال‬ ‫ته‬
‫است‬ ‫صفر‬ ‫با‬ ‫برابر‬).
10
)a(F)b(F)bXa(P
)a(F)b(F)bXa(P
)a(F)b(F)bXa(P
)a(F)b(F)bXa(P







)x(F)x(F)xXx(P)xX(P 
 00000
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

‫یکنواخت‬ ‫تصادفی‬ ‫متغیر‬-Uniform Random Variable
•‫میان‬ ‫از‬ ‫شئی‬ ‫یک‬ ‫انتخاب‬n‫از‬ ‫صحیح‬ ‫اعداد‬ ‫فاصله‬ ‫در‬ ‫عدد‬a‫تا‬b
•‫گاه‬ ‫تکیه‬Sx={a,a+1,…b}
• X~Unif(a,b)
•‫واریانس‬ ‫و‬ ‫ریاضی‬ ‫امید‬
•‫نکته‬n=b-a+1
11
n/)xX(P 1
12
11
2
2




)ab(
)X(V,
ba
)X(E
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

‫برنولی‬ ‫تصادفی‬ ‫متغیر‬-Bernoulli Random Variable
•‫برنولی‬ ‫آزمایش‬-‫وضعیتی‬ ‫دو‬-‫وضعیتی‬ ‫دو‬ ‫تصادفی‬ ‫متغیر‬-True, False- Zero,One
•‫گاه‬ ‫تکیه‬Sx={0,1}
•‫با‬ ‫برابر‬ ‫پیروزی‬ ‫احتمال‬p‫با‬ ‫برابر‬ ‫شکست‬ ‫احتمال‬ ‫و‬1-p
P(X=1)=p , P(X=0)=1-p
•‫احتمال‬ ‫توزیع‬
•‫عدد‬ ‫مشاهده‬ ‫و‬ ‫تاس‬ ‫پرتاب‬6‫شیر‬ ‫مشاهده‬ ‫و‬ ‫سکه‬ ‫پرتاب‬
•‫تصادفی‬ ‫متغیر‬X‫صورت‬ ‫به‬X=1‫طبیعی‬ ‫اعداد‬ ‫از‬ ‫زوج‬ ‫عدد‬ ‫انتخاب‬X=0‫طبیعی‬ ‫اعداد‬ ‫از‬ ‫فرد‬ ‫عدد‬ ‫انتخاب‬
12
101 1
,x,)p(p)xX(P xx
 
)p(p)X(V,p)X(E  1
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

‫ای‬‫جمله‬ ‫دو‬ ‫تصادفی‬ ‫متغیر‬-Binomial Random Variable
•‫برنولی‬ ‫تصادفی‬ ‫متغیر‬ ‫متناهی‬ ‫تعداد‬ ‫جمع‬–‫در‬ ‫های‬ ‫موفقیت‬ ‫تعداد‬n‫ثابت‬ ‫موفقیت‬ ‫احتمال‬ ‫با‬ ‫برنولی‬ ‫آزمایش‬ ‫تکرار‬ ‫بار‬p
•‫گاه‬ ‫تکیه‬Sx={0,1,2,3,…,n}
•‫با‬ ‫برابر‬ ‫پیروزی‬ ‫احتمال‬p‫با‬ ‫برابر‬ ‫شکست‬ ‫احتمال‬ ‫و‬1-p
•‫توزیع‬‫احتمال‬
• X~B(n,p)
•‫در‬ ‫شده‬ ‫مشاهده‬ ‫های‬ ‫شش‬ ‫تعداد‬20‫تاس‬ ‫پرتاب‬ ‫بار‬
•‫در‬ ‫شده‬ ‫مشاهده‬ ‫شیرهای‬ ‫تعداد‬10‫سکه‬ ‫پرتاب‬ ‫بار‬
13
n,...,,,x,)p(p
x
n
)xX(P xnx
2101 





 
)p(np)X(V,np)X(E  1
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

•‫احتمال‬ ‫تابع‬ ‫خاصیت‬
14
111 





  n
x
xnx
))p(P()p(p
x
n
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

‫مسئله‬:
•‫با‬ ‫برابر‬ ‫کند‬ ‫مراجعه‬ ‫فروشگاهی‬ ‫به‬ ‫خرید‬ ‫برای‬ ‫شخصی‬ ‫اینکه‬ ‫احتمال‬60‫است‬ ‫درصد‬.‫بین‬ ‫از‬ ‫اینکه‬ ‫احتمال‬5‫جلوی‬ ‫از‬ ‫که‬ ‫نفری‬
،‫هیچکدام‬ ،‫کنند‬‫می‬ ‫عبور‬ ‫فروشگاه‬
‫نفر‬ ‫دو‬ ‫از‬ ‫کمتر‬
‫با‬ ‫است‬ ‫برابر‬ ‫کنند‬ ‫خرید‬ ‫نفر‬ ‫چهار‬ ‫از‬ ‫بیش‬
15
01060160
0
5
0 050
.).(.)X(P 





 
3170230007700100
60160
2
5
60160
1
5
60160
0
5
2102
252151050
....
).(.).(.).(.
)X(P)X(P)X(P)X(P





















33700780259060160
5
5
60160
4
5
544
555454
...).(.).(.
)X(P)X(P)X(P














‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

•‫ای‬‫جمله‬ ‫دو‬ ‫توزیع‬ ‫جدول‬ ‫از‬ ‫استفاده‬
X~B(5,0.4)
P(X3)=0.913
P(2<X4)=F(4)-F(2)
=0.990-0.683
16
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

‫هندسی‬ ‫فوق‬ ‫تصادفی‬ ‫متغیر‬-Hyper-geometric Random Variable
•X:‫جایگذاری‬ ‫بدون‬ ‫برنولی‬ ‫آزمایش‬ ‫در‬ ‫موفقیت‬ ‫تعداد‬
•‫گاه‬ ‫تکیه‬max[0,n-(N-r)]x  min(n,r)
•‫از‬‫بین‬N‫شئی‬‫موجود‬‫قابل‬،‫انتخاب‬r‫تا‬‫دارای‬‫خاصیتی‬،‫هستند‬‫و‬N-r‫شئی‬‫آن‬‫خاصیت‬‫را‬‫ندارند‬.n‫شئی‬‫انتخاب‬‫کنیم‬‫می‬.
•X‫تعداد‬‫اشیائی‬‫که‬‫دارای‬‫آن‬‫خاصیت‬‫هستند‬.
.1‫که‬ ‫حاالتی‬ ‫تعداد‬x‫بین‬ ‫از‬ ‫شئی‬r‫ترکیب‬ ‫باشند‬ ‫شده‬ ‫انتخاب‬ ‫نظر‬ ‫مورد‬ ‫شئی‬x‫از‬ ‫شئی‬r‫است‬ ‫شئی‬.
.2‫که‬ ‫حاالتی‬ ‫تعداد‬n-x‫ترکیب‬ ‫صورت‬ ‫به‬ ‫باشند‬ ‫نداشته‬ ‫را‬ ‫خاصیت‬ ‫آن‬ ‫شئی‬n-x‫از‬ ‫شئی‬N-r‫است‬ ‫شئی‬.
.3‫توان‬‫می‬ ‫که‬ ‫حاالتی‬ ‫تعداد‬n‫از‬ ‫را‬ ‫شئی‬N‫ترکیب‬ ‫صورت‬ ‫به‬ ‫کرد‬ ‫انتخاب‬ ‫شئی‬n‫از‬N‫بود‬ ‫خواهد‬.
•‫حاصلضرب‬ ‫صورت‬ ‫به‬ ‫احتمال‬ ‫تابع‬1‫در‬2‫بر‬ ‫تقسیم‬ ‫و‬3‫بود‬ ‫خواهد‬.
X~HG(N,r,n)
17





















n
N
xn
rN
x
r
)x(fX
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

‫در‬‫اداره‬،‫پست‬‫قرار‬‫است‬6‫نامه‬‫خاص‬‫از‬15‫نامه‬‫را‬‫به‬‫صورت‬‫فوری‬‫ارسال‬‫شوند‬‫ولی‬‫متصدی‬‫بدون‬‫توجه‬‫به‬‫نوع‬‫ها‬‫نامه‬‫به‬‫صورت‬
‫تصادفی‬‫روی‬6‫نامه‬‫به‬‫طور‬‫دلخواه‬‫مهر‬‫فوری‬‫زند‬‫می‬.6‫نامه‬‫را‬‫انتخاب‬،‫کنیم‬‫می‬‫احتمال‬‫آنکه‬‫سه‬‫نامه‬‫به‬‫شکل‬‫درست‬‫مهر‬‫فوری‬
‫باشند‬‫خورده‬‫چقدر‬‫است؟‬(0.336)
x=3N=15r=6n=6
18
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

‫مسئله‬:
‫در‬‫طول‬‫یک‬،‫روز‬1000‫قوطی‬‫گوجه‬‫فرنگی‬‫در‬‫کارخانه‬،‫تولیدی‬‫پر‬‫شود‬‫می‬.‫روزانه‬‫یک‬‫نمونه‬15‫تایی‬‫از‬‫های‬‫قوطی‬‫تولیدی‬‫گرفته‬‫شود‬‫می‬‫و‬
‫وزن‬‫ها‬‫قوطی‬‫سنجیده‬‫شود‬‫می‬.‫فرض‬‫کنید‬X‫تعداد‬‫هایی‬‫قوطی‬‫باشد‬‫که‬‫مطابق‬‫استاندارد‬‫پر‬‫نشده‬،‫باشند‬‫فرض‬‫کنید‬‫در‬‫یک‬‫روز‬‫مشخ‬،‫ص‬
100‫قوطی‬‫خارج‬‫از‬‫استاندارد‬‫پر‬‫شده‬‫باشد‬.‫احتمال‬‫اینکه‬‫در‬،‫نمونه‬‫تعداد‬‫حداقل‬3‫قوطی‬‫مطابق‬‫استاندارد‬‫پر‬‫نشده‬،‫باشند‬‫چقدر‬
‫است؟‬P(X3)
‫تقریب‬‫با‬‫ای‬‫دوجمله‬:p=r/N , n/N<0.05, B(n,p)
19
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

•‫احتمال‬ ‫تابع‬ ‫خاصیت‬
20
N
nr
)X(E  












 







1N
nN
N
rN
N
nr
)X(V




















 n
N
xn
rN
x
rn
x 0
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

‫پواسن‬ ‫تصادفی‬ ‫متغیر‬-Poisson Random Variable
•X:‫تعداد‬‫رخداد‬‫یک‬‫پیشامد‬‫در‬‫طول‬‫زمان‬‫یا‬‫مکان‬.
•‫تکیه‬‫گاه‬:Sx={0,1,2,…}
•‫تابع‬‫احتمال‬
• X~P()
•‫در‬‫یک‬‫کارخانه‬‫تولیدی‬،‫ساعت‬‫به‬‫طور‬‫متوسط‬6‫ساعت‬‫از‬‫تولیدات‬‫روزانه‬‫معیوب‬‫هستند‬.‫احتمال‬‫اینکه‬‫در‬‫یک‬‫روز‬4‫ساعت‬
‫معیوب‬‫تولید‬‫شده‬‫باشد‬‫برابر‬‫است‬‫با‬:
21
0



,
!x
e
)x(f
x
1340
4
6
44
46
.
!
e
)(f)X(P 

‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

•‫امید‬‫ریاضی‬‫و‬‫واریانس‬
•‫خاصیت‬‫تابع‬‫احتمال‬
22
  )X(V)X(E
 

x
x
x
x
!x
e,
!x
e  

1
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

•‫اگر‬‫در‬‫یک‬‫توزیع‬‫ای‬‫دوجمله‬n‫بزرگ‬‫و‬p‫کوچک‬‫باشد‬‫بطوری‬‫که‬p.n‫عددی‬‫معقول‬،‫باشد‬‫این‬‫توزیع‬‫با‬‫با‬‫توزیع‬‫پواسن‬‫با‬‫پارامتر‬=n.p
‫تقریب‬‫زد‬.
•‫در‬‫یک‬‫کارخانه‬‫تولید‬،‫ساعت‬1‫درصد‬‫تولیدات‬‫معیوب‬‫هستند‬.‫احتمال‬‫اینکه‬‫در‬‫یک‬‫بسته‬200‫تایی‬‫از‬‫تولیدات‬‫ساعت‬‫معیوب‬‫وجود‬
‫نداشته‬‫باشد‬‫چقدر‬‫است؟‬X~B(200,0.01)
•‫تقریب‬‫پواسن‬:n=200‫و‬p=0.01‫در‬‫نتیجه‬np=2‫پس‬X~P(2)
23
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

‫ای‬‫چندجمله‬ ‫تصادفی‬ ‫متغیر‬-Multinomial Random Variable
•‫اگر‬‫در‬‫توزیع‬،‫ای‬‫دوجمله‬‫به‬‫جای‬‫دو‬‫وضعیت‬K‫وضعیت‬‫وجود‬‫داشته‬‫باشد‬.
•X1:‫تعداد‬‫موفقیت‬‫از‬‫نوع‬‫اول‬
•X2:‫تعداد‬‫موفقیت‬‫از‬‫نوع‬‫دوم‬
•...
•Xk:‫تعداد‬‫موفقیت‬‫از‬‫نوع‬k‫ام‬
•P1:‫تعداد‬‫موفقیت‬‫از‬‫نوع‬‫اول‬
•P2:‫تعداد‬‫موفقیت‬‫از‬‫نوع‬‫دوم‬
•...
•Pk:‫تعداد‬‫موفقیت‬‫از‬‫نوع‬k‫ام‬
• X~MN(n,p1,p2,…pk)
24
1
21
21
21




i
i
x
k
xx
k
p
nx
p...p.p
!x!...x!.x
!n k‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

•‫امید‬‫ریاضی‬‫و‬‫واریانس‬
•‫خصوصیات‬‫تابع‬‫احتمال‬
•‫ضرایب‬‫بسط‬‫چند‬‫ای‬‫جمله‬
25
)p(np)X(Vnp)X(E iiiii  1
 
k
k
x
x
k
xx
kx x
p...p.p
!x!...x!.x
!n
... 121
1 2
21
21
n
kk )xp...xpxp(  2211
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

‫مسئله‬
‫در‬‫یک‬‫شهر‬‫در‬‫ساعت‬10،‫شب‬‫شبکه‬3‫دارای‬50%،‫شبکه‬12‫دارای‬30%‫و‬‫شبکه‬10‫نیز‬20%‫مخاطب‬‫است‬.‫احتمال‬‫آنکه‬‫با‬
‫انتخاب‬8‫نفر‬‫از‬‫ببینندگان‬‫های‬‫شبکه‬‫تلویزیونی‬‫پنج‬‫نفر‬‫شبکه‬3‫و‬‫دو‬‫نفر‬‫شبکه‬12‫و‬‫یک‬‫نفر‬‫نیز‬‫شبکه‬10‫را‬‫ببنید‬‫برابر‬‫با‬:
26
09450203050
125
8 123
......
!!.!.
!

‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

‫چبیشف‬ ‫قضیه‬-Chebyshev’s Theorem
•‫نتیجه‬ ‫در‬ ‫تصادفی‬ ‫متغیر‬ ‫مقادیر‬ ‫زیاد‬ ‫پراکندگی‬ ،‫واریانس‬ ‫بودن‬ ‫بزرگ‬
–‫بود‬ ‫خواهد‬ ‫زیاد‬ ‫میانگین‬ ‫از‬ ‫دور‬ ‫مقادیر‬ ‫مشاهده‬ ‫احتمال‬
•‫میانگین‬ ‫به‬ ‫تصادفی‬ ‫متغیر‬ ‫مقادیر‬ ‫بودن‬ ‫نزدیک‬ ،‫واریانس‬ ‫بوده‬ ‫کوچک‬
–‫بود‬ ‫خواهد‬ ‫زیاد‬ ‫میانگین‬ ‫به‬ ‫نزدیک‬ ‫مقادیر‬ ‫وجود‬ ‫احتمال‬.
•‫تصادفی‬ ‫متغیر‬ ‫واریانس‬ ‫و‬ ‫میانگین‬ ،‫احتمال‬ ‫بین‬ ‫رابطه‬
27
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

•‫چبیشف‬ ‫قضیه‬-(1821-1894)
–‫کنید‬ ‫فرض‬X‫و‬ ‫تصادفی‬ ‫متغیر‬‫میانگین‬(‫ریاضی‬ ‫امید‬)‫و‬‫باشد‬ ‫تصادفی‬ ‫متغیر‬ ‫معیار‬ ‫انحراف‬.‫م‬ ‫عدد‬ ‫هر‬ ‫برای‬‫ثبت‬k
‫داشت‬ ‫خواهیم‬:
•‫انحراف‬ ‫از‬ ‫مضربی‬ ‫شعاع‬ ‫و‬ ‫میانگین‬ ‫مرکز‬ ‫به‬ ‫همسایگی‬ ‫در‬ ‫تصادفی‬ ‫متغیر‬ ‫قرارگیری‬ ‫احتمال‬ ‫برای‬ ‫پایین‬ ‫کران‬ ‫یک‬‫معیار‬
28
2
1
1
k
)k|X[|P  
)kXk[P)kXk[P  
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

‫مسئله‬:
•‫تعداد‬‫تلفن‬‫به‬‫یک‬‫مرکز‬‫از‬‫ساعت‬9‫تا‬10‫صبج‬‫یک‬‫متغیر‬‫تصادفی‬‫با‬‫میانگین‬10.24‫و‬‫انحراف‬‫استاندارد‬3.2‫است‬.‫با‬‫در‬‫نظر‬
‫گرفتن‬‫مقدار‬k=3‫و‬k=2‫در‬‫نامساوی‬‫چبیشف‬‫در‬‫مورد‬‫تعداد‬‫ها‬‫تلفن‬‫چه‬‫فهمیم؟‬‫می‬
29
9
8
9
1
1
3
1
1
8419640
692410692410
2332410
2




).X.[P
)..X..[P
).|.X[|P
4
3
2
1
1
6416843
462410462410
2322410
2




).X.[P
)..X..[P
).|.X[|P
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

‫مسئله‬:
•‫در‬‫پرتاب‬400‫مرتبه‬‫یک‬‫سکه‬،‫سالم‬‫با‬‫در‬‫نظر‬‫گرفتن‬‫مقدار‬k=6‫نامساوی‬‫چبیشف‬‫برای‬‫تعداد‬‫شیرها‬‫چه‬‫پیش‬‫بینی‬‫دارد؟‬
30
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

‫فرادرس‬ ‫در‬ ‫شده‬ ‫مطرح‬ ‫نکات‬ ‫مبنای‬ ‫بر‬ ‫ها‬ ‫اسالید‬ ‫این‬
«‫مهندسی‬ ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬ ‫آموزش‬»
‫است‬ ‫شده‬ ‫تهیه‬.
‫نمایید‬ ‫مراجعه‬ ‫زیر‬ ‫لینک‬ ‫به‬ ‫آموزش‬ ‫این‬ ‫مورد‬ ‫در‬ ‫بیشتر‬ ‫اطالعات‬ ‫کسب‬ ‫برای‬.
31
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

آموزش آمار و احتمال مهندسی - بخش سوم

Recommended

Recommended

More Related Content

More from faradars

More from faradars (20)

آموزش آمار و احتمال مهندسی - بخش سوم