آموزش آمار و احتمال مهندسی - بخش هشتم

‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫مهندسی‬ ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬
‫مدرس‬:
‫بد‬ ‫ری‬ ‫آرمان‬
‫آمار‬ ‫دکتری‬ ‫دانشجوی‬
‫بیرجند‬ ‫دانشگاه‬
1
‫متغیره‬ ‫دو‬ ‫تحلیل‬
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

‫هشتم‬ ‫فصل‬-‫متغیره‬ ‫دو‬ ‫تحلیل‬
‫تصادفی‬ ‫متغیر‬ ‫دو‬ ‫توام‬ ‫دو‬ ‫توزیع‬(X,Y)
–‫تصادفی‬ ‫متغیر‬ ‫دو‬ ‫براساس‬ ‫نمونه‬ ‫فضای‬
–‫بعدی‬ ‫دو‬ ‫تصادفی‬ ‫متغیر‬
–‫احتمال‬ ‫تابع‬(‫چگالی‬)
–‫ای‬‫حاشیه‬ ‫چگالی‬ ‫تابع‬
–‫واریانس‬ ‫و‬ ‫ریاضی‬ ‫امید‬
–‫همبستگی‬ ‫ضریب‬
‫مثال‬:‫شود‬‫می‬ ‫پرتاب‬ ‫سالم‬ ‫سکه‬ ‫یک‬ ‫بار‬ ‫سه‬.X‫و‬ ‫پرتاب‬ ‫سه‬ ‫در‬ ‫شیرها‬ ‫تعداد‬Y‫اول‬ ‫پرتاب‬ ‫دو‬ ‫در‬ ‫شیرها‬ ‫تعداد‬
2
‫دوبعدی‬ ‫نمونه‬ ‫فضای‬ TTT HTT TTH THT HHT HTH THH HHH
(X,Y) (0,0) (1,1) (1,0) (1,1) (2,2) (2,1) (2,1) (3,2)
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

‫احتمال‬ ‫تابع‬(‫چگالی‬)‫توام‬-Joint Density
•‫تصادفی‬ ‫متغیر‬ ‫دو‬ ‫توام‬ ‫توزیع‬
–‫گسسته‬:P(X=x,Y=y)=P[(X,Y)=(x,y)]
–‫پیوسته‬:fX,Y(x,y)
•‫قبل‬ ‫مثال‬ ‫در‬:
•‫پیوسته‬ ‫توزیع‬ ‫مثال‬:X‫و‬ ‫خون‬ ‫در‬ ‫کلسیم‬ ‫میزان‬Y‫باشد‬ ‫خون‬ ‫در‬ ‫کلسترول‬ ‫میزان‬.‫صورت‬ ‫به‬ ‫توام‬ ‫چگالی‬ ‫تابع‬
fX,Y(x,y)=1/240 8.5<x<10.5 , 120<y<240
3
X
Y
0 1 2 3
0 1/8 1/8 0 0
1 0 2/8 2/8 0
2 0 0 1/8 1/8
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

‫ای‬‫حاشیه‬ ‫چگالی‬-Marginal Density
•‫گسسته‬:P(X=x)=y
P(X=x,Y=y)P(Y=y)=x
P(X=x,Y=y)
‫قبل‬ ‫مثال‬ ‫در‬:
4
X
Y
0 1 2 3 fY
(y)
0 1/8 1/8 0 0 2/8
1 0 2/8 2/8 0 4/8
2 0 0 1/8 1/8 2/8
fX
(x) 1/8 3/8 3/8 1/8 1
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

‫ای‬‫حاشیه‬ ‫چگالی‬-Marginal Density
•‫پیوسته‬:
5
240120
240
2
240
1
51058
2
1
240
1
510
58
240
120




y,dx)y(f
.x.,dy)x(f
.
.
Y
X








dx)y,x(f)y(f
dy)y,x(f)x(f
Y,XY
Y,XX
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

‫تصادفی‬ ‫متغیر‬ ‫دو‬ ‫استقالل‬
•‫استقالل‬‫دو‬‫متغیر‬‫تصادفی‬‫گسسته‬:P(X=x,Y=y)= P(X=x)P(Y=y)
•‫استقالل‬‫دو‬‫متغیر‬‫تصادفی‬‫پیوسته‬:fX,Y
(x,y)=fX
(x).fY
(y)
•‫پرتاب‬‫دوبار‬‫یک‬‫سکه‬‫و‬X‫تعداد‬‫شیرها‬‫و‬Y‫تعداد‬‫خط‬‫ها‬
•P(X=1,Y=1)=P(X=1).P(Y=1)
•P(X=2,Y=0)=P(X=2).P(Y=0)
•P(X=0,Y=2)=P(X=0).P(Y=2)
6
X
Y
0 1 2 fY
(y)
0 0 0 ¼ ¼
1 0 2/4 0 2/4
2 ¼ 0 0 ¼
fX
(x) ¼ 2/4 ¼ 1
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

‫کوواریانس‬-Covariance
•‫کوواریانس‬
•‫تصادفی‬ ‫متغیر‬ ‫دو‬ ‫استقالل‬ ‫صورت‬ ‫در‬
7
( , ) [( )( )] ( ) ( ) ( )x yCov X Y E X Y E XY E X E Y     
0 )Y(E)X(E)XY(E)Y,X(Cov
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

‫کوواریانس‬ ‫خصوصیات‬-Covariance
•‫داشت‬ ‫خواهد‬ ‫فاصله‬ ‫صفر‬ ‫از‬ ‫کوواریانس‬ ‫مقدار‬ ‫متغیر‬ ‫دو‬ ‫بین‬ ‫وابستگی‬ ‫وجود‬ ‫صورت‬ ‫در‬.
‫متغیر‬ ‫دو‬ ‫بین‬ ‫خطی‬ ‫رابطه‬ ‫وجود‬ ‫صورت‬ ‫در‬Y=aX+b
8
0


)c,X(Cov
)X,Y(Cov)Y,X(Cov
)X(Var)X,X(Cov
)X(aVar)X,X(aCov)Y,X(Cov 
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

‫کوواریانس‬-Covariance
•‫تصادفی‬ ‫متغیر‬ ‫دو‬ ‫بین‬ ‫کوواریانس‬ ،‫سکه‬ ‫سه‬ ‫پرتاب‬ ‫مثال‬ ‫توام‬ ‫احتمال‬ ‫تابع‬ ‫به‬ ‫توجه‬ ‫با‬X,Y‫با‬ ‫است‬ ‫برابر‬:
9
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

‫کوواریانس‬ ‫خصوصیات‬-Covariance
•‫مسئله‬:‫اگر‬X,Y‫کوواریانس‬ ‫بین‬ ‫ای‬‫رابطه‬ ‫چه‬ ،‫باشند‬ ‫تصادفی‬ ‫متغیر‬ ‫دو‬aX+b,cY+d‫داشت؟‬ ‫خواهد‬ ‫وجود‬
10
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

‫همبستگی‬ ‫ضریب‬
•‫همبستگی‬ ‫ضریب‬-‫متغیر‬ ‫دو‬ ‫بین‬ ‫خطی‬ ‫رابطه‬ ‫گیری‬‫اندازه‬ ‫شاخص‬(‫معکوس‬ ‫و‬ ‫مستقیم‬)
11
YVariable
X Variable
‫رابطه‬‫معکوس‬
YVariable
X Variable
‫مستقیم‬ ‫رابطه‬ ‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

‫همبستگی‬ ‫ضریب‬-Correlation Coefficient
•‫همبستگی‬ ‫ضریب‬-‫بازه‬ ‫در‬ ‫مقداری‬(1+‫و‬1-)
12
)Y(Var)X(Var
)Y,X(Cov
)Y,X(Corr 
‫وجود‬ ‫عدم‬
‫خطی‬ ‫رابطه‬
‫رابطه‬ ‫وجود‬
‫خطی‬‫مستقیم‬
‫رابطه‬ ‫وجود‬
‫خطی‬‫معکوس‬
0 +1-1
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

‫همبستگی‬ ‫ضریب‬
•‫متغیرهای‬ ‫و‬ ‫سکه‬ ‫سه‬ ‫پرتاب‬ ‫مثال‬ ‫به‬ ‫توجه‬ ‫با‬X,Y‫با‬ ‫است‬ ‫برابر‬ ‫همبستگی‬ ‫ضریب‬ ،‫شده‬ ‫تعریف‬:
13
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

‫همبستگی‬ ‫ضریب‬ ‫خصوصیات‬
•‫ماند‬ ‫خواهد‬ ‫ثابت‬ ،‫متغیرها‬ ‫روی‬ ‫مکان‬ ‫تغییر‬ ‫یا‬ ‫و‬ ‫مقیاس‬ ‫تغییر‬ ‫با‬ ‫همبستگی‬ ‫ضریب‬.
Corr(aX+b,cY+d)=Corr(X,Y)
14
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

‫نرمال‬ ‫متغیره‬ ‫دو‬ ‫چگالی‬
•‫مرتب‬ ‫زوج‬(Z1,Z2)‫باشد‬ ‫زیر‬ ‫صورت‬ ‫به‬ ‫آن‬ ‫چگالی‬ ‫اگر‬ ‫گویند‬ ‫استاندارد‬ ‫نرمال‬ ‫توزیع‬ ‫دارای‬ ‫را‬:
•‫همبستگی‬ ‫ضریب‬ ‫و‬ ‫استاندارد‬ ‫نرمال‬ ‫توزیع‬ ‫دارای‬ ‫تصادفی‬ ‫متغیرهای‬ ‫از‬ ‫کدام‬ ‫هر‬ ‫که‬‫هستند‬.
•‫زوج‬ ‫توام‬ ‫توزیع‬ ‫که‬ ‫صورتی‬ ‫در‬(X,Y)‫بود‬ ‫خواهد‬ ‫صفر‬ ‫با‬ ‫برابر‬ ‫همبستگی‬ ‫ضریب‬ ،‫ها‬‫آن‬ ‫استقالل‬ ‫صورت‬ ‫در‬ ،‫باشد‬ ‫نرمال‬.
•‫زوج‬ ‫توام‬ ‫توزیع‬ ‫که‬ ‫صورتی‬ ‫در‬(X,Y)‫ب‬ ‫خواهند‬ ‫مستقل‬ ،‫متغیر‬ ‫دو‬ ‫آن‬ ،‫باشد‬ ‫صفر‬ ‫با‬ ‫برابر‬ ‫همبستگی‬ ‫ضریب‬ ‫و‬ ‫باشد‬ ‫نرمال‬‫ود‬.
15
)zzz_z(
)(
e),z,z(f
2
221
2
12
2
12
1
221
12
1 







 ‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

‫همبستگی‬ ‫ضریب‬ ‫برآورد‬
•‫شود‬‫می‬ ‫گرفته‬ ‫نظر‬ ‫در‬ ‫جامعه‬ ‫همبستگی‬ ‫ضریب‬ ‫برآوردگر‬ ‫عنوان‬ ‫به‬ ،‫نمونه‬ ‫همبستگی‬ ‫ضریب‬.
•‫صورت‬ ‫به‬ ‫همبستگی‬ ‫ضریب‬ ‫برآورد‬ ‫یعنی‬ ،‫برآوردگر‬ ‫مقدار‬
16
YXXY
)YY)(XX(
n
S
SS
S
Rˆ
iixy
YX
XY




1





2222
2222
1
1
YY)YY(
n
S
XX)XX(
n
S
iy
ix
yx
xy
SS
S
r 
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

‫همبستگی‬ ‫ضریب‬ ‫بر‬ ‫آماری‬ ‫استنباط‬
•‫مربوطه‬ ‫آزمون‬ ‫و‬ ‫همبستگی‬ ‫ضریب‬ ‫تقریبی‬ ‫توزیع‬
17
),(N~
W
Z
n
,)ln(
)
n
),ln((N~)
R
R
ln(W
w
w
ww
10
3
1
1
1
2
1
3
1
1
1
2
1
1
1
2
1
2




















‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

‫همبستگی‬ ‫ضریب‬ ‫برای‬ ‫آماری‬ ‫استنباط‬
18
H0 H1 ‫آزمون‬ ‫آماره‬ ‫بحرانی‬ ‫ناحیه‬
=0
>0
Z>z1-
=0 <0 “ “ Z<-z1-
=0 0 “ “ |Z|>z1-/2
w
wW
Z

 0

‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

•‫آزمون‬‫زیر‬‫را‬‫برای‬‫ضریب‬‫همبستگی‬‫توسط‬‫یک‬‫نمونه‬‫تصادفی‬103‫تایی‬‫با‬‫مقدار‬‫ضریب‬‫همبستگی‬‫ای‬‫نمونه‬r=0.5‫با‬‫میزان‬
‫آزمون‬5%‫بیابید‬.
19







60
60
1
0
.:H
.:H


‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

•‫همبستگی‬ ‫ضریب‬ ‫پارامتر‬ ‫برای‬ ‫اطمینان‬ ‫فاصله‬
‫با‬‫جایگزینی‬R‫به‬‫عنوان‬‫برآوردگر‬‫با‬r‫به‬‫عنوان‬‫برآورد‬‫ضریب‬‫همبستگی‬‫براساس‬‫نمونه‬،‫تصادفی‬‫حدود‬‫فاصله‬‫اطمینان‬‫بدست‬‫آی‬‫می‬‫د‬.
Z1-/2‫است‬ ‫استاندارد‬ ‫نرمال‬ ‫توزیع‬ ‫به‬ ‫مربوط‬ ‫بحرانی‬ ‫نقطه‬ ‫نیز‬.
20
)
)
n
z
exp()R()R(
)
n
z
exp()R()R(
,
)
n
z
exp()R()R(
)
n
z
exp()R()R(
(
3
2
11
3
2
11
3
2
11
3
2
11
2
1
2
1
2
1
2
1


















‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

•‫براساس‬‫یک‬‫نمونه‬‫ده‬‫تایی‬‫ضریب‬‫همبستگی‬‫بین‬‫اندازه‬‫گیری‬‫نیترات‬‫آب‬‫به‬‫دو‬‫شیوه‬‫دستی‬‫و‬‫خودکار‬‫برابر‬‫ب‬‫ا‬0.978‫است‬.
‫یک‬‫فاصله‬‫اطمینان‬95‫درصدی‬‫برای‬‫ضریب‬‫همبستگی‬‫بیابید‬
21
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

‫برگشت‬ ‫خط‬-Regression
•‫مستقل‬ ‫متغیر‬-X
–‫کنترل‬ ‫قابل‬
–‫تصادفی‬ ‫غیر‬
•‫وابسته‬ ‫متغیر‬-Y|x
–‫تصادفی‬ ‫متغیر‬
–‫مقدار‬ ‫به‬ ‫وابسته‬x
‫دیپلم‬ ‫معدل‬(‫مستقل‬ ‫متغیر‬)-‫کنکور‬ ‫تراز‬ ‫نمره‬(‫وابسته‬ ‫متغیر‬-‫دیپلم‬ ‫معدل‬ ‫به‬ ‫وابستگی‬)
22
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

‫برگشت‬ ‫خط‬-Regression
•‫ارتباطی‬ ‫مدل‬:‫وابسته‬ ‫متغیر‬ ‫و‬ ‫مستقل‬ ‫متغیر‬ ‫بین‬ ‫خطی‬ ‫رابطه‬
Y|x=a+bx+E
E=Y|x-a+bx
‫مدل‬ ‫پارامترهای‬a , b‫خطا‬ ‫میزان‬ ‫واریانس‬ ‫و‬ ‫میانگین‬ ‫و‬(E)‫هستند‬.E‫واریانس‬ ‫و‬ ‫صفر‬ ‫میانگین‬ ‫با‬ ‫تصادفی‬ ‫متغیر‬2
‫تصادفی‬ ‫متغیر‬Y|x‫میانگین‬ ‫با‬a+bx‫و‬‫واریانس‬2
23
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

‫برگشت‬ ‫خط‬
•‫مدل‬ ‫پارامترهای‬ ‫برآورد‬-‫رگرسیون‬ ‫خط‬ ‫معادله‬ ‫ضرایب‬(a,b)‫های‬‫زوج‬ ‫از‬ ‫تصادفی‬ ‫نمونه‬ ‫یک‬ ‫براساس‬(x,Y|x)
•‫بود‬ ‫خواهد‬ ‫جمع‬ ‫صورت‬ ‫به‬ ‫مدل‬ ‫ضرایب‬ ‫بین‬ ‫رابطه‬ ‫یعنی‬ ‫خطی‬ ‫رابطه‬.
•‫ب‬‫رای‬‫سادگی‬Y|x‫را‬Y‫گیریم‬‫می‬ ‫نظر‬ ‫در‬.
•‫مرتب‬ ‫زوج‬ ‫تصادفی‬ ‫نمونه‬ ‫یک‬ ‫از‬ ‫مرتب‬ ‫های‬‫زوج‬n‫تایی‬.(x1, Y1),(x2, Y2),(x3, Y3),…(xn, Yn)
•Ei‫هستند‬ ‫نرمال‬ ‫توزیع‬ ‫دارای‬ ‫و‬ ‫مستقل‬ ‫ها‬.
Yi=a+bxi+Ei
E(Yi) = a+bxi ,Var(Yi)= 2
E(Ei) = 0 ,Var(Ei)= 2
24
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

‫رگرسیونی‬ ‫ضرایب‬ ‫برآورد‬
•‫خطا‬ ‫مربع‬ ‫کمترین‬ ‫روش‬-Least Square Error
–‫خطا‬ ‫مربع‬ ‫کردن‬ ‫کمینه‬ ‫براساس‬ ‫پارامترها‬ ‫برآورد‬
–‫برآوردها‬
25
)b,a(A)]bxa(y[eSSE
n
i
ii
n
i
i    1
2
1
2
2222
2
2
2 xy
x
xy
sbˆsˆxbˆyaˆ
n
)x(
x
n
yx
xy
s
s
bˆ 



 
 

‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

‫مثال‬:‫نمرات‬‫مربوط‬‫به‬‫درس‬‫زبان‬‫خارجی‬‫برای‬10‫نفر‬‫که‬‫تعداد‬‫های‬‫سال‬‫اقامتشان‬‫در‬‫یک‬‫کشور‬‫خارجی‬‫ثبت‬‫شده‬،‫در‬‫جدول‬
‫است‬‫آمده‬.‫برآورد‬‫مدل‬‫رگرسیون‬‫خطی‬‫به‬‫صورت‬‫زیر‬‫است‬:
26
‫جمع‬
‫اقامت‬ ‫مدت‬ -x 3 4 4 2 5 3 4 5 3 2 35
‫خارجی‬ ‫زبان‬ ‫نمره‬ -Y 57 78 72 58 89 63 73 84 75 48 697
‫جمع‬
x2 9 16 16 4 25 9 16 25 9 4 133
xy 171 312 288 116 445 189 292 420 225 96 2554
y2
3249 6084 5184 3364 7921 3969 5329 7056 5625 2304 50085
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

27x..yˆ
..xbˆyaˆ
)(
S
.
.
.
)(s
s
bˆ
y
x
xy
90105531
5531
10
35
9010
10
697
10
697
50085
9010
510
5114
10
35
133
10
69735
2554
2
2
22








‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

‫وابسته‬ ‫متغیر‬ ‫بینی‬ ‫پیش‬
•‫متوسط‬ ‫طور‬ ‫به‬ ‫وابسته‬ ‫متغیر‬ ‫مقدار‬ ‫بینی‬ ‫پیش‬(‫ریاضی‬ ‫امید‬)
E(Y|x)=a+bx
‫وابسته‬ ‫متغیر‬ ‫بینی‬‫پیش‬ ‫برای‬ ‫برآورد‬
28
3553290105531 .)(..yˆ
xbˆaˆyˆ


‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

‫رگرسیونی‬ ‫برآوردگرهای‬ ‫توزیع‬
•‫مدل‬ ‫پارامترهای‬ ‫برآورد‬ ‫توزیع‬
29
)
nS
x
,a(N~aˆ
x
i
2
22

)
nS
,b(N~bˆ
x
2
2

2
2
2 22
2
2
2




n
SSE
S);n(~
S)n(SSE


‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

‫رگرسیونی‬ ‫معادله‬ ‫ضرایب‬ ‫به‬ ‫مربوط‬ ‫اطمینان‬ ‫فاصله‬
•‫مدل‬ ‫پارامترهای‬ ‫برآورد‬ ‫توزیع‬
•‫رگرسیونی‬ ‫ضرایب‬ ‫برای‬ ‫اطمینان‬ ‫فاصله‬
–‫ثابت‬ ‫مقدار‬
–‫متغیر‬ ‫ضریب‬
30
)
nS
x
Staˆ,
nS
x
Staˆ(
x
i
),n(
x
i
),n( 2
2
2
122
2
2
12


 
)
S
S
tbˆ,
S
S
tbˆ(
x
),n(
x
),n( 2
2
122
2
12



)
nS
,b(N~bˆ,)
nS
x
,a(N~aˆ
xx
i
2
2
2
22
 
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

‫رگرسیونی‬ ‫معادله‬ ‫ضرایب‬ ‫به‬ ‫مربوط‬ ‫آزمون‬
31
H0 H1
‫آزمون‬ ‫آماره‬ ‫بحرانی‬ ‫ناحیه‬
=0
>0 T>t(n-2,1-)
<0 T<-t(n-2,1-)
0 |T|>t(n-2,1-/2)
b=b0
b>b0 T>t(n-1,1-)
b<b0 T<-t(n-1,1-)
bb0 |T|>t(n-1,1-/2)
2
2
0
x
i
nS
x
S
aaˆ
T



xS
S
bbˆ
T 0

‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

‫برگشت‬ ‫خط‬ ‫معادله‬
•‫مقدار‬ ‫به‬ ‫زبان‬ ‫نمره‬ ‫اقامت‬ ‫سال‬ ‫هر‬ ‫افزایش‬ ‫با‬ ‫که‬ ‫کنید‬ ‫آزمون‬ ،‫قبلی‬ ‫مثال‬ ‫در‬12.5‫یابد‬‫می‬ ‫افزایش‬ ‫واحد‬.
32
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

‫فرادرس‬ ‫در‬ ‫شده‬ ‫مطرح‬ ‫نکات‬ ‫مبنای‬ ‫بر‬ ‫ها‬ ‫اسالید‬ ‫این‬
«‫مهندسی‬ ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬ ‫آموزش‬»
‫است‬ ‫شده‬ ‫تهیه‬.
‫نمایید‬ ‫مراجعه‬ ‫زیر‬ ‫لینک‬ ‫به‬ ‫آموزش‬ ‫این‬ ‫مورد‬ ‫در‬ ‫بیشتر‬ ‫اطالعات‬ ‫کسب‬ ‫برای‬.
33
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

آموزش آمار و احتمال مهندسی - بخش هشتم

More Related Content

Viewers also liked

Similar to آموزش آمار و احتمال مهندسی - بخش هشتم

More from faradars

آموزش آمار و احتمال مهندسی - بخش هشتم