امروزه در علوم مهندسی و بخصوص مهندسی صنایع و رایانه، علم آمار کاربرد زیادی پیدا کرده است به طوری که هیچ طرح تحقیقاتی بدون استفاده از فنون آماری انجام نمی‌گیرد. آگاهی از روش‌های آماری در انجام امور کنترل کیفیت تولید نقش مهمی دارد. بنابراین آموزش آمار برای رشته های غیرآماری ضرورت پیدا کرده است. سرفصل هایی که در این آموزش به آن پرداخته شده است: درس اول: آمار توصیفی درس دوم: احتمال درس سوم: توزیع‌های احتمال درس چهارم: متغیر تصادفی پیوسته درس پنجم: نمونه گیری و توزیع های نمونه ای ... برای توضیحات بیشتر و تهیه این آموزش لطفا به لینک زیر مراجعه بفرمائید: http://faradars.org/courses/fvst9405

1. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫مهندسی‬ ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬
‫مدرس‬:
‫بد‬ ‫ری‬ ‫آرمان‬
‫آمار‬ ‫دکتری‬ ‫دانشجوی‬
‫بیرجند‬ ‫دانشگاه‬
1
‫احتمال‬
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

2. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫شمارش‬ ‫اصول‬
•‫شمارش‬ ‫اصول‬:‫مجموعه‬ ‫یک‬ ‫اعضا‬ ‫شمارش‬
‫فعالیت‬A‫به‬ ‫را‬m‫طریق‬
‫فعالیت‬B‫به‬n‫طر‬‫ی‬‫ق‬
–‫جمع‬ ‫اصل‬:‫فعالیت‬A‫یا‬B‫به‬m+n‫طریق‬
–‫ضرب‬ ‫اصل‬:‫فعالیت‬A‫فعالیت‬ ‫سپس‬B(‫برعکس‬ ‫یا‬)‫به‬mn‫طریق‬
‫مسئله‬:
•‫تاکسی‬ ‫طریق‬ ‫از‬ ‫هم‬ ‫و‬ ‫کرد‬ ‫استفاده‬ ‫اتوبوس‬ ‫از‬ ‫یا‬ ‫بتوان‬ ‫سرکار‬ ‫به‬ ‫رفتن‬ ‫برای‬ ‫اگر‬.‫توان‬‫می‬ ‫اتوبوس‬ ‫از‬ ‫استفاده‬ ‫برای‬‫مسیر‬ ‫دو‬ ‫از‬
‫کرد‬ ‫گذر‬ ‫مجزا‬ ‫مسیر‬ ‫سه‬ ‫از‬ ‫توان‬‫می‬ ‫تاکسی‬ ‫و‬ ‫مجزا‬ ‫خطی‬.‫سرکار‬ ‫به‬ ‫رفتن‬ ‫برای‬5‫داشت‬ ‫خواهد‬ ‫وجود‬ ‫مختلف‬ ‫روش‬.
•‫بین‬ ‫از‬ ‫توان‬‫می‬ ‫رستوان‬ ‫منوی‬ ‫انتخاب‬ ‫برای‬3‫و‬ ‫غذا‬2‫داد‬ ‫سفارش‬ ‫دسر‬.‫با‬ ‫برابر‬ ‫رستوان‬ ‫این‬ ‫در‬ ‫غذا‬ ‫سرو‬ ‫تنوع‬6‫بود‬ ‫خواهد‬!
2
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

3. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫شمارش‬ ‫اصول‬
‫مسئله‬:
•‫انتخاب‬ ‫به‬ ‫قادر‬ ‫رستوران‬ ‫یک‬ ‫منوی‬ ‫انتخاب‬ ‫برای‬4‫و‬ ‫غذا‬ ‫پیش‬5‫و‬ ‫غذا‬ ‫نوع‬3‫هستیم‬ ‫دسر‬ ‫نوع‬.‫ها‬‫هزینه‬ ‫در‬ ‫جویی‬ ‫صرفه‬ ‫برای‬
‫هستیم‬ ‫استفاده‬ ‫به‬ ‫قادر‬ ‫سرویس‬ ‫نوع‬ ‫دو‬ ‫از‬ ‫فقط‬.‫با‬ ‫برابر‬ ‫رستوران‬ ‫این‬ ‫در‬ ‫ما‬ ‫برای‬ ‫غذایی‬ ‫تنوع‬
‫جمع‬ ‫و‬ ‫ضرب‬ ‫اصلی‬ ‫از‬ ‫ترکیبی‬
• 45+53+4  3=47
•‫با‬ ‫برابر‬ ‫شود‬ ‫داده‬ ‫سفارش‬ ‫اصلی‬ ‫غذایی‬ ‫باید‬ ‫حتما‬ ‫آنکه‬ ‫شرط‬ ‫با‬
• 45+53= 35
3
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

4. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫ها‬ ‫جایگشت‬-Permutation
•‫جایگشت‬:‫گیری‬ ‫قرار‬n‫صف‬ ‫یک‬ ‫صورت‬ ‫به‬ ‫مجزا‬ ‫شئی‬(‫است‬ ‫مهم‬ ‫صف‬ ‫در‬ ‫گیری‬ ‫قرار‬ ‫ترتیب‬)
n!=n(n-1)(n-2)…3.2.1
•‫از‬ ‫اعداد‬ ‫توان‬‫می‬ ‫که‬ ‫حاالتی‬ ‫تعداد‬1‫تا‬5‫عدد‬ ‫یک‬ ‫تا‬ ‫قرار‬ ‫یکدیگر‬ ‫کنار‬ ‫در‬ ‫را‬5‫برابر‬ ‫شود‬ ‫تولید‬ ‫رقمی‬5!=120‫مختلف‬ ‫حالت‬
‫است‬.
•‫جایگشت‬r‫بین‬ ‫از‬ ‫شئی‬n‫مجزا‬ ‫شئی‬
•‫از‬ ‫اعداد‬ ‫توان‬‫می‬ ‫که‬ ‫حاالتی‬ ‫تعداد‬1‫تا‬5‫عدد‬ ‫یک‬ ‫تا‬ ‫داد‬ ‫قرار‬ ‫یکدیگر‬ ‫کنار‬ ‫در‬ ‫را‬3‫با‬ ‫برابر‬ ‫شود‬ ‫تولید‬ ‫رقمی‬5!/(5-3)!‫خواهد‬
‫بود‬(60‫حالت‬)
4
)rn)...(n)(n(n
)!rn(
!n
Pn
r 121 


60
2
2345
2
5
35
55
3 




!
!
!
!
)!(
!
P
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

5. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫ترتیب‬-Permutation
•‫نکته‬:
5
10 



!
!n
)!nn(
!n
Pn
n
n
1)!n(
!n
Pn
1 


‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

6. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫ترکیب‬-Combination
•‫ترکیب‬r‫بین‬ ‫از‬ ‫شئی‬n‫مجزا‬ ‫شئی‬(‫ترتیب‬ ‫گرفتن‬ ‫نظر‬ ‫در‬ ‫بدون‬)
•‫بین‬ ‫از‬ ‫توان‬‫می‬ ‫که‬ ‫حاالتی‬ ‫تعداد‬5‫داد‬ ‫تشکیل‬ ‫نفره‬ ‫سه‬ ‫تیم‬ ‫یک‬ ‫نفر‬:
•‫تعداد‬‫حاالتی‬‫که‬‫توان‬‫می‬2‫درس‬‫ریاضی‬‫از‬6‫درس‬‫ارائه‬‫شده‬‫و‬3‫درس‬‫انگلیسی‬‫از‬7‫درس‬‫ارائه‬‫شده‬‫در‬‫بخش‬‫زبان‬‫برای‬‫یک‬
‫دانشجو‬‫انتخاب‬‫کرد‬‫برابر‬‫با‬525‫روش‬‫است‬.
6
! ( 1)( 2)...( 1)
!( )! !
n
r
n n n n n n r
C
r r n r r
     
   
 
10
23
345
23
5
353
55
3 







!!
!
!!
!
)!(!
!
C
5253515
3
7
2
6












.
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

7. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫ترکیب‬-Combination
‫مسئله‬:
•‫بین‬ ‫از‬4‫و‬ ‫مهندس‬5‫و‬ ‫مدیر‬2‫تیم‬ ‫یک‬ ‫خواهیم‬‫می‬ ،‫سرپرست‬3‫دهیم‬ ‫تشکیل‬ ‫نفری‬.‫با‬ ‫است‬ ‫برابر‬ ‫انتخاب‬ ‫حاالت‬ ‫تعداد‬
7






























































































































0
2
2
5
1
4
0
2
1
5
2
4
1
2
1
5
1
4
2
2
0
5
1
4
2
2
1
5
0
4
0
2
3
5
0
4
0
2
0
5
3
4
......
........ ‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

8. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫ترکیب‬-Combination
•‫نکته‬:
8
n
rn
n
r C
rn
n
!r)!rn(
!n
)!rn(!r
!n
r
n
C 

















1
)!nn(!n
!n
n
n
Cn
n 








n
!)!n(
!n
n
n
Cn
n 









111
1
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

9. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫ترکیب‬-Combination
•‫باشد‬ ‫مجاز‬ ‫تکرار‬ ‫و‬ ‫متمایز‬ ‫غیر‬ ‫عناصر‬ ‫اگر‬،‫ترکیب‬r‫از‬ ‫شئی‬n‫صورت‬ ‫به‬ ‫شئی‬:
•‫قبلی‬ ‫نکته‬ ‫به‬ ‫توجه‬ ‫با‬:
9
)!n(!r
)!rn(
r
rn
1
11







 













 
1
11
n
rn
r
rn
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

10. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫ترکیب‬-Combination
‫مسئله‬:
•‫با‬ ‫است‬ ‫برابر‬ ‫معادله‬ ‫منفی‬ ‫غیر‬ ‫و‬ ‫صحیح‬ ‫های‬‫جواب‬ ‫تعداد‬
‫از‬ ‫منفی‬ ‫نا‬ ‫صحیح‬ ‫اعداد‬ ‫زیرا‬0‫تا‬r‫در‬ ‫باید‬ ‫را‬n‫است‬ ‫مجاز‬ ‫نیز‬ ‫تکرار‬ ‫و‬ ‫داد‬ ‫قرار‬ ‫مکان‬.
‫با‬ ‫برابر‬ ‫معادله‬ ‫جوابهای‬ ‫تعداد‬
10
rx...xxx n  321







1
1
n
rn
8321  xxx45
8
183





 
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

11. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫ترکیب‬-Combination
‫با‬ ‫همکف‬ ‫طبقه‬ ‫از‬ ‫آسانسور‬ ‫یک‬8‫کند‬‫می‬ ‫حرکت‬ ‫نفر‬.‫نماند‬ ‫باقی‬ ‫آسانسور‬ ‫در‬ ‫هیچکس‬ ‫ششم‬ ‫طبقه‬ ‫در‬.‫برای‬ ‫ممکن‬ ‫حاالت‬ ‫تعداد‬‫پیاده‬
‫معادله‬ ‫های‬ ‫جواب‬ ‫تعداد‬ ‫با‬ ‫است‬ ‫برابر‬ ‫افراد‬ ‫شدن‬
11
854321  xxxxx
990
8128
12
8
185







 
)!(!
!
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

12. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫ترکیب‬-Combination
‫مسئله‬:
•‫کنید‬ ‫ثابت‬:
12



















 
r
n
r
n
r
n
1
11
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

13. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫ترکیب‬-Combination
•‫اگر‬n‫از‬ ‫عنصر‬k‫فرم‬ ‫به‬ ‫ها‬‫آن‬ ‫جایگشت‬ ‫تعداد‬ ‫باشند‬ ‫شده‬ ‫تشکیل‬ ‫نوع‬ ‫هم‬ ‫قسمت‬
•‫ب‬ ‫برابر‬ ‫کرد‬ ‫ست‬ ‫هم‬ ‫با‬ ‫را‬ ‫یکسان‬ ‫کمربند‬ ‫نوع‬ ‫چهار‬ ‫و‬ ‫شکل‬ ‫هم‬ ‫عصا‬ ‫نوع‬ ‫دو‬ ‫و‬ ‫رنگ‬ ‫هم‬ ‫کاله‬ ‫سه‬ ‫توان‬‫می‬ ‫که‬ ‫حاالتی‬ ‫تعداد‬‫ا‬
13
nn...nn
!n!...n!n
!n
n...nn
n
k
kk







21
2121
!!!
!
423
9
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

14. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫احتمال‬
•‫احتمال‬ ‫تعریف‬
–‫به‬ ‫عددی‬ ‫دادن‬ ‫نسبت‬‫تصادفی‬ ‫آزمایش‬ ‫یک‬ ‫نتایج‬
–‫تصادفی‬ ‫آزمایش‬:‫عملی‬(‫آزمایشی‬)‫داشته‬ ‫متفاوت‬ ‫نتیجه‬ ‫است‬ ‫ممکن‬ ‫تکرار‬ ‫هربار‬ ‫با‬ ‫یکسان‬ ‫شرایط‬ ‫تحت‬ ‫که‬‫باشد‬.
‫مجم‬ ‫این‬ ‫اعضای‬ ‫از‬ ‫یک‬ ‫کدام‬ ،‫تصادفی‬ ‫آزمایش‬ ‫حاصل‬ ‫نیست‬ ‫معلوم‬ ‫ولی‬ ‫است‬ ‫مشخص‬ ‫قبل‬ ‫از‬ ‫ها‬‫نتیجه‬ ‫این‬ ‫مجموعه‬‫وعه‬
‫تصادف‬ ‫عامل‬ ‫نتیجه‬ ‫به‬ ‫حصول‬ ‫در‬ ‫زیرا‬ ‫باشد‬(‫شانس‬)‫است‬ ‫دخیل‬.
•‫یک‬ ‫تاس‬ ‫پرتاب‬‫تصادفی‬ ‫آزمایش‬‫است‬.
•‫یک‬ ،‫کارخانه‬ ‫یک‬ ‫تولیدی‬ ‫های‬‫المپ‬ ‫عمر‬ ‫طول‬‫تصادفی‬ ‫آزمایش‬‫است‬.
14
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

15. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫آن‬ ‫انواع‬ ‫و‬ ‫نمونه‬ ‫فضای‬
•‫نمونه‬ ‫فضای‬S:‫تصادفی‬ ‫آزمایش‬ ‫یک‬ ‫برآمدهای‬ ‫همه‬ ‫مجموعه‬Sample Space
–‫تاس‬ ‫یک‬ ‫پرتاب‬(‫تصادفی‬ ‫آزمایش‬)S={1,2,3,4,5,6}
–‫شیر‬ ‫دو‬ ‫مشاهده‬ ‫تا‬ ‫سکه‬ ‫یک‬ ‫برای‬ ‫الزم‬ ‫پرتاب‬ ‫تعداد‬(‫تصادفی‬ ‫آزمایش‬)S={2,3,4,…}
–‫شعاع‬ ‫به‬ ‫سیبل‬ ‫مرکز‬ ‫تا‬ ‫دارت‬ ‫برخورد‬ ‫محل‬ ‫فاصله‬50‫متر‬‫سانتی‬(‫تصادفی‬ ‫آزمایش‬)S=(0,50)
–‫ساعت‬ ‫برحسب‬ ‫المپ‬ ‫یک‬ ‫عمر‬ ‫طول‬ ‫گیری‬‫اندازه‬(‫تصادفی‬ ‫آزمایش‬)S=(0 , )
15
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

16. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫آن‬ ‫انواع‬ ‫و‬ ‫نمونه‬ ‫فضای‬
•‫گسسته‬ ‫نمونه‬ ‫فضای‬(‫پذیر‬‫شمارش‬)
–‫متناهی‬ ‫نمونه‬ ‫فضای‬
–‫نامتناهی‬ ‫نمونه‬ ‫فضای‬
•‫پیوسته‬ ‫نمونه‬ ‫فضای‬
–‫نامتناهی‬ ‫نمونه‬ ‫فضای‬
16
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

17. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫آن‬ ‫انواع‬ ‫و‬ ‫پیشامد‬
•‫تصادفی‬ ‫پیشامد‬Event:‫تصادفی‬ ‫آزمایش‬ ‫نمونه‬ ‫فضای‬ ‫از‬ ‫ای‬‫زیرمجموعه‬(‫میدانی‬ ‫سیگما‬ ‫به‬ ‫متعلق‬B‫اعضای‬ ‫از‬S)
–‫مشاهده‬6‫تاس‬ ‫پرتاب‬ ‫در‬A={6}
–‫پرتاب‬3‫شیر‬ ‫دو‬ ‫به‬ ‫رسیدن‬ ‫برای‬ ‫سکه‬ ‫بار‬A={HTH,THH}
–‫از‬ ‫کمتر‬ ‫سیبل‬ ‫مرکز‬ ‫تا‬ ‫دارت‬ ‫برخورد‬ ‫محل‬ ‫فاصله‬20‫متر‬‫سانتی‬A=(0,20)
–‫از‬ ‫کارخانه‬ ‫تولیدی‬ ‫المپ‬ ‫یک‬ ‫عمر‬ ‫طول‬200‫باشد‬ ‫بیشتر‬ ‫ساعت‬.A=(200,)
•‫ساده‬ ‫پیشامد‬:‫عضوی‬ ‫تک‬ ‫پیشامد‬
•‫مرکب‬ ‫پیشامد‬:‫عضو‬ ‫یک‬ ‫از‬ ‫بیش‬ ‫پیشامد‬
•‫محال‬ ‫پیشامد‬:‫عضوی‬ ‫هیچ‬ ‫بدون‬ ‫پیشامد‬
•‫حتمی‬ ‫پیشامد‬:‫نمونه‬ ‫فضای‬ ‫با‬ ‫برابر‬ ‫پیشامدی‬
17
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

18. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫آن‬ ‫انواع‬ ‫و‬ ‫پیشامد‬
•‫پیشامد‬ ‫وقوع‬:‫پیشامد‬ ‫عضوی‬ ‫که‬ ‫باشد‬ ‫برآمدی‬ ‫دارای‬ ‫تصادفی‬ ‫آزمایش‬ ‫نتیجه‬ ‫اگر‬A‫پیشامد‬ ‫گوییم‬ ،‫باشد‬A‫است‬ ‫داده‬ ‫رخ‬.
–‫مشاهده‬6‫تاس‬ ‫پرتاب‬ ‫در‬A={6}
•‫عدد‬ ‫اگر‬6‫پیشامد‬ ،‫شود‬ ‫مشاهده‬ ‫تاس‬ ‫در‬A‫است‬ ‫داده‬ ‫رخ‬.‫پیشامد‬ ‫صورت‬ ‫این‬ ‫غیر‬ ‫در‬A‫است‬ ‫نداده‬ ‫رخ‬.
–‫پرتاب‬3‫شیر‬ ‫دو‬ ‫به‬ ‫رسیدن‬ ‫برای‬ ‫سکه‬ ‫بار‬A={HTH,THH}
•‫سکه‬ ‫بار‬ ‫سه‬ ‫پرتاب‬ ‫نتیجه‬ ‫اگر‬{HTH}‫پیشامد‬ ،‫باشد‬A‫است‬ ‫داده‬ ‫رخ‬.
–‫از‬ ‫کمتر‬ ‫سیبل‬ ‫مرکز‬ ‫تا‬ ‫دارت‬ ‫برخورد‬ ‫محل‬ ‫فاصله‬20‫متر‬‫سانتی‬A=(0,20)
•‫از‬ ‫کمتر‬ ‫سیبل‬ ‫مرکز‬ ‫تا‬ ‫دارت‬ ‫برخورد‬ ‫محل‬ ‫فاصله‬ ‫اگر‬15‫پیشامد‬ ،‫باشد‬ ‫متر‬‫سانتی‬A‫است‬ ‫داده‬ ‫رخ‬.
–‫از‬ ‫کارخانه‬ ‫تولیدی‬ ‫المپ‬ ‫یک‬ ‫عمر‬ ‫طول‬200‫باشد‬ ‫بیشتر‬ ‫ساعت‬.A=(200,)
•‫تا‬ ‫و‬ ‫کرده‬ ‫روشن‬ ‫را‬ ‫المپی‬ ‫اگر‬300‫پیشامد‬ ،‫باشد‬ ‫مانده‬ ‫روشن‬ ‫ساعت‬A‫است‬ ‫داده‬ ‫رخ‬.
18
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

19. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫پیشامدها‬ ‫به‬ ‫روابط‬
‫زیرپیشامد‬:
•A‫پیشامد‬ ‫زیر‬ ‫را‬B‫اگر‬ ‫گویند‬AB‫باشد‬.‫پیشامد‬ ‫رخداد‬ ‫یعنی‬A‫پیشامد‬ ‫رخداد‬ ‫معنی‬ ‫به‬B‫باشد‬.
•‫برابر‬ ‫دوپیشامد‬:
•A‫و‬B‫را‬‫دو‬‫پیشامد‬‫برابر‬،‫گویند‬‫اگر‬A‫زیر‬‫پیشامد‬B‫و‬B‫نیز‬‫زیرپیشامد‬A‫باشد‬.‫یعنی‬‫رخداد‬A‫به‬‫معنی‬‫رخداد‬B‫و‬
‫رخداد‬B‫به‬‫معنی‬‫رخداد‬‫پیشامد‬A‫باشد‬.
• A=B  AB , BA
•‫در‬‫پرتاب‬‫یک‬،‫تاس‬‫پیشامد‬‫مشاهده‬‫عدد‬2‫زیرپیشامد‬‫مشاهده‬‫عدد‬‫زوج‬‫است‬.
•‫در‬‫پرتاب‬‫یک‬،‫تاس‬‫پیشامد‬‫عدد‬‫زوج‬‫کمتر‬‫از‬3‫برابر‬‫با‬‫پیشامد‬‫عدد‬2‫است‬.
19
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

20. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
•‫پیشامد‬ ‫دو‬ ‫اجتماع‬-Union:AB= {;  A or  B}
•‫پیشامد‬ ‫دو‬ ‫اشتراک‬-Intersection:AB={; A , B}
•‫پیشامد‬ ‫یک‬ ‫مکمل‬-Complement:A={; A}
•‫پیشامد‬ ‫دو‬ ‫تفاضل‬-Subtraction:A-B= {; A , B}
•‫دمورگان‬ ‫قانون‬(AB)= A B (AB)= A B
‫پیشامدها‬ ‫به‬ ‫روابط‬
20
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

21. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
•‫مسئله‬:
‫اگر‬A‫پیشامد‬‫قبولی‬‫یک‬‫دانشجو‬‫در‬‫رشته‬‫ریاضی‬‫و‬B‫پیشامد‬‫قبولی‬‫او‬‫در‬‫رشته‬‫فیزیک‬،‫باشد‬‫پیشامد‬‫اینکه‬‫او‬‫حداقل‬‫در‬‫یکی‬‫از‬
‫این‬‫ها‬‫رشته‬‫قبول‬‫شود‬‫برابر‬‫با‬A B‫خواهد‬‫بود‬‫و‬‫پیشامد‬‫اینکه‬‫او‬‫فقط‬‫در‬‫یک‬‫رشته‬‫قبول‬‫شود‬‫برابر‬‫با‬AB- (AB)‫و‬
‫پیشامد‬‫اینکه‬‫او‬‫در‬‫هیچ‬‫کدام‬‫از‬‫این‬‫دو‬‫رشته‬‫قبول‬‫نشود‬‫برابر‬‫با‬(AB)= A B
‫پیشامدها‬ ‫به‬ ‫روابط‬
21
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

22. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫ناسازگار‬ ‫پیشامدهای‬
•‫پیشامدهای‬A,B‫نباشند‬ ‫اشتراکی‬ ‫دارای‬ ‫اگر‬ ‫گویند‬ ‫ناسازگار‬ ‫دو‬ ‫به‬ ‫دو‬ ‫را‬
• AB=
•‫اگر‬A‫و‬ ‫تاس‬ ‫یک‬ ‫پرتاب‬ ‫در‬ ‫زوج‬ ‫عدد‬ ‫مشاهده‬ ‫پیشامد‬B،‫باشد‬ ‫تاس‬ ‫پرتاب‬ ‫در‬ ‫فرد‬ ‫عدد‬ ‫مشاهده‬ ‫پیشامد‬A‫و‬B‫ناسازگار‬
(‫جداازهم‬)‫بود‬ ‫خواهند‬.
22
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

23. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫ون‬ ‫نمودار‬
•‫پیشامدها‬ ‫بین‬ ‫رابطه‬ ‫ون‬ ‫نمودار‬ ‫کمک‬ ‫به‬(‫ها‬‫مجموعه‬)‫شود‬‫می‬ ‫دیده‬ ‫بهتر‬.
23
S
A B
S
A B
S
A A
S
A B
AB
A-B
AB
A
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

24. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫احتمال‬ ‫محاسبه‬
•‫همشانسی‬ ‫شیوه‬ ‫به‬ ‫احتمال‬ ‫محاسبه‬
–‫ب‬ ‫پیشامد‬ ‫هر‬ ‫احتمال‬ ،‫باشند‬ ‫داشته‬ ‫رخدادن‬ ‫برای‬ ‫یکسانی‬ ‫شانس‬ ‫تصادفی‬ ‫آزمایش‬ ‫یک‬ ‫در‬ ‫ساده‬ ‫پیشامدهای‬ ‫اگر‬‫تعداد‬ ‫رابر‬
‫شود‬‫می‬ ‫محاسبه‬ ‫ممکن‬ ‫حاالت‬ ‫کل‬ ‫بر‬ ‫مطلوب‬ ‫حاالت‬.
•‫نسبی‬ ‫فراوانی‬ ‫شیوه‬ ‫به‬ ‫احتمال‬ ‫محاسبه‬
–‫شود‬ ‫ظاهر‬ ‫مکرر‬ ‫تکرارهای‬ ‫در‬ ‫مشابه‬ ‫هایی‬‫پیشامد‬ ‫که‬ ‫است‬ ‫دفعاتی‬ ‫درصد‬ ،‫پیشامد‬ ‫یک‬ ‫احتمال‬.
•‫شخصی‬ ‫طریق‬ ‫به‬ ‫احتمال‬ ‫مقدار‬ ‫تعیین‬
–‫پیشامد‬ ‫یک‬ ‫رخداد‬ ‫از‬ ‫احساسی‬ ‫و‬ ‫شخصی‬ ‫تفسیر‬
24
)S(n
)A(n
)A(P 
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

25. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫احتمال‬ ‫محاسبه‬
‫مسئله‬:
‫اند‬‫کرده‬ ‫تهیه‬ ‫بلیط‬ ‫سینما‬ ‫یک‬ ‫برای‬ ‫زوج‬ ‫چهار‬.‫اند‬‫گرفته‬ ‫قرار‬ ‫ردیف‬ ‫یک‬ ‫در‬ ‫و‬.‫بنش‬ ‫یکدیگر‬ ‫کنار‬ ‫در‬ ‫ها‬‫زوج‬ ‫اینکه‬ ‫احتمال‬‫با‬ ‫برابر‬ ‫ینند‬
‫با‬ ‫برابر‬ ‫گیرند‬ ‫قرار‬ ‫مردان‬ ‫راست‬ ‫سمت‬ ‫در‬ ‫زنها‬ ‫و‬ ‫قسمت‬ ‫یک‬ ‫در‬ ‫مردها‬ ‫اینکه‬ ‫احتمال‬ ‫و‬
25
150
1
8
24 4

!
)!(!
)S(n
)A(n
)A(P
70
1
8
44

!
!!
)S(n
)B(n
)B(P
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

26. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫احتمال‬ ‫اصول‬
•‫احتمال‬ ‫تابع‬
–‫ای‬‫مجموعه‬ ‫تابعی‬P(‫باشد‬ ‫مجموعه‬ ‫آن‬ ‫دامنه‬)‫حقیقی‬ ‫مقادیر‬ ‫با‬(‫برد‬)‫بین‬0‫و‬1‫کند‬ ‫صدق‬ ‫زیر‬ ‫اصول‬ ‫در‬ ‫که‬.
.1‫است‬ ‫نامنفی‬ ‫عددی‬ ‫پیشامد‬ ‫هر‬ ‫احتمال‬.
.2‫با‬ ‫برابر‬ ‫نمونه‬ ‫فضای‬ ‫پیشامد‬ ‫رخداد‬ ‫احتمال‬1‫است‬.
.3‫پیشامدهای‬ ‫از‬ ‫ای‬ ‫دنباله‬ ‫اگر‬A1,A2,…‫داشت‬ ‫خواهیم‬ ،‫بگیریم‬ ‫نظر‬ ‫در‬ ‫باشند‬ ‫مجزا‬ ‫دو‬ ‫به‬ ‫دو‬ ‫که‬.
‫تایی‬ ‫سه‬ ،‫حالتی‬ ‫چنین‬ ‫در‬(S,B,P)‫گویند‬ ‫احتمال‬ ‫فضای‬ ‫را‬.
26
1 2 1 2( ...) ( ) ( ) ...
i j
P A A P A P A
A A 
    
 
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

27. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫احتمال‬ ‫قضایای‬
•‫قضیه‬1:‫است‬ ‫صفر‬ ‫با‬ ‫برابر‬ ‫تهی‬ ‫پیشامد‬ ‫احتمال‬.
•‫قضیه‬2:‫دو‬ ‫اجتماع‬ ‫احتمال‬(‫چند‬)‫است‬ ‫ها‬‫آن‬ ‫احتمالت‬ ‫مجموع‬ ‫با‬ ‫برابر‬ ‫هم‬ ‫از‬ ‫جدا‬ ‫پیشامد‬.
•‫قضیه‬3:‫با‬ ‫است‬ ‫برابر‬ ‫پیشامد‬ ‫یک‬ ‫متمم‬ ‫رخداد‬ ‫احتمال‬:
27
1 2 1 2
1 2
( ) ( ) ( )P A A P A P A
A A 
  
 
0)(P 
)A(P)'A(P 1
1 2 3
1
( ... ) ( )
,
n
n i
i
i j
P A A A A P A
A A i j

   
  

‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

28. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫احتمال‬ ‫و‬ ‫شانس‬
•‫است‬ ‫پیشامد‬ ‫آن‬ ‫رخداد‬ ‫عدم‬ ‫به‬ ‫آن‬ ‫رخداد‬ ‫احتمال‬ ‫نسبت‬ ‫با‬ ‫برابر‬ ‫پیشامد‬ ‫یک‬ ‫شانس‬.
‫مسئله‬:
‫احتمال‬ ‫با‬ ‫پیشامدی‬ ‫شانس‬0.2‫با‬ ‫برابر‬0.25‫رخداد‬ ‫شانس‬ ‫که‬ ‫معنی‬ ‫به‬ ‫که‬ ‫است‬1‫به‬4‫است‬.
•‫شانس‬ ‫با‬ ‫پیشامدی‬ ‫برای‬ ‫احتمال‬ ‫با‬ ‫شانس‬ ‫رابطه‬a‫به‬b
28
)A(P
)A(P
b
a


1
4
1
201
20

 .
.
ba
a
)A(P


‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

29. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫احتمال‬ ‫قضایای‬
•‫قضیه‬4:‫پیشامد‬ ‫دو‬ ‫با‬A,B‫تفاضل‬ ‫احتمال‬B‫از‬A‫صورت‬ ‫به‬
•‫نتیجه‬:‫اگر‬B‫مجموعه‬ ‫زیر‬A‫آنگاه‬ ‫باشد‬
•‫نتیجه‬:‫اگر‬B‫مجموعه‬ ‫زیر‬A‫رخداد‬ ‫احتمال‬ ،‫باشد‬B‫رخداد‬ ‫از‬ ‫کمتر‬A‫است‬.
29
)BA(P)A(P)BA(P 
AB
)A(P)B(P


AB
)B(P)A(P)BA(P


‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

30. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫احتمال‬ ‫قضایای‬
•‫قضیه‬5:‫پیشامد‬ ‫دو‬ ‫با‬A,B‫با‬ ‫برابر‬ ‫ها‬‫آن‬ ‫اجتماع‬ ‫احتمال‬
•‫نتیجه‬:
30
)BA(P)B(P)A(P)BA(P 
)BA(P)B(P)A(P)BA(P 
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

31. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫احتمال‬ ‫قضایای‬
•‫نتیجه‬:‫بول‬ ‫نامساوی‬
•‫نتیجه‬:‫فرونی‬ ‫بن‬ ‫نامساوی‬
31
)B(P)A(P)BA(P 
1 )B(P)A(P)BA(P
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

32. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫احتمال‬ ‫قضایای‬
‫مسئله‬:
‫برای‬‫کاپیتانی‬‫تیم‬‫والیبال‬4‫نفر‬‫در‬‫نظر‬‫گرفته‬‫اند‬‫شده‬.‫احتمال‬‫اینکه‬‫نفر‬‫اول‬‫کاپیتان‬‫شود‬2‫برابر‬‫نفر‬‫دوم‬‫و‬‫نفر‬‫دوم‬2‫برابر‬‫نفر‬‫سوم‬
‫است‬.‫احتمال‬‫انتخاب‬‫نفر‬‫سوم‬‫و‬‫چهارم‬‫برای‬‫کاپیتانی‬‫نیز‬‫یکسان‬‫است‬.‫با‬‫توجه‬‫به‬‫رابطه‬‫زیر‬‫احتماالت‬‫انتخاب‬‫هر‬‫نفر‬‫به‬‫صورت‬:
‫نشود‬ ‫انتخاب‬ ‫کاپیتانی‬ ‫برای‬ ‫اول‬ ‫نفر‬ ‫اینکه‬ ‫احتمال‬.‫صورت‬ ‫به‬:
‫صورت‬ ‫به‬ ‫شوند‬ ‫انتخاب‬ ‫کاپیتانی‬ ‫برای‬ ‫دوم‬ ‫یا‬ ‫اول‬ ‫نفر‬ ‫اینکه‬ ‫احتمال‬ ‫حداکثر‬:
‫صورت‬ ‫به‬ ‫نشوند‬ ‫انتخاب‬ ‫کاپیتانی‬ ‫برای‬ ‫دوم‬ ‫و‬ ‫اول‬ ‫نفر‬ ‫اینکه‬ ‫احتمال‬ ‫حداقل‬:
32
1 )D(P)C(P)B(P)A(P ‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

33. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫شرطی‬ ‫احتمال‬
•‫شده‬ ‫تعیین‬ ‫شرط‬ ‫براساس‬ ،‫شده‬ ‫کوچک‬ ‫نمونه‬ ‫فضای‬ ‫براساس‬ ‫احتمال‬
‫با‬ ‫برابر‬ ‫باشد‬ ‫کرده‬ ‫انتخاب‬ ‫ارزیابی‬ ‫در‬ ‫را‬ ‫مطلوب‬ ‫خدمات‬ ‫گزینه‬ ‫و‬ ‫باشد‬ ‫داشته‬ ‫رضایت‬ ‫خدمات‬ ‫از‬ ‫مشتری‬ ‫اینکه‬ ‫احتمال‬
‫با‬ ‫برابر‬ ‫خدمات‬ ‫از‬ ‫رضایت‬ ‫احتمال‬ ‫است‬ ‫شده‬ ‫اعزام‬ ‫دیده‬ ‫آموزش‬ ‫تعمیرکار‬ ‫که‬ ‫بدانیم‬ ‫اگر‬
33
‫مطلوب‬ ‫خدمات‬ ‫نامطلوب‬ ‫خدمات‬ ‫کل‬
‫دیده‬ ‫آموزش‬ ‫کار‬ ‫تعمیر‬ 48 16 64
‫ندیده‬ ‫آموزش‬ ‫کار‬ ‫تعمیر‬ 24 62 86
‫کل‬ 72 78 150
480
150
72
.
750
64
48
.
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

34. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫شرطی‬ ‫احتمال‬
•‫پیشامد‬ ‫اگر‬B‫شرطی‬ ‫احتمال‬ ،‫باشد‬ ‫مثبت‬ ‫احتمال‬ ‫دارای‬A‫پیشامد‬ ‫دانستن‬ ‫با‬B‫برابر‬
•‫داریم‬ ‫باال‬ ‫رابطه‬ ‫از‬
•‫اگر‬ ‫همچنین‬A‫مجموعه‬ ‫زیر‬B‫باشد‬
34
)B(P
)BA(P
)B|A(P


)BA(P)B(P)B|A(P 
)B(P
)A(P
)B(P
)BA(P
)B|A(P 


‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

35. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫شرطی‬ ‫احتمال‬
‫مسئله‬:
•‫اگر‬‫ای‬‫خانواده‬‫دارای‬‫سه‬‫فرزند‬‫باشند‬‫و‬‫فرزند‬‫اول‬‫و‬‫آخر‬‫همجنس‬،‫باشند‬‫احتمال‬‫اینکه‬‫فرزند‬‫وسطی‬‫نیز‬‫با‬‫بقیه‬‫همجن‬‫س‬‫باشد‬
‫چقدر‬‫است؟‬
•A‫فرزندان‬ ‫تمام‬ ‫بودن‬ ‫همجنس‬ ‫پیشامد‬
•B‫سوم‬ ‫و‬ ‫اول‬ ‫فرزند‬ ‫بودن‬ ‫همجنس‬ ‫پیشامد‬
35
)B(P
)BA(P
)B|A(P


‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

36. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫مستقل‬ ‫پیشامدهای‬
•‫پیشامد‬A‫به‬ ‫نسبت‬ ‫را‬B‫رخداد‬ ‫اگر‬ ‫گویند‬ ‫مستقل‬B‫رخداد‬ ‫در‬A‫باشد‬ ‫نداشته‬ ‫تاثیری‬.
•‫پیشامد‬ ‫اگر‬A‫به‬ ‫نسبت‬B‫پیشامد‬ ،‫باشد‬ ‫مستقل‬B‫به‬ ‫نسبت‬ ‫نیز‬A‫است‬ ‫مستقل‬.
•‫پیشامد‬A‫و‬B‫اگر‬ ‫گوبند‬ ‫مستقل‬ ‫هم‬ ‫به‬ ‫نسبت‬ ‫را‬
36
)A(P)B|A(P 
)B(P).A(P)BA(P 
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

37. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫مستقل‬ ‫پیشامدهای‬
‫مسئله‬:
‫در‬‫طول‬‫یک‬‫ترم‬75‫درصد‬‫دانشجویان‬‫در‬‫درس‬‫جبر‬‫نمره‬‫قبولی‬‫گیرند‬‫می‬.‫و‬‫همچنین‬‫در‬‫درس‬‫زبان‬‫نیز‬‫درصد‬‫دانشجویانی‬‫که‬‫موفق‬
‫به‬‫گذراندن‬‫این‬‫درس‬‫شوند‬‫می‬‫برابر‬‫با‬84‫درصد‬‫است‬.‫احتمال‬‫اینکه‬‫دانشجویی‬‫در‬‫هر‬‫دو‬‫درس‬‫موفق‬‫باشد‬‫نیز‬‫برابر‬‫با‬0.63‫است‬.
‫بود؟‬ ‫خواهد‬ ‫جبر‬ ‫درس‬ ‫در‬ ‫موفقیت‬ ‫بر‬ ‫دلیلی‬ ‫زبان‬ ‫درس‬ ‫در‬ ‫موفقیت‬ ‫آیا‬
37
)A(P.
.
.
)B(P
)BA(P
)B|A(P 

 750
840
630
630
840
740
.)BA(P
.)B(P
.)A(P



‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

38. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫شرطی‬ ‫احتمال‬-‫احتمال‬ ‫تفکیک‬
•‫پیشامدهای‬ ‫اگر‬B1,B2,…,Bn‫افراز‬ ‫یک‬(‫تفکیک‬)‫نمونه‬ ‫فضای‬ ‫برای‬S‫پیشامد‬ ‫رخداد‬ ‫احتمال‬ ‫آنگاه‬ ،‫باشند‬A‫صورت‬ ‫به‬:
‫زیرا‬:
•‫نوشت‬ ‫توان‬‫می‬ ‫نتیجه‬ ‫در‬
38
)B(P)B|A(P...)B(P)B|A(P)B(P)B|A(P)A(P nn 2211


n
i
ii )B(P)B|A(P)A(P
1
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

39. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫شرطی‬ ‫احتمال‬-‫احتمال‬ ‫تفکیک‬
‫مسئله‬:
‫ای‬‫خانه‬8‫درب‬‫دارد‬.‫فردی‬3‫کلید‬‫از‬‫کلیدهای‬‫این‬‫خانه‬‫را‬‫همراه‬‫دارد‬.‫اگر‬60%‫های‬‫درب‬‫منزل‬‫باز‬،‫باشند‬‫احتمال‬‫اینکه‬‫او‬‫بتواند‬
‫یکی‬‫از‬‫ها‬‫درب‬‫را‬‫باز‬،‫کند‬‫چقدر‬‫است؟‬
A:‫کند‬ ‫باز‬ ‫را‬ ‫درب‬ ‫بتواند‬ ‫فرد‬ ‫اینکه‬ ‫پیشامد‬.
B:‫باشد‬ ‫باز‬ ‫انتخابی‬ ‫درب‬ ‫اینکه‬ ‫پیشامد‬ ‫و‬.
39
)'B(P)'B|A(P)B(P)B|A(P)A(P 
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

40. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫شرطی‬ ‫احتمال‬-‫بیز‬ ‫قانون‬Bayes Theorem
•‫پیشامدهای‬ ‫اگر‬B1,B2,…,Bn‫افراز‬ ‫یک‬(‫تفکیک‬)‫نمونه‬ ‫فضای‬ ‫برای‬S‫پیشامد‬ ‫و‬ ،‫باشند‬A‫براساس‬ ،‫دهد‬ ‫رخ‬ ‫مثبت‬ ‫احتمال‬ ‫با‬
‫داشت‬ ‫خواهیم‬ ‫احتمال‬ ‫تفکیک‬ ‫قانون‬.
40

 n
j
jj
ii
i
)B(P)B|A(P
)B(P)B|A(P
)A|B(P
1
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

41. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫شرطی‬ ‫احتمال‬-‫بیز‬ ‫قانون‬
‫مسئله‬:
•‫یک‬‫روش‬‫تشخیص‬‫سرطان‬‫در‬99‫درصد‬،‫موارد‬‫برای‬‫بیمار‬،‫سرطانی‬‫پاسخ‬‫مثبت‬‫دهد‬‫می‬‫و‬‫با‬‫احتمال‬0.05‫برای‬‫بیمار‬
‫غیرسرطانی‬‫پاسخ‬‫مثبت‬‫دهد‬‫می‬.‫اگر‬7‫درصد‬‫مردم‬‫مبتال‬‫به‬‫سرطان‬،‫باشند‬‫احتمال‬‫اینکه‬‫فردی‬‫با‬‫پاسخ‬‫مثبت‬‫در‬،‫آزمایش‬‫واقعا‬
‫دارای‬‫سرطان‬‫باشد‬‫چقدر‬‫است؟‬
•A:‫پیشامد‬‫ابتال‬‫به‬‫سرطان‬
•B:‫پیشامد‬‫پاسخ‬‫مثبت‬‫آزمایش‬
41
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

42. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫شرطی‬ ‫احتمال‬-‫بیز‬ ‫قانون‬
‫مسئله‬:
‫سه‬‫شعبه‬‫فروشگاه‬‫شمال‬-‫جنوب‬‫و‬‫شرق‬‫دارای‬‫به‬‫ترتیب‬50‫و‬75‫و‬100‫نفر‬‫کارمند‬‫است‬.‫درصد‬‫فروشندگانی‬‫که‬‫دوره‬‫خاص‬
‫فروشندگی‬‫را‬‫اند‬‫دیده‬‫در‬‫هر‬‫فروشگاه‬‫به‬‫ترتیب‬‫برابر‬‫با‬50%‫و‬60%‫و‬70%‫درصد‬‫است‬.‫از‬‫فروشندگان‬‫یک‬‫نفر‬‫را‬‫انتخاب‬،‫کنیم‬‫می‬
‫احتمال‬‫اینکه‬‫دوره‬‫خاص‬‫فروشندگی‬‫را‬‫دیده‬،‫باشد‬‫برابر‬‫با‬:
‫احتمال‬‫اینکه‬‫فروشنده‬‫دوره‬‫دیده‬‫مربوط‬‫به‬‫شعبه‬‫جنوب‬‫باشد‬‫برابر‬‫است‬‫با‬:
42
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

43. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫شرطی‬ ‫احتمال‬-‫بیز‬ ‫قانون‬
‫مسئله‬:
‫شرکتی‬100‫دستگاه‬‫رایانه‬‫از‬‫چهار‬،‫فروشگاه‬‫خریداری‬‫کرده‬‫است‬.‫تعدادی‬‫از‬‫این‬‫ها‬‫دستگاه‬‫معیوب‬‫هستند‬.‫وضعیت‬‫این‬‫دست‬‫ها‬‫گاه‬‫در‬
‫جدول‬‫زیر‬‫آمده‬‫است‬.
‫احتمال‬‫اینکه‬‫دستگاهی‬‫به‬‫تصادف‬‫انتخاب‬‫شود‬‫و‬‫معیوب‬‫باشد‬‫چقدر‬‫است؟‬
‫احتمال‬‫اینکه‬‫دستگاه‬،‫معیوب‬‫متعلق‬‫به‬‫فروشگاه‬A‫باشد‬‫چقدر‬‫است؟‬
43
D C B A ‫فروشگاه‬
29 19 16 21 ‫سالم‬
6 4 3 2 ‫معیوب‬
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

44. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫ریاضی‬ ‫امید‬-Mathematical Expectation
•‫امید‬‫ریاضی‬‫به‬‫صورت‬‫میانگین‬‫وزنی‬‫مقادیر‬‫عددی‬‫تعریف‬،‫شود‬‫می‬‫که‬‫وزن‬‫هر‬،‫مقدار‬‫احتمال‬‫رخداد‬‫آن‬‫مقادیر‬‫در‬‫نظر‬‫گرفت‬‫ه‬
‫شود‬‫می‬.
•‫اگر‬a1,a2,a3,…an‫مقادیر‬‫و‬p1,p2,p3,…,pn‫احتمال‬‫رخداد‬‫هر‬‫یک‬‫از‬‫آن‬‫مقادیر‬،‫باشد‬‫آنگاه‬‫امید‬‫ریاضی‬‫مقادیر‬‫به‬‫صورت‬
•‫رییس‬‫پلیس‬‫شهر‬‫داند‬‫می‬‫که‬‫در‬‫هر‬‫شب‬‫تعداد‬‫دزدی‬‫بین‬0‫تا‬5‫مورد‬‫متغیر‬‫است‬.‫با‬‫احتمال‬0.21‫هیچ‬‫دزدی‬‫گزارش‬‫شود‬‫نمی‬‫و‬‫با‬
‫احتمال‬0.37‫یک‬‫دزدی‬‫و‬‫دو‬‫گزارش‬‫دزدی‬‫با‬‫احتمال‬0.25‫و‬3‫دزدی‬‫با‬‫احتمال‬0.13‫و‬‫چهار‬‫دزدی‬‫با‬‫احتمال‬0.03‫و‬‫پنج‬‫دزدی‬
‫نیز‬‫با‬‫احتمال‬0.01‫رخ‬‫خواهد‬‫دارد‬.‫متوسط‬‫تعداد‬‫دزدی‬‫در‬‫هر‬‫شب‬‫بوسیله‬‫امید‬‫ریاضی‬‫محاسبه‬‫شود‬‫می‬.(‫میانگین‬‫وزنی‬)
E=0 (0.21)+1(0.37)+2(0.25)+3(0.13)+4(0.03)+5(0.01)=1.43
44


n
i
iinn p.ap.a...p.ap.aE
1
2211
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org

45. ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬‫مهندسی‬
faradars.org/fvst9405
‫فرادرس‬ ‫در‬ ‫شده‬ ‫مطرح‬ ‫نکات‬ ‫مبنای‬ ‫بر‬ ‫ها‬ ‫اسالید‬ ‫این‬
«‫مهندسی‬ ‫احتمال‬ ‫و‬ ‫آمار‬ ‫آموزش‬»
‫است‬ ‫شده‬ ‫تهیه‬.
‫نمایید‬ ‫مراجعه‬ ‫زیر‬ ‫لینک‬ ‫به‬ ‫آموزش‬ ‫این‬ ‫مورد‬ ‫در‬ ‫بیشتر‬ ‫اطالعات‬ ‫کسب‬ ‫برای‬.
faradars.org/fvst9405
45
‫س‬‫ر‬‫د‬‫ا‬‫ﺮ‬‫ﻓ‬
FaraDars.org