京都大学大学院情報学研究科 数理工学専攻 数理解析分野(研究室)の案内 応用数学の新領域「応用可積分系」を開拓する世界の研究センター キーワード：可積分系，数値計算，直交多項式，実験計画，オートマトン，組合せ論 研究室ＨＰ http://www-is.amp.i.kyoto-u.ac.jp/

1. Applied Integrable Systems
●「可積分系数学」と「計算数学」
中村教授、辻本准教授、木村特定准教授
上岡助教、關戸特定助教、飯田＆小島事務補佐
博士院生３名(社会人1名)、修士院生７名，学部生
共同研究: 京都府大、奈良女子大、同志社大、関学、京産大
電気通信大、ドネツク大学、モントリオール大学他
応用数理学会「応用可積分系」研究部会、「行列・固有値」研究部会、
数学会「無限可積分系」セッション
「計算数学研究会」 主催
数理解析分野 応用数学の新領域
「応用可積分系」を開拓する世界の研究センター
数理工学専攻

2. 可積分系（Integrable Systems）とは？
■積分できる（＝解ける）微分方程式系。
転じて、解が閉じた形に書ける離散方程式系（漸
化式）を
離散可積分系という。
戸田盛和、ソリトンの歴史、数理科学 (1980)
No.5
なぜか、重要な物理モデルは可積分系であることが多い！

3. “積分できる”系の数学理論
例：KdV 方程式
（浅水波モデル）
 可積分系では初期値問題が解ける。
 可積分系は無限個の対称性をもつ。
 可積分系のもつ驚くべき性質を解析し，応用したい！
葛飾北斎、富嶽三十六景、神奈川沖浪裏、1823～1835

4. アナログとデジタルをつなぐ可積
分系
漸化式
微分方程式
オートマトン
離散化
超離散化
トロピカル幾何学
良い性質（可積分性）
を保つ離散化が可能

5. アルゴリズムの漸化式
xn=f(xn-1)
一般の漸化式
xn= f(xn-1)
一般の離散力学系
xn= f(xn-1)
高精度アルゴリズム
オートマトン
特別な漸化式
離散可積分系
離散可積分系は 新しい・おもろい・役にたつ

6. 「応用可積分系」の誕生と進
展

7. 可積分な特異値計算アルゴリズムの開発と実装
高速・高精度なアルゴリズムを開発して実装する
実装（プログラミング）
の研究
数学（アルゴリズム）
の研究
計算数学の例
研究室で開発・実装した
アルゴリズムの誤差

8. 既存の手法では得られない
新しい nice formula!!
組合せ論的オブジェクト
（平面分割）
組合せ論の問題に「可積分系の手法」を適用して、
数学的に新しい・おもしろい構造を見つける
可積分系から組合せ論へ
可積分系数学の例
他にも
 行列式、直交多項式
 待ち行列
 確率微分方程式、など組合せ論のみならず、代数学や数理物理にも
現れる、重要な研究対象

9. 可積分系からオートマト
ンへ
可積分系数学の例
オートマトンの分類
オートマトンの解析手法の確立
・時間反転可能
・粒子数保存の系
・局所的な相互作用
の条件を満たす３状態オートマトンは３つのみ。
オートマトンによる
数理モデル
・交通流シミュレーション
・多近傍セルオートマトン

10. 可積分系から広がる多様な世界
 非線形波動、ソリトン
 高速・高精度な数値計算
 オートマトン、交通流
 数え上げ組合せ論
 実験計画の最適デザイン
 直交多項式・特殊関数
 Truncated SVD of Large-Scale Sparse Matrices
by Improved Thick-Restart Golub-Kahan-
Lanczos Algorithm
 On characteristic path length of Cayley graph
associated with elementary cellular automata
 An application of the zeros of exceptional
orthogonal polynomials
 対称性を有する平面分割の成分に上界を持つ
場合の分配関数について
 （卒論）可積分アルゴリズムの観点からの係数
付きクラスター代数に対する考察
 （卒論）出生死滅過程のベクトル連分数による
解析
 （卒論）多項式回帰モデルにおける複合的な
optimal design
多様な理論・応用研究 2016年度学位論文タイトル

11. M1の年間スケジュール

12. おわりに
 総合研究10号館３階
 中村佳正（教授）：３２０Ｂ室
 辻本 諭（准教授）：３１６室
 上岡修平（助教）：３１９室
 大学院生：３１０、３１２室
 総合研究12号館１階
 木村欣司（特定准教授）：１１０室
 關戸啓人（特定助教）：１１０室

 連絡先：秘書室 ３２０Ａ室
 ynaka(at)i.kyoto-u.ac.jp 電話 075 753 5497
教員と学生の居室
お気軽に
お越し下さい