2008年度 京都大学 オープンキャンパス　 工学部情報学科 模擬授業　

1. ＩＴと数学で社会に役立つ
数理最適化
京都大学大学院情報学研究科
数理工学専攻
山下信雄
2008年度オープンキャンパス 工学部情報学科 模擬授業 資料

2. 平成28年度 数理工学専攻説明会
第１回： 平成２８年５月７日(土)
第２回： 平成２８年５月３０日(月)
場所,プログラムの詳細は以下の専攻ＨＰをご覧ください．
http://www.amp.i.kyoto-u.ac.jp
研究室見学できます．在学生から，入試勉強のしかた，
過去問の勉強方法などを聞くチャンスです．
京都大学大学院 情報学研究科 数理工学専攻
修士課程，博士課程の学生募集

3. オペレーションズ・リサーチ
• 数理最適化は，
オペレーションズ・リサーチ
の1分野として発展
• オペレーションズリサーチは，
第2次世界大戦中，イギリスで
「最適な戦略」を見つけるため
に研究がスタート
• 今では，社会，科学，工学など
あらゆる分野を横断する技術
である．

4. 数理最適化
[最適化問題]
ある条件をみたす候補の中から，
ある目的にとって最適なものを
見つける問題．
[数理最適化問題]
「ある条件」および「ある目的」を数式や関数を
使って表された最適化問題．

5. 高校で習う数理最適化
- ２次関数の最大・最小 -
２次関数：
区間：
2
( )f x ax bx c  
l ux 
[問題]
区間内で f(x) を最小にする x を求めよ
[数理最適化問題]
目的： f(x)の最小化
条件： xは区間に入る．

6. 2
,
2 4
b b
c
a a
 
 
 
 
２次関数の最小の復習（a>0のとき）
2
b
a

• ｆ（ｘ）の頂点の x の値：
• 最小解は，
と区間の端L，U
の中間値．
• bが小さくなると, 最小解
は大きくなる．
2a
b


7. 高校と大学の違い
高校（数学Ｉ）
変数の数： 1つ
目的：２次関数の最小
条件：区間
問題：数学の１問題
大学，大学院
変数の数： たくさん
目的：一般の関数の最小
条件：複雑な集合
問題：社会に根ざした問題

8. 数理最適化の応用例
• Ｊリーグの対戦スケジュールの決定
• リスク（損失）が少なく儲けが多い，株の売
買方法の決定
• 最短な経路の決定
• 火力発電所の発電量の決定
• etc

9. 火力発電所
良い点：
• 技術が確立している．
• 設置場所が自由
• 運転が制御できる．
悪い点：
• 二酸化炭素を排出（環境に悪い）
• 石炭，原油，ガスなどの資源を使う
環境やコストを考えた最適な運用が必要

10. 火力発電所の運用問題
• 燃料費（or二酸化炭素排出量）は，
発電量 x の２次関数．
燃料費＝ （a>0，b>0）
• 発電所の発電量には，上限Uがある．
• 電力需要Dをみたさなければならない．
(発電所 i の発電量： )
2
ax xb
0 Ux 
ix
1 2x Dx   

11. 火力発電所の運用問題
目的： 総燃料費（または総二酸化炭素排出量）の
最小化
条件： 電力需要を満たす．
発電量の上下限の条件をみたす．

12. 火力発電所が２つのとき
[目的] の最小化
ただし， は発電所１の発電量
は発電所２の発電量
[条件] 需要
上下限（区間）
2
1 1 1 1
2
2 2 2 2aa x xx b b x 
1x
2x
21x Dx 
1
22
10
0
Ux
Ux
 
 

13. 火力発電所が２つのとき
需要の条件より， となるため，
問題より， を消去すると，
目的：
の最小化
条件：
⇒ 高校で習う数学で解ける！
12x xD 
2x
2 2
1 2 1 2 2 2 21 1( ( 2 ))a b bx xD DDa a ba     
2 11ma )x(0, min( , )xD U U D  

14. 火力発電所が３つのとき
目的：
の最小化
条件：
2
3
2
1 1 1 1
2
2 3 3 32 2 2a x ab x b xa x xx b   
1
1
2
1
3
32
3
2
0
0
0
0
U
U
U
x
x
x
x
D
x
x 
 
 



  21 3 Dxx x  

15. パラメータ を導入した
問題の緩和
[元の問題]
目的：
の最小化
条件：
[緩和した問題]
目的：
の最小化
条件：
2
3
2
1 1 1 1
2
2 3 3 32 2 2a x ab x b xa x xx b   
1
1
2
1
3
32
3
2
0
0
0
0
U
U
U
x
x
x
x
D
x
x 
 
 



 
2
3
2
1 1 1 1
2
2 3 3 32 2 2a x ab x b xa x xx b   
1 2 3( )x xD xp   
2
1
3
1
2
3
0
0
0
x
Ux
U
x U 
 
 
p

16. 緩和した問題の解き方
[分解した問題](i=1,2,3)
目的：
の最小化
条件：
[緩和した問題]
目的：
の最小化
条件：
2
3
2
1 1 1 1
2
2 3 3 32 2 2a x ab x b xa x xx b   
1 2 3( )x xD xp   
2
1
3
1
2
3
0
0
0
x
Ux
U
x U 
 
 
2
( )i i i ix b xpa  
0 i ix U 

17. 緩和した問題の性質
を緩和した問題の最小解，
を元の問題の最小解とする．
緩和した問題の最小値＝
＝元の問題の最小値
* * * * * *
1 2 3 1 2 3( , , ) ( )p xf x D x xx x   
2
1 1 1 1
2
3 3 3
2
2 2 21 32 2 3,( , )f x a x b xx a x b xx a x b x  
1 2 3)( , ,x x x
* * *
1 2 3( , , )x x x
1 2 3 1 2 3, , ) ( )( px x x D x xf x   
* * *
1 2 3, , )( x xf x

18. 緩和した問題の性質
• 緩和した問題は簡単に解ける．
• ある p に対して，緩和した問題の最小解が
需給条件を満たせば，その最小解は元の
問題の最小解でもある．

19. パラメータ の意味
各発電所の問題（分解した問題）
目的： の最小化
条件：
が大きくなると， は小さくなり，
最小解(発電量)は大きくなる
は(電力の)価格と考えることができる．
2
( )i i i ix b xpa  
0 i ix U 
p
p
p
ib p

20. 価格 とオークション
• 価格 p を上げると，
各発電所の発電量
が増える．
• 価格 p を下げると
各発電所の発電量
が減る．
価格 p を調整することで，
総発電量が需要と一致
するところを見つける．
１００円/Wで
どれくらい発電し
てくれますか？
20Mw/h
発電します
30Mw/h
発電します
p

21. アルゴリズム（問題の解き方）
はじめの価格を決める
緩和した問題を解く
需要を満たす？ 最小解が求まった！
Ｙｅｓ
Ｎｏ
価格を調整する

22. 今の方法に隠されていた理論
• 数理最適化の最適性の理論
• 双対理論
• ゲーム理論
大学の学部の授業でならう(こともある)．

23. より現実的に．．．
• 時間を考えた運用．
• 他のタイプの発電所(原子力，揚力，水力)を考え
た運用．
• 予備力（もしもに備えた発電余力）を考えた運用
• 大規模な問題．
火力発電所は全国で３００以上！
大学院の知識が必要．

24. 数理最適化に対する
ＩＴと数学の役割
ＩＴの役割
計算機の高速化，大容量化
数学の役割
アルゴリズム（答えを見つける方法）の高速化
ある数理最適化問題に対して，1988年から2004年の間に
[IT] 計算機は 1,600 倍高速になり，
[数学] アルゴリズムは 3,300 倍高速になったと言われている．
⇒ 1988年には約２か月かかった計算が
2004 年には 1 秒で終わるようになった！！

25. まとめ
• 社会に役立つ数理最適化
• 数理最適化の発展には，ＩＴ技術の進歩だけで
はなく，数学(アルゴリズム)の進歩も重要
数学
(物理，芸術，etc)
グローバル社会で
必要とされる能力情報技術