1. ППррееззееннттаацциияя ппоо
ггееооммееттррииии ппоо ттееммее
«ППооддооббнныыее ттррееууггооллььннииккии»

2. ТТееммаа
ППооддооббнныыее
ттррееууггооллььннииккии

3. ООппррееддееллееннииее
ппооддооббнныыхх
ттррееууггооллььннииккоовв

4. ООггллааввллееннииее..
ППррооппооррццииооннааллььнныыее ооттррееззккии..
ООппррееддееллееннииее ппооддооббнныыхх ттррееууггооллььннииккоовв
ООттнноошшееннииее ппллоощщааддеейй ппооддооббнныыхх ттррееууггооллььннииккоовв
ППееррввыыйй ппррииззннаакк ппооддооббиияя ттррееууггооллььннииккоовв
((ДДооккааззааттееллььссттввоо))
ВВттоорроойй ппррииззннаакк ппооддооббиияя ттррееууггооллььннииккоовв
((ДДооккааззааттееллььссттввоо))
ТТррееттиийй ппррииззннаакк ппооддооббиияя ттррееууггооллььннииккоовв
((ДДооккааззааттееллььссттввоо))
ППррааккттииччеессккооее ппррииллоожжееннииее

5. ППррооддооллжжееннииее
 ООссннооввнныыее ссввееддееннььяя
 ИИззммееррииттееллььнныыее ррааббооттыы ннаа ммеессттннооссттии
 ООппррееддееллеенниияя ввыыссооттыы ппррееддммееттаа
 ООппррееддееллееннииее рраассссттоояянниияя ддоо ннееддооссттууппнноойй ттооччккии
 ООппррееддееллеенниияя рраассссттоояянниияя ппооссттррооееннииеемм ппооддооббнныыхх
ттррееууггооллььннииккоовв

6. ППррооппооррццииооннааллььнныыее ооттррееззккии
 ООттнноошшееннииеемм ооттррееззккоовв ААВВ ии ССDD ннааззыыввааееттссяя
ооттнноошшееннииее иихх ддллиинн тт..ее ААВВ//ССDD ..ГГооввоорряятт ччттоо
ооттррееззккии ААВВ ии CCDD ппррооппооррццииооннааллььнныы
ооттррееззккаамм AA11 BB11 ии CC11 DD11 ,,еессллии
AABB//АА11ВВ11==CCDD//CC11DD11..
 ППоонняяттииее ппррооппооррццииооннааллььннооссттии ввввооддииттссяя ии
ддлляя ббооллььшшооггоо ччииссллаа ооттррееззккоовв

7. ООппррееддееллееннииее ппооддооббнныыхх
ттррееууггооллььннииккоовв..
ДДвваа ттррееууггооллььннииккаа ннааззыыввааююттссяя
ппооддооббнныыммии,,
ЕЕссллии иихх ууггллыы ссооооттввееттссттввеенннноо
ррааввнныы ии ссттоорроонныы ооддннооггоо
ттррееууггооллььннииккаа
ппррооппооррццииооннааллььнныы
ссххооддссттввеенннныымм ссттооррооннаамм
ддррууггооггоо

8. ООттнноошшееннииее ппллоощщааддеейй ппооддооббнныыхх
ттррееууггооллььннииккоовв
 ТТееооррееммаа
 ООттнноошшееннииее ппллоощщааддеейй ддввуухх
ппооддооббнныыхх ттррееууггооллььннииккоовв ррааввнноо
ккввааддррааттуу ккооээффффииццииееннттаа
ппооддооббиияя

9. ДДооккааззааттееллььссттввоо..
 ППууссттьь ттррееууггооллььннииккии ААВВСС ииАА11ВВ11СС11 ппооддооббнныы ии
ппррииччеемм ккооээффффииццииееннтт ппооддооббиияя ррааввеенн rr.. ООббооззннааччиимм
ббууккввааммии SS ии SS11 ппллоощщааддии ээттиихх ттррееууггооллььннииккоовв.. ТТаакк
ккаакк ууггоолл АА==ууггллууАА11,, ттоо
SS//SS11==AABB**AACC//AA11BB11**AA11CC11((ппоо ттееооррееммее ообб
ооттнноошшееннииее ппллоощщааддеейй ооттнноошшеенниияя ппооддооббиияя
ттррееууггооллььннииккоовв,, ииммееюющщиихх ппоо ррааввннооммуу
ууггллуу)).. ППоо ффооррммууллаамм((22)) ииммеееемм:: ААВВ//АА11ВВ11==RR,,
ААСС//АА11СС11==RR,, ппооээттооммуу SS//SS==RR 2

10. ППееррввыыйй ппррииззннаакк ппооддооббиияя
ттррееууггооллььннииккоовв
 ЕЕссллии ддвваа ууггллаа ооддннооггоо ттррееууггооллььннииккаа
ссооооттввееттссттввеенннноо ррааввнныы ддввуумм ууггллаамм
ддррууггооггоо,, ттоо ттааккииее ттррееууггооллььннииккии
ррааввнныы
А
В
С

11. ВВттоорроойй ппррииззннаакк ппооддооббиияя
ттррееууггооллььннииккоовв
 ЕЕссллии ддввее ссттоорроонныы ддррууггооггоо
ттррееууггооллььннииккаа ппррооппооррццииооннааллььнныы
ддввуумм ссттооррооннаамм ддррууггооггоо
ттррееууггооллььннииккаа ии ууггллыы,,
ззааккллююччеенннныыее ммеежжддуу ээттииммии
ссттооррооннааммии,, ррааввнныы,, ттоо ттааккииее
ттррееууггооллььннииккии ппооддооббнныы..

12. ТТррееттиийй ппррииззннаакк ппооддооббиияя
ттррееууггооллььннииккоовв
 ЕЕссллии ттррии ссттоорроонныы ооддннооггоо
ттррееууггооллььннииккаа ппррооппооррццииооннааллььнныы
ттрреемм ссттооррооннаамм ддррууггооггоо,, ттоо ттааккииее
ттррееууггооллььннииккии ппооддооббнныы..
В
А
С

13. ДДооккааззааттееллььссттввоо..((11))
 ДДаанноо ::ААВВСС ии АА11ВВ11СС11--ддвваа ттррееууггооллььннииккаа,, уу
ккооттооррыыхх ууггоолл АА ==ууггллууАА11,, ууггоолл ВВ== ууггллуу ВВ11
 ДДооккаажжеемм ,,ччттоо ттррееууггооллььнниикк ААВВСС
ттррееууггооллььнниикк АА!!ВВ11СС11

14. ДДооккааззааттееллььссттввоо..
 ППоо ттееооррееммее оо ссууммммее ууггллоовв ттррееууггооллььннииккаа
ууггоолл СС==118800ггррааддууссоовв--ууггоолл АА--ууггоолл ВВ,, ууггоолл
СС==118800ггррааддууссоовв--ууггооллАА –– ууггоолл ВВ,, ии,, ззннааччиитт,,
ууггоолл СС== ууггллуу СС .. ТТааккиимм ооббррааззоомм,, ууггллыы
ттррееууггооллььннииккаа ААВВСС ссооооттввееттссттввеенннноо ррааввнныы
ууггллаамм ттррееууггооллььннииккаа АА ВВ СС
1
1 1
1
1 1 1

15.  Докажем ,что ссттоорроонныы ттррееууггооллььннииккаа ААВВСС
ппррооппооррццииооннааллььнныы ссххооддссттввеенннныымм ссттооррооннаамм
ттррееууггооллььннииккаа АА 1 ВВ 1
СС ..ТТаакк ккаакк ууггоолл АА== ууггллуу АА
ии ууггоолл СС== ууггллуу СС ,,ттоо
 SS ааввсс //SSaa вв cc ==ААВВ**ААСС//АА ВВ ** АА СС
 SS ааввсс //SSаа вв сс == ССАА**ССВВ//СС АА **СС ВВ ..
1 1 1 1
1
1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1

16. Из этих равенств сллееддууеетт,, с ччттоо ААВВ//АА ВВ ==ВВСС//ВВ СС
ААннааллооггииччнноо ииссппооллььззууяя ррааввееннссттвваа ууггоолл АА== ууггллуу АА
УУггоолл ВВ == ууггллуу ВВ 1 ,,ппооллууччааеемм ,,ВВСС//ВВ 1 СС 1 == ССАА//СС АА 1 ..
1
ИИттаакк ссттоорроонныы ттррееууггооллььннииккаа ААВВСС
ппррооппооррццииооннааллььнныы ссххооддссттввеенннныымм ссттооррооннаамм
ттррееууггооллььннииккаа АА 1 ВВ 1 СС
1
ТТееооррееммаа ддооккааззааннаа..

17. ДДооккааззааттееллььссттввоо ((22))
 ДДаанноо :: ддвваа ттррееууггооллььннииккаа ААВВСС ии АА 1 ВВ 1 СС 1
,,уу
ккооттооррыыхх ААВВ//АА ВВ==ААСС//АА СС ,, ууггоолл АА== ууггллуу АА
 ДДооккааззааттьь ччттоо ттррееууггооллььнниикк ААВВСС
ттррееууггооллььннииккуу АА ВВ СС..ДДлляя ээттооггоо,, ууччииттыыввааяя
ппееррввыыйй ппррииззннаакк ппооддооббиияя ттррееууггооллььннииккоовв,,
ддооссттааттооччнноо ддооккааззааттьь,, ччттоо ууггоолл ВВ == ууггллуу ВВ
1 1 1
1
1 1 1

18.  Рассмотрим треугольник ААВВСС 2
,, уу ккооттооррооггоо
ууггоолл11==ууггллууАА 1 ,, ууггоолл22 == ууггллуу ВВ 1
..ТТррееууггооллььннииккии
ААВВСС 2 АА 1 ВВ 1 СС 1
ппооддооббнныы ппоо ппееррввооммуу ппррииззннааккуу
ппооддооббиияя ттррееууггооллььннииккоовв,, ппооээттооммуу ААВВ//АА 1 ВВ 1 ==
2
ААСС 1 //1 АА СС .. СС ддррууггоойй ссттоорроонныы ,, ппоо ууссллооввииюю ААВВ//1 АА
1
ВВ ==ААСС //1 АА 1
СС ..ИИзз ээттиихх ддввуухх ррааввееннссттвв ппооллууччааеемм
ААСС==ААСС 2
..

19.  Треугольники ААВВСС ии ААВВСС 2
ррааввнныы ппоо ддввуумм
ссттооррооннаамм ммеежжддуу ннииммии ((ААВВ -- ооббщщааяя ссттооррооннаа,,
 ААСС==ААСС 2
ии ууггоолл АА == ууггллуу 11 ,,ппооссккооллььккуу ууггоолл
АА== ууггллуу АА 1 ии ууггоолл 11==ууггллуу АА 1
)).. ООттссююддаа
ссллееддууеетт ,,ччттоо ууггоолл ВВ == ууггллуу 22 ,,аа ттаакк ккаакк ууггоолл
22 == ууггллуу ВВ 1 ,,ттоо ууггоолл ВВ == ууггллуу ВВ 1
..
 ТТееооррееммаа ддооккааззааннаа..

20. ДДооккааззааттееллььссттввоо ((33))
 ДДаанноо:: ссттоорроонныы ттррееууггооллььннииккоовв ААВВСС ии АА ВВ СС
ппррооппооррццииооннааллььнныы..
 ДДооккаажжеемм ,,ччттоо ттррееууггооллььнниикк ААВВСС
ттррееууггооллььннииккуу АА 1 ВВ 1 СС 1

21. ДДооккааззааттееллььссттввоо
 ДДлляя ээттооггоо ,,ууччииттыыввааяя ввттоорроойй ппррииззннаакк
ппооддооббиияя ттррееууггооллььннииккоовв ддооссттааттооччнноо
ддооккааззааттьь ччттоо ууггоолл АА== ууггллуу АА .. РРаассссммооттрриимм
ттррееууггооллььнниикк ААВВСС ,, уу ккооттооррооггоо ууггоолл 11==ууггллуу
АА ,, ууггоолл 22== ууггллуу ВВ .. ТТррееууггооллььннииккии ААВВСС ии АА ВВ
СС ппооддооббнныы ппоо ппееррввооммуу ппррииззннааккуу ппооддооббиияя
ттррееууггооллььннииккоовв ,,ппооээттооммуу ААВВ//АА ВВ == ВВСС // ВВ
СС == СС АА//СС АА ..

22.  Сравнивая эти ррааввееннссттвваа сс ррааввееннссттввааммии ((11))
ппооллууччааеемм :: ВВСС==ВВСС 2 ,, ССАА== СС 2
АА ..
 ТТррееууггооллььннииккии ААВВСС ии ААВВСС 2
ррааввнныы ппоо ттрреемм
ссттооррооннаамм .. ООттссююддаа ссллееддууеетт ,,ччттоо ууггоолл АА == ууггллуу 11
аа ттаакк ккаакк ууггоолл11 == ууггллуу АА 1 ,, ттоо ууггоолл АА == ууггллуу АА 1
..
 ТТееооррееммаа ддооккааззааннаа..

23. Практические ппррииллоожжеенниияя
ппооддооббиияя ттррееууггооллььннииккоовв
 ППррии рреешшееннииее ммннооггиихх ззааддаачч ннаа ппооссттррооееннииее
ттррееууггооллььннииккоовв ппррииммеенняяюютт ттаакк
ннааззыыввааееммыыйй ммееттоодд ппооддооббиияя.. ООнн ссооссттооиитт вв
ттоомм,, ччттоо ссннааччааллаа ннаа ооссннооввааннииии ннееккооттооррыыхх
ддаанннныыхх ссттоояятт ттррееууггооллььнниикк ,, ппооддооббнныыйй
ииссккооммооммуу ,, аа ззааттеемм ,, ииссппооллььззууяя ооссттааллььнныыее
ддаанннныыее ,,ссттрроояятт ииссккооммыыйй ттррееууггооллььнниикк

24. ООссннооввннооее ссввееддееннььее
 ММннооггооууггооллььннииккии АА АА 1 ……АА 2 ии ВВ n ВВ ……1 ВВ 2 ннааззыыввааюютт
n
ппооддооббнныыммии,, еессллии АА АА ::АА АА ::……::АА АА ==ВВ ВВ ::ВВ ВВ ::……
1 2 2 3 n
ВВ ВВ ии ууггллыы ппррии ввеерршшииннаахх АА ……,,АА .. РРааввнныы
1 1 2 2 ссооооттввееттссттввеенннноо 3 n ууггллаамм ппррии 1
ввеерршшииннаахх АА ,,……..,,АА
ррааввнныы
1 n
 ООттнноошшееннииее ссооооттввееттссттввеенннныыхх 1 n
ддииааггооннааллеейй
ппооддооббнныыхх ммннооггооууггооллььннииккоовв ррааввнноо ккооээффффииццииееннттуу
ппооддооббиияя ;; ддлляя ооппииссаанннныыхх ппооддооббнныыхх
ммннооггооууггооллььннииккоовв ооттнноошшееннииее ррааддииууссоовв ввппииссаанннныыхх
ооккрруужжннооссттеейй ттааккжжее ррааввнноо ккооээффффииццииееннттуу ппооддооббиияя

25. ООппррееддееллееннииее рраассссттоояяннииее
ппооссттррооееннииеемм ппооддооббнныыхх
ттррееууггооллььннииккоовв
 ППррии ооппррееддееллееннииии рраассссттоояянниияя ддоо ооттддааллёённнныыхх ииллии
ннееддооссттууппнныыхх ппррееддммееттоовв,, ммоожжнноо ииссппооллььззооввааттьь
ссллееддууюющщиийй ппррииёёмм.. ННаа ооббыыччннууюю ссппииччккуу ннааддоо
ннааннеессттии ччееррннииллааммии ииллии ккааррааннддаашшоомм
ддввууххммииллллииммееттррооввыыее ддееллеенниияя.. ТТааккжжее ннуужжнноо ззннааттьь
ппррииммееррннууюю ввыыссооттуу ппррееддммееттаа,, ддоо ккооттооррооггоо
ооппррееддеелляяееттссяя рраассссттоояяннииее.. ТТаакк рроосстт ччееллооввееккаа ррааввеенн
11,,7--11,,88 мм,, ккооллеессоо ааввттооммооббиилляя 00,,55 мм,, ввссаадднниикк--
22,,22мм,,ттееллееггррааффииччеессккиийй ссттооллбб--66мм,,ооддннооээттаажжнныыйй ддоомм
ббеезз ккррыышшии --22,,55--44мм..

26. ППррооддооллжжееннииее
 ДДооппууссттиимм,, ннааддоо ооппррееддееллииттьь рраассссттоояяннииее ддоо
ссттооллббаа.. ННааппррааввлляяеемм ннаа ннееггоо ссппииччккуу ннаа
ввыыттяяннууттоойй ррууккее,, ддллииннаа ккооттоорроойй
ппррииббллииззииттееллььнноо ррааввннаа 6600 ссмм..ппррееддппооллоожжиимм,,
ввыыссооттаа ссттооллббаа ввыыгглляяддиитт ррааввнноойй ддввуумм
ддееллеенниияямм ссппииччккии,, тт..ее.. 44 мммм.. ИИммееяя ттааккииее
ддаанннныыее ссооссттааввиимм
ппррооппооррццииюю::00..66//хх==00..000044//66..00;;хх==((00,,66**66))//00юю000044
==990000..ТТааккиимм ооббррааззоомм ддоо ссттооллббаа 990000мм..