Комбінаторика
— розділ математики,у якому
вивчають способи вибору та
розміщення елементів деякої
скінченної множини на основі
якихось умов.
Найпростішими прикладами
комбінаторних конфігурацій є
перестановки, розміщення та
комбінації .
3.
Перестановки
Перестановкою з nелементів називають будь-яку
впорядковану множину з n заданих елементів (тобто
таку множину, для якої вказано, який елемент
знаходиться на першому місці, який – на другому, …,
який – на n-му )
Формула
Pn = n!
Приклад
Кількість різних
шестицифрових чисел, які
можна скласти з цифр 1, 2, 3,
4, 5, 6, не повторюючи ці
цифри в одному числі,
дорівнює
P6 = 6!= 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 = 720
4.
Розміщення
Розміщенням з nелементів по k називають будьяку впорядковану множину з k елементів,
складену з елементів заданої n-елементної
множини.
Формула
n!
A =
(n − k )!
k
n
Приклад
Кількість різних трицифрових чисел,
які можна скласти з цифр 1, 2, 3, 4,
5, 6, якщо цифри не можуть
повторюватися, дорівнює
6!
1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6
A =
=
= 120
(6 − 3)!
1⋅ 2 ⋅ 3
3
6
5.
Комбінації
Комбінацією без повтореньз n елементів по k
називають будь-яку k-елементу підмножину
заданої n-елементної множини.
Формула
n!
C =
k!(n − k )!
k
n
Приклад
Із класу, що складається з 25 учнів,
можна виділити 5 учнів для
чергування по школі
C
5
25
25!
=
= 53130
5!( 25 −5)!
6.
Правило суми
А абоВ можна
вибрати
(m+n)
способами.
Правило
добутку
І А, і В можна
вибрати (m*n)
способами.
Задача
Із 7 бігуніві 3 стрибунів, треба скласти команду із 5
чоловік, в яку б входив хоч би один стрибун.
Скількома способами це можно зробити ?
Розв’язання
1
3
3
C 74 ⋅ C 3 + C 7 ⋅ C 32 + C 72 ⋅ C 3 =
7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 3 7 ⋅ 6 ⋅ 5 3 ⋅ 2 7 ⋅ 6 3 ⋅ 2 ⋅1
=
⋅ +
⋅
+
⋅
=
1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 1 1⋅ 2 ⋅ 3 1⋅ 2 1⋅ 2 1⋅ 2 ⋅ 3
= 105 + 105 + 21 = 231.
Відповідь: 231 способів.
9.
Задача №2
У класіз 20 учнів проводять збори.Скількома
способами можна вибрати голову, секретаря і трьох
членів редакційної комісії?
Розв’язання
18 ⋅ 17 ⋅ 16
A ⋅ C = 20 ⋅ 19 ⋅
= 310080.
1⋅ 2 ⋅ 3
2
20
3
18
Відповідь: 310080 способів.
