تتناول الوثيقة حل المعادلات التفاضلية، حيث تقدم شرحاً مفصلاً حول المعادلات من الدرجة الأولى والثانية وتطبيقات ذلك من خلال أمثلة وأسئلة وزارية سابقة. تُشمل أيضاً تمارين للتطبيق والتحقق من الحلول. يقدم المؤلف، حميذ علي الأستار، موارد متنوعة لحل المعادلات التفاضلية بمختلف درجاتها.

1. ‫أعداد‬‫األس‬‫ـتاذ‬
‫جديدة‬ ‫طبعة‬
‫ومنقحة‬
‫الدراسي‬ ‫للعام‬
2017
‫شرح‬‫الخامس‬ ‫الفصل‬ ‫وتمارين‬ ‫أمثلة‬ ‫لجميع‬ ‫مفصل‬
‫الوزارية‬ ‫األسئلة‬ ‫وجميع‬ ‫العامة‬ ‫التمارين‬ ‫حلول‬‫الخامس‬ ‫للفصل‬.
‫محلولة‬ ‫أضافية‬ ‫أسئلة‬.

2. ‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬ /‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
351
‫الخامس‬ ‫الفصل‬/‫المعادالت‬‫التفاضلٌة‬
‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬
‫أو‬ ‫واحدة‬ ‫مشتمة‬ ‫على‬ ‫تحتوي‬ ً‫الت‬ ‫المعادلة‬ ً‫ه‬) ‫المعادلة‬ ً‫ف‬ ‫التابع‬ ‫للمتغٌر‬ ‫أي‬ ( ‫المعادلة‬ ً‫ف‬ ‫المجهولة‬ ‫للدالة‬ ‫أكثر‬
‫مالحظة‬:‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬‫االعتٌادٌة‬‫ولرٌكن‬ ‫مقرتمل‬ ‫متغٌرر‬ ‫اوول‬ ‫المتغٌرر‬ ( ‫متغٌرٌن‬ ‫بٌن‬ ‫عاللة‬ ً‫ه‬( )‫ودالرة‬
‫مثال‬ ‫ولتكن‬ ‫معروفة‬ ‫غٌر‬( )‫الدالة‬ ‫مشتمات‬ ‫وبعض‬( )‫للمتغٌر‬ ‫بالنقبة‬( )‫مثال‬
𝟓 𝟐 ̅ 𝟐
𝟐 ̅̿ 𝟓 (𝟒)
𝟎
‫تفاضلٌة‬ ‫معادالت‬ ‫كلها‬‫اعتٌادٌه‬‫المتغٌر‬ ‫الن‬( )‫المتغٌر‬ ‫على‬ ‫فمط‬ ‫ٌعتمد‬( )
: ‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫درجة‬‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬ ً‫ف‬ ‫مشتمة‬ ‫اعلى‬ ‫له‬ ‫مرفوعة‬ )‫(اس‬ ‫لوة‬ ‫أكبر‬ ً‫وه‬.
‫رتبة‬: ‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬ ً‫ف‬ ‫موجودة‬ ‫مشتمة‬ ‫أعلى‬ ‫رتبة‬ ً‫وه‬.
‫االولى‬ ‫والدرجة‬ ‫االولى‬ ‫الرتبة‬ ‫من‬𝟓 𝟎
‫االولى‬ ‫والدرجة‬ ‫الثانٌة‬ ‫الرتبة‬ ‫من‬̿ 𝟐 𝟕 𝟑
‫الثانٌة‬ ‫والدرجة‬ ‫الثالثة‬ ‫الرتبة‬ ‫من‬(̅̿)
𝟐
̿ 𝟏
‫الخامقة‬ ‫والدرجة‬ ‫الرابعة‬ ‫الرتبة‬ ‫من‬( (𝟒)
)
𝟓
(̿) 𝟕 ̅ 𝟕
‫الثانٌة‬ ‫والدرجة‬ ‫الثالثة‬ ‫الرتبة‬ ‫من‬❺ ( ̿ ) 𝟑
( ̅̿ )
𝟐
𝟐 𝟑 𝟎
‫مالحظة‬:‫ٌجب‬ ‫ورتبتها‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫درجة‬ ‫اٌجاد‬ ‫عند‬‫مثال‬ ‫الكقرٌة‬ ‫االقس‬ ‫أو‬ ‫الجذور‬ ‫أزالة‬:
❻ (̅) 𝟑 √ 𝟓 (̅̿)
𝟐𝟑 (‫)بالتكعٌب‬
⇒ (̅) 𝟗
𝟓 (̅̿)
𝟐
‫الثا‬‫نٌة‬ ‫والدرجة‬ ‫الثا‬‫لث‬‫ة‬ ‫الرتبة‬ ‫من‬
‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬‫االعتٌادٌة‬
‫ررة‬‫ر‬‫العالل‬ ‫ررذ‬‫ر‬‫ه‬ ‫أن‬ ‫رر‬‫ر‬ٌ‫بح‬ ‫ررلٌة‬‫ر‬‫التفاض‬ ‫ررة‬‫ر‬‫المعادل‬ ‫رررات‬‫ر‬ٌ‫متغ‬ ‫ررٌن‬‫ر‬‫ب‬ ‫ررة‬‫ر‬‫عالل‬ ‫ررة‬‫ر‬ٌ‫ا‬ ‫ررو‬‫ر‬‫ه‬ ‫ررة‬‫ر‬ٌ‫االعتٌاد‬ ‫ررلٌة‬‫ر‬‫التفاض‬ ‫ررة‬‫ر‬‫المعادل‬ ‫ررل‬‫ر‬‫ح‬
❶‫المشتمة‬ ‫من‬ ‫خالٌة‬❷‫معٌنة‬ ‫فترة‬ ‫على‬ ‫معرفة‬❸‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫تحمك‬.
‫وزاري‬2013/‫د‬3‫وزاري‬2014/‫د‬1
‫مثال‬(1)/‫ا‬ ‫بٌن‬‫العاللة‬ ‫ن‬𝟐
𝟑‫حال‬‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادلة‬̅ 𝟐
‫الحل‬/𝟐
𝟑 ̅ 𝟐 𝟑
̅ (𝟐 𝟑) 𝟐 𝟐
𝟑
𝟐 𝟐 ( 𝟐
𝟑 ) 𝟐 𝟐
𝟑
∴‫أعال‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫حل‬ ً‫ه‬ ‫المعطاة‬ ‫العاللة‬

3. ‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬ /‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
352
‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫العام‬ ‫والحل‬ ‫الخاص‬ ‫الحل‬
‫الع‬ ‫الحل‬ ‫أن‬‫ـــــــ‬‫الثوابرت‬ ‫مرن‬ ‫عردد‬ ‫علرى‬ ‫ٌشرتمل‬ ‫الرذي‬ ‫الحرل‬ ‫هرو‬ ‫تفاضلٌة‬ ‫معادلة‬ ‫وي‬ ‫ام‬‫االختٌارٌرة‬‫مق‬‫ــــرـ‬‫لرتبرة‬ ‫اوي‬
‫المعادلة‬,‫فإذا‬‫ثابرت‬ ‫علرى‬ ‫مشرتمال‬ ‫حلهرا‬ ‫ٌكرون‬ ‫أن‬ ‫وجرب‬ ‫اوولرى‬ ‫الرتبة‬ ‫من‬ ‫المعادلة‬ ‫كانت‬‫اختٌراري‬‫واحرد‬(‫ثابرت‬ ‫هرو‬
‫التكامل‬)‫الرتبرة‬ ‫لمعادالت‬ ‫الوحٌدة‬ ‫التكامل‬ ‫خطوة‬ ‫اجراء‬ ‫عند‬ ‫ٌظهر‬ ‫الذي‬‫اوولرى‬,‫الرتبرة‬ ‫مرن‬ ‫المعادلرة‬ ‫كانرت‬ ‫اذا‬ ‫أمرا‬
‫وجب‬ ‫الثانٌة‬‫على‬ ‫مشتمال‬ ‫حلها‬ ‫ٌكون‬ ‫ان‬(‫تكامل‬ ً‫ثابت‬)‫نظرا‬‫وجرراء‬‫حرل‬ ‫عنرد‬ ‫تكامرل‬ ً‫خطروت‬‫الثانٌرة‬ ‫الرتبرة‬ ‫معادلرة‬
. ‫أعلى‬ ‫رتبة‬ ‫لها‬ ً‫الت‬ ‫للمعادالت‬ ‫بالنقبة‬ ‫وهكذا‬
‫مثال‬(2)/‫ان‬ ‫أثبت‬‫ا‬ ‫حلول‬ ‫أحد‬‫لمعادلة‬𝟎
‫الحل‬/
(
𝟏
) (𝟏) 𝟏
( )
∴‫المعطاة‬ ‫العاللة‬( )ً‫ه‬‫أحد‬‫حل‬‫ا‬ ‫ول‬‫أعال‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫لمعادلة‬.
‫وزاري‬2014/‫د‬2
‫مثال‬(3)/‫بٌن‬𝟐
ٌ‫ح‬( )‫حال‬‫ل‬‫لمعادلة‬𝟐̅ 𝟎
‫الحل‬/
𝟐
𝟐 𝟐 (
̅
) 𝟏 𝟐̅ 𝟐̅ 𝟎
∴‫المعطاة‬ ‫العاللة‬( 𝟐 )‫أعال‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫حل‬ ً‫ه‬
‫مثال‬(4)/‫هل‬𝟑
𝟐‫ل‬ ‫حال‬‫لمعادلة‬‫التفاضلٌة‬
𝟐
𝟐
𝟔‫؟‬
‫الحل‬/
𝟑
𝟐 𝟑 𝟐
𝟏
𝟐
𝟐
𝟔
∴‫المعطاة‬ ‫العاللة‬( 𝟑
𝟐)‫أعال‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫حل‬ ً‫ه‬

4. ‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬ /‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
353
‫وزاري‬2012/‫د‬1
‫مثال‬(5)/‫برهن‬‫ا‬‫ن‬𝟑 (𝟐 ) 𝟐 (𝟐 )‫هو‬‫ل‬ ‫حال‬‫التفاضلٌة‬ ‫لمعادلة‬̿ 𝟒 𝟎
‫الحل‬/
𝟑 (𝟐 ) 𝟐 (𝟐 ) ̅ 𝟑 (𝟐 )(𝟐) 𝟐 (𝟐 )(𝟐) 𝟔 (𝟐 ) 𝟒 (𝟐 )
̅̅ 𝟔 ( 𝟐 )( 𝟐) 𝟒 ( 𝟐 )( 𝟐) 𝟏𝟐 ( 𝟐 ) 𝟖 ( 𝟐 )
̿ 𝟒 𝟏𝟐 (𝟐 ) 𝟖 (𝟐 ) 4[𝟑 (𝟐 ) 𝟐 (𝟐 )]
𝟏𝟐 ( 𝟐 ) 𝟖 ( 𝟐 ) 𝟏𝟐 ( 𝟐 ) 𝟖 ( 𝟐 )
∴‫المعطاة‬ ‫العاللة‬𝟑 ( 𝟐 ) 𝟐 ( 𝟐 )‫أعال‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫حل‬ ً‫ه‬
‫وزاري‬1201/‫د‬2
‫مثال‬(6)/‫ان‬ ‫هل‬𝟐
𝟑 𝟐 𝟑
‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫حال‬ ‫هو‬‫؟‬ ̿ (̅) 𝟐
𝟑 𝟓
‫الحل‬/
𝟐
𝟑 𝟐 𝟑
𝟐 ̅ 𝟔 𝟑 𝟐
𝟐 ( ̅̅) ̅(𝟐 ̅) 𝟔 𝟔 ( 𝟐 )
( ̅̅) ( ̅) 𝟐
𝟑 𝟑 ( ̅̅) ( ̅) 𝟐
𝟑 𝟑 5
∴‫المعطاة‬ ‫العاللة‬( 𝟐
𝟑 𝟐 𝟑)‫لٌقت‬‫أعال‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫حل‬
‫وزاري‬2015/‫د‬3
‫مثال‬(7)/‫ان‬ ‫بٌن‬𝟐 𝟑
‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫حال‬ ‫هو‬̿ ̅ 𝟔 𝟎
‫الحل‬/
𝟐 𝟑
̅ 𝟐 𝟐
𝟑 𝟑
̿ 𝟒 𝟐
𝟗 𝟑
̿ ̅ 𝟔 𝟒 𝟐
𝟗 𝟑 [ 𝟐 𝟐
𝟑 𝟑 ] 6[ 𝟐 𝟑 ]
𝟔 𝟐
𝟔 𝟑
6 𝟐
𝟔 𝟑
∴‫المعطاة‬ ‫العاللة‬( 𝟐 𝟑 )‫أعال‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫حل‬ ً‫ه‬

5. ‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬ /‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
354
(𝟓 𝟏)‫تمارين‬
‫س‬1/: ‫التالٌة‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫المعادالت‬ ‫من‬ ‫كل‬ ‫ودرجة‬ ‫رتبة‬ ‫بٌن‬
‫االولى‬ ‫والدرجة‬ ‫االولى‬ ‫الرتبة‬ ‫من‬
( 𝟐 𝟐) 𝟑 𝟎
‫الثانٌة‬ ‫الرتبة‬ ‫من‬‫االولى‬ ‫والدرجة‬
𝟐
𝟐
𝟓 𝟕
‫م‬‫الثالثة‬ ‫والدرجة‬ ‫الثالثة‬ ‫الرتبة‬ ‫ن‬(̅̿)
𝟑
𝟐̅ 𝟖 𝟑
‫الثانٌة‬ ‫والدرجة‬ ‫الثالثة‬ ‫الرتبة‬ ‫من‬(
𝟑
𝟑
)
𝟐
𝟐 ( )
𝟓
𝟑 𝟎
‫س‬2/‫ان‬ ‫برهن‬‫هو‬‫ل‬ ‫حل‬‫لمعادلة‬̿ 𝟎
‫الحل‬/
̅ ̿
̿ 𝟎
∴‫المعطاة‬ ‫العاللة‬( )‫أعال‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫حل‬ ً‫ه‬
‫س‬3/‫العاللة‬ ‫ان‬ ‫برهن‬𝟖 (𝟑 ) 𝟔 (𝟑 )‫للمعادلة‬ ‫حل‬ ً‫ه‬
𝟐
𝟐
𝟗 𝟎
‫الحل‬/
𝟖 (𝟑 ) 𝟔 (𝟑 ) 𝟖 (𝟑 )(𝟑) 𝟔 (𝟑 )(𝟑) 𝟐𝟒 (𝟑 ) 𝟏𝟖 (𝟑 )
𝟐
𝟐
𝟐𝟒 (𝟑 )(𝟑) 𝟏𝟖 (𝟑 )(𝟑) 𝟕𝟐 (𝟑 ) 𝟓𝟒 (𝟑 )
𝟐
𝟐
𝟗 𝟕𝟐 (𝟑 ) 𝟓𝟒 (𝟑 ) 𝟗[𝟖 (𝟑 ) 𝟔 (𝟑 )]
𝟕𝟐 (𝟑 ) 𝟓𝟒 (𝟑 ) 𝟕𝟐 (𝟑 ) 𝟓𝟒 (𝟑 ) 𝟎
∴‫المعطاة‬ ‫العاللة‬𝟖 ( 𝟑 ) 𝟔 ( 𝟑 )‫أعال‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫حل‬ ً‫ه‬

6. ‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬ /‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
355
‫س‬4/‫ان‬ ‫هل‬𝟐‫للمعادلة‬ ‫حال‬̿ 𝟑̅‫؟‬
‫الحل‬/
𝟐 ̅ 𝟏 ̿ 𝟎
̿ 𝟑̅ 𝟎 𝟑(𝟏) ( 𝟐) 𝟑 𝟐 𝟓
∴‫المعطاة‬ ‫العاللة‬( 𝟐)‫لٌقت‬‫أعال‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫حل‬
‫س‬5/‫هل‬‫للمعادلة‬ ‫حال‬̿ 𝟐 (𝟏 𝟐)
‫الحل‬/
̅ 𝟐
̿ 𝟐 ( ) 𝟐 𝟐
𝟐 ( 𝟏 𝟐) 𝟐 (𝟏 𝟐 ) 𝟐 𝟐
∴‫المعطاة‬ ‫العاللة‬( )‫أعال‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫حل‬
‫س‬6/‫هل‬𝟐 𝟐 𝟐
𝟏‫للمعادلة‬ ‫حال‬𝟑 ̿ 𝟐
‫الحل‬/
𝟐 𝟐 𝟐
𝟏 𝟒 𝟐 ̅ 𝟎 𝟐 ̅ 𝟒
( 𝟐)
⇒ ̅ 𝟐 ̅
𝟐
̿
( ) ( )( ̅ ) (
𝟐
)
𝟒 𝟐
𝟐 𝟐
𝟒 𝟐
̿
𝟐 𝟐
𝟒 𝟐
𝟐( 𝟐
𝟐 𝟐) 𝟐(𝟏) 𝟐
̿
𝟐
𝟑
̿ 𝟑
(
𝟐
) 𝟐
∴‫المعطاة‬ ‫العاللة‬( 𝟐 𝟐 𝟐
𝟏)‫أعال‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫حل‬

7. ‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬ /‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
356
‫س‬7/‫هل‬𝟓‫للمعادلة‬ ‫حال‬‫؟‬ ̿ 𝟐̅ 𝟐𝟓 𝟎
‫الحل‬/
𝟓 ̅ 𝟓 𝟓 ̅ ̿ ̅ 𝟐𝟓 𝟓
̿ 𝟐̅ 𝟐𝟓 𝟓 𝟎 ̿ 𝟐̅ 𝟐𝟓 𝟎
∴‫المعطاة‬ ‫العاللة‬( 𝟓 )‫أعال‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫حل‬
‫وزاري‬2012/‫د‬3‫وزاري‬2013/‫د‬1
‫س‬8/‫بٌن‬‫ان‬‫هو‬‫للمعادلة‬ ‫حال‬̅ 𝟎ٌ‫ح‬( )
‫الحل‬/
̅
̅ 𝟎
∴‫المعطاة‬ ‫العاللة‬( )‫أعال‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫حل‬
‫وزاري‬2015/‫د‬2
‫س‬9/‫ان‬ ‫بٌن‬| | 𝟐
,‫للمعادلة‬ ‫حال‬ ‫هو‬̅̅ 𝟒 𝟐
𝟐
‫الحل‬/
𝟐
̅
𝟐 ̅ 𝟐 ̅̅ 𝟐 (̅) 𝟐
̅̅ 𝟐 (̅) 𝟐 𝟐 (𝟐 ) 𝟐 𝟒 𝟐
𝟐
∴‫المعطاة‬ ‫العاللة‬( 𝟐 )‫أعال‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫حل‬
******************************************************************
‫س‬1:‫ان‬ ‫هل‬
𝟏
𝟑
‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫حال‬̅ 𝟐 𝟐ٌ‫ح‬( )
‫س‬2:‫ان‬ ‫هل‬𝟓‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫حال‬𝟐̅ ( ̅̅ 𝟓 ) 𝟎

8. ‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬ /‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
357
‫اوولى‬ ‫والدرجة‬ ‫اوولى‬ ‫الرتبة‬ ‫من‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫المعادالت‬ ‫حل‬ ‫طرق‬
‫متغٌراتها‬ ‫تنفصل‬ ً‫الت‬ ‫المعادالت‬ : ‫اوو‬
‫رر‬‫ر‬‫م‬ ‫ررو‬‫ر‬‫الن‬ ‫ررذا‬‫ر‬‫ه‬ ً‫رر‬‫ر‬‫ف‬‫ررى‬‫ر‬‫عل‬ ‫رروي‬‫ر‬‫تحت‬ ً‫رر‬‫ر‬‫الت‬ ‫رردود‬‫ر‬‫الح‬ ‫ررل‬‫ر‬‫ك‬ ‫ررزل‬‫ر‬‫نع‬ ‫أن‬ ‫ررتطٌع‬‫ر‬‫نق‬ ‫ررادالت‬‫ر‬‫المع‬ ‫ن‬( )‫ررع‬‫ر‬‫م‬( )‫ررر‬‫ر‬‫ط‬ ً‫رر‬‫ر‬‫ف‬
‫رررى‬‫ر‬‫عل‬ ‫ررروي‬‫ر‬‫تحت‬ ً‫ررر‬‫ر‬‫الت‬ ‫ررردود‬‫ر‬‫والح‬( )‫رررع‬‫ر‬‫م‬( )‫رررى‬‫ر‬‫عل‬ ‫رررل‬‫ر‬‫فنحص‬ ‫رررر‬‫ر‬‫اوخ‬ ‫رررر‬‫ر‬‫الط‬ ً‫ررر‬‫ر‬‫ف‬( ) ( )
‫على‬ ‫فنحصل‬ ‫الطرفان‬ ‫نكامل‬ ‫ثم‬∫ ( ) ∫ ( )‫ٌمثل‬ ٌ‫ح‬( )‫التكامل‬ ‫ثابت‬.
‫مثال‬(1)/‫المعادلة‬ ‫حل‬𝟐 𝟓
‫الحل‬/
𝟐 𝟓 𝟐 𝟓( )𝒅𝒙
∫ ∫ 𝟐 𝟓( ) 𝒅𝒙 𝟐
𝟓
‫مثال‬()/‫المعادلة‬ ‫حل‬
𝟏
‫الحل‬/
𝟏
𝟏( )𝒅𝒙
∫ ∫ 𝟏( ) 𝒅𝒙
𝟐
𝟐 𝟐
𝟐
( 𝟐)
⇒ 𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
√ 𝟐 𝟐 𝟐 √ 𝟐 𝟐 𝟏 ( 𝟏 𝟐 ‫)حٌث‬
‫مثال‬(3)/‫المعادلة‬ ‫حل‬𝟐
ٌ‫ح‬𝒚 (𝟐𝒏 𝟏)
𝝅
𝟐
(𝒄𝒐𝒔𝒚 𝟎)
‫الحل‬/
𝟐
( 𝟐 )
⇒ 𝟐
∫ 𝟐
∫

9. ‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬ /‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
358
‫وزاري‬6201/‫د‬1
‫مثال‬(4)/‫أوجد‬‫المعادلة‬ ‫حل‬̅ √ 𝟎‫عندما‬𝒙 𝟐 𝒚 𝟗
‫الحل‬/
√ 𝟎 ( )
𝟏
𝟐 ( )
𝟏
𝟐
( )
𝟏
𝟐
( )
𝟏
𝟐
∫( )
𝟏
𝟐 ∫
( )
𝟏
𝟐
(
𝟏
𝟐
)
𝟐
𝟐
𝟐√
𝟐
𝟐
‫نعوض‬𝒙 𝟐 𝒚: ‫فٌنتج‬ 𝟗
𝟐√𝟗
(𝟐) 𝟐
𝟐
𝟔 𝟐 𝟒
𝟐√
𝟐
𝟐
𝟒
( 𝟐)
⇒ √
𝟐
𝟒
𝟐 (‫الطرفٌن‬ ‫تربٌع‬ )
(
𝟐
𝟒
𝟐)
𝟐
(‫المعادلة‬ ‫حل‬ )
‫وزاري‬2015/‫د‬1
‫مثال‬(5)/‫المعادلة‬ ‫حل‬𝟐
‫عندما‬𝒙 𝟎 𝒚 𝟎
‫الحل‬/
𝟐 ( 𝟐 ) ( )
( )
⇒
( )
( 𝟐 ) ( ) ( 𝟐 )
∫( ) ∫( 𝟐 ) ∫( 𝟏)( )
𝟏
𝟐
∫(𝟐)( 𝟐 )
𝟏
𝟐
𝟐
‫نعوض‬𝒙 𝟎 𝒚: ‫فٌنتج‬ 𝟎
𝟎
𝟏
𝟐
𝟎
𝟏
𝟏
𝟐
𝟑
𝟐
∴
𝟏
𝟐
𝟐
𝟑
𝟐
𝟏 𝟐
𝟑
𝟐
( 𝟐
𝟑) 𝟐
𝟐
( 𝟐 𝟑)
(‫للطرفٌن‬ ‫)نأخذ‬
⇒ |
𝟐
𝟐 𝟑
| |
𝟐
𝟐 𝟑
|

10. ‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬ /‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
359
‫وزاري‬2015/‫د‬2
‫مثال‬(6)/: ‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫العام‬ ‫الحل‬ ‫جد‬( 𝟏) 𝟐
‫الحل‬/
( 𝟏) 𝟐 ( 𝟏) 𝟐
𝟐 ( 𝟏)
𝟐
( 𝟏)
∫ 𝟐 ∫
( 𝟏)
| | 𝟐 ( 𝟏) | | ( 𝟏) 𝟐
| | ( 𝟏) 𝟐
| |
( 𝟏) 𝟐
(‫للطرفٌن‬ ‫)نأخذ‬
⇒
| |
( 𝟏) 𝟐
| | ( 𝟏) 𝟐
𝟏 ( 𝟏) 𝟐
( 𝟏 ‫)حٌث‬
******************************************************************
(𝟓 𝟐)‫تمارين‬
‫س‬1/‫المعادالت‬ ‫حل‬ٌ‫اوت‬ ‫التفاضلٌة‬ٌ‫بطر‬ ‫ة‬‫م‬: ‫المتغٌرات‬ ‫فصل‬ ‫ة‬
( ) ̅ 𝟑
𝟑
( 𝟑
) ( ) 𝟑
( )
𝟏
( 𝟐 )
( )( 𝟐
) ∫ ∫ 𝟐
𝟐
𝟐
‫وزاري‬2014/‫د‬3‫وزاري‬2013/‫د‬2
( ) 𝟑 𝟏 𝟐
𝟑 ( 𝟑 )
( 𝟑 )
( 𝟏) ∫
( 𝟑 )
∫
| 𝟑 |
𝟐
𝟐
| 𝟑 𝟐 |
( 𝟏) 𝟐
𝟐
(𝟏)
𝟏
𝟐
𝟎
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
| 𝟑 |
𝟐
𝟐
𝟏
𝟐
( 𝟏)
⇒ | 𝟑 |
𝟏
𝟐
𝟐
𝟐
𝟑
(
𝟏
𝟐
𝟐
𝟐 )
𝟑
(
𝟏
𝟐
𝟐
𝟐 )
𝟑
𝟏
𝟐( 𝟏 𝟐)

11. ‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬ /‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
360
( ) ( 𝟏)( 𝟏)
( 𝟏)( 𝟏)
( 𝟏)
( 𝟏) ∫
( 𝟏)
∫( 𝟏)
( 𝟏)
𝟐
𝟐
(‫للطرفٌن‬ ‫)نأخذ‬
⇒ 𝟏
(
𝟐
𝟐
) (
𝟐
𝟐
)
𝟏
( ) ( 𝟐
𝟒 𝟏)̅ 𝟐
𝟐 𝟑
( 𝟐
𝟒 𝟏) 𝟐 𝟐 𝟑 ( 𝟐
𝟒 𝟏) ( 𝟐 𝟐 𝟑)
∫( 𝟐
𝟒 𝟏) ∫( 𝟐 𝟐 𝟑)
𝟑
𝟑
𝟐 𝟐
𝟑
𝟑
𝟐
𝟑
( ) ̅ 𝟒√( 𝟏 𝟐) 𝟑
𝟒( 𝟏 𝟐)
𝟑
𝟐 𝟒( 𝟏 𝟐)
𝟑
𝟐
( 𝟏 𝟐)
𝟑
𝟐
𝟒 ( ) ( 𝟏 𝟐)
𝟑
𝟐 𝟒
∫( ) ( 𝟏 𝟐)
𝟑
𝟐 ∫ 𝟒
𝟏
𝟐
∫ 𝟐( ) ( 𝟏 𝟐)
𝟑
𝟐 ∫ 𝟒
𝟏
𝟐
( 𝟏 𝟐)
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
𝟒
𝟏
√ 𝟏 𝟐
𝟒
( ) 𝟑
𝟎 𝟐‫د‬ 𝟐𝟎𝟏𝟏 ‫وزاري‬
𝟑
∫ ∫ 𝟑
𝟒
𝟒
𝟒
𝟒
𝟒
𝟒 𝟒 √𝟒 𝟒
𝟒
√ 𝟒 𝟏
𝟒
( 𝟏 𝟒 ‫حٌث‬ )

12. ‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬ /‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
361
( ) ̅ 𝟐 𝟑
𝟎
𝟏
𝟐
𝟐 𝟑
𝟐 𝟑
( 𝟑)
⇒ 𝟑
𝟐 ∫ 𝟑
𝟐 ∫
𝟐
𝟐
𝟐
( 𝟐)
⇒ 𝟐 𝟒 𝟐
𝟏
𝟐
𝟒 𝟐
𝟏
(
𝟏
𝟐
)
𝟐
𝟒 𝟎 𝟐 𝟒 𝟒 𝟐 𝟐 𝟖 𝟒
𝟏
𝟐
𝟒 𝟖 𝟐
𝟏
𝟒 𝟖
√
𝟏
𝟒 𝟖
‫س‬2/‫الحل‬ ‫جد‬ٌ‫اوت‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادالت‬ ‫العام‬: ‫ة‬
( ) 𝟐
𝟏 𝟐
𝟏 𝟐 𝟐 ( 𝟏 𝟐 𝟐)
( 𝟏 𝟐 𝟐)
∫
(𝟏 𝟐 𝟐)
∫
𝟏
𝟒
∫
( 𝟒)
(𝟏 𝟐 𝟐)
∫
𝟏
𝟒
𝒍𝒏 𝟏 𝟐 𝟐
𝒍𝒏|𝒙| 𝒍𝒏|𝒄| (𝟏 𝟐 𝟐)
𝟏
𝟒𝒍𝒏 𝒍𝒏|𝒄𝒙|
(‫للطرفٌن‬ ‫نأخذ‬)
⇒ (𝟏 𝟐 𝟐)
𝟏
𝟒 𝒄𝒙
(𝟏 𝟐 𝟐)
𝟏
𝟒
𝟏
𝒄𝒙
𝟏
𝟏 𝟐 𝟐√
𝟒
𝒄𝒙 𝟏 𝟐 𝟐√
𝟒 𝟏
𝟏 𝟐 𝟐
𝒄𝒙
𝟏
( 𝒄𝒙) 𝟒
𝟐 𝟐
𝟏
𝟏
(𝒄𝒙) 𝟒
𝟐
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐𝒄 𝟒 𝒙 𝟒
√
𝟏
𝟐
𝟏
𝒄 𝟏 𝒙 𝟒 (𝒄 𝟏 𝟐𝒄 𝟒
‫حٌث‬ )
‫وزاري‬2015/‫د‬1
( ) 𝟎
( ) ( )
( ) ( ) ∫ ( ) ∫ ( ) | | | |
| | | | | | 𝒆 𝒄

13. ‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬ /‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
362
( ) 𝟐
𝟎
𝟐
( 𝟐 )
⇒ 𝟐
∫ 𝟐
∫
∫ 𝟐 ∫
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
( 𝟐)
⇒ 𝟐 𝟐 𝟐
𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐
𝟏 ( 𝟐𝒄 𝒄 𝟏 ٌ‫ح‬‫ث‬ )
( ) 𝟐 𝟑
∫ 𝟐
∫ 𝟑
∫( 𝟐
𝟏) ∫(𝟏 𝟐 )
∫ 𝟐
∫ ∫ ∫ 𝟐
𝟑
𝟑
( ) 𝟐 𝟐
( 𝟐 𝟐 ) ∫ 𝟐
∫ 𝟐
∫ 𝟐
𝟏
𝟐
∫(𝟏 𝟐 )
𝟏
𝟐
(
𝟏
𝟐
𝟐 )
𝟏
𝟐
𝟏
𝟒
𝟐
( )
𝟑 𝟐
𝟏‫د‬ 𝟐𝟎𝟏𝟏 ‫وزاري‬
∫(𝟑 𝟐 ) ∫
𝟑 𝟑
𝟑
𝟑
( ) 𝟐
̅ 𝟎
̅ 𝟐 ( )( 𝟐 ) 𝟐
∫ 𝟐
∫
𝟏
𝟐
𝟐
( 𝟐)
⇒ 𝟐
𝟐 𝟐 𝟐
𝟐 𝟏 ( 𝟐𝒄 𝒄 𝟏 ‫حٌث‬)
‫المشتمة‬ ‫نوفر‬
𝟏
𝟐

14. ‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬ /‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
363
‫قؤال‬‫خارجي‬: ‫من‬ ‫كال‬ ‫أن‬ ‫أثبت‬ /
(𝒂) 𝒚 𝟐𝒆 𝒙 (𝒃) 𝒚 𝟑𝒙 (𝒄) 𝒚 𝑨𝒆 𝒙
𝑩𝒆 𝒙
‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫حل‬ ‫هو‬𝒚̿(𝟏 𝒙) 𝒚̅𝒙 𝒚 𝟎
(𝒂) 𝒚 𝟐𝒆 𝒙
𝒚̅ 𝟐𝒆 𝒙
𝒚̅̅ 𝟐𝒆 𝒙
𝒚̿(𝟏 𝒙) 𝒚̅𝒙 𝒚 𝟐𝒆 𝒙
(𝟏 𝒙) 𝟐𝒆 𝒙
𝟐𝒆 𝒙
𝟐𝒆 𝒙
𝟐𝒙𝒆 𝒙
𝟐𝒆 𝒙
𝟐𝒆 𝟎𝒙
∴‫المعطاة‬ ‫العاللة‬( 𝒚 𝟐𝒆 )‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫حل‬ 𝒙
𝒚̿(𝟏 𝒙) 𝒚̅𝒙 𝒚 𝟎
(𝒃) 𝒚 𝟑𝒙 𝒚̅ 𝟑 𝒚̅̅ 𝟎
𝒚̿(𝟏 𝒙) 𝒚̅𝒙 𝒚 (𝟎)(𝟏 𝒙) 𝟑 𝟑𝒙 𝟎
∴‫المعطاة‬ ‫العاللة‬( 𝒚 )‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫حل‬ 𝟑𝒙𝒚̿(𝟏 𝒙) 𝒚̅𝒙 𝒚 𝟎
(𝒄) 𝒚 𝑨𝒆 𝒙
𝑩𝒆 𝒙
𝒚̅ 𝑨𝒆 𝒙
𝑩𝒆 𝒙
𝒚̅̅ 𝑨𝒆 𝒙
𝑩𝒆 𝒙
𝒚̿(𝟏 𝒙) 𝒚̅𝒙 𝒚 (𝑨𝒆 𝒙
𝑩𝒆 𝒙
)(𝟏 𝒙) (𝑨𝒆 𝒙
𝑩𝒆 𝒙
) (𝑨𝒆 𝒙
𝑩𝒆 𝒙
)
𝑨𝒆 𝒙
𝑩𝒆 𝒙
𝑨𝒙𝒆 𝒙
𝑩𝒙𝒆 𝒙
𝑨𝒙𝒆 𝒙
𝑩𝒙𝒆 𝒙
𝑨𝒆 𝒙
𝑩𝒆 𝒙
𝟎
∴‫المعطاة‬ ‫العاللة‬( 𝒚 𝑨𝒆 𝒙
𝑩𝒆 )‫للمعادلة‬ ‫حل‬‫التفاضلٌة‬ 𝒙
𝒚̿(𝟏 𝒙) 𝒚̅𝒙 𝒚 𝟎

15. ‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬ /‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
364
‫المتجانقة‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬ : ‫ثانٌا‬
ً‫الت‬ ‫المعادلة‬ ً‫ه‬‫كتا‬ ‫نقتطٌع‬‫بالشكل‬ ‫بتها‬* ( ) +‫المعادلرة‬ ‫فمثال‬( 𝟒 𝟒) 𝟑
‫ٌمكرن‬
‫الصورة‬ ‫على‬ ‫كتابتها‬
𝟏 ( )
𝟒( 𝟒
‫على‬ ‫المعادلة‬ ً‫طرف‬ ‫بقسمة‬ )
/ ‫مثال‬‫؟‬ ‫متجانقة‬ ‫التالٌة‬ ‫المعادالت‬ ‫أي‬ ‫بٌن‬
𝟑 𝟑
𝟑 𝟐
( 𝟑
𝟎 ‫على‬ ‫والمقام‬ ‫البسط‬ ‫نقسم‬ )
𝟑
𝟑 𝟑
𝟑
𝟑 𝟐
𝟑
𝟏
𝟑 ( )
∴‫متجانقة‬ ‫المعادلة‬
𝟐 ̅ 𝟐
𝟐 𝟐
𝟎
( 𝟐
𝟎 ‫على‬ ‫والمقام‬ ‫البسط‬ ‫نقسم‬ )
𝟐 ( ) ̅
𝟐
𝟐
𝟐 𝟎 𝟐 ( ) ( )
𝟐
𝟐 𝟎
𝟐 ( ) ( )
𝟐
𝟐
( )
𝟐
𝟐
𝟐 ( )
∴‫متجانقة‬ ‫المعادلة‬
𝟐
𝟑
[ ( ) ] ‫بالشكل‬ ‫كتابتها‬ ‫الٌمكن‬ ‫النه‬ ‫متجانسة‬ ‫غٌر‬ ‫المعادلة‬

16. ‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬ /‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
365
‫المتجانقة‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬ ‫طرٌمة‬
: ‫التالٌة‬ ‫الخطوات‬ ‫نتبع‬ ‫المتجانقة‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫لحل‬
❶‫بالصورة‬ ‫المعادلة‬ ‫نكتب‬* ( ) +‫كل‬ ‫عن‬ ‫نعوض‬ ‫ثم‬* +‫أو‬[ ]ٌ‫ح‬( )‫الى‬ ‫دالة‬( )
❷‫نشتك‬[ ]‫الى‬ ‫بالنقبة‬( )‫على‬ ‫فنحصل‬* +
❸‫الخطوتٌن‬ ‫بٌن‬ ‫نربط‬❶‫و‬❷‫على‬ ‫فنحصل‬* ( ) ( ) +
❹‫على‬ ‫نحصل‬ ‫المتغٌرات‬ ‫فصل‬ ‫بعد‬* ( )
+
❺‫عن‬ ‫نعوض‬ ‫وأخٌرا‬ ‫العام‬ ‫الحل‬ ‫على‬ ‫فنحصل‬ ‫الطرفٌن‬ ‫نكامل‬* +
‫مثال‬(1)/‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬̅
𝟑 𝟐 𝟐
𝟐
‫الحل‬/
𝟑 𝟐 𝟐
𝟐
( 𝟐
𝟎 ‫على‬ ‫والمقام‬ ‫البسط‬ ‫نقسم‬ )
𝟑 𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟑( )
𝟐
𝟏
𝟐( )
𝟑 𝟐
𝟏
𝟐
( ‫وضعنا‬ )
∵
‫المعادلة‬ ً‫ف‬ ‫المعادلة‬ ‫نعوض‬: ‫فٌنتج‬
𝟑 𝟐
𝟏
𝟐
𝟑 𝟐
𝟏
𝟐
𝟑 𝟐
𝟏 𝟐 𝟐
𝟐
𝟐
𝟏
𝟐
𝟐
𝟐 𝟏
𝟏
∫
𝟏
∫
𝟐
𝟐 𝟏
∴ | | 𝟐
𝟏 | |
| | ( 𝟐
𝟏)
(‫للطرفٌن‬ ‫نأخذ‬)
⇒ ( 𝟐
𝟏)
∵ (
𝟐
𝟐
𝟏) (
𝟐 𝟐
𝟐 )
(
𝟐 𝟐
𝟐 )
𝒙 𝟑
𝟐 𝟐( )

17. ‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬ /‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
366
‫مثال‬(2)/‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬
‫الحل‬/
( 𝟎 ‫على‬ ‫والمقام‬ ‫البسط‬ ‫نق‬‫سم‬ )
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
( ‫وضعنا‬ )
∵
‫المعادلة‬ ً‫ف‬ ‫المعادلة‬ ‫نعوض‬: ‫فٌنتج‬
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏 ( 𝟏)
𝟏
𝟏 𝟐
𝟏
𝟐 𝟐
𝟏
𝟏
𝟏
𝟐 𝟐 𝟏
𝟏
∫
𝟏
∫
𝟏
𝟐 𝟐 𝟏
∴
∫
𝟏 𝟏
𝟐
∫( 𝟐)
𝟏
𝟐 𝟐 𝟏
𝟏
𝟐
𝟐 𝟐
𝟏 | | | |
𝟐 𝟐
𝟏
𝟏
𝟐 | | |
𝟏
√ 𝟐 𝟐 𝟏
| | |
𝟏
√ 𝟐 𝟐 𝟏
√ 𝟐 𝟐 𝟏
𝟏 (‫الطرفٌن‬ ‫تربٌع‬ )
⇒ 𝟐 𝟐
𝟏
𝟏
𝟐 𝟐
∵ 𝟐 ( ) ( )
𝟐
𝟏
𝟏
𝟐 𝟐 ( 𝟐
‫ب‬ ‫المعادلة‬ ً‫طرف‬ ‫نضرب‬ )
𝟐 𝟐 𝟐
𝟏
𝟐
𝟐
𝟐 𝟐
𝟏
𝟐
𝟐
𝟐 𝟐
(
𝟏
𝟐
‫)حٌث‬

18. ‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬ /‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
367
‫وزاري‬2013/‫د‬2
‫مثال‬(3)/‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬(𝟑 ) ̅
‫الحل‬/
𝟑
( ‫على‬ ‫والمقام‬ ‫البسط‬ ‫نقسم‬ )
𝟑
𝟏
𝟑
𝟏
𝟑
( ‫وضعنا‬ )
∵
‫المعادلة‬ ً‫ف‬ ‫المعادلة‬ ‫نعوض‬: ‫فٌنتج‬
𝟏
𝟑
𝟏
𝟑
𝟏 𝟑 𝟐
𝟑
𝟐
𝟐 𝟏
𝟑
( 𝟏) 𝟐
𝟑
∫
(𝟑 )
( 𝟏) 𝟐
∫ ∫
( 𝟑)
( 𝟏) 𝟐
∫
∫
[( 𝟏) 𝟐]
( 𝟏) 𝟐
∫ ∫
( 𝟏)
( 𝟏) 𝟐
∫
𝟐
( 𝟏) 𝟐
∫
( 𝟏) ∫
𝟏
(𝟐) ∫( 𝟏) 𝟐
∫
| 𝟏|
(𝟐)( 𝟏) 𝟏
𝟏
| | | 𝟏|
𝟐
( 𝟏)
| |
∵ | | | 𝟏|
𝟐
𝟏
| | | 𝟏|
𝟐
( )
| ( 𝟏)|
𝟐
| |
𝟐

19. ‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬ /‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
368
‫وزاري‬2201/‫د‬1‫وزاري‬2012/‫د‬3‫وزاري‬4201/‫د‬1
‫مثال‬(4)/‫الع‬ ‫الحل‬ ‫جد‬‫ـــــ‬‫التفاض‬ ‫للمعادلة‬ ‫ام‬‫ـــ‬‫لٌة‬𝟐 𝟐 𝟐 𝟐
‫الحل‬/
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
( 𝟐 𝟎 ‫على‬ ‫والمقام‬ ‫البسط‬ ‫نقسم‬ )
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐 𝟐
𝟐
𝟏 ( )
𝟐
𝟐
𝟏 𝟐
𝟐
( ‫وضعنا‬ )
∵
‫المعادلة‬ ً‫ف‬ ‫المعادلة‬ ‫نعوض‬: ‫فٌنتج‬
𝟏 𝟐
𝟐
𝟏 𝟐
𝟐
𝟏 𝟐 𝟐
𝟐
𝟐
𝟐 𝟏
𝟐
( 𝟏) 𝟐
𝟐
∫
𝟐
( 𝟏) 𝟐
∫ ∫ 𝟐( 𝟏) 𝟐
∫
𝟐( 𝟏) 𝟏
𝟏
| |
𝟐
𝟏
| | ( ‫نضع‬ )
𝟐
𝟏
| |
𝟐
( )
| |
𝟐
| |
𝟐
| |
𝟐
| |

20. ‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬ /‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
369
‫مثال‬‫محلول‬/‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬𝟐 ̅ 𝟐 𝟐
𝟎
‫الحل‬/
𝟐 ̅ 𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟐
( ‫على‬ ‫والم‬‫قام‬ ‫البسط‬ ‫نقسم‬ )
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
( )
𝟐
𝟏
𝟐( )
𝟐
𝟏
𝟐
( ‫وضعنا‬ )
∵
‫المعادلة‬ ً‫ف‬ ‫المعادلة‬ ‫نعوض‬: ‫فٌنتج‬
𝟐 𝟏
𝟐
𝟐 𝟏
𝟐
𝟐
𝟏 𝟐 𝟐
𝟐
𝟐
𝟏
𝟐
( 𝟐
𝟏)
𝟐
𝟐
𝟐 𝟏
∫
𝟐
𝟐 𝟏
∫∴ 𝟐
𝟏 | | | |
𝟐
𝟏 | | | | ( 𝟐
𝟏) 𝟏
( 𝟐
𝟏) |
𝟏
|
( 𝟐
𝟏)
𝟏 𝟏
( 𝟐 𝟏)
𝟏
(
𝟐
𝟐 𝟏)
𝟏
(
𝟐 𝟐
𝟐 )
𝟏
(
𝟐 𝟐
)
𝟐 𝟐

21. ‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬ /‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
370
(𝟓 𝟑)‫تمارين‬
‫حل‬‫من‬ ‫كال‬‫المعادالت‬‫اوتٌة‬ ‫التفاضلٌة‬:
‫وزاري‬2013/‫د‬1‫وزاري‬2012/‫د‬2
(𝟏) ̅
( ‫وضعنا‬ )
∵
‫المعادلة‬ ً‫ف‬ ‫المعادلة‬ ‫نعوض‬: ‫فٌنتج‬
∫ ∫ ∫ ∫
| | | | ( )
( 𝟐) ( 𝟐 ) 𝟐
𝟎
𝟐 ( 𝟐)
𝟐
𝟐
( ‫على‬ ‫والمقام‬ ‫البسط‬ ‫نقسم‬ )
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
( )
𝟐
𝟏
( )
𝟐
𝟐
( ‫وضعنا‬ )
∵ ( ‫المعادلة‬ ً‫ف‬ ‫المعادلة‬ ‫نعوض‬ )
∴ 𝟐 𝟐
𝟐
∫ 𝟐 ∫
𝟏
𝟏
| | | |
𝟏 ( 𝟏)
⇒ | |
𝟏
( )
| |
| | 𝟏 ( 𝟏 ‫حٌث‬)

22. ‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬ /‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
371
(𝟑) ( 𝟐 ) (𝟐 𝟑 ) 𝟎
(𝟐 𝟑 ) ( 𝟐 )
𝟐
𝟐 𝟑
( ‫على‬ ‫والمقام‬ ‫البسط‬ ‫نقسم‬ )
𝟐
𝟐 𝟑
𝟏 𝟐 ( )
𝟐 𝟑 ( )
𝟏 𝟐
𝟐 𝟑
( ‫وضعنا‬ )
∵ ( ‫المعادلة‬ ً‫ف‬ ‫المعادلة‬ ‫نعوض‬ )
∴
𝟏 𝟐
𝟐 𝟑
𝟏 𝟐
𝟐 𝟑
𝟏 𝟐 𝟐 𝟑 𝟐
𝟐 𝟑
( 𝟑 𝟐 𝟒 𝟏)
𝟐 𝟑
∫
( 𝟐 𝟑 )
( 𝟑 𝟐 𝟒 𝟏)
∫ (
𝟏
𝟐
) ∫
𝟐( 𝟐 𝟑 )
( 𝟑 𝟐 𝟒 𝟏)
∫
𝟏
𝟐
𝟑 𝟐 𝟒 𝟏 | |
𝟏
𝟐
| 𝟑
𝟐
𝟐
𝟒 𝟏| | |
(𝟒)
𝟐 𝟐
𝟐
𝟐 𝟐
𝟐
( ‫على‬ ‫والمقا‬‫م‬ ‫البسط‬ ‫نقسم‬ )
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏 ( )
𝟐
𝟐 ( )
𝟏 𝟐
𝟐
( ‫وضعنا‬ )
∵ ( ‫المعادلة‬ ً‫ف‬ ‫المعادلة‬ ‫نعوض‬ )
∴
𝟏 𝟐
𝟐
𝟏 𝟐
𝟐
𝟏 𝟐 𝟐 𝟐
𝟐
𝟏 𝟐
𝟐
𝟐
( 𝟏 𝟐)
∫
𝟐
( 𝟏 𝟐)
∫ 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 | | | |
( 𝟏 𝟐) | | (𝟏
𝟐
𝟐)
(𝟏
𝟐
𝟐)
𝟐
𝟐 𝟐

23. ‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬ /‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
372
(𝟓) ( 𝟐 𝟐) 𝟎
( 𝟐 𝟐)
𝟐 𝟐
( ‫على‬ ‫والمقام‬ ‫البسط‬ ‫نقسم‬ )
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏 ( )
𝟐
( )
𝟏 𝟐
( ‫وضعنا‬ )
∵
‫المعادلة‬ ً‫ف‬ ‫المعادلة‬ ‫نعوض‬: ‫فٌنتج‬
𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐 𝟏 𝟐 𝟐
( 𝟏 𝟐 𝟐)
𝟏
𝟒
∫
( 𝟒)
( 𝟏 𝟐 𝟐)
∫
𝟏
𝟒
| 𝟏 𝟐 𝟐
| | |
| 𝟏 𝟐 𝟐
|
(
𝟏
𝟒
)
| | | ( 𝟏 𝟐 𝟐
)
𝟏
𝟒
|
∴
(𝟏 𝟐 𝟐)
𝟏
𝟒
(𝟏 𝟐 ( )
𝟐
)
𝟏
𝟒
(𝟏 𝟐
𝟐
𝟐)
𝟏
𝟒
‫وزاري‬2014/‫د‬2

24. ‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬ /‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
373
(𝟔) 𝟐 ( 𝟑 𝟑)
𝟐
𝟑 𝟑
( ‫على‬ ‫والمقام‬ ‫البسط‬ ‫نقسم‬ )
𝟐
𝟑
𝟑
𝟑
𝟑
𝟑
( )
𝟏 ( )
𝟑
𝟏 𝟑
( ‫وضعنا‬ )
∵
‫المعادلة‬ ً‫ف‬ ‫المعادلة‬ ‫نعوض‬: ‫فٌنتج‬
𝟏 𝟑 𝟏 𝟑
𝟒
𝟏 𝟑
𝟒
𝟏 𝟑
( 𝟏 𝟑)
𝟒
∫ (
𝟏
𝟒
𝟑
𝟒
) ∫ ∫ ∫ ( 𝟒
𝟏
)
| |
𝟑
𝟑
| | | |
𝟏
𝟑 𝟑
| |
( 𝟏)
⇒ | |
𝟏
𝟑 𝟑
| |
| |
𝟏
𝟑 ( )
𝟑 | | 𝟏 ( 𝟏 ‫)حٌث‬
‫وزاري‬2016/‫د‬1

25. ‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬ /‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
374
(𝟕) ( )
( ‫وضعنا‬ )
∵
‫المعادلة‬ ً‫ف‬ ‫المعادلة‬ ‫نعوض‬: ‫فٌنتج‬
∫ ∫
( )
∫ ∫ | | | | | | | | | |
∴
******************************************************************
‫س‬1:‫التالٌة‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬(𝟒 )̅ 𝟑
‫س‬2:‫أوجد‬‫التالٌة‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬̅ (𝟏 𝟐) 𝟐
‫س‬3:‫ل‬ ‫العام‬ ‫الحل‬ ‫أوجد‬‫التالٌة‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫لمعادلة‬( √ 𝟐 𝟐)
‫س‬4:‫التالٌة‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬( 𝟐 𝟐) 𝟒
‫س‬5:‫التالٌة‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬( )

26. ‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬ /‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
375
‫الخامس‬ ‫بالفصل‬ ‫الخاصة‬ ‫العامة‬ ‫التمارٌن‬ ‫حلول‬
‫س‬13/: ‫اوتٌة‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬𝒚̅
𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒚
𝒙
𝒚
𝝅
𝟒
𝒙 𝟏
‫الحل‬/
𝒅𝒚
𝒅𝒙
𝒄𝒐𝒔 𝟐
𝒚
𝒙
𝒄𝒐𝒔 𝟐
𝒚𝒅𝒙 ] ( 𝒙 𝒄𝒐𝒔 𝟐
𝒚)
𝒅𝒚
𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒚
𝒅𝒙
𝒙
∫
𝒅𝒚
𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝒚
∫
𝒅𝒙
𝒙
∫ 𝒔𝒆𝒄 𝟐
𝒚 𝒅𝒚 ∫
𝒅𝒙
𝒙
𝒍𝒏| 𝒙| 𝒄 ( 𝒚
𝝅
𝟒
𝒙 𝟏 ‫)نعوض‬
𝝅
𝟒
𝒍𝒏| 𝟏| 𝒄 𝟏 𝟎 𝟏
∴ 𝒍𝒏| 𝒙| 𝟏
‫س‬14/: ‫اوتٌة‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬
𝒅𝒚
𝒅𝒙
𝟐𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝒚‫أن‬ ٌ‫ح‬𝒚
𝝅
𝟐
‫عندما‬ 𝒙 𝟎
‫الحل‬/
𝒅𝒚 𝟐𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝒚 𝒅𝒙 ] ( 𝒕𝒂𝒏 𝒚)
𝒅𝒚
𝒕𝒂𝒏 𝒚
𝟐𝒙 𝒅𝒙 ∫
𝒅𝒚
(
𝒔𝒊𝒏 𝒚
𝒄𝒐𝒔 𝒚
)
∫ 𝟐𝒙 𝒅𝒙
∫
𝒄𝒐𝒔 𝒚
𝒔𝒊𝒏 𝒚
𝒅𝒚 ∫ 𝟐𝒙 𝒅𝒙 𝒍𝒏| 𝒔𝒊𝒏 𝒚| 𝟐
𝒙 𝟐
𝟐
𝒄
𝒍𝒏| 𝒔𝒊𝒏 𝒚| 𝒙 𝟐
𝒄 ( 𝒚
𝝅
𝟐
𝒙 𝟎 ‫)نعوض‬
𝒍𝒏 |𝒔𝒊𝒏
𝝅
𝟐
| 𝟎 𝒄 𝒍𝒏 𝟏 𝒄 𝟎
∴ 𝒍𝒏| 𝒔𝒊𝒏 𝒚| 𝒙 𝟐
(‫للطرفٌن‬ ‫)نأخذ‬
⇒ 𝒔𝒊𝒏 𝒚 𝒆 𝒙 𝟐

27. ‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬ /‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
376
‫وزاري‬2013/‫د‬3
‫س‬15/‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬𝒙 𝒚̅ 𝒚 𝒙‫أن‬ ٌ‫ح‬𝒙 𝟏 𝒚 𝟏
‫الحل‬/
𝒙
𝒅𝒚
𝒅𝒙
𝒚 𝒙 ( 𝒙)
𝒅𝒚
𝒅𝒙
𝒚 𝒙
𝒙
𝒅𝒚
𝒅𝒙
𝒚
𝒙
𝟏
𝟏 ( ‫وضعنا‬ )
∵
‫المعادلة‬ ً‫ف‬ ‫المعادلة‬ ‫نعوض‬: ‫فٌنتج‬
𝟏 𝟏
] ( 𝒙) 𝒅𝒗
𝒅𝒙
𝒙
∫ 𝒅𝒗 ∫
𝒅𝒙
𝒙
| | 𝐜 | | 𝐜
‫نعوض‬𝒚 𝟏 𝒙 𝟏‫الثابت‬ ‫لٌمة‬ ‫وٌجاد‬𝒄
𝟏
𝟏
|𝟏| 𝐜 𝟏 𝟎 𝐜 𝟏
∴ | | 𝟏

28. ‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬ /‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
377
‫س‬16/‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬‫اوتٌة‬( 𝒙 𝟐
𝟑𝒚 𝟐) 𝒅𝒙 𝟐𝒙𝒚 𝒅𝒚 𝟎
‫الحل‬/
(𝒙 𝟐
𝟑𝒚 𝟐)𝒅𝒙 𝟐𝒙𝒚 𝒅𝒚
𝟐𝒙𝒚
𝒅𝒚
𝒅𝒙
𝒙 𝟐
𝟑𝒚 𝟐
𝒅𝒚
𝒅𝒙
𝒙 𝟐
𝟑𝒚 𝟐
( ‫على‬ ‫والمقام‬ ‫البسط‬ ‫نقسم‬ )
𝟐𝒙𝒚
𝒅𝒚
𝒅𝒙
𝒙 𝟐
𝒙 𝟐 𝟑
𝒚 𝟐
𝒙 𝟐
𝟐𝒙𝒚
𝒙 𝟐
𝒅𝒚
𝒅𝒙
𝟏 𝟑 (
𝒚
𝒙)
𝟐
𝟐 (
𝒚
𝒙)
𝟏 𝟑𝒗 𝟐
( ‫وضعنا‬ )
𝟐𝒗
∵
‫المعادلة‬ ً‫ف‬ ‫المعادلة‬ ‫نعوض‬: ‫فٌنتج‬
𝟏 𝟑𝒗 𝟐
𝟐𝒗
𝟏 𝟑𝒗 𝟐
𝟐𝒗
𝒗
𝟏 𝟑𝒗 𝟐
𝟐𝒗 𝟐
𝟐𝒗
𝒗 𝟐
𝟏
𝟐𝒗
𝟐𝒗
𝒗 𝟐 𝟏
∫
𝟐𝒗
𝒗 𝟐 𝟏
∫
𝒗 𝟐 | |𝟏 𝒍𝒏|𝒙| 𝒍𝒏|𝒙 | 𝒄 (𝒗 𝟐
𝟏) 𝒙 𝒄 (𝒗 𝟐
𝟏)
𝒙 𝒄 (
𝒚 𝟐
𝒙 𝟐
𝟏) 𝒙 𝒄 (
𝒚 𝟐
𝒙 𝟐
𝒙 𝟐
)

29. ‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬ /‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
378
‫الخامس‬ ‫بالفصل‬ ‫الخاصة‬ ‫الوزارٌة‬ ‫األسئلة‬ ‫حلول‬
‫وزاري‬ ‫قؤال‬2012‫/د‬2
‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬( 𝟏)( 𝟏)ٌ‫ح‬𝟐‫عندما‬𝟐
‫الحل‬/
( 𝟏)( 𝟏)
( 𝟏)( 𝟏)
( 𝟏)
( 𝟏) ∫
( 𝟏)
∫( 𝟏)
( 𝟏)
𝟐
𝟐
‫نعوض‬𝒚 𝟐 𝒙 𝟐‫الثابت‬ ‫لٌمة‬ ‫وٌجاد‬𝒄
𝟏 𝟐 𝟐 𝟎 𝟒 𝟒
∴ ( 𝟏)
𝟐
𝟐
𝟒
‫وزاري‬ ‫قؤال‬2014‫/د‬3
‫ان‬ ‫أثبت‬‫المعادلة‬ ‫حلول‬ ‫أحد‬𝟎
‫الحل‬/
(
𝟏
) (𝟏) 𝟏
( 𝟏 )
∴‫المعطاة‬ ‫العاللة‬( )‫حلول‬ ‫أحد‬ ً‫ه‬‫أعال‬ ‫التفاضلٌة‬ ‫المعادلة‬

30. ‫حميذ‬ ‫علي‬ ‫األستار‬ /‫أعذاد‬ ‫التفاضلية‬ ‫المعادالت‬ /‫الخامس‬ ‫الفصل‬𝟎𝟕𝟖𝟏𝟎𝟖𝟑𝟕𝟎𝟓𝟎
379
‫وزاري‬ ‫قؤال‬2015‫/د‬3
‫التفاضلٌة‬ ‫للمعادلة‬ ‫العام‬ ‫الحل‬ ‫جد‬
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
( ‫على‬ ‫والمقام‬ ‫البس‬‫ط‬ ‫نقسم‬ )
𝟐
𝟐
( )
𝟐
𝟏
𝟐
𝟏
( ‫وضعنا‬ )
∵
‫المعادلة‬ ً‫ف‬ ‫المعادلة‬ ‫نعوض‬: ‫فٌنتج‬
𝟐
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐 𝟐
𝟏 𝟏
( 𝟏)
∫ (
𝟏
) ∫ ∫ ∫ ( 𝟏
𝟏
)
| | | |
( 𝟏)
⇒ | | | |
| | | | 𝟏 ( 𝟏 ‫)حٌث‬