図と式をサイドバイサイドで見て理解するピンホールカメラモデル．

1. 図と式をサイドバイサイドで見て理解する
ピンホールカメラモデル
2016年8月15日
森 尚平

2. 2次元空間
撮像素子や
フィルム等
被写体
f
Z
-Y
y
Z
原点
Y

3. 撮像素子や
フィルム等
被写体
f
Z
-Y
y
Z
原点
Y
2次元空間

4. 撮像素子や
フィルム等
被写体
f
Z
-Y
y
Z
原点
Y
2次元空間
緑と青の三角形の相似関係から ⇒
Z
Y
f
y 

 Z
Y
fy 
同様に ．尚，f は焦点距離．
Z
X
fx 

5. 2次元空間
図のように原点を中心に反転させても
同様の関係が成り立つので，便宜上こちらを用いる．
被写体
f
Z
-Y-y
Z
原点
Y 






Z
Y
fy
Z
X
fx

6. 2次元空間
これを行列で表すと
被写体
f
Z
-Y-y
Z
原点
Y







Z
Y
fy
Z
X
fx































Z
Y
X
f
f
y
x
100
00
00
1
 ただし，λ=Z

7. 2次元空間
被写体
f
Z
-Y-y
Z
原点
Y
さらに， ．

































1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
Z
Y
X
f
f
y
x

3次元空間
Z
Y
X
原点
-Y
-y
被写体
これを行列で表すと







Z
Y
fy
Z
X
fx































Z
Y
X
f
f
y
x
100
00
00
1
 ただし，λ=Z

8. 画像座標系
Z
Y
X
原点
-Y
-y
被写体3次元空間
u
v
画像中心
光学中心

9. 
































1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
Z
Y
X
f
f
y
x

ここから，画像座標系の原点から光学中心までの
オフセットcx，cyを考慮して，
画像座標系
Z
Y
X
原点
-Y
-y
被写体3次元空間
u
v
画像中心
光学中心cx
cy

































1
0
0
0
10
0
0
0
1
Z
Y
X
c
c
f
f
y
x
y
x


10. 
































1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
Z
Y
X
f
f
y
x

ここから，画像座標系の原点から光学中心までの
オフセットcx，cyを考慮して，
（原点を画像平面の中央から画像座標系の原点へ移動）
画像座標系
Z
Y
X
原点
-Y
-y
被写体3次元空間
u
v
画像中心
光学中心cx
cy

































1
0
0
0
10
0
0
0
1
Z
Y
X
c
c
f
f
y
x
y
x


11. 
































1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
Z
Y
X
f
f
y
x

ここから，画像座標系の原点から光学中心までの
オフセットcx，cyを考慮して，
（原点を画像平面の中央から画像座標系の原点へ移動）
画像座標系
Z
Y
X
原点
-Y
-y
被写体3次元空間
u
v
画像中心
光学中心cx
cy

































1
0
0
0
10
0
0
0
1
Z
Y
X
c
c
f
f
y
x
y
x

さらに，内部変数を考慮して，

































1
0
0
0
100
0
1
Z
Y
X
c
c
f
f
y
x
y
x



※内部変数の詳細は
http://goo.gl/4vRYWX
参照

12. 
































1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
Z
Y
X
f
f
y
x

ここから，画像座標系の原点から光学中心までの
オフセットcx，cyを考慮して，
（原点を画像平面の中央から画像座標系の原点へ移動）
画像座標系
Z
Y
X
原点
-Y
-y
被写体3次元空間
u
v
画像中心
光学中心cx
cy

































1
0
0
0
10
0
0
0
1
Z
Y
X
c
c
f
f
y
x
y
x

さらに，内部変数を考慮して，

































1
0
0
0
100
0
1
Z
Y
X
c
c
f
f
y
x
y
x



※内部変数の詳細は
http://goo.gl/4vRYWX
参照
実際，このくらいの
近似で十分な場合も多い

13. 画像座標系
Z
Y
X
原点
-Y
-y
被写体3次元空間
u
v
画像中心
光学中心cx
cy 
































1
0
0
0
100
0
1
Z
Y
X
c
c
f
f
y
x
y
x



．ただし，XKAx
~~ λ
T
]1[~ yxx T
]1[
~
ZYXX











100
0 y
x
cf
cf


K











0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1
A
これを行列で表すと，