М.Г.Гоман «Дифференциальный метод продолжения решений систем конечных нелинейных уравнений, зависящих от параметра», Ученые записки ЦАГИ, том XVII, №5, 1986, стр. 94-102 Goman, M. G. (1986) Differential method for continuation of equilibrium solutions of a system of nonlinear equations depending on a parameter. Uch. Zap. TsAGI, vol.17, no.5, pp. 94-102 (in Russian). Для продолжения решений систем конечных нелинейных уравнений при изменении параметра получена система обыкновенных дифференциальных уравнений, для которой искомое однопараметрическое семейство решений конечных уравнений является устойчивой фазовой траекторией. Рассмотрен конечно-разностный алгоритм продолжения решения с ортогональной к траектории решения коррекцией, обеспечивающий прохождение предельных по параметру точек и точек ветвления траектории решения. Обсуждается использование метода продолжения по параметру в различных алгоритмах решения нелинейных систем уравнений. Приведен пример использования метола в задаче динамики пространственного движения самолета.

1. ____________ У Ч Е Н Ы Е З А П И С К И Ц А Г И
Т о м XVII 1 9 8 6 № 5
УДК 629.735.33.015
519.6
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ МЕТОД ПРОДОЛЖЕНИЯ
РЕШЕНИЙ СИСТЕМ КОНЕЧНЫХ
НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ,
ЗАВИСЯЩИХ ОТ ПАРАМЕТРА
М. Г. Гоман
Для продолжения решений систем конечных нелинейных урав­
нений при изменении параметра получена система обыкновенных
дифференциальных уравнений, для которой искомое однопараметри­
ческое семейство решений конечных уравнений является устойчивой
фазовой траекторией. Рассмотрен конечно-разностный алгоритм про­
должения решения с ортогональной к траектории решения коррек­
цией, обеспечивающий прохождение предельных по параметру точек
и точек ветвления траектории решения. Обсуждается использование
метода продолжения по параметру в различных алгоритмах решения
нелинейных систем уравнений. Приведен пример использования м е­
тола в задаче динамики пространственного движения самолета.
Изучение стационарных (установившихся) форм движения во
многих прикладных задачах приводит к необходимости расчета
и исследования семейства решений систем нелинейных уравнений,
зависящих от ряда параметров, и проведения бифуркационного
анализа этих решений [1—3]. Хотя существует достаточно большое
количество различных методов решения систем нелинейных урав­
нений, наиболее приемлемым для решения подобных задач яв­
ляется метод продолжения по параметру [3—6].
Рассмотрим векторное уравнение
F (x, λ) = 0, (1)
где F — вектор-функция размерности n, х —вектор фазового
состояния размерности n, λ—параметр, без ограничения общности
принимаемый скаляром. Функции Fi, i=1, 2, ..., n непрерывны
и имеют непрерывные частные производные по всем переменным
xi и параметру λ. Под вектор-функцией F в общем случае можно
понимать некоторое гладкое отображение.
При непрерывном изменении параметра λ решение x (λ), зада­
ваемое неявно векторным уравнением ( 1), также будет изменяться
94

2. непрерывно. Связь между малым изменением параметра dλ и соот­
ветствующим смещением точки решения dx определяется соотно­
шением
∂f
∂х
dx- ∂F
∂λ
dλ = 0, (2)
получаемым приравниванием нулю дифференциала левой части (1).
Если матрица Якоби левой части не вырождена, то траек­
тория решения х (λ) может быть получена интегрированием диф­
ференциальной системы уравнений [4]
dx = - I dF~l dF
dλ V дх / д/.
(3)
dF i dF-
при начальных условиях х(Х0) = л:0, где F (х0, Х0) = 0; ----= Т ~ Ч —
dx (_dxj
сг , * dF / dFi dFo dFn
матрица Якоби,
Вырождение матрицы в точках траектории решения л:(>.)
совпадает с разворотом траектории или появлением новых ее
ветвей и делает невозможным использование уравнений (3) [7].
Однопараметрическое семейство решений х(л) в расширенном
пространстве z = (x, I) образует траекторию (рис. 1), которая
может быть естественно параметризована ее длиной [5]. Такой
подход позволяет устранить искусственно возникающие
особенности в предельных точках при выборе в качестве незави­
симого аргумента одной нз фазовых переменных или параметра.
Рис.
/ X
1-предельмые точки ict
дх
2-т очки ветвления det Ф=0
При движении вдоль траектории решения (х, X) приращения
компонент вектора состояния и параметра будут определяться
проекциями касательного к траектории единичного вектора S.
Этот касательный вектор, определяемый бесконечно малым сме­
щением (dx, dX) в пространстве z, перпендикулярен строкам мат­
рицы 'j = , являющимся градиентами функций F, [х, >.),
дх д I дг
г = 1, 2, 3, ..., п, задающими в пространстве z гиперповерхности
единичной коразмерности, пересечение которых и образует иско­
мую траекторию решения.
dF'
Если среди векторов *'= 1 . 2, 3, ..., п нет линейно зави-
/ dF симых, т. е. если ранг то в совокупности с единичным
95

3. касательным вектором S они образуют в пространстве z базис,
а матрица Ф размерности {п.-f-1, п -f- 1), составленная из них, не
вырождена
dF, dF, dFi dF,
dxt dx2 dxn dk
dFn dFn dFn dFn
dxt dXj dxn dk
Ф “ dF„ dF„ dF„ dF„ = дг Г • (4^
S2 ... Sn Sn+1
Компоненты вектора S могут быть получены посредством ре­
шения линейной системы уравнений S = 0 (2) при фиксации
одной из компонент S„ такой, чтобы система не вырождалась.
dF
Поскольку вектор 5 ортогонален строкам матрицы , его ком­
поненты Sl определяются соотношениями
5| = 4 й г - -
где А„+и i — алгебраические дополнения элементов нижней строки
/
л+1
У! An+,j-
j = 1
Аналогично уравнениям (2) траектория решения (х, к) в рас­
ширенном пространстве может быть задана в дифференциальной
форме, определяющей движение с единичной скоростью вдоль
траектории
dz __^
dt J
или
dxi
— i — 1, 2, 3, .•*, ft,
dt 1
(6)
при начальных условиях z —z0, F(z0) = 0; здесь t — „время*, ска­
лярная величина, параметризующая траекторию, а з—параметр, знак
которого определяет направление движения вдоль траектории.
Уравнения (6) позволяют получить непрерывную ветвь реше­
ния (1) в пространстве z. При этом, как видно из последнего урав­
нения в (6), в предельных по параметру точках траектории реше­
ния (см. рис. 1) происходит смена знака определителя матрицы
dF
Якоби , поскольку величина detO положительна. Эти точки
соответствуют точкам бифуркаций динамической системы x —F(x, к),
в которых, например, происходит слияние устойчивых и седло-
вых особых точек.
Численное интегрирование уравнений (6) будет приводить
к накоплению ошибки и отклонению от истинной траектории
из-за отсутствия коррекции соотношения (1).
96

4. Следуя [6], можно построить непрерывный алгоритм, обеспе­
чивающий устойчивость траектории решения (1), задаваемой урав­
нением (6). Дополним уравнения (6) линейным векторным уравне­
нием относительно F:
A L + k F = 0, (7)
dt
решение которого имеет вид F —F (z0)e -ki, где положительная
константа k определяет скорость сходимости невязки [|[| =
= у £ F 2i уравнений (1) к нулю при увеличении t.
i=i
Раскрывая полную производную в левой части (7) и переходя
к переменной г, получим уравнение
dF dx ^ dF dl __ dF dz _____,g^
d x dt ’ сУк dt дг dt
которое после скалярного умножения его на вектор S может быть
объединено с уравнением (6) в единую систему уравнений
ф 1 = Г Л - (9)
В предельных по параметру точках траектории (см. рис. 1),
dF
где вырождается матрица Я к о б и м а т р и ц а Ф остается невы­
рожденной, и соответственно уравнения (9) не имеют особенностей-
В силу этого система (9) может быть преобразована к виду
(Ю)
Система (10) при з = + 1 обеспечивает не только движение
вдоль траектории, но и асимптотическую сходимость к ней из
некоторой достаточно широкой области значений z, не принадле­
жащих траектории решения. При о= 0 реализуется только сходи­
мость к траектории решения z{t) по семейству траекторий, орто­
гональных семейству изолиний F(x, 1) = С, где С — постоянный
вектор размерности п.
Таким образом, получена единая система дифференциальных
уравнений (10), которая обеспечивает расчет искомого решения
с автоматическим уменьшением невязки |F ||^ 0 , возникающей при
интегрировании этой системы с конечным шагом М, а также при
выборе начальной точки zn, не являющейся решением (1).
Наличие на траектории решения z{t) критической точки, где
происходит ветвление решений (см. рис. 1), обусловлено вырож­
дением матрицы Ф из-за появления линейно-зависимых строк
dF
в матрице и, тем самым, возникновения возможности сущест­
вования нескольких ветвей, проходящих через критическую точку.
7-1158 97

5. Если в точке на траектории решения z(t) ранг ---- = л, то точка
неособая, существует единственное касательное направление 5 (5).
или более ветвей, что определяется нелинейными членами разло­
жения вектор-функции F(x, I) в окрестности особой точки.
Для прохождения точки ветвления при интегрировании урав­
нений (10) может быть применен метод, основанный на использо­
вании представления о структуре решения уравнений в ее окрест­
ности. В случае пересечения четного числа, в частности, двух
ветвей, переход через точку ветвления изменяет направление дви­
жения на противоположное из-за смены знака алгебраических до­
полнений (5), так что при конечном шаге интегрирования может
возникнуть зацикливание (точки 1 и 2 на рис. 2, а). Поэтому необ­
ходимо осуществить смену знака параметра о в уравнениях (10).
В случае пересечения нечетного числа ветвей (рис. 2, б) направле­
ние движения при переходе через критическую точку сохраняется.
Штриховые линии на рис. 2, а, б показывают траектории прибли­
жения к решению в окрестности критических точек при я = 0-
Д--т определения направления движения по второй ветви
в двукратной точке ветвления (рис. 2, а) может быть использо­
вана информация об ориентации гиперплоскости, касательной к ее
ветвям в точке ветвления. В окрестности траектории решения
z(t) скалярное произведение F T-F в первом приближении выра­
жается следующей квадратичной формой F T-F х z TA&Z, где
Л = f-y-J • /-y-J — квадратная матрица размерности ( л -f 1, п 4-1),
Дz — приращения вектора z. Поскольку вдоль траектории решения
квадратичная форма должна равняться нулю, то матрица Л вырож­
дена и собственный вектор, соответствующий нулевому собственно­
му числу, совпадает с направлением касательного вектора S. В дву­
кратной точке ветвления возникают два нулевых собственных числа,
и соответствующая им пара собственных векторов определяет
искомую гиперплоскость, касательную к двум ветвям решения z(t).
Одномерный поиск направления в этой гиперплоскости по смене
знака величин Ft позволяет определить направление второй ветви
[3].
Для отыскания всех ветвей в критической точке и ее про­
хождения может быть использовано свойство структурной неустой­
чивости точки ветвления z* к малой деформации векторного поля
то в критической точке пересекаются две
'* - 41/и</S!и Г'иЛпfj(•Urfi,п«ги
Р и с.. 2 Рис. 3
98

6. F, задаваемой, в частности, в виде Ft —F + e(z — z*), s — малый
параметр. При малой деформации векторного поля Fe пересекаю­
щиеся в критической точке ветви распадаются на несколько
неособых траекторий [7]. На рис. 3 приведена схема обхода точки
ветвления. При подходе к ней введение деформации г=^0 приводит
к отклонению от исходной ветви (г = 0) и движению по неособой
траектории, гладко аппроксимирующей пересекающиеся ветви.
Знак параметра s определяет положение этой неособой траекто­
рии. После снятия деформации (£-*-0) происходит возврат на
новую ветвь исходного решения (е = 0).
Уравнения (10) при а = + 1 и F = 0 обеспечивают движение
вдоль траектории, при а = 0, Г ф 0 имеет место сходимость к тра­
ектории решения. Рассмотрим вычисление поправки, определяемой
системой (10) при а = 0 и следующем выборе коэффициента ,
где Дt — приращение параметра t, в линейном приближении. Она
определяется следующей системой линейных уравнений
- £ az — ( И)
Дгт 5 = 0. (12)
Видно, что однозначный выбор корректирующей поправки Дг,
определяемой уравнением (11), осуществляется с помощью условия
об ортогональности поправки Дz к касательному вектору S [урав­
нение (12)].
. Для расчета траектории х('к) может быть использован алго­
ритм, содержащий следующие основные операции:
1) запуск процедуры, вычисление начальной точки х0,. Х0:
F (хо, Х0) = 0 с помощью известных методов при фиксированном
X= Х0 или с помощью уравнений (10) с варьируемым параметром
при о = 0 или по соотношениям (11), (12) до удовлетворения тре­
буемой точности по невязке Ц/^Ц. Варьирование параметра в ряде
случаев значительно расширяет область начальных значений, при
которых реализуется сходимость к решению;
2) вычисление единичного касательного вектора 5 по форму­
лам (5);
3) определение конечного шага М вдоль траектории из усло­
вия, что приращения по всем координатам Дzt не превышают
некоторых заданных значений Дг*: Дt = min(Az’ /Sft);
k
4) вычисление следующей точки на траектории по соотноше­
ниям (6) и осуществление коррекции с помощью уравнений (11),
(12) до требуемой точности. Далее операции, начиная со второй,
повторяются.
Уравнения, подобные (9), могут быть использованы для рас­
чета отдельных ветвей корневого годографа р(Х) характеристичес­
кого уравнения, задаваемого комплексным уравнением G(p, Х) = 0,
где G— комплексная функция, р — комплексное число, X— дейст­
вительный параметр. Уравнения для изменения корня р и пара­
метра X при условии ортогональности корректирующей поправки
к корневой траектории, в отличие от уравнений, приведенных
в работе [8], будут иметь следующий вид:
99

7. _ ои du i i a
где op= -g—; Gx = ; <*== + 1; « = положительная константа.
Интегрирование корневой траектории с начальным значением в од­
ном из нулей характеристического уравнения G(p, X) = О позволяет
получить корневой годограф с постоянным шагом изменения по
величине р, что очень существенно при графическом построении
годографа. Для прохождения критических точек ветвления корне­
вого годографа могут быть использованы описанные выше
приемы.
На базе метода непрерывного продолжения решений по пара­
метру может быть построен алгоритм систематического поиска
множества решений системы нелинейных уравнений F(x) = 0, где
F, х — гс-мерные векторы. Подобная задача играет важную роль,
в частности, при анализе нелинейных динамических систем.
Рассмотрим подсистему F(k)(x) = 0, где F(k)(*) — вектор-функ­
ция размерности п — 1, получаемая из вектор-функции F (х) отбра­
сыванием ее k-й компоненты. Расчет траектории решения системы
/7(*)(л:) = 0, начинаемый из какого-либо известного решения системы
F(x) = 0, позволяет по смене знака функции F k(x) вдоль рассчи­
тываемой траектории вычислять искомые решения системы F (x)=0.
При этом, если подсистема F w (x) = 0 имеет единственную ветвь
решения, то удается найти все действительные решения системы
/:'(л) = 0, поскольку они должны лежать на этой ветви. Использо­
вание достаточных условий для доказательства существования
единственной траектории решения у подсистемы F(k)(x) = 0, полу­
чаемых на основе теоремы о неявной функции [9], существенно
сужает класс подобных систем, поскольку в общем случае траек­
тория решения может содержать |предельные точки и точки вет­
вления. Поэтому продолжение решения по траекториям, задавае­
мым последовательно подсистемами F(k){ x ) = 0 для й = 1, 2, ..., п,
с прохождением особых точек на траекториях значительно рас­
ширяет эффективность подобного алгоритма.
Продолжение решения по параметру является существенным
элементом гомотопического метода решения систем нелинейных
уравнений, суть которого заключается в искусственном введении
параметра и замене исходной нелинейной системы новой с извест­
ным решением при начальном значении параметра. При непрерыв­
ном изменении параметра сама система и ее решение в ряде слу­
чаев могут быть приведены к искомым [10]. Примерами гомотопи­
ческой деформации могут быть следующие замены: G(x, Х) =
= F(x) + (Х— 1) Z7(xQ) G{x, X) =XF(x)A-{ 1— X) (л: —х 0), где Х£ [0, 1].
Метод непрерывного продолжения решения является эффек­
тивным средством исследования нелинейных задач динамики дви­
жения самолета, в частности, анализа возможных установившихся
режимов его пространственного движения. Особенности простран­
ственного движения самолета при быстром вращении его по крену
связаны с возможностью существования при определенных откло-

8. нениях органов управления нескольких устойчивых установив­
шихся режимов полета [2].
В предположении о линейной зависимости аэродинамических
сил и моментов от параметров движения установившиеся режимы
полета определяются решениями нелинейной системы уравнений
следующей структуры: F(x, ы) = Лх + f(x) + Bu, где х = (а, р,
•V “ г)1— фазовый вектор, а, (3— углы атаки и скольжения, а>Л., и>у,
<ог — проекции вектора угловой скорости на связанные с самолетом
оси координат, и = (8„, оэ, 8Н)Т— вектор управления, 8В, 8Э, 8Н—
отклонения руля высоты, элеронов и руля направления соответ­
ственно. Матрица А размерности (5X5) содержит производные
аэродинамических коэффициентов по фазовым координатам само­
лета, матрица В размерности (5X3) содержит производные аэро­
динамических коэффициентов по компонентам вектора управления.
Нелинейная функция f(x) содержит члены, описывающие кинема­
тическое и инерционное взаимодействие продольного и бокового
движений самолета: /i = — {*<»,; / 2= :а1»д-; /з = ci“ y'V- /< = съ‘“л-“ г-
f b = C 3<»x
На рис. 4 приведен пример расчета установившихся значений
скорости крена <ох с помощью метода непрерывного продолжения
решения при изменении двух параметров управления 8В, оэ при
Зн= 0. Расчеты проведены при следующих значениях коэффициен­
тов матриц ,4 и й, функции /: а п = 0,7; а22= — 0,17; а31 = —4;
а33= — 0,8; а 4, = — 3; а 44— —0,6; а 45= 0,055; а 5, = —15,5; а 54--=—0,7;
а 55= — 2,35; Ьи =0,002; Ь23= —0,0004; 631= — 0,156; 642= 0,0035;
bi3= — 0,05; Ьъ2= —0,5; Ь53= —0,07; = —0,9; с2= 0,8 (остальные
коэффициенты принимались равными нулю).
Получаемые траектории образуют связную поверхность, кото­
рая в определенной области параметров управления характери­
зуется неоднозначной зависимостью <u*(8B, 8Э). Существуют области
значений параметров управления, где имеются пять, три и одно
решение. Штриховой линией на рис. 4 отмечены апериодически
неустойчивые режимы вращения, когда det j > 0. Исчезновение
устойчивого режима вращения при бифуркационных значениях
параметров управления определяет особенности динамики движе­
ния самолета.
101

9. ЛИТЕРАТУРА
1. Г о м а н М. Г., З а х а р о в С. Б., Х р а б р о е А. Н. Аэро­
динамический гистерезис при отрывном обтекании удлиненных
тел. — ДАН СССР, 1985, т. 282, № 1.
2. Z a g а у п о v Q. 1., G o m a n М. Q. Bifurcation analysis of
aircraft critical flight regimes. — ICAS Proceedings, Toulose, France, 1984,
vol. i.
3. M e h r a R. K., C a r r o l J. V. Bifurcation analysis of aircraft
high-of-attack flight dynamics. — AIAA Paper N 80-1599.
4. Давиденко Д. Ф. Об одном новом методе численного реш е­
ния систем нелинейных уравнений. — ДАН СССР, 1953, т. 88, № 4.
5. K u b i c e k М. Algorithm 502. Dependence of solution of nonli-
ner system's on parameter ACM.— TOM S; 2 (1976).
6. Р ы б а ш о в М. В. Непрерывные алгоритмы продолжения
решений конечных уравнений, зависящих от параметров. — Автома­
тика и телемеханика, 1975, № 4.
7. А р н о л ь д В. И. Дополнительные главы теории обыкновен­
ных дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1978.
8. P a n С. Т., С h а о К. S. A computer-aided root-locus method. —
IEEE Transaction on Aut. Control, AC-2, N 5, 1978.
9. C h a o K. S.. L i u D. K.. P a n С. T. A systematic search
method for obtaining multiple solutions of simultaneous nonlinear equati­
ons.—IEEE Transaction, 1975, vol. CAS-22, N 9.
10. W a t s o n L. T. A globaly convergent algorithm for computing
fixer points of C* maps. —Applied Mathematics and Computation, 1979, N 5.
Рукопись поступила 29jXlI 1984