9

À. Ã. Ìåðçëÿê
Â. Á. Ïîëîíñêèé
Ì. Ñ. ßêèð
ǐǒǛǙǒǟǝǕǬ
Ó÷åáíèê äëÿ 9 êëàññà
îáùåîáðàçîâàòåëüíûõ ó÷åáíûõ çàâåäåíèé
Ðåêîìåíäîâàíî
Ìèíèñòåðñòâîì îáðàçîâàíèÿ è íàóêè Óêðàèíû
Õàðüêîâ
½Ãèìíàçèÿ…
2009

ÓÄÊ 373:512
ÁÁÊ 22.151ÿ721
Ì52
Èçäàíî çà ñ÷åò ãîñóäàðñòâåííûõ ñðåäñòâ
Ïðîäàæà çàïðåùåíà
Ðåêîìåíäîâàíî
Ìèíèñòåðñòâîì îáðàçîâàíèÿ è íàóêè Óêðàèíû
(Ïðèêàç îò 02.02.2009 ã. ¹ 56)
Îòâåòñòâåííûå çà ïîäãîòîâêó ê èçäàíèþ:
Ãëàâíûé ñïåöèàëèñò Ìèíèñòåðñòâà îáðàçîâàíèÿ è íàóêè Óêðàèíû
Í. Ñ. Ïðîêîïåíêî
Ìåòîäèñò âûñøåé êàòåãîðèè Èíñòèòóòà èííîâàöèîííûõ òåõíîëîãèé
è ñîäåðæàíèÿ îáðàçîâàíèÿ Î. À. Ëèòâèíåíêî
Ýêñïåðòû, êîòîðûå ïðîâåëè ýêñïåðòèçó
è ðåêîìåíäîâàëè ó÷åáíèê ê èçäàíèþ:
Î. Â. Ãîðåëîâà, ó÷èòåëü-ìåòîäèñò îáùåîáðàçîâàòåëüíîé øêîëû ¹ 10
ã. Èçìàèëà Îäåññêîé îáëàñòè
Å. Ì. Ïåòå÷óê, ìåòîäèñò Çàêàðïàòñêîãî èíñòèòóòà ïîñëåäèïëîìíîãî
ïåäàãîãè÷åñêîãî îáðàçîâàíèÿ
Å. Í. Ñèíþêîâà, ïðåïîäàâàòåëü êàôåäðû ãåîìåòðèè Þæíîóêðàèíñêîãî
ãîñóäàðñòâåííîãî ïåäàãîãè÷åñêîãî óíèâåðñèòåòà
èì. Ê. Ä. Óøèíñêîãî ã. Îäåññû, êàíäèäàò ôèçèêî-
ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê, äîöåíò
Â. Â. Øàðêî, çàâåäóþùèé îòäåëîì òîïîëîãèè Èíñòèòóòà
ìàòåìàòèêè ÍÀÍ Óêðàèíû, äîêòîð ôèçèêî-
ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê, ïðîôåññîð
Ò. Í. Õìàðà, âåäóùèé íàó÷íûé ñîòðóäíèê ëàáîðàòîðèè
ìàòåìàòè÷åñêîãî è ôèçè÷åñêîãî îáðàçîâàíèÿ
Èíñòèòóòà ïåäàãîãèêè ÀÏÍ Óêðàèíû, êàíäèäàò
ïåäàãîãè÷åñêèõ íàóê
© À. Ã. Ìåðçëÿê, Â. Á. Ïîëîíñêèé,
Ì. Ñ. ßêèð, 2009
© C. Ý. Êóëèíè÷, õóäîæåñòâåííîå
îôîðìëåíèå, 2009
© ÎÎÎ ÒÎ «Ãèìíàçèÿ»,
îðèãèíàë-ìàêåò, 2009ISBN 978-966-474-020-0

Äîðîãèå äåâÿòèêëàññíèêè!
Â ýòîì ó÷åáíîì ãîäó âû ïðîäîëæèòå èçó÷åíèå ãåîìåòðèè.
Íàäååìñÿ, ÷òî âû óñïåëè ïîëþáèòü ýòó âàæíóþ è êðàñèâóþ
íàóêó, à çíà÷èò, ñ èíòåðåñîì áóäåòå îâëàäåâàòü íîâûìè
çíàíèÿìè, è ýòîìó áóäåò ñïîñîáñòâîâàòü ó÷åáíèê, êîòîðûé
âû äåðæèòå â ðóêàõ.
Îçíàêîìüòåñü, ïîæàëóéñòà, ñ åãî ñòðóêòóðîé.
Ó÷åáíèê ðàçäåëåí íà øåñòü ïàðàãðàôîâ, êàæäûé èç êî-
òîðûõ ñîñòîèò èç ïóíêòîâ. Â ïóíêòàõ èçëîæåí òåîðåòè÷å-
ñêèé ìàòåðèàë. Îñîáîå âíèìàíèå îáðàùàéòå íà òåêñò, âû-
äåëåííûé æèðíûì øðèôòîì. Òàêæå îáðàùàéòå âíèìàíèå
íà ñëîâà, íàïå÷àòàííûå êóðñèâîì.
Êàê ïðàâèëî, èçëîæåíèå òåîðåòè÷åñêîãî ìàòåðèàëà çà-
âåðøàåòñÿ ïðèìåðàìè ðåøåíèÿ çàäà÷. Ýòè çàïèñè ìîæíî
ðàññìàòðèâàòü êàê îäèí èç âîçìîæíûõ îáðàçöîâ îôîðìëå-
íèÿ ðåøåíèÿ.
Ê êàæäîìó ïóíêòó ïîäîáðàíû çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëü-
íîãî ðåøåíèÿ, ê êîòîðûì ìû ñîâåòóåì ïðèñòóïàòü òîëüêî
ïîñëå óñâîåíèÿ òåîðåòè÷åñêîãî ìàòåðèàëà. Ñðåäè çàäàíèé
åñòü êàê ïðîñòûå è ñðåäíèå ïî ñëîæíîñòè óïðàæíåíèÿ, òàê
è òðóäíûå çàäà÷è (îñîáåííî òå, êîòîðûå îáîçíà÷åíû «çâåç-
äî÷êîé» (*)). Ñâîè çíàíèÿ ìîæíî ïðîâåðèòü, ðåøàÿ çàäà÷è
â òåñòîâîé ôîðìå èç ðóáðèêè «Ïðîâåðü ñåáÿ».
Åñëè ïîñëå âûïîëíåíèÿ äîìàøíèõ çàäàíèé îñòàåòñÿ ñâî-
áîäíîå âðåìÿ è âû õîòèòå çíàòü áîëüøå, òî ðåêîìåíäóåì
îáðàòèòüñÿ ê ðóáðèêå «Êîãäà ñäåëàíû óðîêè». Ìàòåðèàë,
èçëîæåííûé òàì, íåïðîñò. Íî òåì èíòåðåñíåå èñïûòàòü ñâîè
ñèëû!
Äåðçàéòå! Æåëàåì óñïåõà!

Óâàæàåìûå êîëëåãè!
Ìû íàäååìñÿ, ÷òî ýòîò ó÷åáíèê ñòàíåò íàäåæíûì ïî-
ìîùíèêîì â âàøåì íåëåãêîì è áëàãîðîäíîì òðóäå, è áóäåì
èñêðåííå ðàäû, åñëè îí âàì ïîíðàâèòñÿ.
Â êíèãå ñîáðàí îáøèðíûé è ðàçíîîáðàçíûé äèäàêòè÷å-
ñêèé ìàòåðèàë. Îäíàêî çà îäèí ó÷åáíûé ãîä âñå çàäà÷è
ðåøèòü íåâîçìîæíî, äà â ýòîì è íåò íåîáõîäèìîñòè. Âìåñòå
ñ òåì íàìíîãî óäîáíåå ðàáîòàòü, êîãäà åñòü çíà÷èòåëüíûé
çàïàñ çàäà÷. Ýòî äàåò âîçìîæíîñòü ðåàëèçîâàòü ïðèíöèïû
óðîâíåâîé äèôôåðåíöèàöèè è èíäèâèäóàëüíîãî ïîäõîäà
â îáó÷åíèè.
Êðàñíûì öâåòîì îòìå÷åíû íîìåðà çàäà÷, êîòîðûå ðåêî-
ìåíäóþòñÿ äëÿ äîìàøíåé ðàáîòû, ñèíèì öâåòîì — íîìåðà
çàäà÷, êîòîðûå ñ ó÷åòîì èíäèâèäóàëüíûõ îñîáåííîñòåé ó÷à-
ùèõñÿ êëàññà íà óñìîòðåíèå ó÷èòåëÿ ìîæíî ðåøàòü óñòíî.
Ìàòåðèàë ðóáðèêè «Êîãäà ñäåëàíû óðîêè» ìîæíî èñ-
ïîëüçîâàòü äëÿ ðàáîòû ìàòåìàòè÷åñêîãî êðóæêà è ôàêóëü-
òàòèâíûõ çàíÿòèé.
Æåëàåì òâîð÷åñêîãî âäîõíîâåíèÿ è òåðïåíèÿ.
n° çàäàíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùèå íà÷àëüíîìó è ñðåäíåìó
óðîâíÿì ó÷åáíûõ äîñòèæåíèé;
n
•
çàäàíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùèå äîñòàòî÷íîìó óðîâíþ
ó÷åáíûõ äîñòèæåíèé;
n
••
çàäàíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùèå âûñîêîìó óðîâíþ ó÷åáíûõ
äîñòèæåíèé;
n*
çàäà÷è äëÿ ìàòåìàòè÷åñêèõ êðóæêîâ è ôàêóëüòàòèâîâ;
çàäà÷è, â êîòîðûõ ïîëó÷åí ðåçóëüòàò, êîòîðûé ìîæíî
èñïîëüçîâàòü ïðè ðåøåíèè äðóãèõ çàäà÷;
äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû, ñîîòâåòñòâóþùåå äîñòàòî÷íîìó
óðîâíþ ó÷åáíûõ äîñòèæåíèé;
äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû, ñîîòâåòñòâóþùåå âûñîêîìó
óðîâíþ ó÷åáíûõ äîñòèæåíèé;
äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû, íå îáÿçàòåëüíîå äëÿ èçó÷åíèÿ;
îêîí÷àíèå äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû.

Ïîíÿòèÿ «ñèíóñ», «êîñèíóñ» è «òàíãåíñ» îñòðîãî óãëà
âàì çíàêîìû èç êóðñà ãåîìåòðèè 8 êëàññà. Ðàñøèðèì ýòè
ïîíÿòèÿ äëÿ ëþáîãî óãëà α, ãäå 0° m α m 180°.
Â âåðõíåé ïîëóïëîñêîñòè êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè ðàñ-
ñìîòðèì ïîëóîêðóæíîñòü ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò,
ðàäèóñ êîòîðîé ðàâåí 1 (ðèñ. 1). Òàêóþ ïîëóîêðóæíîñòü
íàçûâàþò åäèíè÷íîé.
Áóäåì ãîâîðèòü, ÷òî óãëó α (0° m α m 180°) ñîîòâåòñòâóåò
òî÷êà M åäèíè÷íîé ïîëóîê-
ðóæíîñòè, åñëè ∠ MOA = α,
ãäå òî÷êè O è A èìåþò ñîîò-
âåòñòâåííî êîîðäèíàòû (0; 0)
è (1; 0) (ðèñ. 1). Íàïðèìåð, íà
ðèñóíêå 1 óãëó, ðàâíîìó 90°,
ñîîòâåòñòâóåò òî÷êà C; óãëó,
ðàâíîìó 180°, — òî÷êà B;
óãëó, ðàâíîìó 0°, — òî÷êà A.
α m α m
Ðèñ. 1

Ïóñòü α — îñòðûé óãîë. Åìó ñîîòâåòñòâóåò íåêîòîðàÿ
òî÷êà M (x; y) äóãè AC (ðèñ. 2). Èç ïðÿìîóãîëüíîãî òðå-
óãîëüíèêà OMN èìååì:
Ïîñêîëüêó OM = 1, ON = x, MN = y, òî
cosα = x, sinα = y.
Èòàê, êîñèíóñ è ñèíóñ îñòðîãî óãëà α — ýòî ñîîòâåòñòâåí-
íî àáñöèññà è îðäèíàòà òî÷êè M åäèíè÷íîé ïîëóîêðóæ-
íîñòè, ñîîòâåòñòâóþùåé óãëó α.
Ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò ïîäñêàçûâàåò, êàê îïðåäåëèòü
ñèíóñ è êîñèíóñ ëþáîãî óãëà α, ãäå 0° m α m 180°.
Î ï ð å ä å ë å í è å. Ê î ñ è í ó ñ î ì è ñ è í ó ñ î ì óãëà α
(0° m α m 180°) íàçûâàþò ñîîòâåòñòâåííî àáñöèññó x è îð-
äèíàòó y òî÷êè M åäèíè÷íîé ïîëóîêðóæíîñòè, ñîîòâåò-
ñòâóþùåé óãëó α (ðèñ. 3).
Ïîëüçóÿñü òàêèì îïðåäåëåíèåì, ìîæíî, íàïðèìåð,
çàïèñàòü: sin 0° = 0, cos 0° = 1, sin 90° = 1, cos 90° = 0,
sin180° = 0, cos180° = –1.
Ðèñ. 2 Ðèñ. 3
Åñëè M (x; y) — ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà åäèíè÷íîé ïîëó-
îêðóæíîñòè, òî –1 m x m 1 è 0 m y m 1. Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ
ëþáîãî óãëà α, ãäå 0° m α m 180°, èìååì:
0 m sinα m 1,
–1 m cosα m 1.
Åñëè α — òóïîé óãîë, òî àáñöèññà òî÷êè åäèíè÷íîé ïî-
ëóîêðóæíîñòè, ñîîòâåòñòâóþùåé ýòîìó óãëó, îòðèöàòåëüíà.
Ñëåäîâàòåëüíî, êîñèíóñ òóïîãî óãëà ÿâëÿåòñÿ îòðèöàòåëü-

íûì ÷èñëîì. Ïîíÿòíî, ÷òî ñïðàâåäëèâî è òàêîå óòâåðæäå-
íèå: åñëè cosα < 0, òî α — òóïîé èëè ðàçâåðíóòûé óãîë.
Èç êóðñà ãåîìåòðèè 8 êëàññà âû çíàåòå, ÷òî äëÿ ëþáîãî
îñòðîãî óãëà α
sin(90° – α) = cosα,
ños (90° – α) = sinα
Ýòè ôîðìóëû îñòàþòñÿ ñïðàâåäëèâûìè è äëÿ α = 0°,
è äëÿ α = 90° (óáåäèòåñü â ýòîì ñàìîñòîÿòåëüíî).
Ïóñòü óãëàì α è 180° – α, ãäå α ≠ 0°, α ≠ 90° è α ≠ 180°,
ñîîòâåòñòâóþò òî÷êè M (x1
; y1
) è N (x2
; y2
) åäèíè÷íîé ïî-
ëóîêðóæíîñòè (ðèñ. 4).
Ðèñ. 4
Ïðÿìîóãîëüíûå òðåóãîëüíèêè OMM1
è ONN1
ðàâíû ïî ãè-
ïîòåíóçå è îñòðîìó óãëó (ON = OM = 1, ∠ MOM1
= ∠ NON1
=
= α). Îòñþäà y2
= y1
è x2
= –x1
. Ñëåäîâàòåëüíî,
sin(180° – α) = sinα,
cos(180° – α) = –cosα
Óáåäèòåñü ñàìîñòîÿòåëüíî, ÷òî ýòè ðàâåíñòâà îñòàþòñÿ
âåðíûìè äëÿ α = 0°, α = 90°, α = 180°.
Åñëè α — îñòðûé óãîë, òî, êàê âû çíàåòå èç êóðñà ãåî-
ìåòðèè 8 êëàññà, ñïðàâåäëèâî òîæäåñòâî
sin2
α + cos2
α = 1,
êîòîðîå îñòàåòñÿ âåðíûì äëÿ α = 0°, α = 90°, α = 180° (óáå-
äèòåñü â ýòîì ñàìîñòîÿòåëüíî).

Ïóñòü α — òóïîé óãîë. Òîãäà óãîë 180° – α ÿâëÿåòñÿ
îñòðûì. Èìååì:
sin2
α + cos2
α = (sin(180° – α))2
+ (–cos(180° – α))2
=
= sin2
(180° – α) + cos2
(180° – α) = 1.
Ñëåäîâàòåëüíî, ðàâåíñòâî sin2
α + cos2
α = 1 âûïîëíÿåòñÿ
äëÿ âñåõ 0° m α m 180°.
Î ï ð å ä å ë å í è å. Ò à í ã å í ñ î ì óãëà α, ãäå 0° m α m 180°
è α ≠ 90°, íàçûâàþò îòíîøåíèå
sin
cos
, òî åñòü
tg
sin
cos
Ïîñêîëüêó cos90° = 0, òî tgα íå îïðåäåëåí äëÿ α = 90°.
Î÷åâèäíî, ÷òî êàæäîìó óãëó α (0° m α m 180°) ñîîòâåò-
ñòâóåò åäèíñòâåííàÿ òî÷êà åäèíè÷íîé ïîëóîêðóæíîñòè.
Çíà÷èò, êàæäîìó óãëó α ñîîòâåòñòâóåò åäèíñòâåííîå ÷èñëî,
êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ çíà÷åíèåì ñèíóñà (êîñèíóñà, òàíãåíñà äëÿ
α ≠ 90°). Ïîýòîìó çàâèñèìîñòü çíà÷åíèÿ ñèíóñà (êîñèíóñà,
òàíãåíñà) îò âåëè÷èíû óãëà ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèîíàëüíîé.
Ôóíêöèè f (α) = sinα, g (α) = cosα, h (α) = tgα, ñîîòâåò-
ñòâóþùèå ýòèì ôóíêöèîíàëüíûì çàâèñèìîñòÿì, íàçûâàþò
òðèãîíîìåòðè÷åñêèìè ôóíêöèÿìè óãëà α.
Çàäà÷à. Äîêàæèòå, ÷òî tg(180° – α) = –tgα.
Ðåøåíèå
Ïðèìåð. Íàéäèòå sin120°, cos120°, tg120°.
Ðåøåíèå. Èìååì:
? α
M

α ° m α m °
α ° m α m °
sin ° ños ° sin ° cos ° sin ° cos °
sinα m α m
cosα m α m
α cosα
sin ° α cos ° α
α m α m α ≠
tgα α
f α = sinα g α = cosα
h α = tgα
1.° Íà÷åðòèòå åäèíè÷íóþ ïîëóîêðóæíîñòü, âçÿâ çà åäè-
íè÷íûé îòðåçîê ïÿòü êëåòî÷åê òåòðàäè. Ïîñòðîéòå óãîë,
âåðøèíîé êîòîðîãî ÿâëÿåòñÿ íà÷àëî êîîðäèíàò, à îäíîé èç
ñòîðîí — ïîëîæèòåëüíàÿ ïîëóîñü x:
1) êîñèíóñ êîòîðîãî ðàâåí
2) êîñèíóñ êîòîðîãî ðàâåí –0,4;
3) ñèíóñ êîòîðîãî ðàâåí 0,6;
4) ñèíóñ êîòîðîãî ðàâåí 1;
5) êîñèíóñ êîòîðîãî ðàâåí 0;
6) êîñèíóñ êîòîðîãî ðàâåí –1.
2.° ×åìó ðàâåí:
1) sin(180° – α), åñëè
2) cos(180° – α), åñëè cosα = 0,7;

3) cos(180° – α), åñëè
4) tg(180° – α), åñëè tgα = –5?
3.° Óãëû α è β ñìåæíûå,
1) Íàéäèòå cosβ.
2) Êàêîé èç óãëîâ α è β ÿâëÿåòñÿ îñòðûì, à êàêîé — òó-
ïûì?
4.° Íàéäèòå çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ:
1) 2sin90° + 3cos 0°; 4) 6tg180° + 5sin180°;
2) 3sin0° – 5cos180°; 5) cos2
165° + sin2
165°;
3) tg23°•tg0°•tg106°; 6)
5.° Âû÷èñëèòå:
1) 4cos90° + 2cos180°; 2) cos0° – cos180° + sin90°.
6.° ×åìó ðàâåí ñèíóñ óãëà, åñëè åãî êîñèíóñ ðàâåí: 1) 1;
2) 0?
7.° ×åìó ðàâåí êîñèíóñ óãëà, åñëè åãî ñèíóñ ðàâåí: 1) 1;
2) 0?
8.° Íàéäèòå sin135°, cos135°, tg135°.
9.° Íàéäèòå sin150°, cos150°, tg150°.
10.° Ñóùåñòâóåò ëè óãîë α, äëÿ êîòîðîãî:
1) 3) 5) cosα = 1,001;
2) sinα = 0,3; 4) cosα = –0,99; 6)
11.
•
Íàéäèòå:
1) cosα, åñëè è 0° m α m 90°;
2) cosα, åñëè è 90° m α m 180°;
3) cosα, åñëè
4) sinα, åñëè cosα = –0,8.
12.
•
Íàéäèòå:
1) cosα, åñëè
2) sinα, åñëè

13.
•
Âåðíî ëè óòâåðæäåíèå (îòâåò îáîñíóéòå):
1) êîñèíóñ îñòðîãî óãëà áîëüøå êîñèíóñà òóïîãî óãëà;
2) ñóùåñòâóåò óãîë, ñèíóñ è êîñèíóñ êîòîðîãî ðàâíû;
3) ñóùåñòâóåò óãîë, ñèíóñ è êîñèíóñ êîòîðîãî ðàâíû íóëþ;
4) êîñèíóñ óãëà òðåóãîëüíèêà ìîæåò áûòü ðàâíûì îò-
ðèöàòåëüíîìó ÷èñëó;
5) ñèíóñ óãëà òðåóãîëüíèêà ìîæåò áûòü ðàâíûì îòðè-
öàòåëüíîìó ÷èñëó;
6) êîñèíóñ óãëà òðåóãîëüíèêà ìîæåò áûòü ðàâíûì íóëþ;
7) ñèíóñ óãëà òðåóãîëüíèêà ìîæåò áûòü ðàâíûì íóëþ;
8) êîñèíóñ óãëà òðåóãîëüíèêà ìîæåò áûòü ðàâíûì –1;
9) ñèíóñ óãëà òðåóãîëüíèêà ìîæåò áûòü ðàâíûì 1;
10) ñèíóñ óãëà, îòëè÷íîãî îò ïðÿìîãî, ìåíüøå ñèíóñà
ïðÿìîãî óãëà;
11) êîñèíóñ ðàçâåðíóòîãî óãëà ìåíüøå êîñèíóñà óãëà,
îòëè÷íîãî îò ðàçâåðíóòîãî;
12) ñèíóñû ñìåæíûõ óãëîâ ðàâíû;
13) êîñèíóñû íåðàâíûõ ñìåæíûõ óãëîâ ÿâëÿþòñÿ ïðî-
òèâîïîëîæíûìè ÷èñëàìè;
14) åñëè êîñèíóñû äâóõ óãëîâ ðàâíû, òî ðàâíû è ñàìè
óãëû;
15) åñëè ñèíóñû äâóõ óãëîâ ðàâíû, òî ðàâíû è ñàìè
óãëû;
16) òàíãåíñ îñòðîãî óãëà áîëüøå òàíãåíñà òóïîãî óãëà?
14.
•
Ñðàâíèòå ñ íóëåì çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ:
1) sin110° cos140°; 3) sin128° cos2
130° tg92°;
2) sin80° cos100° cos148°; 4) sin70° cos90° tg104°.
15.
•
Â òðåóãîëüíèêå ABC èçâåñòíî, ÷òî ∠ B = 60°, òî÷-
êà O — öåíòð âïèñàííîé îêðóæíîñòè. ×åìó ðàâåí êîñèíóñ
óãëà AOC?
16.
•
Òî÷êà O — öåíòð îêðóæíîñòè, âïèñàííîé â òðåóãîëü-
íèê ABC, Íàéäèòå óãîë A òðåóãîëüíèêà.
17.
•
Íàéäèòå çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ:
1) 2 sin120° + 4 cos150° – 2 tg135°;
2) cos120° – 8 sin2
150° + 3 cos90° cos162°;
3) cos180° (sin135° tg60° – cos135°)2
.

18.
•
×åìó ðàâíî çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ:
1) 2 sin150° – 4 cos120°;
2) sin90° (tg150° cos135° – tg120° cos135°)2
?
19.
•
Íàéäèòå çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ, íå ïîëüçóÿñü òàáëè-
öàìè è êàëüêóëÿòîðîì:
1) 2) 3)
20.
•
Âû÷èñëèòå:
1) 2) 3)
21.
•
Íàéäèòå ñóììó êâàäðàòîâ ñèíóñîâ âñåõ óãëîâ ïðÿ-
ìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà.
22.
•
Íàéäèòå ñóììó êâàäðàòîâ êîñèíóñîâ âñåõ óãëîâ ïðÿ-
ìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà.
23. Âûñîòà ïàðàëëåëîãðàììà, ïðîâåäåííàÿ èç âåðøèíû
òóïîãî óãëà, ðàâíà 5 ñì è äåëèò ñòîðîíó ïàðàëëåëîãðàììà
ïîïîëàì. Îñòðûé óãîë ïàðàëëåëîãðàììà ðàâåí 30°. Íàéäè-
òå äèàãîíàëü ïàðàëëåëîãðàììà, ïðîâåäåííóþ èç âåðøèíû
òóïîãî óãëà, è óãëû, êîòîðûå îíà îáðàçóåò ñî ñòîðîíàìè
ïàðàëëåëîãðàììà.
24. Ïðÿìàÿ CE ïàðàëëåëüíà áîêîâîé ñòîðîíå AB òðàïåöèè
ABCD è äåëèò îñíîâàíèå AD íà îòðåçêè AE è DE òàêèå, ÷òî
AE = 7 ñì, DE = 10 ñì. Íàéäèòå ñðåäíþþ ëèíèþ òðàïåöèè.
25. Äâå ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà ðàâíû 8 ñì è 11 ñì. Ìîæåò
ëè óãîë, ïðîòèâîëåæàùèé ñòîðîíå äëèíîé 8 ñì, áûòü:
1) òóïûì; 2) ïðÿìûì? Îòâåò îáîñíóéòå.
26. Â òðåóãîëüíèêå ABC ïðîâåäåíà âûñîòà BD, ∠ A = 60°,
∠ C = 45°, AB = 10 ñì. Íàéäèòå ñòîðîíó BC.
27. Íàéäèòå âûñîòó BD òðåóãîëüíèêà ABC è ïðîåêöèþ
ñòîðîíû AB íà ïðÿìóþ AC, åñëè ∠ BAC = 150°, AB = 12 ñì.

Èç ïåðâîãî ïðèçíàêà ðàâåíñòâà òðåóãîëüíèêîâ ñëåäóåò,
÷òî äâå ñòîðîíû è óãîë ìåæäó íèìè îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþò
òðåóãîëüíèê. À çíà÷èò, ïî óêàçàííûì ýëåìåíòàì ìîæíî,
íàïðèìåð, íàéòè òðåòüþ ñòîðîíó òðåóãîëüíèêà. Êàê ýòî
ñäåëàòü, ïîêàçûâàåò ñëåäóþùàÿ òåîðåìà.
Ò å î ð å ì à 2.1 (ò å î ð å ì à ê î ñ è í ó ñ î â). Êâàäðàò
ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà ðàâåí ñóììå êâàäðàòîâ äâóõ
äðóãèõ ñòîðîí ìèíóñ óäâîåííîå ïðîèçâåäåíèå ýòèõ ñòî-
ðîí è êîñèíóñà óãëà ìåæäó íèìè.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì òðå-
óãîëüíèê ABC. Äîêàæåì, íàïðèìåð, ÷òî
BC2
= AB2
+ AC2
– 2AB•AC•cosA.
Âîçìîæíû òðè ñëó÷àÿ:
1) óãîë A — îñòðûé;
2) óãîë A — òóïîé;
3) óãîë A — ïðÿìîé.
• Ðàññìîòðèì ïåðâûé ñëó÷àé. Åñëè ∠ A < 90°, òî òîãäà
õîòÿ áû îäèí èç óãëîâ B è C ÿâëÿåòñÿ îñòðûì. Ïóñòü, íà-
ïðèìåð, ∠ C < 90°. Ïðîâåäåì âûñîòó BD (ðèñ. 5).
Èç œ ABD ïîëó÷àåì: BD = AB•sinA, AD = AB•cos A.
Èç œBDC ïîëó÷àåì: BC2
= BD2
+ CD2
=
= BD2
+ (AC – AD)2
= AB2
•sin2
A + (AC – AB•cos A)2
=
= AB2
•sin2
A + AC2
– 2AC•AB•cos A + AB2
•cos2
A =
= AB2
•(sin2
A + cos2
A) + AC2
– 2AC•AB•cos A =
= AB2
+ AC2
– 2AB•AC•cos A.
Åñëè ∠ C l 90°, òî ∠ B < 90°. Òîãäà íàäî ïðîâåñòè âûñî-
òó òðåóãîëüíèêà ABC èç âåðøèíû C. Äàëüíåéøåå äîêàçà-
òåëüñòâî àíàëîãè÷íî ðàññìîòðåííîìó.
• Äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà óãîë A — òóïîé,
ïðîâåäåì âûñîòó BD òðåóãîëüíèêà ABC
(ðèñ. 6).
Èç œ ABD ïîëó÷àåì: BD = AB ×
× sin∠ BAD = AB•sin(180° – ∠ BAC) =
= AB•sin∠ BAC, AD = AB•cos∠ BAD =
= AB•cos (180° – ∠ BAC) =
= –AB•cos∠ BAC.
B
A CD
Ðèñ. 5
Ðèñ. 6

Èç œ BDC ïîëó÷àåì: BC2
= BD2
+ CD2
= BD2
+ (AC + AD)2
=
= AB2
•sin2
∠ BAC + (AC – AÂ•cos∠ BAC)2
=
= AB2
+ AC2
– 2AB•AC•cos∠ BAC.
• Åñëè óãîë A — ïðÿìîé (ðèñ. 7), òî
cos A = 0. Äîêàçûâàåìîå ðàâåíñòâî ïðèíè-
ìàåò âèä
BC2
= AB2
+ AC2
è âûðàæàåò òåîðåìó Ïèôàãîðà äëÿ òðå-
óãîëüíèêà ABC (∠ A = 90°).
Òà ÷àñòü äîêàçàòåëüñòâà, â êîòîðîé ðàññìîòðåí ñëó÷àé,
êîãäà ∠ A — ïðÿìîé, ïîêàçûâàåò, ÷òî òåîðåìà Ïèôàãîðà
ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì òåîðåìû êîñèíóñîâ. Ïîýòîìó òåî-
ðåìà êîñèíóñîâ ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì òåîðåìû Ïèôàãîðà.
Åñëè âîñïîëüçîâàòüñÿ îáîçíà÷åíèåì äëÿ ñòîðîí è óãëîâ
òðåóãîëüíèêà ABC (ñì. ôîðçàö), òî, íàïðèìåð, äëÿ ñòîðî-
íû a ìîæíî çàïèñàòü:
a2
= b2
+ c2
– 2bc cosα.
Ñ ïîìîùüþ òåîðåìû êîñèíóñîâ, çíàÿ òðè ñòîðîíû òðå-
óãîëüíèêà, ìîæíî îïðåäåëèòü, ÿâëÿåòñÿ ëè îí îñòðîóãîëü-
íûì, òóïîóãîëüíûì èëè ïðÿìîóãîëüíûì.
Ò å î ð å ì à 2.2 (ñ ë å ä ñ ò â è å è ç ò å î ð å ì û ê î ñ è í ó-
ñ î â). Ïóñòü a, b è c — ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà ABC,
ïðè÷åì a — åãî íàèáîëüøàÿ ñòîðîíà. Åñëè a2
< b2
+ c2
,
òî òðåóãîëüíèê îñòðîóãîëüíûé. Åñëè a2
> b2
+ c2
, òî
òðåóãîëüíèê òóïîóãîëüíûé. Åñëè a2
= b2
+ c2
, òî òðå-
óãîëüíèê ïðÿìîóãîëüíûé.
Äîêàçàòåëüñòâî. Èìååì:
a2
= b2
+ c2
– 2bccosα.
Îòñþäà 2bc cosα = b2
+ c2
– a2
.
Ïóñòü a2
< b2
+ c2
. Òîãäà b2
+ c2
– a2
> 0. Ñëåäîâàòåëüíî,
2bc cosα > 0, òî åñòü cosα > 0. Ïîýòîìó óãîë α — îñòðûé.
Ïîñêîëüêó a — íàèáîëüøàÿ ñòîðîíà òðåóãîëüíèêà, òî
ïðîòèâ íåå ëåæèò íàèáîëüøèé óãîë, êîòîðûé, êàê ìû äî-
êàçàëè, ÿâëÿåòñÿ îñòðûì. Ñëåäîâàòåëüíî, â ýòîì ñëó÷àå
òðåóãîëüíèê ÿâëÿåòñÿ îñòðîóãîëüíûì.
Ïóñòü a2
> b2
+ c2
. Òîãäà b2
+ c2
– a2
< 0, à çíà÷èò,
2bccosα < 0, òî åñòü cosα < 0. Ñëåäîâàòåëüíî, óãîë α — òóïîé.
B
A C
Ðèñ. 7

Ïóñòü a2
= b2
+ c2
. Òîãäà 2bc cosα = 0, òî åñòü cosα = 0.
Îòñþäà α = 90°.
Çàäà÷à. Äîêàæèòå, ÷òî ñóììà êâàäðàòîâ äèàãî-
íàëåé ïàðàëëåëîãðàììà ðàâíà ñóììå êâàäðàòîâ âñåõ åãî
ñòîðîí.
Ðåøåíèå. Íà ðèñóíêå 8 èçîáðàæåí ïàðàëëåëîãðàìì
ABCD.
Ïóñòü AB = CD = a, BC = AD = b,
∠ BAD = α, òîãäà ∠ ADC = 180° – α.
Èç œ ABD ïî òåîðåìå êîñèíóñîâ
BD2
= a2
+ b2
– 2ab cosα. (1)
Èç œ ACD ïî òåîðåìå êîñèíóñîâ
AC2
= a2
+ b2
– 2ab cos(180° – α) èëè
AC2
= a2
+ b2
+ 2abcosα. (2)
Ñëîæèâ ðàâåíñòâà (1) è (2), ïîëó÷èì
BD2
+ AC2
= 2a2
+ 2b2
.
Ï ð è ì å ð 1. Â òðåóãîëüíèêå ABC ñòîðîíà AB íà 4 ñì
áîëüøå ñòîðîíû BC, ∠ B = 120°, AC = 14 ñì. Íàéäèòå ñòî-
ðîíû AB è BC.
Ðåøåíèå. Ïî òåîðåìå êîñèíóñîâ
AC2
= AB2
+ BC2
– 2AB•BC cosB.
Ïóñòü BC = x ñì, x > 0, òîãäà AB = (x + 4) ñì.
Èìååì:
142
= (x + 4)2
+ x 2
– 2x (x + 4) cos120°;
æ
196 = 2x2
+ 8x + 16 + x (x + 4);
3x2
+ 12x – 180 = 0;
x2
+ 4x – 60 = 0;
x1
= 6; x2
= –10.
Êîðåíü x2
= –10 íå óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ x > 0.
Ñëåäîâàòåëüíî, BC = 6 ñì, AB = 10 ñì.
Î òâåò: 10 ñì, 6 ñì.
Ï ð è ì å ð 2. Íà ñòîðîíå AC òðåóãîëüíèêà ABC îòìåòèëè
òî÷êó D òàê, ÷òî CD : AD = 1 : 2. Íàéäèòå îòðåçîê BD, åñëè
AB = 14 ñì, BC = 13 ñì, AC = 15 ñì.
B
A D
C
a a
b
b
Ðèñ. 8

A
B C
D
B
A C
D
M
Ðèñ. 9 Ðèñ. 10
Ðåøåíèå. Ïî òåîðåìå êîñèíóñîâ èç œ ABC (ðèñ. 9):
AB2
= AC2
+ BC2
– 2AC•BC cosC,
îòñþäà
æ æ æ æ æ
Ïîñêîëüêó CD : AD = 1 : 2, òî ñì.
Òîãäà èç œ BCD:
æ æ
æ æ æ
Ñëåäîâàòåëüíî, (ñì).
Îòâåò: ñì.
Ïðèìåð 3. Äâå ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà ðàâíû 23 ñì
è 30 ñì, à ìåäèàíà, ïðîâåäåííàÿ ê áîëüøåé èç èçâåñòíûõ
ñòîðîí, — 10 ñì. Íàéäèòå òðåòüþ ñòîðîíó òðåóãîëüíèêà.
Ðåøåíèå. Ïóñòü â òðåóãîëüíèêå ABC (ðèñ. 10) AC = 23 ñì,
BC = 30 ñì, îòðåçîê AM — ìåäèàíà, AM = 10 ñì.
Íà ïðîäîëæåíèè îòðåçêà AM çà òî÷êó M îòëîæèì îò-
ðåçîê MD, ðàâíûé ìåäèàíå AM. Òîãäà AD = 20 ñì.
Â ÷åòûðåõóãîëüíèêå ABDC äèàãîíàëè AD è BC òî÷êîé M
ïåðåñå÷åíèÿ äåëÿòñÿ ïîïîëàì (BM = MC ïî óñëîâèþ,
AM = MD ïî ïîñòðîåíèþ). Ñëåäîâàòåëüíî, ÷åòûðåõóãîëüíèê
ABDC — ïàðàëëåëîãðàìì.
Ïî ñâîéñòâó äèàãîíàëåé ïàðàëëåëîãðàììà èìååì:
AD2
+ BC2
= 2 (AB2
+ AC2
).
Òîãäà
202
+ 302
= 2 (AB2
+ 232
);

400 + 900 = 2 (AB2
+ 529);
AB2
= 121;
AB = 11 ñì.
Î òâåò: 11 ñì.
?
a b c a
a b c
a b c
a b c
28.° Íàéäèòå íåèçâåñòíóþ ñòîðîíó òðåóãîëüíèêà ABC,
åñëè:
1) AB = 5 ñì, BC = 8 ñì, ∠B = 60°;
2) AB = 3 ñì, ñì, ∠A = 135°.
29.° Íàéäèòå íåèçâåñòíóþ ñòîðîíó òðåóãîëüíèêà DEF,
åñëè:
1) DE = 4 ñì, ñì, ∠D = 30°;
2) DF = 3 ñì, EF = 5 ñì, ∠ F = 120°.
30.° Ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà ðàâíû 12 ñì, 20 ñì è 28 ñì.
Íàéäèòå íàèáîëüøèé óãîë òðåóãîëüíèêà.
31.° Ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà ðàâíû ñì, 5 ñì è 7 ñì.
Íàéäèòå ñðåäíèé ïî âåëè÷èíå óãîë òðåóãîëüíèêà.
32.° Óñòàíîâèòå, îñòðîóãîëüíûì, ïðÿìîóãîëüíûì èëè òó-
ïîóãîëüíûì ÿâëÿåòñÿ òðåóãîëüíèê, ñòîðîíû êîòîðîãî ðàâíû:
1) 5 ñì, 7 ñì è 9 ñì; 3) 10 ñì, 15 ñì è 18 ñì.
2) 5 ñì, 12 ñì è 13 ñì;
33.° Ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà ðàâíû 7 ñì, 8 ñì è 12 ñì.
Âåðíî ëè óòâåðæäåíèå, ÷òî äàííûé òðåóãîëüíèê — îñòðî-
óãîëüíûé?
34.° Äîêàæèòå, ÷òî òðåóãîëüíèê ñî ñòîðîíàìè 8 ñì,
15 ñì è 17 ñì ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîóãîëüíûì.

35.° Ñòîðîíû ïàðàëëåëîãðàììà ðàâíû ñì è 5 ñì,
à îäèí èç óãëîâ ðàâåí 45°. Íàéäèòå äèàãîíàëè ïàðàëëåëî-
ãðàììà.
36.° Â òðàïåöèè ABCD (BC C AD) èçâåñòíî, ÷òî BC = 3 ñì,
AD = 10 ñì, CD = 4 ñì, ∠ D = 60°. Íàéäèòå äèàãîíàëè òðà-
ïåöèè.
37.° Íà ñòîðîíå AB ðàâíîñòîðîííåãî òðåóãîëüíèêà ABC
îòìå÷åíà òî÷êà D òàê, ÷òî AD : DB = 2 : 1. Íàéäèòå îòðåçîê
ÑD, åñëè AB = 6 ñì.
38.° Íà ãèïîòåíóçå AB ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ABC
îòìå÷åíà òî÷êà M òàê, ÷òî AM : BM = 1 : 3. Íàéäèòå îò-
ðåçîê CM, åñëè AC = BC = 4 ñì.
39.
•
Äâå ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà ðàâíû 3 ñì è 4 ñì, à ñèíóñ
óãëà ìåæäó íèìè ðàâåí Íàéäèòå òðåòüþ ñòîðîíó òðå-
óãîëüíèêà. Ñêîëüêî ðåøåíèé èìååò çàäà÷à?
40.
•
Â òðåóãîëüíèêå ABC èçâåñòíî, ÷òî ∠ C = 90°, AC =
= 20 ñì, BC = 15 ñì. Íà ñòîðîíå AB îòìåòèëè òî÷êó M òàê,
÷òî BM = 4 ñì. Íàéäèòå äëèíó îòðåçêà CM.
41.
•
Íà ïðîäîëæåíèè ãèïîòåíóçû AB ïðÿìîóãîëüíîãî
ðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà ABC çà òî÷êó B îòìåòèëè
òî÷êó D òàê, ÷òî BD = BC. Íàéäèòå îòðåçîê CD, åñëè êàòåò
òðåóãîëüíèêà ABC ðàâåí a.
42.
•
Â òðåóãîëüíèêå ABC èçâåñòíî, ÷òî ∠ C = 90°, AB =
= 13 ñì, AC = 12 ñì. Íà ïðîäîëæåíèè ãèïîòåíóçû AB çà
òî÷êó B îòìåòèëè òî÷êó D òàê, ÷òî BD = 26 ñì. Íàéäèòå
äëèíó îòðåçêà CD.
43.
•
Öåíòð îêðóæíîñòè, âïèñàííîé â ïðÿìîóãîëüíûé
òðåóãîëüíèê, íàõîäèòñÿ íà ðàññòîÿíèÿõ a è b îò êîíöîâ
ãèïîòåíóçû. Íàéäèòå ãèïîòåíóçó òðåóãîëüíèêà.
44.
•
Òî÷êà O — öåíòð îêðóæíîñòè, âïèñàííîé â òðåóãîëüíèê
ABC, BC = a, AC = b, ∠ AOB = 120°. Íàéäèòå ñòîðîíó AB.
45.
•
Äâå ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà, óãîë ìåæäó êîòîðûìè
ðàâåí 60°, îòíîñÿòñÿ êàê 5 : 8, à òðåòüÿ ñòîðîíà ðàâíà 21 ñì.
Íàéäèòå íåèçâåñòíûå ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà.

46.
•
Äâå ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà îòíîñÿòñÿ êàê 1 : è îá-
ðàçóþò óãîë, ðàâíûé 30°. Òðåòüÿ ñòîðîíà òðåóãîëüíèêà ðàâíà
ñì. Íàéäèòå íåèçâåñòíûå ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà.
47.
•
Ñóììà äâóõ ñòîðîí òðåóãîëüíèêà, îáðàçóþùèõ óãîë
120°, ðàâíà 8 ñì, à äëèíà òðåòüåé ñòîðîíû ñîñòàâëÿåò 7 ñì.
Íàéäèòå íåèçâåñòíûå ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà.
48.
•
Äâå ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà, óãîë ìåæäó êîòîðûìè
ðàâåí 120°, îòíîñÿòñÿ êàê 5 : 3. Íàéäèòå ñòîðîíû òðåóãîëü-
íèêà, åñëè åãî ïåðèìåòð ðàâåí 30 ñì.
49.
•
Äâå ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà ðàâíû 16 ñì è 14 ñì,
à óãîë, ïðîòèâîëåæàùèé ìåíüøåé èç èçâåñòíûõ ñòîðîí,
ðàâåí 60°. Íàéäèòå íåèçâåñòíóþ ñòîðîíó òðåóãîëüíèêà.
50.
•
à óãîë, ïðîòèâîëåæàùèé áîëüøåé èç èçâåñòíûõ ñòîðîí,
ðàâåí 120°. Íàéäèòå ïåðèìåòð òðåóãîëüíèêà.
51.
•
Íà ñòîðîíå BC òðåóãîëüíèêà ABC îòìåòèëè òî÷êó D
òàê, ÷òî CD = 14 ñì. Íàéäèòå îòðåçîê AD, åñëè AB = 37 ñì,
BC = 44 ñì è AC = 15 ñì.
52.
•
Íà ñòîðîíå AB òðåóãîëüíèêà ABC îòìåòèëè òî÷êó K,
à íà ïðîäîëæåíèè ñòîðîíû BC çà òî÷êó C — òî÷êó M. Íàé-
äèòå îòðåçîê MK, åñëè AB = 15 ñì, BC = 7 ñì, AC = 13 ñì,
AK = 8 ñì, MC = 3 ñì.
53.
•
Îäíà èç ñòîðîí òðåóãîëüíèêà â 2 ðàçà áîëüøå äðóãîé,
à óãîë ìåæäó ýòèìè ñòîðîíàìè ñîñòàâëÿåò 60°. Äîêàæèòå,
÷òî äàííûé òðåóãîëüíèê ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîóãîëüíûì.
54.
•
Äîêàæèòå, ÷òî åñëè êâàäðàò ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà
ðàâåí íåïîëíîìó êâàäðàòó ñóììû äâóõ äðóãèõ ñòîðîí, òî
ïðîòèâîëåæàùèé ýòîé ñòîðîíå óãîë ðàâåí 120°.
55.
•
Äîêàæèòå, ÷òî åñëè êâàäðàò ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà
ðàâåí íåïîëíîìó êâàäðàòó ðàçíîñòè äâóõ äðóãèõ ñòîðîí, òî
ïðîòèâîëåæàùèé ýòîé ñòîðîíå óãîë ðàâåí 60°.
56.
•
Äâå ñòîðîíû ïàðàëëåëîãðàììà ðàâíû 7 ñì è 11 ñì,
à îäíà èç äèàãîíàëåé — 12 ñì. Íàéäèòå âòîðóþ äèàãîíàëü
57.
•
Äèàãîíàëè ïàðàëëåëîãðàììà ðàâíû 13 ñì è 11 ñì,
à îäíà èç ñòîðîí — 9 ñì. Íàéäèòå ïåðèìåòð ïàðàëëåëî-
ãðàììà.

58.
•
Äèàãîíàëè ïàðàëëåëîãðàììà ðàâíû 8 ñì è 14 ñì,
à îäíà èç ñòîðîí íà 2 ñì áîëüøå äðóãîé. Íàéäèòå ñòîðîíû
59.
•
Ñòîðîíû ïàðàëëåëîãðàììà ðàâíû 11 ñì è 23 ñì, à åãî
äèàãîíàëè îòíîñÿòñÿ êàê 2 : 3. Íàéäèòå äèàãîíàëè ïàðàë-
ëåëîãðàììà.
60.
••
Â òðàïåöèè ABCD (AD C BC) èçâåñòíî, ÷òî AB = 5 ñì,
BC = 9 ñì, AD = 16 ñì, Íàéäèòå ñòîðîíó CD òðà-
ïåöèè.
61.
••
Â òðàïåöèè ABCD (AD C BC) èçâåñòíî, ÷òî
ñì, BC = 6 ñì, ÑD = 4 ñì, AD = 11 ñì. Íàéäèòå
êîñèíóñ óãëà D òðàïåöèè.
62.
••
Íàéäèòå äèàãîíàëü AC ÷åòûðåõóãîëüíèêà ABCD,
åñëè îêîëî íåãî ìîæíî îïèñàòü îêðóæíîñòü, è AB = 3 ñì,
BC = 4 ñì, CD = 5 ñì, AD = 6 ñì.
63.
••
Ìîæíî ëè îïèñàòü îêðóæíîñòü îêîëî ÷åòûðåõóãîëüíè-
êà ABCD, åñëè AB = 4 ñì, AD = 3 ñì, BD = 6 ñì è ∠ C = 30°?
64.
••
Äîêàæèòå, ÷òî ïðîòèâ áîëüøåãî óãëà ïàðàëëåëîãðàì-
ìà ëåæèò áóëüøàÿ äèàãîíàëü. Ñôîðìóëèðóéòå è äîêàæèòå
îáðàòíîå óòâåðæäåíèå.
65.
••
Ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà ðàâíû 12 ñì, 15 ñì è 18 ñì.
Íàéäèòå áèññåêòðèñó òðåóãîëüíèêà, ïðîâåäåííóþ èç âåð-
øèíû åãî íàèáîëüøåãî óãëà.
66.
••
Îñíîâàíèå ðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà ðàâíî 5 ñì,
à áîêîâàÿ ñòîðîíà — 20 ñì. Íàéäèòå áèññåêòðèñó òðåóãîëü-
íèêà, ïðîâåäåííóþ èç âåðøèíû óãëà ïðè åãî îñíîâàíèè.
67.
••
Íàéäèòå ìåäèàíó òðåóãîëüíèêà, ïðîâåäåííóþ ê åãî áîëüøåé
ñòîðîíå.
68.
••
Îñíîâàíèå ðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà ðàâíî
ñì, à ìåäèàíà, ïðîâåäåííàÿ ê áîêîâîé ñòîðîíå, — 5 ñì.
Íàéäèòå áîêîâóþ ñòîðîíó òðåóãîëüíèêà.
69.
••
à ìåäèàíà, ïðîâåäåííàÿ ê òðåòüåé ñòîðîíå, — 7 ñì. Íàéäè-
òå íåèçâåñòíóþ ñòîðîíó òðåóãîëüíèêà.
70.
••
Â òðåóãîëüíèêå ABC èçâåñòíî, ÷òî AB = BC, ∠ ABC =
= 120°. Íà ïðîäîëæåíèè îòðåçêà AB çà òî÷êó B îòìåòèëè

òî÷êó D òàê, ÷òî BD = 2AB. Äîêàæèòå, ÷òî òðåóãîëüíèê
ACD ðàâíîáåäðåííûé.
71.
••
Äîêàæèòå, ÷òî ãäå a, b è c —
ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà, mc
— ìåäèàíà òðåóãîëüíèêà, ïðî-
âåäåííàÿ ê ñòîðîíå c.
72. Â îêðóæíîñòè ïðîâåäåíû äèàìåòð AC è õîðäà AB, ðàâ-
íàÿ ðàäèóñó îêðóæíîñòè. Íàéäèòå óãëû òðåóãîëüíèêà ABC.
73. Îäèí èç óãëîâ, îáðàçîâàâøèõñÿ ïðè ïåðåñå÷åíèè áèñ-
ñåêòðèñû óãëà ïàðàëëåëîãðàììà ñ åãî ñòîðîíîé, ðàâåí îäíîìó
èç óãëîâ ïàðàëëåëîãðàììà. Íàéäèòå óãëû ïàðàëëåëîãðàììà.
74. Â òðåóãîëüíèê ABC âïèñàí ïàðàëëåëîãðàìì ADEF
òàê, ÷òî óãîë A ó íèõ îáùèé, à òî÷êè D, E è F ïðèíàäëåæàò
ñîîòâåòñòâåííî ñòîðîíàì AB, BC è AC òðåóãîëüíèêà. Íàé-
äèòå ñòîðîíû ïàðàëëåëîãðàììà ADEF, åñëè AB = 8 ñì,
AC = 12 ñì, AD : AF = 2 : 3.
75. Íàéäèòå óãîë ADC (ðèñ. 11), åñëè ∠ ABC = 140°.
76. Íàéäèòå óãîë ABC (ðèñ. 12), åñëè ∠ ADC = 43°.
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
C
Ðèñ. 11 Ðèñ. 12 Ðèñ. 13
77. Îòðåçîê AB — äèàìåòð îêðóæíîñòè, ðàäèóñ êîòîðîé
ðàâåí R, ∠ ABC = α (ðèñ. 13). Íàéäèòå õîðäó AC.
Îáíîâèòå â ïàìÿòè ñîäåðæàíèå ïóíêòà 8 íà ñ. 247.

Èç âòîðîãî ïðèçíàêà ðàâåíñòâà òðåóãîëüíèêîâ ñëåäóåò,
÷òî ñòîðîíà è äâà ïðèëåæàùèõ ê íåé óãëà îäíîçíà÷íî
îïðåäåëÿþò òðåóãîëüíèê. Ñëåäîâàòåëüíî, ïî óêàçàííûì
ýëåìåíòàì ìîæíî íàéòè äâå äðóãèå ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà.
Êàê ýòî ñäåëàòü, ïîäñêàçûâàåò òàêàÿ òåîðåìà.
Òå î ð å ì à 3.1 (ò å î ð å ì à ñ è í ó ñ î â). Ñòîðîíû òðå-
óãîëüíèêà ïðîïîðöèîíàëüíû ñèíóñàì ïðîòèâîëåæàùèõ
óãëîâ.
Ë å ì ì à. Õîðäà îêðóæíîñòè ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ äèà-
ìåòðà íà ñèíóñ ëþáîãî âïèñàííîãî óãëà, îïèðàþùåãîñÿ
íà ýòó õîðäó.
Äîêàçàòåëüñòâî. Íà ðè-
ñóíêå 14 îòðåçîê MN — õîðäà
îêðóæíîñòè ñ öåíòðîì â òî÷êå O.
Ïðîâåäåì äèàìåòð MP. Òîãäà
∠ MNP = 90° êàê âïèñàííûé,
îïèðàþùèéñÿ íà äèàìåòð. Ïóñòü
âåëè÷èíà âïèñàííîãî óãëà MPN
ðàâíà α. Òîãäà èç ïðÿìîóãîëüíîãî
òðåóãîëüíèêà MPN ïîëó÷àåì
MN = MP sinα. (1)
Âñå âïèñàííûå óãëû, îïèðàþ-
ùèåñÿ íà õîðäó MN, ðàâíû α èëè 180° – α. Ñëåäîâàòåëüíî,
èõ ñèíóñû ðàâíû. Ïîýòîìó ïîëó÷åííîå ðàâåíñòâî (1) ñïðà-
âåäëèâî äëÿ âñåõ âïèñàííûõ óãëîâ, îïèðàþùèõñÿ íà õîð-
äó MN.
Òåïåðü ìû ìîæåì äîêàçàòü òåîðåìó ñèíóñîâ.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü â òðåóãîëüíèêå ABC èçâåñò-
íî, ÷òî AB = c, BC = a, CA = b. Äîêàæåì, ÷òî
Ïóñòü ðàäèóñ îïèñàííîé îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêà ABC
ðàâåí R. Òîãäà ïî ëåììå a = 2RsinA, b = 2RsinB,
c = 2R sinC. Îòñþäà
180° –
O
M N
P
Ðèñ. 14

Ñ ë å ä ñ ò â è å. Ðàäèóñ îïèñàííîé îêðóæíîñòè òðåóãîëü-
íèêà ìîæíî âû÷èñëèòü ïî ôîðìóëå
ãäå a — ñòîðîíà òðåóãîëüíèêà, α — ïðîòèâîëåæàùèé
åé óãîë.
Ï ð è ì å ð 1. Â òðåóãîëüíèêå ABC èçâåñòíî, ÷òî ÀC =
ñì, BC = 1 ñì, ∠ B = 45°. Íàéäèòå óãîë A.
Ðåøåíèå. Ïî òåîðåìå ñèíóñîâ
Òîãäà èìååì:
æ
Ïîñêîëüêó BC < AC, òî ∠ A < ∠ B. Ñëåäîâàòåëüíî, ∠ A —
îñòðûé. Îòñþäà, ó÷èòûâàÿ, ÷òî ïîëó÷àåì ∠ A = 30°.
Î òâåò: 30°.
Ï ð è ì å ð 2. Â òðåóãîëüíèêå ABC èçâåñòíî, ÷òî ÀC =
ñì, BC = 1 ñì, ∠ A = 30°. Íàéäèòå óãîë B.
Òàê êàê BC < AC, òî ∠ A < ∠ B.
Òîãäà óãîë B ìîæåò áûòü êàê îñòðûì,
òàê è òóïûì. Îòñþäà ∠ B = 45° èëè
∠ B = 180° – 45° = 135°.
Î òâåò: 45° èëè 135°.
Ï ð è ì å ð 3. Íà ñòîðîíå AB òðåóãîëüíèêà ABC (ðèñ. 15)
îòìåòèëè òî÷êó D òàê, ÷òî ∠ BDC = γ, AD = m. Íàéäèòå BD,
åñëè ∠ A = α, ∠ B = β.
A
C
Bm D
Ðèñ. 15

Ðåøåíèå. ∠ BDC — âíåøíèé óãîë òðåóãîëüíèêà ADC.
Òîãäà ∠ ACD + ∠ A = ∠ BDC, îòñþäà ∠ ACD = γ – α.
Èç œ ADC ïî òåîðåìå ñèíóñîâ:
Ñëåäîâàòåëüíî,
Èç œ BCD:
Îòâåò:
Ï ð è ì å ð 4. Îòðåçîê BD — áèñ-
ñåêòðèñà òðåóãîëüíèêà ABC, ∠ B =
= 30°, ∠ C = 105°. Íàéäèòå ðàäèóñ
îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî òðå-
óãîëüíèêà ABC, åñëè ðàäèóñ îêðóæ-
íîñòè, îïèñàííîé îêîëî òðåóãîëüíè-
êà BDC, ðàâåí ñì.
Ðåøåíèå. Ïóñòü R1
— ðàäèóñ îêðóæíîñòè, îïèñàííîé
îêîëî òðåóãîëüíèêà BDC (ðèñ. 16), ñì.
Èç œ BDC:
∠ BDC = 180° – (∠ CBD + ∠ C) = 180° – (15° + 105°) = 60°.
Òîãäà îòñþäà
æ (ñì).
Èç œ ABC:
∠ A = 180° – (∠ ABC + ∠ C) = 180° – (30° + 105°) = 45°.
Ïóñòü R — èñêîìûé ðàäèóñ îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêî-
ëî òðåóãîëüíèêà ABC.
Òîãäà îòñþäà (ñì).
Îòâåò: 24 ñì.
A
C
B
D
Ðèñ. 16

?
a α
78.° Íàéäèòå ñòîðîíó BC òðåóãîëüíèêà ABC, èçîáðàæåí-
íîãî íà ðèñóíêå 17 (äëèíû îòðåçêîâ äàíû â ñàíòèìåòðàõ).
79.° Íàéäèòå óãîë A òðåóãîëüíèêà ABC, èçîáðàæåííîãî
íà ðèñóíêå 18 (äëèíû îòðåçêîâ äàíû â ñàíòèìåòðàõ).
45°
60°
A
B
C
24
45°
A
B
C
626
80.° Íàéäèòå ñòîðîíó AB òðåóãîëüíèêà ABC, åñëè ÀC =
ñì, ∠ B = 120°, ∠ C = 45°.
81.° Â òðåóãîëüíèêå ABC èçâåñòíî, ÷òî AB = 12 ñì, BC =
= 10 ñì, sinA = 0,2. Íàéäèòå ñèíóñ óãëà C òðåóãîëüíèêà.
82.° Â òðåóãîëüíèêå DEF èçâåñòíî, ÷òî DE = 16 ñì, ∠ F =
= 50°, ∠D = 38°. Íàéäèòå íåèçâåñòíûå ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà.
83.° Â òðåóãîëüíèêå MKP èçâåñòíî, ÷òî KP = 8 ñì, ∠ K=
= 106°, ∠ P = 32°. Íàéäèòå
íåèçâåñòíûå ñòîðîíû òðåó-
ãîëüíèêà.
84.° Äëÿ íàõîæäåíèÿ
ðàññòîÿíèÿ îò òî÷êè A äî
êîëîêîëüíè B, ðàñïîëî-
æåííîé íà äðóãîì áåðåãó
ðå÷êè (ðèñ. 19), ñ ïîìî-
ùüþ âåõ, ðóëåòêè è ïðè- Ðèñ. 19

áîðà äëÿ èçìåðåíèÿ óãëîâ (òåîäîëèòà) îòìåòèëè íà ìåñòíîñòè
òî÷êó C òàêóþ, ÷òî ∠ BAC = 42°, ∠ ACB = 64°, AC = 20 ì.
Êàê íàéòè ðàññòîÿíèå îò A äî B? Íàéäèòå ýòî ðàññòîÿíèå.
85.° Â òðåóãîëüíèêå ABC èçâåñòíî, ÷òî BÑ = a, ∠ A = α,
∠ C = γ. Íàéäèòå AB è AC.
86.° Äèàãîíàëü ïàðàëëåëîãðàììà ðàâíà d è îáðàçóåò ñ åãî
ñòîðîíàìè óãëû α è β. Íàéäèòå ñòîðîíû ïàðàëëåëîãðàììà.
87.° Íàéäèòå óãîë A òðåóãîëüíèêà ABC, åñëè:
1) AC = 2 ñì, BC = 1 ñì, ∠B = 135°;
2) ñì, ñì, ∠B = 45°.
Ñêîëüêî ðåøåíèé â êàæäîì ñëó÷àå èìååò çàäà÷à? Îòâåò
îáîñíóéòå.
88.° Ñóùåñòâóåò ëè òðåóãîëüíèê ABC òàêîé, ÷òî sinA =
= 0,4, AC = 18 ñì, BC = 6 ñì? Îòâåò îáîñíóéòå.
89.° Â òðåóãîëüíèêå DEF èçâåñòíî, ÷òî DE = 8 ñì, sinF =
= 0,16. Íàéäèòå ðàäèóñ îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî òðå-
óãîëüíèêà DEF.
90.° Ðàäèóñ îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî òðåóãîëüíèêà
MKP, ðàâåí 5 ñì, sinM = 0,7. Íàéäèòå ñòîðîíó KP.
91.
•
Íà ïðîäîëæåíèè ñòîðîíû AB òðåóãîëüíèêà ABC çà
òî÷êó B îòìåòèëè òî÷êó D. Íàéäèòå ðàäèóñ îêðóæíîñòè,
îïèñàííîé îêîëî òðåóãîëüíèêà ACD, åñëè ∠ ABC = 60°,
∠ ADC = 45°, à ðàäèóñ îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî òðå-
óãîëüíèêà ABC, ðàâåí 4 ñì.
92.
•
Ðàäèóñ îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî òðåóãîëüíèêà
ABC, ðàâåí 6 ñì. Íàéäèòå ðàäèóñ îêðóæíîñòè, îïèñàííîé
îêîëî òðåóãîëüíèêà AOC, ãäå O — òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ áèñ-
ñåêòðèñ òðåóãîëüíèêà ABC, åñëè ∠ ABC = 60°.
93.
•
Ïî ðèñóíêó 20 íàéäèòå AD, åñëè CD = a.
94.
•
Ïî ðèñóíêó 21 íàéäèòå AC, åñëè BD = m.
C
B
Aa D C
A
DmB

95.
•
Íà ñòîðîíå AB òðåóãîëüíèêà ABC îòìåòèëè òî÷êó M
òàê, ÷òî ∠ AMC = ϕ. Íàéäèòå îòðåçîê CM, åñëè AB = c,
∠ A = α, ∠ ACB = γ.
96.
•
Â òðåóãîëüíèêå ABC èçâåñòíî, ÷òî ∠ A = α, ∠ B = β.
Íà ñòîðîíå BC îòìåòèëè òî÷êó D òàê, ÷òî ∠ ADB = ϕ, AD =
= m. Íàéäèòå ñòîðîíó BC.
97.
•
Äîêàæèòå, ÷òî áèññåêòðèñà òðåóãîëüíèêà äåëèò åãî
ñòîðîíó íà îòðåçêè, äëèíû êîòîðûõ îáðàòíî ïðîïîðöèî-
íàëüíû ñèíóñàì ïðèëåæàùèõ ê ýòîé ñòîðîíå óãëîâ.
98.
•
Äâå ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà ðàâíû 6 ñì è 12 ñì, à âû-
ñîòà, ïðîâåäåííàÿ ê òðåòüåé ñòîðîíå, — 4 ñì. Íàéäèòå ðà-
äèóñ îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî äàííîãî òðåóãîëüíèêà.
99.
•
Íàéäèòå ðàäèóñ îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî ðàâíî-
áåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà ñ îñíîâàíèåì 16 ñì è áîêîâîé
ñòîðîíîé 10 ñì.
100.
•
Ñòîðîíà òðåóãîëüíèêà ðàâíà 24 ñì, à ðàäèóñ îïè-
ñàííîé îêðóæíîñòè — ñì. ×åìó ðàâåí óãîë òðåóãîëü-
íèêà, ïðîòèâîëåæàùèé äàííîé ñòîðîíå?
101.
•
Òðàññà äëÿ âåëîñèïåäèñòîâ èìååò ôîðìó òðåóãîëü-
íèêà, äâà óãëà êîòîðîãî ðàâíû 50° è 100°. Ìåíüøóþ ñòîðî-
íó ýòîãî òðåóãîëüíèêà îäèí èç âåëîñèïåäèñòîâ ïðîåçæàåò
çà 1 ÷. Çà êàêîå âðåìÿ îí ïðîåäåò âñþ òðàññó? Îòâåò ïðåä-
ñòàâüòå â ÷àñàõ ñ òî÷íîñòüþ äî äåñÿòûõ.
102.
••
Â òðåóãîëüíèêå ABC èçâåñòíî, ÷òî AC = b, ∠ A = α,
∠ C = γ. Íàéäèòå áèññåêòðèñó BD òðåóãîëüíèêà.
103.
••
Îñíîâàíèå ðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà ðàâíî a,
ïðîòèâîëåæàùèé åìó óãîë ðàâåí α. Íàéäèòå áèññåêòðèñó òðå-
óãîëüíèêà, ïðîâåäåííóþ èç âåðøèíû óãëà ïðè îñíîâàíèè.
104.
••
Äîêàæèòå, ïîëüçóÿñü òåîðåìîé ñèíóñîâ, ÷òî áèñ-
ñåêòðèñà òðåóãîëüíèêà äåëèò åãî ñòîðîíó íà îòðåçêè, äëèíû
êîòîðûõ ïðîïîðöèîíàëüíû ïðèëåæàùèì ñòîðîíàì1
.
105.
••
Îñíîâàíèÿ ðàâíîáîêîé òðàïåöèè ðàâíû 9 ñì è
21 ñì, à âûñîòà — 8 ñì. Íàéäèòå ðàäèóñ îêðóæíîñòè, îïè-
ñàííîé îêîëî òðàïåöèè.
1
Íàïîìíèì, ÷òî ýòîò ôàêò ñ èñïîëüçîâàíèåì òåîðåìû î ïðîïîðöèî-
íàëüíûõ îòðåçêàõ áûë äîêàçàí â ó÷åáíèêå: À. Ã. Ìåðçëÿê, Â. Á. Ïîëîí-
ñêèé, Ì. Ñ. ßêèð. «Ãåîìåòðèÿ. 8 êëàññ». — Õ.: Ãèìíàçèÿ, 2008.

106.
••
Îòðåçîê CD — áèññåêòðèñà òðåóãîëüíèêà ABC,
â êîòîðîì ∠ A = α, ∠ B = β. ×åðåç òî÷êó D ïðîâåäåíà ïðÿìàÿ,
ïàðàëëåëüíàÿ ñòîðîíå BC è ïåðåñåêàþùàÿ ñòîðîíó AC â òî÷-
êå E, ïðè÷åì AE = a. Íàéäèòå CE.
107.
••
Ìåäèàíà AM òðåóãîëüíèêà ABC ðàâíà m è îáðàçó-
åò ñî ñòîðîíàìè AB è AC óãëû α è β ñîîòâåòñòâåííî. Íàé-
äèòå ñòîðîíû AB è AC.
108.
••
Ìåäèàíà CD òðåóãîëüíèêà ABC îáðàçóåò ñî ñòîðî-
íàìè AC è BC óãëû α è β ñîîòâåòñòâåííî, BC = a. Íàéäèòå
ìåäèàíó CD.
109.
••
Âûñîòû îñòðîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ABC ïåðå-
ñåêàþòñÿ â òî÷êå H. Äîêàæèòå, ÷òî ðàäèóñû îêðóæíîñòåé,
îïèñàííûõ îêîëî òðåóãîëüíèêîâ AHB, BHC, AHC è ABC,
ðàâíû.
110.
••
Äîðîãè, ñîåäèíÿþùèå ñåëà A, B è C (ðèñ. 22), îá-
ðàçóþò òðåóãîëüíèê, ïðè÷åì äîðîãà èç ñåëà A â ñåëî C çà-
àñôàëüòèðîâàíà, à äîðîãè èç ñåëà A â ñåëî B è èç ñåëà B
â ñåëî C — ãðóíòîâûå. Äîðîãè, âåäóùèå èç ñåëà A â ñåëà B
è C, îáðàçóþò óãîë â 15°, à äîðîãè, âåäóùèå èç ñåëà B â ñåëà
A è C, — óãîë â 5°. Ñêîðîñòü äâèæåíèÿ àâòîìîáèëÿ ïî àñ-
ôàëüòèðîâàííîé äîðîãå â 2 ðàçà áîëüøå ñêîðîñòè åãî äâè-
æåíèÿ ïî ãðóíòîâîé. Êàêîé ïóòü âûáðàòü âîäèòåëþ àâòî-
ìîáèëÿ, ÷òîáû êàê ìîæíî ñêîðåå äîáðàòüñÿ èç ñåëà A
â ñåëî B?
B
C
A
Ðèñ. 22
111.
••
Äîðîãè èç ñåë A è B ñõîäÿòñÿ ó ðàçâèëêè C
(ðèñ. 23). Äîðîãà èç ñåëà A äî ðàçâèëêè îáðàçóåò ñ äîðîãîé
â ñåëî B óãîë â 30°, à äîðîãà èç ñåëà B ñ äîðîãîé â ñåëî A —
óãîë â 70°. Îäíîâðåìåííî èç ñåëà A â íàïðàâëåíèè ðàçâèë-

êè âûåõàë àâòîìîáèëü ñî ñêîðîñòüþ 90 êì/÷, à èç ñåëà B —
àâòîáóñ ñî ñêîðîñòüþ 60 êì/÷. Êòî èç íèõ ïåðâûì äîåäåò
äî ðàçâèëêè?
B
C
A
Ðèñ. 23
112. Áèññåêòðèñû óãëîâ B è C ïðÿìîóãîëüíèêà ABCD
ïåðåñåêàþò ñòîðîíó AD â òî÷êàõ M è K ñîîòâåòñòâåííî.
Äîêàæèòå, ÷òî BM = CK.
113. Íà ðèñóíêå 24 DE C AC, FK C AB.
Óêàæèòå, êàêèå òðåóãîëüíèêè íà ýòîì
ðèñóíêå ïîäîáíû.
114. Íà ñòîðîíå AB êâàäðàòà ABCD
îòìåòèëè òî÷êó K, à íà ñòîðîíå CD —
òî÷êó M òàê, ÷òî AK : KB = 1 : 2,
DM : MC = 3 : 1. Íàéäèòå ñòîðîíó êâà-
äðàòà, åñëè MK = 13 ñì.
115. Ðåøèòå ïðÿìîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê:
1) ïî äâóì êàòåòàì a = 7 ñì è b = 35 ñì;
2) ïî ãèïîòåíóçå c = 17 ñì è êàòåòó a = 8 ñì;
3) ïî ãèïîòåíóçå c = 4 ñì è îñòðîìó óãëó α = 50°;
4) ïî êàòåòó a = 8 ñì è ïðîòèâîëåæàùåìó óãëó α = 42°.
Îáíîâèòå â ïàìÿòè ñîäåðæàíèå ïóíêòà 15 íà ñ. 249–250.
KA C
B
D E
F
M
Ðèñ. 24

Ðåøèòü òðåóãîëüíèê — ýòî çíà÷èò íàéòè íåèçâåñòíûå
åãî ñòîðîíû è óãëû ïî èçâåñòíûì ñòîðîíàì è óãëàì.
Â 8 êëàññå âû íàó÷èëèñü ðåøàòü ïðÿìîóãîëüíûå òðå-
óãîëüíèêè. Òåîðåìû êîñèíóñîâ è ñèíóñîâ ïîçâîëÿþò ðåøèòü
ëþáîé òðåóãîëüíèê.
Ï ð è ì å ð 1. Ðåøèòå òðåóãîëüíèê
(ðèñ. 25) ïî ñòîðîíå a = 12 ñì è äâóì
óãëàì β = 36°, γ = 119°.
α = 180° – (β + γ) = 180° – 155° = 25°.
Ïî òåîðåìå ñèíóñîâ:
æ
(ñì);
æ
(ñì).
Îòâåò: b ≈ 16,7 ñì, c ≈ 24,8 ñì; α = 25°.
Çàìåòèì, ÷òî çíà÷åíèÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé
áûëè íàéäåíû ïî òàáëèöå, ðàñïîëîæåííîé íà ñ. 268 ó÷åá-
íèêà. Èõ òàêæå ìîæíî áûëî íàéòè ñ ïîìîùüþ ìèêðîêàëü-
êóëÿòîðà.
Ï ð è ì å ð 2. Ðåøèòå òðåóãîëüíèê (ðèñ. 25) ïî äâóì ñòî-
ðîíàì a = 14 ñì, b = 8 ñì è óãëó γ = 38° ìåæäó íèìè.
Ðåøåíèå. Ïî òåîðåìå êîñèíóñîâ:
c2
= a2
+ b2
– 2ab cos γ = 196 + 64 – 2•14•8 cos 38° ≈
≈ 260 – 224•0,788 = 83,488;
c ≈ 9,1 ñì.
Äàëåå èìååì:
a2
= b2
+ c2
– 2bc cosα;
Íàéäåì óãîë α1
òàêîé, ÷òî cosα1
= 0,338.
ab
c
Ðèñ. 25

×èñëî 0,338 îòñóòñòâóåò â òàáëèöå çíà÷åíèé êîñèíóñîâ,
áëèæàéøèì ê íåìó ÿâëÿåòñÿ ÷èñëî 0,342. Òîãäà ïîëó÷àåì
α1
≈ 70°. Îòñþäà
α = 180° – α1
≈ 110°.
β = 180° – (α + γ) ≈ 180° – 148° = 32°.
Î òâåò: c ≈ 9,1 ñì, α ≈ 110°, β ≈ 32°.
Ï ð è ì å ð 3. Ðåøèòå òðåóãîëüíèê (ðèñ. 25) ïî òðåì ñòî-
ðîíàì a = 7 ñì, b = 2 ñì, c = 8 ñì.
Ðåøåíèå. Èìååì: a2
= b2
+ c2
– 2bccosα, îòñþäà
æ æ
Òîãäà α ≈ 54°.
æ
Ïîñêîëüêó b ÿâëÿåòñÿ íàèìåíüøåé ñòîðîíîé äàííîãî
òðåóãîëüíèêà, òî óãîë β — îñòðûé, β ≈ 13°.
Òîãäà γ = 180° – (α + β) ≈ 180° – 67° = 113°.
Î òâåò: α ≈ 54°, β ≈ 13°, γ ≈ 113°.
Ï ð è ì å ð 4. Ðåøèòå òðåóãîëüíèê (ðèñ. 25) ïî äâóì ñòî-
ðîíàì è óãëó, ïðîòèâîëåæàùåìó îäíîé èç ñòîðîí: 1) a =
= 17 ñì, b = 6 ñì, α = 156°; 2) b = 7 ñì, c = 8 ñì, β = 65°;
3) a = 6 ñì, b = 5 ñì, β = 50°.
Ðåøåíèå.
1)
æ
Òàê êàê óãîë α äàííîãî òðåóãîëüíèêà òóïîé, òî óãîë β —
îñòðûé, β ≈ 8°.
Òîãäà γ = 180° – (α + β) ≈ 16°.
æ
(ñì).
Î òâåò: β ≈ 8°, γ ≈ 16°, c ≈ 11,5 ñì.
2)
æ
÷òî íåâîçìîæíî.
Î òâåò: çàäà÷à íå èìååò ðåøåíèÿ.

3) æ
Âîçìîæíû äâà ñëó÷àÿ: α ≈ 67° èëè α ≈ 180° – 67° = 113°.
Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà α ≈ 67°:
γ = 180° – (α + β) ≈ 180° – 117° = 63°;
æ
(ñì).
Ïðè α ≈ 113° ïîëó÷àåì:
γ = 180° – (α + β) ≈ 180° – 163° = 17°;
æ
(ñì).
Îòâåò: α ≈ 67°, γ ≈ 63°, c ≈ 5,8 ñì èëè α ≈ 113°, γ ≈ 17°,
c ≈ 1,9 ñì.
?
116.° Ðåøèòå òðåóãîëüíèê ïî ñòîðîíå è äâóì óãëàì1
:
1) a = 10 ñì, β = 20°, γ = 85°;
2) b = 16 ñì, α = 40°, β = 110°.
117.° Ðåøèòå òðåóãîëüíèê ïî ñòîðîíå è äâóì óãëàì:
1) b = 9 ñì, α = 35°, γ = 70°;
2) c = 14 ñì, β = 132°, γ = 24°.
118.° Ðåøèòå òðåóãîëüíèê ïî äâóì ñòîðîíàì è óãëó
ìåæäó íèìè:
1) b = 18 ñì, c = 22 ñì, α = 76°;
2) a = 20 ñì, b = 15 ñì, γ = 104°.
119.° Ðåøèòå òðåóãîëüíèê ïî äâóì ñòîðîíàì è óãëó
ìåæäó íèìè:
1) a = 8 ñì, c = 6 ñì, β = 15°;
2) b = 7 ñì, c = 5 ñì, α = 145°.
1
Â çàäà÷àõ ¹¹ 116–124 ïðèíÿòû îáîçíà÷åíèÿ: a, b è c — ñòîðîíû
òðåóãîëüíèêà, α, β è γ — óãëû, ïðîòèâîëåæàùèå ñîîòâåòñòâåííî ñòîðîíàì
a, b è c.

120.° Ðåøèòå òðåóãîëüíèê ïî òðåì ñòîðîíàì:
1) a = 4 ñì, b = 5 ñì, c = 7 ñì;
2) a = 26 ñì, b = 19 ñì, c = 42 ñì.
121.° Ðåøèòå òðåóãîëüíèê ïî òðåì ñòîðîíàì:
1) a = 5 ñì, b = 6 ñì, c = 8 ñì;
2) a = 21 ñì, b = 17 ñì, c = 32 ñì.
122.° Ðåøèòå òðåóãîëüíèê, â êîòîðîì:
1) a = 10 ñì, b = 3 ñì, β = 10°, óãîë α — îñòðûé;
2) a = 10 ñì, b = 3 ñì, β = 10°, óãîë α — òóïîé.
123.
•
Ðåøèòå òðåóãîëüíèê ïî äâóì ñòîðîíàì è óãëó,
ïðîòèâîëåæàùåìó îäíîé èç äàííûõ ñòîðîí:
1) a = 7 ñì, b = 11 ñì, β = 46°;
2) b = 15 ñì, c = 17 ñì, β = 32°;
3) a = 7 ñì, c = 3 ñì, γ = 27°.
124.
•
Ðåøèòå òðåóãîëüíèê ïî äâóì ñòîðîíàì è óãëó,
ïðîòèâîëåæàùåìó îäíîé èç äàííûõ ñòîðîí:
1) a = 23 ñì, c = 30 ñì, γ = 102°;
2) a = 18 ñì, b = 25 ñì, α = 36°.
125.
•
Â òðåóãîëüíèêå ABC èçâåñòíî, ÷òî AB = BC = 20 ñì,
∠ A = 70°. Íàéäèòå: 1) ñòîðîíó AC; 2) ìåäèàíó CM; 3) áèñ-
ñåêòðèñó AD; 4) ðàäèóñ îïèñàííîé îêðóæíîñòè òðåóãîëüíè-
êà ABC.
126.
•
Äèàãîíàëü AC ðàâíîáîêîé òðàïåöèè ABCD (BC C
C AD) ðàâíà 8 ñì, ∠ CAD = 38°, ∠ BAD = 72°. Íàéäèòå:
1) ñòîðîíû òðàïåöèè; 2) ðàäèóñ îïèñàííîé îêðóæíîñòè
òðåóãîëüíèêà ABC.
127.
••
Îñíîâàíèÿ òðàïåöèè ðàâíû 12 ñì è 16 ñì, à áîêî-
âûå ñòîðîíû — 7 ñì è 9 ñì. Íàéäèòå óãëû òðàïåöèè.
128. Áèññåêòðèñà óãëà B ïàðàëëåëîãðàììà ABCD ïåðå-
ñåêàåò åãî ñòîðîíó AD â òî÷êå M, à ïðîäîëæåíèå ñòîðîíû
CD çà òî÷êó D — â òî÷êå K. Íàéäèòå äëèíó îòðåçêà DK,
åñëè AM = 8 ñì, à ïåðèìåòð ïàðàëëåëîãðàììà ðàâåí 50 ñì.

129. Ïåðèìåòð îäíîãî èç äâóõ ïîäîáíûõ òðåóãîëüíèêîâ
íà 18 ñì ìåíüøå ïåðèìåòðà äðóãîãî òðåóãîëüíèêà, à íàè-
áîëüøèå ñòîðîíû ýòèõ òðåóãîëüíèêîâ ðàâíû 5 ñì è 8 ñì.
Íàéäèòå ïåðèìåòðû äàííûõ òðåóãîëüíèêîâ.
130. Òî÷êà M — ñåðåäèíà ñòîðîíû CD
ïðÿìîóãîëüíèêà ABCD (ðèñ. 26), AB =
= 6 ñì, AD = 5 ñì. ×åìó ðàâíà ïëîùàäü
òðåóãîëüíèêà ACM?
131. Íà ñòîðîíå AC òðåóãîëüíèêà ABC
îòìåòèëè òî÷êó D òàê, ÷òî ∠ ADB = α.
Äîêàæèòå, ÷òî ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà
ABC æ
Îáíîâèòå â ïàìÿòè ñîäåðæàíèå ïóíêòà 17 íà ñ. 250.
Òðèãîíîìåòðèÿ —
íàóêà îá èçìåðåíèè òðåóãîëüíèêîâ
Âû çíàåòå, ÷òî äðåâíèå ïóòåøåñòâåííèêè îðèåíòèðîâà-
ëèñü ïî çâåçäàì è ïëàíåòàì. Îíè ìîãëè äîñòàòî÷íî òî÷íî
îïðåäåëèòü ïîëîæåíèå êîðàáëÿ â îêåàíå èëè êàðàâàíà â ïó-
ñòûíå ïî ðàñïîëîæåíèþ ñâåòèë íà íåáîñêëîíå. Ïðè ýòîì
îäíèì èç îðèåíòèðîâ ñëóæèëà âûñîòà íàä ãîðèçîíòîì, íà
êîòîðóþ ïîäíèìàëîñü òî èëè èíîå íåáåñíîå ñâåòèëî â äàí-
íîé ìåñòíîñòè â äàííûé ìîìåíò âðåìåíè.
Ïîíÿòíî, ÷òî íåïîñðåäñòâåííî èçìåðèòü ýòó âûñîòó íå-
âîçìîæíî. Ïîýòîìó ó÷åíûå ñòàëè ðàçðàáàòûâàòü ìåòîäû
êîñâåííûõ èçìåðåíèé. Çäåñü ñóùåñòâåííóþ ðîëü èãðàëî
ðåøåíèå òðåóãîëüíèêà, äâå âåðøèíû êîòîðîãî ëåæàëè íà
ïîâåðõíîñòè Çåìëè, à òðåòüÿ ÿâëÿëàñü çâåçäîé èëè ïëàíå-
òîé (ðèñ. 27) — çíàêîìàÿ âàì çàäà÷à ¹ 94.
C
A
B
D
M
Ðèñ. 26

Äëÿ ðåøåíèÿ ïîäîáíûõ
çàäà÷ äðåâíèì àñòðîíîìàì íå-
îáõîäèìî áûëî íàó÷èòüñÿ íà-
õîäèòü âçàèìîñâÿçè ìåæäó
ýëåìåíòàìè òðåóãîëüíèêà.
Òàê âîçíèêëà òðèãîíîìåò-
ðèÿ — íàóêà, èçó÷àþùàÿ çà-
âèñèìîñòü ìåæäó ñòîðîíàìè
è óãëàìè òðåóãîëüíèêà. Òåð-
ìèí «òðèãîíîìåòðèÿ» (îò ãðå-
÷åñêèõ ñëîâ «òðèãîíîì» — òðåóãîëüíèê è «ìåòðåî» — èç-
ìåðÿòü) îçíà÷àåò «èçìåðåíèå òðåóãîëüíèêîâ».
Íà ðèñóíêå 28 èçîáðàæåí öåíòðàëüíûé óãîë AOB, ðàâ-
íûé 2α. Èç ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà OMB èìååì:
MB = OBsinα. Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè â åäèíè÷íîé îêðóæíî-
ñòè èçìåðèòü ïîëîâèíû äëèí õîðä, íà êîòîðûå îïèðàþòñÿ
öåíòðàëüíûå óãëû ñ âåëè÷èíàìè 2°, 4°, 6°, ..., 180°, òî òåì
ñàìûì ìû âû÷èñëèì çíà÷åíèÿ ñèíóñîâ óãëîâ 1°, 2°, 3°, ...,
90° ñîîòâåòñòâåííî.
Èçìåðÿÿ äëèíû ïîëóõîðä, äðåâíåãðå÷åñêèé àñòðîíîì
Ãèïïàðõ (²² â. äî í. ý.) ñîñòàâèë ïåðâûå òðèãîíîìåòðè÷åñêèå
òàáëèöû.
Ïîíÿòèÿ «ñèíóñ» è «êîñèíóñ» ïîÿâëÿþòñÿ â òðèãîíîìå-
òðè÷åñêèõ òðàêòàòàõ èíäèéñêèõ ó÷åíûõ â ²V–V ââ. Â Õ â.
àðàáñêèå ó÷åíûå îïåðèðîâàëè ïîíÿòèåì «òàíãåíñ», êîòîðîå
âîçíèêëî èç ïîòðåáíîñòåé ãíîìîíèêè — ó÷åíèÿ î ñîëíå÷íûõ
÷àñàõ (ðèñ. 29).
A B
O
M
h
A B
Ðèñ. 27

Â Åâðîïå ïåðâûé òðàêòàò ïî òðèãîíîìåòðèè «Ïÿòü êíèã
î òðåóãîëüíèêàõ âñåõ âèäîâ», àâòîðîì êîòîðîãî áûë íåìåö-
êèé ó÷åíûé Ðåãèîìîíòàí (1436–1476), áûë îïóáëèêîâàí
â 1533 ã. Ýòîò æå ó÷åíûé îòêðûë è òåîðåìó òàíãåí-
ñîâ:
ãäå a, b è c — ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà, α, β è γ — óãëû
òðåóãîëüíèêà, ïðîòèâîëåæàùèå ñîîòâåòñòâåííî ñòîðîíàì a,
b è c.
Ñîâðåìåííûé âèä òðèãîíîìåòðèÿ ïðèîáðåëà â ðàáîòàõ
âûäàþùåãîñÿ ìàòåìàòèêà Ëåîíàðäà Ýéëåðà (1707–1783).
Èç êóðñà ãåîìåòðèè 8 êëàññà âû çíàåòå, ÷òî ïëîùàäü S
òðåóãîëüíèêà ìîæíî âû÷èñëèòü ïî ôîðìóëàì
ãäå a, b è c — ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà, ha
, hb
, hc
— âûñîòû,
ïðîâåäåííûå ê ýòèì ñòîðîíàì ñîîòâåòñòâåííî.
Ëåîíàðä Ýéëåð
(1707–1783)
Âûäàþùèéñÿ ìàòåìàòèê, ôèçèê,
ìåõàíèê, àñòðîíîì

Òåïåðü ó íàñ ïîÿâèëàñü âîçìîæíîñòü ïîëó÷èòü åùå
íåñêîëüêî ôîðìóë äëÿ íàõîæäåíèÿ ïëîùàäè òðåóãîëü-
íèêà.
Ò å î ð å ì à 5.1. Ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ðàâíà ïîëîâèíå
ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ åãî ñòîðîí è ñèíóñà óãëà ìåæäó
íèìè.
Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàæåì, ÷òî ïëîùàäü S òðå-
óãîëüíèêà ABC ìîæíî âû÷èñëèòü ïî ôîðìóëå
ãäå a è b — ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà, γ — óãîë ìåæäó íèìè.
Âîçìîæíû òðè ñëó÷àÿ:
1) óãîë γ — îñòðûé (ðèñ. 30);
2) óãîë γ — òóïîé (ðèñ. 31);
3) óãîë γ — ïðÿìîé.
Íà ðèñóíêàõ 30 è 31 ïðîâåäåì âûñîòó BD òðåóãîëüíèêà
ABC. Òîãäà æ æ
DA C
B
a
b
180°–
DA C
B
a
b
Èç œ BDC â ïåðâîì ñëó÷àå BD = a sinγ, à âî âòîðîì BD =
= a sin(180° – γ) = a sinγ. Îòñþäà äëÿ äâóõ ïåðâûõ ñëó÷àåâ
èìååì
Åñëè óãîë C — ïðÿìîé, òî sinγ = 1. Äëÿ ïðÿìîóãîëüíîãî
òðåóãîëüíèêà ABC ñ êàòåòàìè a è b èìååì:

Ò å î ð å ì à 5.2 (ô î ð ì ó ë à Ã å ð î í à1
). Ïëîùàäü S
òðåóãîëüíèêà ABC ìîæíî âû÷èñëèòü ïî ôîðìóëå
S p p a p b p c( )( )( )
ãäå a, b, c — ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà, p — åãî ïîëóïåðè-
ìåòð.
Îòñþäà
Ïî òåîðåìå êîñèíóñîâ c2
= a2
+ b2
– 2ab cosγ.
Îòñþäà
Òàê êàê sin2
γ = 1 – cos2
γ = (1 – cosγ) (1 + cosγ), òî èìååì:
æ æ
æ æ æ
æ æ æ
æ æ æ
Îòñþäà
1
Ã å ðîí Àëåêñàíäðèéñêèé — äðåâíåãðå÷åñêèé ó÷åíûé, æèâøèé
â ² â. í. ý.

Ò å î ð å ì à 5.3. Ïëîùàäü S òðåóãîëüíèêà ABC ìîæíî
âû÷èñëèòü ïî ôîðìóëå
ãäå a, b, c — ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà, R — ðàäèóñ îïèñàí-
íîé îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêà ABC.
Èç ëåììû ïóíêòà 3 ñëåäóåò, ÷òî Òîãäà
æ
Çàìåòèì, ÷òî äîêàçàííàÿ òåîðåìà ïîçâîëÿåò íàõîäèòü
ðàäèóñ îïèñàííîé îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêà ïî ôîðìóëå
Ò å î ð å ì à 5.4. Ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ðàâíà ïðîèç-
âåäåíèþ åãî ïîëóïåðèìåòðà íà ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæ-
íîñòè.
ñóíêå 32 èçîáðàæåí òðåóãîëüíèê
ABC, â êîòîðûé âïèñàíà îêðóæ-
íîñòü ðàäèóñà r. Äîêàæåì, ÷òî
S = pr,
ãäå S — ïëîùàäü äàííîãî òðå-
óãîëüíèêà, p — åãî ïîëóïåðèìåòð.
Ïóñòü òî÷êà O — öåíòð âïèñàííîé îêðóæíîñòè, êîòîðàÿ
êàñàåòñÿ ñòîðîí òðåóãîëüíèêà ABC â òî÷êàõ M, N è P. Ïëî-
ùàäü òðåóãîëüíèêà ABC ðàâíà ñóììå ïëîùàäåé òðåóãîëüíè-
êîâ AOB, BOC, COA. Ýòî óäîáíî çàïèñàòü â òàêîé ôîðìå:
S = SAOB
+ SBOC
+ SCOA
.
Ïðîâåäåì ðàäèóñû â òî÷êè êàñàíèÿ. Ïîëó÷àåì: OM ⊥ AB,
ON ⊥ BC, OP ⊥ CA. Îòñþäà:
A
B
O
M
P C
N
Ðèñ. 32

æ æ
æ æ
æ æ
Ñëåäîâàòåëüíî,
æ æ æ æ
Âûøåñêàçàííîå îáîáùàåò òàêàÿ òåîðåìà.
Ò å î ð å ì à 5.5. Ïëîùàäü îïèñàííîãî ìíîãîóãîëüíèêà
ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ åãî ïîëóïåðèìåòðà íà ðàäèóñ âïè-
ñàííîé îêðóæíîñòè.
Äîêàæèòå ýòó òåîðåìó ñàìîñòîÿòåëüíî
(ðèñ. 33).
Çàìåòèì, ÷òî òåîðåìà 5.5 ïîçâîëÿåò íàõî-
äèòü ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè ìíîãî-
óãîëüíèêà ïî ôîðìóëå
Çàäà÷à 1. Äîêàæèòå, ÷òî ïëîùàäü S ïàðàëëåëî-
ãðàììà ìîæíî âû÷èñëèòü ïî ôîðìóëå
S = ab sinα,
ãäå a è b — ñîñåäíèå ñòîðîíû ïà-
ðàëëåëîãðàììà, α — óãîë ìåæäó
íèìè.
Ðåøåíèå. Ðàññìîòðèì ïàðàëëå-
ëîãðàìì ABCD, â êîòîðîì AB = a,
AD = b, ∠ BAD = α (ðèñ. 34). Ïðî-
âåäåì äèàãîíàëü BD. Ïîñêîëüêó
œ ABD = œ CBD, òî çàïèøåì:
æ
A b
a
B C
D
Ðèñ. 34
Ðèñ. 33

Çàäà÷à 2. Äîêàæèòå, ÷òî ïëî-
ùàäü âûïóêëîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà ðàâ-
íà ïîëîâèíå ïðîèçâåäåíèÿ åãî äèàãîíà-
ëåé è ñèíóñà óãëà ìåæäó íèìè.
Ðåøåíèå. Ïóñòü óãîë ìåæäó äèàãî-
íàëÿìè AC è BD ÷åòûðåõóãîëüíèêà
ABCD ðàâåí ϕ. Íà ðèñóíêå 35 ∠ AOB =
= ϕ. Òîãäà ∠ BOC = ∠ AOD = 180° – ϕ
è ∠ COD = ϕ. Èìååì:
SABCD
= SAOB
+ SBOC
+ SCOD
+ SDOA
=
æ æ æ æ
æ æ æ æ
æ æ
æ æ æ æ
æ æ æ
Ï ð è ì å ð. Ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà ðàâíû 17 ñì, 65 ñì
è 80 ñì. Íàéäèòå íàèìåíüøóþ âûñîòó òðåóãîëüíèêà, ðà-
äèóñû åãî âïèñàííîé è îïèñàííîé îêðóæíîñòåé.
Ðåøåíèå. Ïóñòü a = 17 ñì, b = 65 ñì, c = 80 ñì.
Ïîëóïåðèìåòð òðåóãîëüíèêà (ñì), åãî
ïëîùàäü
æ æ æ æ (ñì2
).
Íàèìåíüøåé âûñîòîé òðåóãîëüíèêà ÿâëÿåòñÿ âûñîòà h,
ïðîâåäåííàÿ ê åãî íàèáîëüøåé ñòîðîíå c.
Òàê êàê òî
æ
(ñì).
Ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè (ñì).
A
B
C
D
O
Ðèñ. 35

Ðàäèóñ îïèñàííîé îêðóæíîñòè
æ æ
æ
æ æ
æ
(ñì).
Îòâåò: 7,2 ñì, ñì, ñì.
?
132.° Íàéäèòå ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ABC, åñëè:
1) AB = 12 ñì, AC = 9 ñì, ∠ A = 30°;
2) AC = 3 ñì, ñì, ∠ C = 135°.
133.° Íàéäèòå ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà DEF, åñëè:
1) DE = 7 ñì, DF = 8 ñì, ∠ D = 60°;
2) DE = 10 ñì, EF = 6 ñì, ∠ E = 150°.
134.° Ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà MKN ðàâíà 75 ñì2
. Íàéäè-
òå ñòîðîíó MK, åñëè KN = 15 ñì, ∠ K = 30°.
135.° Íàéäèòå óãîë ìåæäó äàííûìè ñòîðîíàìè òðåóãîëü-
íèêà ABC, åñëè:
1) AB = 12 ñì, BC = 10 ñì, ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ðàâíà
ñì2
;
2) AB = 14 ñì, AC = 8 ñì, ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ðàâíà
56 ñì2
.

136.° Ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ABC ðàâíà 18 ñì2
, AC = 8 ñì,
BC = 9 ñì. Íàéäèòå óãîë C.
137.° Íàéäèòå ïëîùàäü ðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà
ñ áîêîâîé ñòîðîíîé 16 ñì è óãëîì 15° ïðè îñíîâàíèè.
138.° Íàéäèòå ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ñî ñòîðîíàìè:
1) 13 ñì, 14 ñì, 15 ñì; 2) 2 ñì, 3 ñì, 4 ñì.
139.° Íàéäèòå ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ñî ñòîðîíàìè:
1) 9 ñì, 10 ñì, 17 ñì; 2) 4 ñì, 5 ñì, 7 ñì.
140.° Íàéäèòå íàèìåíüøóþ âûñîòó òðåóãîëüíèêà ñî ñòî-
ðîíàìè 13 ñì, 20 ñì è 21 ñì.
141.° Íàéäèòå íàèáîëüøóþ âûñîòó òðåóãîëüíèêà ñî ñòî-
ðîíàìè 11 ñì, 25 ñì è 30 ñì.
142.° Ïåðèìåòð òðåóãîëüíèêà ðàâåí 32 ñì, à ðàäèóñ âïè-
ñàííîé îêðóæíîñòè — 1,5 ñì. Íàéäèòå ïëîùàäü òðåóãîëü-
íèêà.
143.° Ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ðàâíà 84 ñì2
, à åãî ïåðè-
ìåòð — 72 ñì. Íàéäèòå ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè òðå-
óãîëüíèêà.
144.° Íàéäèòå ðàäèóñû âïèñàííîé è îïèñàííîé îêðóæ-
íîñòåé òðåóãîëüíèêà ñî ñòîðîíàìè:
1) 5 ñì, 5 ñì è 6 ñì; 2) 25 ñì, 29 ñì è 36 ñì.
145.° Íàéäèòå ðàäèóñû âïèñàííîé è îïèñàííîé îêðóæ-
íîñòåé òðåóãîëüíèêà ñî ñòîðîíàìè 6 ñì, 25 ñì è 29 ñì.
146.° Íàéäèòå ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà ïî åãî ñòîðîíàì
a è b è óãëó α ìåæäó íèìè, åñëè:
1) ñì, b = 9 ñì, α = 45°;
2) a = 10 ñì, b = 18 ñì, α = 150°.
147.° ×åìó ðàâíà ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà, ñòîðîíû
êîòîðîãî ðàâíû 7 ñì è 12 ñì, à îäèí èç óãëîâ — 120°?
148.° Íàéäèòå ïëîùàäü ðîìáà ñî ñòîðîíîé ñì
è óãëîì 60°.
149.° Äèàãîíàëè âûïóêëîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà ðàâíû
8 ñì è 12 ñì, à óãîë ìåæäó íèìè — 30°. Íàéäèòå ïëîùàäü
÷åòûðåõóãîëüíèêà.
150.° Íàéäèòå ïëîùàäü âûïóêëîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà,
äèàãîíàëè êîòîðîãî ðàâíû ñì è 4 ñì, à óãîë ìåæäó
íèìè — 60°.

151.° Íàéäèòå áîêîâóþ ñòîðîíó ðàâíîáåäðåííîãî òðå-
óãîëüíèêà, ïëîùàäü êîòîðîãî ðàâíà 36 ñì2
, à óãîë ïðè
âåðøèíå — 30°.
152.
•
Êàêîé òðåóãîëüíèê ñ äâóìÿ äàííûìè ñòîðîíàìè
èìååò íàèáîëüøóþ ïëîùàäü?
153.
•
Ìîæåò ëè ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ñî ñòîðîíàìè 4 ñì
è 6 ñì áûòü ðàâíîé: 1) 6 ñì2
; 2) 14 ñì2
; 3) 12 ñì2
?
154.
•
Äâå ñîñåäíèå ñòîðîíû ïàðàëëåëîãðàììà ñîîòâåò-
ñòâåííî ðàâíû äâóì ñîñåäíèì ñòîðîíàì ïðÿìîóãîëüíèêà.
×åìó ðàâåí îñòðûé óãîë ïàðàëëåëîãðàììà, åñëè åãî ïëî-
ùàäü â äâà ðàçà ìåíüøå ïëîùàäè ïðÿìîóãîëüíèêà?
155.
•
Íàéäèòå îòíîøåíèå ïëîùàäåé S1
è S2
òðåóãîëüíè-
êîâ, èçîáðàæåííûõ íà ðèñóíêå 36 (äëèíû îòðåçêîâ äàíû
â ñàíòèìåòðàõ).
S1
S2
13
S1
S2
4
2 S1
S22
4
5
1
à) á) â)
Ðèñ. 36
156.
•
Îòðåçîê AD — áèññåêòðèñà òðåóãîëüíèêà ABC, ïëî-
ùàäü òðåóãîëüíèêà ABD ðàâíà 12 ñì2
, à òðåóãîëüíèêà ACD —
20 ñì2
. Íàéäèòå îòíîøåíèå ñòîðîíû AB ê ñòîðîíå AC.
157.
•
Íàéäèòå ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà, ñòîðîíà êîòîðîãî
ðàâíà a, à ïðèëåæàùèå ê íåé óãëû ðàâíû β è γ.
158.
•
Ðàäèóñ îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî òðåóãîëüíèêà,
ðàâåí R, à äâà óãëà ðàâíû α è β. Íàéäèòå ïëîùàäü òðå-
óãîëüíèêà.
159.
•
Â òðåóãîëüíèêå ABC èçâåñòíî, ÷òî AC = b, ∠ A = α,
∠ B = β. Íàéäèòå ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà.
160.
•
Â òðåóãîëüíèêå ABC óãîë A ðàâåí α, à âûñîòû BD
è CE ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî h1
è h2
. Íàéäèòå ïëîùàäü òðå-
óãîëüíèêà ABC.
161.
•
Îòðåçîê BM — âûñîòà òðåóãîëüíèêà ABC, BM = h,
∠ A = α, ∠ ABC = β. Íàéäèòå ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ABC.
162.
•
Â òðåóãîëüíèê ñî ñòîðîíàìè 17 ñì, 25 ñì è 28 ñì
âïèñàíà îêðóæíîñòü, öåíòð êîòîðîé ñîåäèíåí ñ âåðøèíàìè

òðåóãîëüíèêà. Íàéäèòå ïëîùàäè îáðàçîâàâøèõñÿ ïðè ýòîì
òðåóãîëüíèêîâ.
163.
••
Îòðåçîê AD — áèññåêòðèñà òðåóãîëüíèêà ABC,
AB = 6 ñì, AC = 8 ñì, ∠ BAC = 120°. Íàéäèòå áèññåêòðèñó AD.
164.
••
Íàéäèòå ïëîùàäü òðàïåöèè, îñíîâàíèÿ êîòîðîé
ðàâíû 10 ñì è 50 ñì, à áîêîâûå ñòîðîíû — 13 ñì è 37 ñì.
165.
••
Îñíîâàíèÿ òðàïåöèè ðàâíû 4 ñì è 5 ñì, à äèàãîíà-
ëè — 7 ñì è 8 ñì. Íàéäèòå ïëîùàäü òðàïåöèè.
166.
••
Îòðåçêè BM è CK — âûñîòû îñòðîóãîëüíîãî òðå-
óãîëüíèêà ABC, ∠ A = 45°. Íàéäèòå îòíîøåíèå ïëîùàäåé
òðåóãîëüíèêîâ AMK è ABC.
167.
••
Íàéäèòå ðàäèóñ îêðóæíîñòè, öåíòð êîòîðîé ïðèíàäëåæèò
áîëüøåé ñòîðîíå òðåóãîëüíèêà è êîòîðàÿ êàñàåòñÿ äâóõ
äðóãèõ ñòîðîí.
168.
••
Âåðøèíû òðåóãîëüíèêà ñîåäèíåíû ñ öåíòðîì âïè-
ñàííîé â íåãî îêðóæíîñòè. Ïðîâåäåííûå îòðåçêè ðàçáèâàþò
äàííûé òðåóãîëüíèê íà òðåóãîëüíèêè, ïëîùàäè êîòîðûõ
ðàâíû 26 ñì2
, 28 ñì2
è 30 ñì2
. Íàéäèòå ñòîðîíû äàííîãî
òðåóãîëüíèêà.
169.
••
Äîêàæèòå, ÷òî ãäå h1
, h2
è h3
— âû-
ñîòû òðåóãîëüíèêà, r — ðàäèóñ âïèñàííîé îêðóæíîñòè.
170. Ïåðïåíäèêóëÿð, îïóùåííûé èç âåðøèíû ïðÿìî-
óãîëüíèêà íà åãî äèàãîíàëü, äåëèò åãî óãîë â îòíîøåíèè
4 : 5. Îïðåäåëèòå óãîë ìåæäó ýòèì ïåðïåíäèêóëÿðîì è äðó-
ãîé äèàãîíàëüþ.
171. Ñðåäíÿÿ ëèíèÿ MK òðàïåöèè ABCD (BC C AD) ðàâ-
íà 56 ñì. ×åðåç ñåðåäèíó M ñòîðîíû AB ïðîâåäåíà ïðÿìàÿ,
êîòîðàÿ ïàðàëëåëüíà ñòîðîíå CD è ïåðåñåêàåò îñíîâàíèå
AD â òî÷êå E òàê, ÷òî AE : ED = 5 : 8. Íàéäèòå îñíîâàíèÿ
òðàïåöèè.
172. Îòðåçîê CD — áèññåêòðèñà òðåóãîëüíèêà ABC. ×åðåç
òî÷êó D ïðîâåäåíà ïðÿìàÿ, êîòîðàÿ ïàðàëëåëüíà ïðÿìîé
AC è ïåðåñåêàåò ñòîðîíó BC â òî÷êå E. Íàéäèòå DE, åñëè
AC = 16 ñì, BC = 24 ñì.

173. Íàéäèòå ñóììó óãëîâ âûïóêëîãî ñåìèóãîëüíèêà.
174. Ñóùåñòâóåò ëè âûïóêëûé ìíîãîóãîëüíèê, ñóììà
óãëîâ êîòîðîãî ðàâíà: 1) 1080°; 2) 1200°?
175. Ñóùåñòâóåò ëè ìíîãîóãîëüíèê, êàæäûé óãîë êîòî-
ðîãî ðàâåí: 1) 72°; 2) 171°?
176. Âåðíî ëè óòâåðæäåíèå (îòâåò îáîñíóéòå):
1) åñëè âñå ñòîðîíû ìíîãîóãîëüíèêà, âïèñàííîãî â îêðó-
æíîñòü, ðàâíû, òî è âñå åãî óãëû òàêæå ðàâíû;
2) åñëè âñå óãëû ìíîãîóãîëüíèêà, âïèñàííîãî â îêðóæ-
íîñòü, ðàâíû, òî è âñå åãî ñòîðîíû òàêæå ðàâíû;
3) åñëè âñå ñòîðîíû ìíîãîóãîëüíèêà, îïèñàííîãî îêîëî
îêðóæíîñòè, ðàâíû, òî è âñå åãî óãëû òàêæå ðàâíû;
4) åñëè âñå óãëû ìíîãîóãîëüíèêà, îïèñàííîãî îêîëî
îêðóæíîñòè, ðàâíû, òî è âñå åãî ñòîðîíû òàêæå ðàâ-
íû?
Âíåâïèñàííàÿ îêðóæíîñòü òðåóãîëüíèêà
Ïðîâåäåì áèññåêòðèñû äâóõ
âíåøíèõ óãëîâ ñ âåðøèíàìè A è C
òðåóãîëüíèêà ABC (ðèñ. 37). Ïóñòü
O — òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ýòèõ áèñ-
ñåêòðèñ. Ýòà òî÷êà ðàâíîóäàëåíà
îò ïðÿìûõ AB, BC è AC.
Ïðîâåäåì òðè ïåðïåíäèêóëÿðà:
OM ⊥ AB, OK ⊥ AC, ON ⊥ BC.
Î÷åâèäíî, ÷òî OM = OK = ON.
Ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóåò îêðóæ-
íîñòü ñ öåíòðîì â òî÷êå O, êîòî-
ðàÿ êàñàåòñÿ ñòîðîíû òðåóãîëüíè-
êà è ïðîäîëæåíèé äâóõ äðóãèõ åãî
ñòîðîí. Òàêóþ îêðóæíîñòü íàçû-
âàþò âíåâïèñàííîé (ðèñ. 37).
A
B
C
O
N
M
K
Ðèñ. 37

Òàê êàê OM = ON, òî òî÷êà O ïðèíàäëåæèò áèññåêòðèñå
óãëà ABC.
Î÷åâèäíî, ÷òî ëþáîé òðåóãîëüíèê èìååò òðè âíåâïèñàí-
íûå îêðóæíîñòè. Íà ðèñóíêå 38 èõ öåíòðû îáîçíà÷åíû OA
,
OB
, OC
. Ðàäèóñû ýòèõ îêðóæíîñòåé îáîçíà÷èì ñîîòâåòñòâåí-
íî ra
, rb
, rc
.
Ïî ñâîéñòâó êàñàòåëüíûõ, ïðîâåäåííûõ ê îêðóæíîñòè
÷åðåç îäíó òî÷êó, èìååì: CK = CN, AK = AM (ðèñ. 37).
Òîãäà AC = CN + AM. Ñëåäîâàòåëüíî, ïåðèìåòð òðåóãîëü-
íèêà ABC ðàâåí ñóììå BM + BN. Îäíàêî BM = BN. Òîãäà
BM = BN = p, ãäå p — ïîëóïåðèìåòð òðåóãîëüíèêà ABC.
Èìååì:
æ æ æ
æ æ
OC
A
B
C
OA
OB
Ðèñ. 38
Îòñþäà ãäå S — ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ABC.
Àíàëîãè÷íî ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî

1. Äîêàæèòå, ÷òî ãäå r — ðàäèóñ âïèñàííîé
îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêà ABC.
2. Äîêàæèòå, ÷òî ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà
S = rc
•r, ãäå rc
— ðàäèóñ âíåâïèñàííîé îêðóæíîñòè, êàñàþ-
ùåéñÿ ãèïîòåíóçû òðåóãîëüíèêà, r — ðàäèóñ âïèñàííîé
îêðóæíîñòè äàííîãî òðåóãîëüíèêà.
3. Â ðàâíîñòîðîííèé òðåóãîëüíèê ñî ñòîðîíîé a âïèñàíà
îêðóæíîñòü. Ê îêðóæíîñòè ïðîâåäåíà êàñàòåëüíàÿ òàê, ÷òî
åå îòðåçîê âíóòðè òðåóãîëüíèêà ðàâåí b. Íàéäèòå ïëîùàäü
òðåóãîëüíèêà, êîòîðûé ýòà êàñàòåëüíàÿ îòñåêàåò îò ðàâíî-
ñòîðîííåãî òðåóãîëüíèêà.
4. Â ÷åòûðåõóãîëüíèêå ABCD äèàãîíàëü BD ïåðïåíäèêó-
ëÿðíà ñòîðîíå AD, ∠ ADC = 135°, ∠ BAD = ∠ BCD = 60°.
Äîêàæèòå, ÷òî äèàãîíàëü AC ÿâëÿåòñÿ áèññåêòðèñîé óãëà
BAD.
Óêàçàíèå. Äîêàæèòå, ÷òî òî÷êà C — öåíòð âíåâïèñàííîé
îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêà ABD.
5. Â òðåóãîëüíèêå ABC óãîë B ðàâåí 120°. Îòðåçêè AN,
CF è BK — áèññåêòðèñû òðåóãîëüíèêà ABC. Äîêàæèòå, ÷òî
óãîë NKF ðàâåí 90°.
Óêàçàíèå. Íà ïðîäîëæåíèè ñòîðîíû AB çà òî÷êó B îò-
ìåòèì òî÷êó M. Òîãäà ∠ MBC = ∠ KBC = 60°, òî åñòü BC —
áèññåêòðèñà âíåøíåãî óãëà MBK òðåóãîëüíèêà ABK. Îòñþäà
ñëåäóåò, ÷òî òî÷êà N — öåíòð âíåâïèñàííîé îêðóæíîñòè
òðåóãîëüíèêà ABK. Àíàëîãè÷íî ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî òî÷-
êà F — öåíòð âíåâïèñàííîé îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêà BCK.
6. Ñòîðîíà êâàäðàòà ABCD ðàâíà 1 ñì. Íà ñòîðîíàõ AB
è BC îòìåòèëè òî÷êè M è N ñîîòâåòñòâåííî òàê, ÷òî ïåðè-
ìåòð òðåóãîëüíèêà MBN ðàâåí 2 ñì. Íàéäèòå âåëè÷èíó óãëà
MDN.
Óêàçàíèå. Äîêàæèòå, ÷òî òî÷êà D — öåíòð âíåâïèñàííîé
îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêà MBN.

1. Êàêîå èç ðàâåíñòâ âåðíî?
À) cos(180° – α) = sinα; Â) sin(180° – α) = cosα;
Á) cos(180° – α) = cosα; Ã) sin(180° – α) = sinα.
2. Êàêîå èç íåðàâåíñòâ âåðíî?
À) sin100° cos110° > 0; Â) sin100° cos110° < 0;
Á) sin100° cos10° < 0; Ã) sin100° cos90° > 0.
3. Íàéäèòå òðåòüþ ñòîðîíó òðåóãîëüíèêà, åñëè äâå åãî
ñòîðîíû ðàâíû 3 ñì è 8 ñì, à óãîë ìåæäó íèìè ðàâåí 120°.
À) ñì; Á) 7 ñì; Â) 9 ñì; Ã) ñì.
4. Êàêîé âèä óãëà, ëåæàùåãî ïðîòèâ áîëüøåé ñòîðîíû
òðåóãîëüíèêà ñî ñòîðîíàìè 4 ñì, 7 ñì è 9 ñì?
À) îñòðûé; Â) ïðÿìîé;
Á) òóïîé; Ã) íåâîçìîæíî óñòàíîâèòü.
5. Óãîë ìåæäó äâóìÿ ñòîðîíàìè òðåóãîëüíèêà, îäíà èç
êîòîðûõ íà 10 ñì áîëüøå äðóãîé, ðàâåí 60°, à òðåòüÿ ñòî-
ðîíà ðàâíà 14 ñì. Êàêîâà äëèíà íàèáîëüøåé ñòîðîíû òðå-
óãîëüíèêà?
À) 16 ñì; Á) 14 ñì; Â) 18 ñì; Ã) 15 ñì.
6. Äèàãîíàëè ïàðàëëåëîãðàììà ðàâíû 17 ñì è 19 ñì, à åãî
ñòîðîíû îòíîñÿòñÿ êàê 2 : 3. ×åìó ðàâåí ïåðèìåòð ïàðàë-
ëåëîãðàììà?
À) 25 ñì; Á) 30 ñì; Â) 40 ñì; Ã) 50 ñì.
7. Â òðåóãîëüíèêå ABC èçâåñòíî, ÷òî AB = 8 ñì, ∠ C =
= 30°, ∠ A = 45°. Íàéäèòå ñòîðîíó BC.
À) ñì; Á) ñì; Â) ñì; Ã) ñì.
8. Íàéäèòå îòíîøåíèå AC : BC ñòîðîí òðåóãîëüíèêà ABC,
åñëè ∠ A = 120°, ∠ B = 30°.
À) Á) Â) Ã)
9. Â òðåóãîëüíèêå ABC ñì, ∠ C = 135°. Íàéäè-
òå äèàìåòð îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî òðåóãîëüíèêà.
À) 4 ñì; Á) 8 ñì; Â) 16 ñì; Ã) 2 ñì.

10. Êàêîå íàèáîëüøåå çíà÷åíèå ìîæåò ïðèíèìàòü ïëî-
ùàäü òðåóãîëüíèêà ñî ñòîðîíàìè 8 ñì è 12 ñì?
À) 96 ñì2
; Â) 24 ñì2
;
Á) 48 ñì2
; Ã) íåâîçìîæíî óñòàíîâèòü.
11. Íàéäèòå ñóììó äëèí ðàäèóñîâ âïèñàííîé è îïèñàííîé
îêðóæíîñòåé òðåóãîëüíèêà ñî ñòîðîíàìè 25 ñì, 33 ñì
è 52 ñì.
À) 36 ñì; Á) 30 ñì; Â) 32,5 ñì; Ã) 38,5 ñì.
12. Äâå ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà ðàâíû 11 ñì è 23 ñì,
à ìåäèàíà, ïðîâåäåííàÿ ê òðåòüåé ñòîðîíå, — 10 ñì. Íàé-
äèòå íåèçâåñòíóþ ñòîðîíó òðåóãîëüíèêà.
À) 15 ñì; Á) 30 ñì; Â) 25 ñì; Ã) 20 ñì.
!Â ÝÒÎÌ ÏÀÐÀÃÐÀÔÅ:
áûëè ââåäåíû òàêèå ïîíÿòèÿ:
åäèíè÷íàÿ ïîëóîêðóæíîñòü;
ñèíóñ, êîñèíóñ, òàíãåíñ óãëà îò 0° äî 180°;
âû óçíàëè, ÷òî çíà÷èò ðåøèòü òðåóãîëüíèê;
âû íàó÷èëèñü ðåøàòü òðåóãîëüíèêè;
âû èçó÷èëè:
íåêîòîðûå ñâîéñòâà òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé;
òåîðåìó êîñèíóñîâ;
òåîðåìó ñèíóñîâ;
ôîðìóëû äëÿ íàõîæäåíèÿ ðàäèóñà îïèñàííîé
îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêà;
ôîðìóëû äëÿ íàõîæäåíèÿ ïëîùàäè òðåóãîëüíèêà;
ôîðìóëó äëÿ íàõîæäåíèÿ ðàäèóñà âïèñàííîé
îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêà.

Î ï ð å ä å ë å í è å. Ìíîãîóãîëüíèê íàçûâàþò ï ð à â è ë ü-
í û ì, åñëè ó íåãî âñå ñòîðîíû ðàâíû è âñå óãëû ðàâíû.
Ñ íåêîòîðûìè ïðàâèëüíûìè
ìíîãîóãîëüíèêàìè âû óæå çíàêî-
ìû: ðàâíîñòîðîííèé òðåóãîëü-
íèê — ýòî ïðàâèëüíûé òðåóãîëü-
íèê, êâàäðàò — ýòî ïðàâèëüíûé
÷åòûðåõóãîëüíèê. Íà ðèñóíêå 39
èçîáðàæåíû ïðàâèëüíûå ïÿòèóãîëüíèê è âîñüìèóãîëüíèê.
Îçíàêîìèìñÿ ñ íåêîòîðûìè ñâîéñòâàìè, êîòîðûìè îá-
ëàäàþò âñå ïðàâèëüíûå n-óãîëüíèêè.
Ò å î ð å ì à 6.1. Ïðàâèëüíûé ìíîãîóãîëüíèê ÿâëÿåòñÿ
âûïóêëûì ìíîãîóãîëüíèêîì.
Ñ äîêàçàòåëüñòâîì ýòîé òåîðåìû âû ìîæåòå îçíàêîìèòü-
ñÿ íà ñ. 61.
Êàæäûé óãîë ïðàâèëüíîãî n-óãîëüíèêà ðàâåí
Äåéñòâèòåëüíî, ïîñêîëüêó ñóììà óãëîâ âûïóêëîãî n-óãîëü-
íèêà ðàâíà 180°(n – 2) è âñå îíè ðàâíû, òî êàæäûé èç íèõ
ðàâåí
Ðèñ. 39

Â ïðàâèëüíîì òðåóãîëüíèêå ñóùåñòâóåò òî÷êà, ðàâíîóäà-
ëåííàÿ îò âñåõ åãî âåðøèí è îò âñåõ åãî ñòîðîí. Ýòî òî÷êà
ïåðåñå÷åíèÿ áèññåêòðèñ ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà. Òî÷êà
ïåðåñå÷åíèÿ äèàãîíàëåé êâàäðàòà òàêæå îáëàäàåò àíàëîãè÷-
íûì ñâîéñòâîì. Òî, ÷òî â ëþáîì ïðàâèëüíîì ìíîãîóãîëü-
íèêå ñóùåñòâóåò òî÷êà, ðàâíîóäàëåííàÿ îò âñåõ åãî âåðøèí
è îò âñåõ åãî ñòîðîí, ïîäòâåðæäàåò òàêàÿ òåîðåìà.
Ò å î ð å ì à 6.2. Ëþáîé ïðàâèëüíûé ìíîãîóãîëüíèê ÿâëÿ-
åòñÿ îäíîâðåìåííî âïèñàííûì è îïèñàííûì, ïðè÷åì öåí-
òðû îïèñàííîé è âïèñàííîé îêðóæíîñòåé ñîâïàäàþò.
ñóíêå 40 èçîáðàæåí ïðàâèëüíûé
n-óãîëüíèê A1
A2
A3
...An
. Ïðîâåäåì
áèññåêòðèñû óãëîâ A1
è A2
. Ïóñòü
O — òî÷êà èõ ïåðåñå÷åíèÿ. Ñîåäè-
íèì òî÷êè O è A3
. Òàê êàê â òðå-
óãîëüíèêàõ OA1
A2
è OA2
A3
∠ 2 =
= ∠ 3, A1
A2
= A2
A3
è OA2
— îáùàÿ
ñòîðîíà, òî ýòè òðåóãîëüíèêè ðàâ-
íû ïî ïåðâîìó ïðèçíàêó ðàâåíñòâà
òðåóãîëüíèêîâ. Êðîìå òîãî, óãëû 1
è 2 ðàâíû êàê ïîëîâèíû ðàâíûõ óãëîâ. Îòñþäà òðåóãîëüíèê
OA1
A2
— ðàâíîáåäðåííûé, ñëåäîâàòåëüíî, ðàâíîáåäðåííûì
ÿâëÿåòñÿ òðåóãîëüíèê OA2
A3
. Ïîýòîìó OA1
= OA2
= OA3
.
Ñîåäèíÿÿ òî÷êó O ñ âåðøèíàìè A4
, A5
, ..., An – 1
, An
, àíà-
ëîãè÷íî ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî OA3
= OA4
= ... = OAn – 1
= OAn
.
Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ìíîãîóãîëüíèêà A1
A2
A3
...An
ñóùå-
ñòâóåò òî÷êà, ðàâíîóäàëåííàÿ îò âñåõ åãî âåðøèí. Ýòî òî÷-
êà O — öåíòð îïèñàííîé îêðóæíîñòè.
Òàê êàê ðàâíîáåäðåííûå òðåóãîëüíèêè OA1
A2
, OA2
A3
,
OA3
A4
, ..., OAn – 1
An
, OAn
A1
ðàâíû, òî ðàâíû è èõ âûñîòû,
ïðîâåäåííûå èç âåðøèíû O. Îòñþäà äåëàåì âûâîä: òî÷êà O
ðàâíîóäàëåíà îò âñåõ ñòîðîí ìíîãîóãîëüíèêà. Ñëåäîâàòåëü-
íî, òî÷êà O — öåíòð âïèñàííîé îêðóæíîñòè.
Òî÷êó, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ öåíòðîì îïèñàííîé è âïèñàííîé
îêðóæíîñòåé ïðàâèëüíîãî ìíîãîóãîëüíèêà, íàçûâàþò öåí-
òðîì ïðàâèëüíîãî ìíîãîóãîëüíèêà.
O
1
2
3
A1
A2
A4
A3
An
An–1
Ðèñ. 40

Íà ðèñóíêå 41 èçîáðàæåí ôðàã-
ìåíò ïðàâèëüíîãî n-óãîëüíèêà
ñ öåíòðîì O è ñòîðîíîé AB, äëèíó
êîòîðîé îáîçíà÷èì an
. Óãîë AOB
íàçûâàþò öåíòðàëüíûì óãëîì
ïðàâèëüíîãî ìíîãîóãîëüíèêà.
Ïîíÿòíî, ÷òî
Â ðàâíîáåäðåííîì òðåóãîëüíè-
êå AOB ïðîâåäåì âûñîòó OM. Òîãäà
Èç œ OMB
è
Îòðåçêè OB è OM — ðàäèóñû îïèñàííîé è âïèñàííîé
îêðóæíîñòåé ïðàâèëüíîãî n-óãîëüíèêà. Åñëè èõ äëèíû îáî-
çíà÷èòü Rn
è rn
ñîîòâåòñòâåííî, òî ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû
ìîæíî çàïèñàòü â âèäå ôîðìóë:
Ïîäñòàâèâ â ýòè ôîðìóëû âìåñòî n ÷èñëà 3, 4, 6, ïîëó÷èì
ôîðìóëû äëÿ íàõîæäåíèÿ ðàäèóñîâ îïèñàííîé è âïèñàííîé
îêðóæíîñòåé äëÿ ïðàâèëüíûõ òðåóãîëüíèêà, ÷åòûðåõóãîëü-
íèêà è øåñòèóãîëüíèêà ñî ñòîðîíîé a:
Êîëè÷åñòâî ñòîðîí
ïðàâèëüíîãî n-óãîëüíèêà n = 3 n = 4 n = 6
Ðàäèóñ îïèñàííîé
îêðóæíîñòè
R6
= a
Ðàäèóñ âïèñàííîé
îêðóæíîñòè
A B
O
Ðèñ. 41

Èç ñêàçàííîãî ñëåäóåò, ÷òî ñòîðîíà ïðàâèëüíîãî øåñòè-
óãîëüíèêà ðàâíà ðàäèóñó åãî îïèñàííîé îêðóæíîñòè. Îò-
ñþäà ïîëó÷àåì ïðîñòîé àëãîðèòì ïîñòðîåíèÿ ïðàâèëüíîãî
øåñòèóãîëüíèêà: îò ïðîèçâîëüíîé òî÷êè M îêðóæíîñòè
íàäî ïîñëåäîâàòåëüíî îòêëàäûâàòü õîðäû, ðàâíûå ðàäèóñó
(ðèñ. 42). Òàêèì îáðàçîì ïîëó÷àåì âåðøèíû ïðàâèëüíîãî
øåñòèóãîëüíèêà.
Ñîåäèíèâ ÷åðåç îäíó âåðøèíû ïðàâèëüíîãî øåñòèóãîëü-
íèêà, ïîëó÷èì ïðàâèëüíûé òðåóãîëüíèê (ðèñ. 43).
Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ïðàâèëüíîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà äîñòà-
òî÷íî â îêðóæíîñòè ïðîâåñòè äâà ïåðïåíäèêóëÿðíûõ äèà-
ìåòðà AC è BD (ðèñ. 44). Òîãäà ÷åòûðåõóãîëüíèê ABCD —
êâàäðàò (äîêàæèòå ýòî ñàìîñòîÿòåëüíî).
M
A
B
C
D
Ðèñ. 42 Ðèñ. 43 Ðèñ. 44
Åñëè óæå ïîñòðîåí ïðàâèëüíûé n-óãîëüíèê, òî ëåãêî ïî-
ñòðîèòü ïðàâèëüíûé 2n-óãîëüíèê. Äëÿ ýòîãî íàäî íàéòè
ñåðåäèíû âñåõ ñòîðîí n-óãîëüíèêà è ïðîâåñòè ðàäèóñû îïè-
ñàííîé îêðóæíîñòè ÷åðåç ïîëó÷åííûå òî÷êè. Òîãäà êîíöû
ðàäèóñîâ è âåðøèíû äàííîãî n-óãîëüíèêà áóäóò âåðøèíàìè
ïðàâèëüíîãî 2n-óãîëüíèêà. Íà ðèñóíêàõ 45 è 46 ïîêàçàíî
ïîñòðîåíèå ïðàâèëüíûõ 8-óãîëüíèêà è 12-óãîëüíèêà.

9

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (10)

Viewers also liked

Viewers also liked (20)

9